矢量三角形法在力的平衡问题中的妙用

力的平衡问题中矢量三角形法则的应用发表时间：2015-09-23T14:52:31.663Z 来源：《素质教育》2015年10月总第187期供稿作者：李政[导读] 重庆市渝南田家炳中学高中阶段，学习处理力的平衡问题的方法虽然有力的合成法、正交分解法、对称法等等，若能恰当应用力的三角形法则，能使一些问题更加简单。

李政重庆市渝南田家炳中学401346摘要：动力学中的平衡问题，特别是力学平衡问题，在整个高中物理教学中占据相当大的比重。

学习好平衡类问题，也有助于解决非平衡类的综合问题，能较好地“扫清”物理学习过程中的一大障碍。

文章对三力类的力学平衡问题进行了举例说明，在灵活应用上以期达到抛砖引玉、举一反三之功效。

关键词：力的平衡矢量三角形处理技巧高中阶段，学习处理力的平衡问题的方法虽然有力的合成法、正交分解法、对称法等等，若能恰当应用力的三角形法则，能使一些问题更加简单。

特别是三个力或者等效的三个力的平衡问题，对受力的物体作力的矢量图，可通过平移使三个力组成一个首位相连的矢量三角形，然后据正弦定理、余弦定理、相似三角形等数学知识求解。

解析：选小球为研究对象，其受力情况如图所示，用平行四边形定则作出相应的“力三角形OAB”，其中OA的大小、方向均不变，为小球的重力；AB的方向不变，始终与斜面垂直向上；推动斜面时，FT、mg与支持力FN构成的矢量三角形中，FT的方向逐渐趋于水平，FN 对应的边长由小逐渐增大，FT先减小后增大，故D正确。

方法总结：矢量三角形法分析动态平衡问题的步骤。

1.选某一状态的研究对象进行受力分析。

2.若是三个力类的平衡问题，需先画出两个变化的力的合力（即大小不变的那个力的反方向的力）。

3.根据已知量的变化情况再画出一系列状态的三角形。

4.判定未知量大小、方向的变化。

在力学中巧用矢量三角形法则作者：刘卫东来源：《中学生数理化·教与学》2011年第03期一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法.矢量加减依据平行四边形法则，也可简化为三角形（或多边形）法则.其图解方法如图1.若已知矢量A、B,如图1（a），当求C＝A＋B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段末端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为C，如图1（b）；当求C＝A－B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段末端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为C，如图1（c）.运用这种方法也可以进行多个矢量连续相加或相减.我们可以归纳如下.图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和.图解方法求矢量差：末端共点分别作相减矢量，连接两箭头，方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差.二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较为复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际的分运动.这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法.运动的合成与分解遵循如下原理：1．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律运动进行，不会因有其他运动的存在而发生变化.2．等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.3．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量运算.三、矢量三角形在共点力平衡中的运用物体在三个不彼此平行的力的作用下处于平衡状态，这三个力必在同一平面内共点，其合力为零.这三个力组成一个封闭的三角形，解答此类题目时用矢量三角形法则，分析一些动态变化时定性处理问题简捷、直观、明了.有时定量计算时也简捷、方便，避免大量用三角函数求极值的烦琐过程，能收到事半功倍的效果.1．共点力平衡时力变化的定性讨论例１如图２（a），DAB为半圆支架，两细绳OA、OB接于圆心O，其下悬重力为G的物体.若OA细绳固定不动，将细绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐缓慢移至竖直位置C 的过程中，细绳OA和细绳OB对节点O的拉力大小如何变化？解析：选节点O为研究对象，节点在拉力G、TA、TB三个力的作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定；TA的方向确定但大小不定；TB的大小和方向都不定，根据图2（b）中力的封闭矢量三角形可以看出，在OB向上靠近OC的过程中，TA一直减小，TB先减小后增大.2．共点力平衡时力变化的定量计算例２如图３，质量为m的物体放在水平地面上，用水平向右的拉力F拉物体，使物体沿水平向右匀速运动，已知物体和水平面间的动摩擦因数为，μ在保持拉力F大小不变的情况下改变其方向，但仍使物体沿原方向匀速运动，则拉力F′与原拉力F间的夹角θ为多大？解析：略.总之，凡遇到物体受三个共点力作用，处于平衡问题时，若一个力的大小与方向都确定，另一个力的方向也确定，求这个力的大小及第三个力的大小如何变化时，利用矢量三角形定性讨论比较方便.。

动态平衡—矢量三角形和相似三角形动态平衡中的神奇“三角魔法”在我们学习物理的奇妙世界里，有两个超级厉害的“魔法三角”，那就是矢量三角形和相似三角形。

这俩家伙可不得了，它们就像隐藏在物理难题背后的神秘钥匙，一旦掌握，就能轻松打开难题的大门。

先来说说矢量三角形吧。

咱们想象一下，有个小球被三根绳子拉着，在空中静止不动。

这三根绳子的拉力就构成了一个矢量三角形。

每根绳子的拉力就像是一个有方向、有大小的小箭头。

通过分析这个三角形的边长和角度关系，就能算出每个拉力的大小啦。

我记得有一次在课堂上，老师给我们展示了这样一个例子。

一个重物被两根倾斜的绳子拉住，保持平衡。

同学们都皱着眉头，苦思冥想怎么解题。

老师微微一笑，在黑板上画出了矢量三角形，然后一步一步地给我们讲解。

“同学们，你们看，这两个力和重力构成了一个封闭的三角形。

我们就可以根据三角函数来计算啦！”老师的声音在教室里回荡，仿佛带着一种神奇的魔力。

我盯着黑板上的图形，突然之间，就像黑暗的房间里亮起了一盏明灯，一下子就明白了！相似三角形在动态平衡中也有着独特的魅力。

当物体的受力情况比较复杂，力的三角形和某个几何三角形相似的时候，我们就可以利用相似三角形的对应边成比例这个性质来解题。

比如说，有一个斜面上的物体，受到重力、支持力和摩擦力的作用。

我们可以通过构建相似三角形，找到力与边长之间的比例关系，从而求出各个力的大小。

这就像是在玩一个拼图游戏，只要找到了关键的线索，就能把整个图案拼凑完整。

有一次我自己在家做练习题，遇到了一道特别难的动态平衡题目。

我一开始毫无头绪，急得抓耳挠腮。

但是我静下心来，仔细回忆老师讲过的方法，尝试着画出了受力分析图，然后惊喜地发现可以构建相似三角形。

经过一番计算，我终于算出了答案，那种成就感简直爆棚！在解决动态平衡问题的过程中，矢量三角形和相似三角形就像是我们的得力助手。

它们能帮助我们把复杂的问题简单化，把抽象的概念具体化。

只要我们熟练掌握了这两个“三角魔法”，再难的动态平衡问题也能迎刃而解。

动态平衡—矢量三角形和相似三角形在物理学中，动态平衡是一个十分重要的概念。

当一个物体所受的合力为零，但力的大小或方向在不断变化时，我们就说这个物体处于动态平衡状态。

而在解决动态平衡问题时，矢量三角形和相似三角形是两个非常有用的工具。

让我们先来理解一下什么是矢量。

矢量是既有大小又有方向的物理量，比如力、速度、位移等。

而矢量三角形，就是用三角形的三条边来分别表示三个矢量的大小和方向。

想象一个物体在三个力的作用下处于平衡状态。

这三个力可以用矢量来表示，并且首尾相接可以构成一个封闭的三角形。

当其中某个力的大小或方向发生变化时，我们通过调整三角形的形状来反映这种变化，从而找到新的平衡状态。

比如，有一个用绳子悬挂的小球，受到重力、绳子的拉力和水平风力的作用。

当风力逐渐增大时，我们可以通过画出不同时刻的矢量三角形，清晰地看到绳子拉力和风力的变化情况。

那么相似三角形又是怎么在动态平衡中发挥作用的呢？相似三角形指的是对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

在处理动态平衡问题时，如果存在一个力三角形与一个几何三角形相似，那么我们就可以利用相似三角形的对应边成比例这一性质来求解。

比如说，有一个轻杆一端固定，另一端连着一个小球，小球在一个倾斜的光滑面上运动。

我们可以发现力的三角形和由轻杆、斜面构成的几何三角形相似。

通过这种相似关系，就能得出力的大小与几何长度之间的比例关系，进而求解力的变化。

为了更深入地理解这两个工具的应用，让我们来看几个具体的例子。

例一：一个重物通过两根细绳悬挂在天花板上，两细绳与天花板的夹角分别为 30°和 60°。

现在保持其中一根细绳的方向不变，逐渐改变另一根细绳的长度，使重物始终处于平衡状态。

在这个过程中，两根细绳拉力的变化情况如何？我们可以先画出初始状态下的矢量三角形，然后根据条件改变其中一个力的大小或方向，观察矢量三角形的变化。

通过这种直观的方式，就能清楚地看到拉力的变化趋势。

求解共点力平衡问题的十一种方法(附详细答案)求解共点力平衡问题的方法共点力平衡问题是高考中的热点，涉及多方面的数学和物理知识，对于刚入学的高一新生来说是一大难点。

以下介绍几种解决共点力平衡问题的方法。

1.力的合成法当物体在三个共点力的作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。

例如，如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ（A、B点可以自由转动）。

设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，则正确的结果是F1=mgsinθ，F2=mgcosθ。

2.力的分解法在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。

例如，如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？3.正交分解法解多个共点力作用下物体平衡问题的方法，常用正交分解法列平衡方程求解。

为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

例如，如图所示，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。

不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。

4.相似三角形法根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解。

5.其他方法例如，如图所示，固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心的正上方C处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A点，另一端绕过定滑轮，缓慢地拉向B点，则此过程中小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是FN不变、FT变小。

6.长度问题例如，如图所示，两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m物体，上端分别固定在天花板M、N两点，M、N之间距离为S。

已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于S/√2.五、用图解法处理动态平衡问题三角形法是一种处理物体平衡问题的方法，适用于受三力作用而平衡的物体。

矢量三角形法在三力平衡问题中的应用在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。

三力平衡的力三角形判断通常有三类情况．一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。

这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定1、如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？图 12、如图3装置，AB为一轻杆在B处用铰链固定于竖墙壁上，AC为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB杆上滑行。

试分析当重物W从A端向B端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB杆作用力的变化情况。

图 3二、三力中有一个力确定．即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定3、如图5所示，在“验证力的平行四边形定则’’实验中，用两只弹簧秤A、B把像皮条上的结点拉到某一位置0，这时两绳套AO、B0的夹角∠AOB＝90°．现保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使a角减小，那么要使结点仍在位置O处不动，就应调整弹簧秤B的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是( )A．增大弹簧秤B的拉力、增大β角B．增大弹簧秤B的拉力、β角不变C．增大弹簧秤B的拉力、减小β角D．弹簧秤B的拉力大小不变、增大β角图54、如图7所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在点0处．现用一大小恒定的外力F(F﹤mg)慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多少? 图7三、三力中有一个力大小方向确定，另二力方向变化有依据。

共点力平衡的几种解法1.力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。

2.矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。

矢量三角形作图分析法，优点是直观、简便，但它仅适于处理三力平衡问题。

3.相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题。

4.正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

5.三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。

6.正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用干三个以上共点力作用下的物体的平衡，值得注意的是，对“x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

不宜分解待求力。

7.动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。

三.重难点分析：1.怎样根据物体平衡条件，确定共点力问题中未知力的方向？在大量的三力体（杆）物体的平衡问题中，最常见的是已知两个力，求第三个未知力。

解决这类问题时，首先作两个已知力的示意图，让这两个力的作用线或它的反向延长线相交，则该物体所受的第三个力（即未知力）的作用线必定通过上述两个已知力的作用线的交点，然后根据几何关系确定该力的方向（夹角），最后可采用力的合成、力的分解、拉密定理、正交分解等数学方法求解。

平衡问题：物体不受力或所受合外力为零，这是物体处于平衡的条件。

解决此类问题的方法很多，包括正交分解法、矢量三角形法、相似三角形法、利用拉密定理……矢量三角形：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代。

把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。

以此类推，若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成封闭三角形。

利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速（减速）问题时是非常方便的，像摩擦角这样四力动态平衡问题，用起来也很方便！尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决，而且非常直观。

解决动态平衡的一般步骤如下：①确定研究对象；②分析对象状态和受力情况，画出示意图；③将各力首尾相连，画出封闭的矢量三角形；④根据题意，画出动态变化的边角关系；⑤确认未知量变化情况。

一、两力作用下的动力学问题例1、如图所示，固定的斜面A和放在斜面上的楔形木块B的倾角均为θ=30°，已知斜面A的上表面和木块B的表面均光滑，木块B 的质量为M，上面放有质量为m的小球C，当用平行于斜面的力F 作用在木块上时，木块B和小球C保持相对静止，求推力F及木块B对小球C的弹力的大小。

解析：解决动力学问题，先对物体进行受力分析。

选择小球为研究对象，小球受到重力和B对小球的支持力（两个力），作加速运动；选择整体为研究对象，小球和木块受到重力，支持力和推力。

根据条件，小球和木块加速度相同，根据牛顿第二定律，解决此题的关键是求出木块B和小球C保持相对静止时的加速度大小。

由于小球与木块相对静止，故小球C受到的合力方向必定和木块B 的加速度的方向相同（平行于斜面），即沿斜面向下。

用三角形法则作出小球受到的合力（N与G的箭头收尾相连，以便画出合力），如图所示。

由于弹力N的方向与木块B的上表面垂直，因此弹力的方向与竖直方向的夹角为60°，不难看出，矢量三角形为等边三角形，即N=ma=mg，小球的加速度大小为g，以球和木块整体为对象，由牛顿第二定律可知解得推力的大小为:二、三力作用下的动态平衡问题例2、如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢转动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?解析:选择小球为研究对象，分析小球受力如图所示，小球受重力G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2，小球在这三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成矢量三角形(如上图)。

力的矢量三角形画法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：力的矢量三角形画法是物理学中非常重要的概念之一，它帮助我们更直观地理解力的合成和分解。

在力的矢量三角形画法中，我们通过图形的方式将不同方向的力进行合成和分解，从而得到最终的结果。

下面来深入了解力的矢量三角形画法。

让我们来了解一下什么是力的矢量。

在物理学中，力是一个矢量量，它不仅有大小，还有方向。

力的合成就是指把不同方向的力合并在一起，得到一个结果力的过程。

而力的分解则是把一个力拆分成多个力的过程。

这两个过程都是通过力的矢量三角形画法来实现的。

在力的矢量三角形画法中，我们通常使用箭头来表示力的大小和方向。

箭头的长度代表力的大小，箭头的方向代表力的方向。

当有多个力作用在一个物体上时，我们可以通过将这些力的箭头放在一起，然后通过矢量三角形的方法将它们合成为一个结果力。

这个结果力的大小和方向可以通过矢量三角形的几何关系来求得。

举个例子，假设有两个力分别为F1和F2，它们的大小和方向如图所示。

如果我们想求出这两个力的合力，即它们的合成力F，我们可以按照以下步骤进行：第一步，将这两个力的箭头画在一起，F1的箭头位于F2的箭头前面。

这样我们就可以形成一个平行四边形，F1和F2分别为平行四边形的两条边。

第二步，通过平行四边形的对角线画出一个三角形。

这个三角形的一条边就是合成力F的方向，而这个三角形的其他两条边就是F1和F2的合力。

第三步，通过几何关系或三角函数，我们可以求出合力F的大小。

通过力的矢量三角形画法，我们可以更加直观地理解不同方向力的合成和分解过程。

这不仅有助于我们在实际问题中求解力的合力，还可以帮助我们更好地理解物体受力的情况，从而更好地分析和解决问题。

在物理学中，力的合成和分解是非常重要的概念。

通过力的矢量三角形画法，我们可以更好地掌握这些概念，从而提高我们解决物理问题的能力。

希望通过本文的介绍，您对力的矢量三角形画法有了更深入的了解。

愿您在学习物理的过程中能够更加游刃有余，取得更好的成绩！第二篇示例：力的矢量三角形画法是物理学中的一项重要概念，它用来描述多个力的方向和大小的关系。

矢量三角形在高中物理中的应用探究利用矢量三角形上理高中物理的矢量运算，能够很好地物理知识我数学中的几何三角形知识结合起来，能把数学的向量运算与物理中的矢量运算有机结合，并能够利用图形的变化，方便、直观的观察矢量的动态变化，是分析动态平衡问题和极值问题的重要方法与手段。

一、矢量三角形的构成原理平行四边形定则是所有矢量运算都遵守的运算法则，把平行四边形沿对角线分开，构成一个封闭的矢量三角形。

三角形的边长长短表示矢量的大小，方向表示矢量的方向，何三角形相似具有几何三角形的性质具体有力的合成与分解中的矢量三角形，三个共点力平衡构成的矢量三角形，运动合成与分解中速度的合成与分解构成的矢量三角形，具体情况将在以下应中进行阐述和分析。

二、矢量三角形在物理问题中的应用1、矢量三角形在力的合成与分解中的应用（1）合力F与分力F1，F2构成的矢量三角形；两个分力F1、F2首尾相连，合力F从第一个力F1的矢端指向第二个力F2的末端，构成封闭的矢量三角形，如图1所示（2）应用举例例1：如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P在F1，F2和F3三力作用下保持静止，下列判断中正确的是（）A.F1＞F2＞F3B.F3＞F1＞F2C.F2＞F3＞F1D.F3＞F2＞F1[解析]F1和F2的合力F与F3等大反向，把F1、F2F3平移构成封闭的矢量三角形，如图2所示由三角形的边长关系可知F3＞F1＞F2，B正确例2：如图所示，有一箱装的很满的土豆，以一定的初速度在摩擦系数为u的水平面上做匀减速运动，（不计其它外力及空气阻力）则其中一个质量为m的土豆A受其它土豆对它的总作用力大小应是（）A.mgB.umgC.mg[解析]对整箱土豆受力分析有umg=Ma,a=ug,对土豆A受力分析受到其它土豆对它的作用力F其它，重力mg，合外力水平向左为ma=umg,则ma,mg，F其它构成矢量三角形如图3所示由矢量三角形平行2、矢量三角形在三个共点力平衡中的应用（1）三个共点力平衡的矢量三角形如果物体受到三个共点力平衡，把三个共点力平移首尾相连构成封闭的矢量三角形，矢量三角形和几何三角形具有相同的性质，可以和几何三角形相似利用三角形的相似性质分析解决问题。