八年级上册数学第一章知识点及例题

北师大版数学八年级上册第一章立体几何知识点归纳及例题一、知识点归纳1. 立体几何的基本概念- 点、线、面、体的概念及特点2. 空间几何图形- 线段、射线、直线的定义和性质- 角的概念及表示方法- 平面与立体图形的关系3. 立体图形的种类- 正方体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、球体、圆柱、圆锥的特点、性质和示意图- 平行四边形、正方形、矩形、菱形、圆的特点和性质4. 空间方位关系- 平行、垂直、重合、相交等概念的理解和判断5. 空间几何图形的展开与折叠- 立体图形沿折痕折叠和展平的方法二、例题1. 已知正方体 ABCDEFGH 的边长为 4cm，求以下几何图形的面积和体积：- 立方体 ABCDEFGH 的表面积和体积- 正八面体 ABCKLMNO 的表面积和体积2. 在长方体 ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1 中，已知 AB = 4cm，AE = 3cm，求以下几何图形的面积和体积：- 长方体 ABCDEFGH-A1B1C1D1E1F1G1H1 的表面积和体积- 直方体 ABB1A1B1 的表面积和体积3. 已知平行四边形 ABCD 周长为 20cm，对角线 AC = 8cm，求以下几何图形的面积和周长：- 平行四边形 ABCD 的面积和周长- 矩形 ABCD 的面积和周长4. 已知直方体 ABCDEFGH 的表面积为 96cm²，底面 ABCD 的面积为 20cm²，求以下几何图形的高和体积：- 直方体 ABCDEFGH 的高和体积- 平行四边形 ABCD 的高和面积以上是北师大版数学八年级上册第一章立体几何的知识点归纳和例题，希望能对你有所帮助。

鲁教版八年级上册数学学问点第一章 分式一、分式1．分式的概念：假如整式A 除以整式B, 可以表示成BA 的形式,且除式B 中含有字母，那么称式子BA 为分式。

其中, A 叫分式的分子,B 叫分式的分母。

留意：①推断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去推断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。

如:x 2／x 是分式,虽然约分之后等于x 是整式,但约分前是分式。

②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。

2．有理式：整式和分式统称有理式。

(整式的分母中不含有字母)3．关于分式的几点说明:(1)分式的分母中必需含有未知数；(2)分式是两个整式相除的商式,对随意一个分式，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如：d c b a -+表示（a ＋b ）÷(c －d )； (4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误会为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。

4．一般的，对分式A ／B 都有：①分式有意义B ≠0； ②分式无意义 B=0；③分式的值为0A=0且B≠0；④分式的值大于0分子分母同号；⑤分式的值小于0分子分母异号。

5．根本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。

二、分式的乘除法1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。

2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

留意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,干脆约分；②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。

3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般要将一个分式化为最简分式。

第一章认识三角形1.1认识三角形学习目标 1. 掌握三角形的概念，并能用符号正确表示三角形。

2. 能够正确地按角将三角形进行分类。

3. 理解三角形的三边关系，并利用其进行计算。

4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用量角器、三角尺等工具画三角形。

知识点1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。

“三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。

三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）三角形内角和为180°2. 性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。

3. 按角进行分类：锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；直角三角形（三角形有一个角是90°）；（记作Rt △ABC ）钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。

AB CA B C4. ★三角形的角平分线、中线和高线角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。

中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

★重要性质：1角平分线上的点到角的两边距离相等。

2中线平分与它相交的边。

3一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。

4三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。

高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。

5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。

★同高等底的两个三角形面积相等。

三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

1.2定义与命题学习目标1.了解定义、命题的意义2.会区分命题的条件和结论3.会在简单情况下判断一个命题的真假4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的知识点1. 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

八年级上册数学第一章笔记
第一章数学基础
一、知识点1：数的概念
1. 整数和分数是两种基本概念。

2. 零和负数也是数学中常用的数。

3. 数的绝对值和倒数概念在数学中非常重要。

二、知识点2：代数式
1. 代数式是表示数量关系的数学符号。

2. 代数式的运算和化简是数学中的重要内容。

3. 理解代数式的意义对于理解数学问题非常重要。

三、知识点3：方程的概念
1. 方程是表示两个数相等的关系。

2. 方程的解法包括移项、合并同类项、解一次方程等步骤。

3. 方程在数学中应用广泛，是解决实际问题的重要工具。

四、知识点4：不等式的概念和性质
1. 不等式是表示两个数大小关系的关系式。

2. 不等式的性质和应用对于理解不等式非常重要。

3. 不等式在数学中应用广泛，是解决实际问题的重要工具。

五、知识点5：函数的概念和图像
1. 函数是表示两个变量之间关系的重要数学概念。

2. 函数的图像和性质是理解函数的重要工具。

3. 函数在数学中应用广泛，是解决实际问题的重要工具。

六、注意事项：
1. 在学习过程中，要注意数学公式的正确使用和推导。

2. 在做题时，要注意题目的细节和要求，正确使用解题步骤和方法。

3. 对于概念和知识点，要反复理解和记忆，形成自己的知识体系。

数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。

cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。

学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：ACBD例2。

已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。

其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。

此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。

最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。

例题部分也包括了两个问题的解答。

1、正确画出AC边上的高的是（C）。

2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。

3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。

4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。

5、在图中，由于AB=CD。

AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。

6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。

7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。

8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。

9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。

10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。

八年级上册数学第一章知识点加经典例题Chapter 11.1 Understanding TrianglesXXX:1.XXX.2.XXX.3.XXX.4.Understand the concepts of angle bisectors。

medians。

and altitudes in triangles。

XXX.Key Points:1.n: XXX that are not on the same line and are connected end-to-end。

The symbol "△" is used to represent a triangle。

and a XXX as "△ABC"。

The sum of the r angles of a triangle is 180°.2.Properties: The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side。

the difference een any two sides of a triangle is less than the third side (the shortest distance een two points is a straight line)。

Note: XXX line segments can form a triangle。

compare the sum of the two XXX.3.XXX:Acute triangle (all three r angles are less than 90°);Right triangle (one r angle is 90°) (denoted as Rt△ABC);Obtuse triangle (one XXX is greater than 90°).4.Angle bisectors。

第１章 分式一、分式的概念１、分式的定义：如果Ａ、Ｂ表示两个整式，并且Ｂ中含有字母，那么式子叫做分式。

３、分式有意义、无意义的条件（１）分式有意义的条件：分式的分母不等于０；（２）分式无意义的条件：分式的分母等于０。

４、分式的值为０的条件：当分式的分子等于０，而分母不等于０时，分式的值为０。

即，使的条件是：Ａ＝０，Ｂ≠０。

二、分式的基本性质通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（１）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（２）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（１）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（２）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（３）约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则：（１）；（２）四、分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘．即：应用法则时要注意：（１）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（２）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（３）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

八上数学第一章知识点总结１、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于１，即ａ°＝１（ａ≠０）。

八年级上数学第一章知识点数学是一门需要理性思维和判断力的学科，对于初中的学生而言，数学作为必修课程，是非常关键的。

在初中的数学课中，第一章也许是最基础的一个章节，它为后面的学习打下了基础。

八年级上数学第一章主要讲述的是数学基础概念和运算规则，下面我们将详细介绍这章的知识点。

一、整数的概念及运算法则在数学中，整数是指一类没有小数或分数部分的数字，包括正整数、负整数和0。

在初中数学学习过程中，整数的加减乘除运算是我们需要重点掌握的。

1、整数加减法对于整数的加法，我们可以这样做：将数轴上的一个数点想象成一个质点，向右移动表示加上正数，向左移动表示加上负数。

两数相加可以看做两个质点从左向右的面积之和。

对于整数的减法，我们也可以反过来想，将减数向左移动，然后再用加法的法则来计算。

2、整数乘除法在整数的乘除法中，正数乘上正数是正数，正数乘上负数是负数，负数乘上负数是正数。

同样的，除法也遵循这个规律，在除数和被除数同号的情况下，商是正数，异号则为负数。

二、分数的概念及运算法则在数学中，分数是指分母不为零的有理数。

分数的学习也是初中数学重点之一。

1、分数的大小比较要比较两个分数的大小，可以将两个分数通分后再比较分子大小。

例如：比较2/3和5/6的大小，可以先将它们通分为12分之后再进行计算，2/3即8/12，5/6即10/12，因此5/6大于2/3。

2、分数的加减乘除对于分数的加减法，我们可以先将分数化为通分的形式，然后再进行加减运算。

对于分数的乘法和除法，我们可以将两个分数分别化为分子和分母的形式，然后再进行乘除运算。

三、代数式的概念及运算法则在数学中，代数式和分数一样，也是比较重要的一个内容。

代数式是数和字母综合运用所组成的式子，通过它可以将复杂的计算简化。

1、代数式的基本性质在代数式的学习中，我们需要掌握其基本性质，如交换律、结合律、分配律等，这些性质都是代数式运算的基础。

2、代数式的加减乘除对于代数式的加法和减法，我们需要将同类项合并，即将相同的字母和次数的项合并在一起。