矢量三角形法则求解三个共点力平衡的案例教学

利用矢量三角形巧解三力动态平衡问题共点力平衡高中物理的一个重要的知识点，是高考中的一个重要考点，其中动态平衡问题又是平衡问题中的重点和难点，如何快速准确的解决这类问题呢？首先要了解动态平衡有哪几种类型，不同的情况有不同的技巧和方法解决。

第一种类型：已知一个力的大小和方向和另一个力的方向，计算或判定第三个力的大小和方向例题1：（2019·青海省平安一中高三月考）一个挡板固定于光滑水平地面上，截面为1/4圆的柱状物体甲放在水平面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有与地面接触而处于静止状态，如图所示。

现在对甲施加一个水平向左的力F，使甲沿地面缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止。

设乙对挡板的压力为F1，乙对甲的压力为F2，甲对地压力为F3，在此过程中（）A．F1缓慢增大，F2缓慢增大，F3缓慢增大B．F1缓慢增大，F2缓慢减小，F3缓慢减小C．F1缓慢减小，F2缓慢增大，F3保持不变D．F1缓慢减小，F2缓慢减小，F3保持不变【解析】先以乙为研究对象，分析受力情况如图当甲向左移动时，N2与竖直方向的夹角减小，因此甲对乙的弹力N2与挡板对乙的弹力N1均减小。

根据牛顿第三定律可知，乙对挡板的压力为 F1=N1乙对甲的压力为 F2=N2因此F1、F2均逐渐减小。

再对整体分析受力如图所示由平衡条件可得，地面对整体的支持力为 N=G总根据牛顿第三定律可知，甲对地压力为 F3=N=G总因此F3不变。

故ABC错误，D正确。

故选D。

结论：矢量三角形法或平行四边形法第二种类型：已知一个力的大小和方向和另两个力的大小相等，这两力方向发生变化。

计算或判定另两个力的大小变化例题2：（2020·四川省泸县五中高三月考）如图所示，直杆AB可绕其中心O在竖直面内自由转动，一根细绳的两端分别系于直杆的A、B两端，重物用光滑挂钩吊于细绳上，开始时重物处于静止状态，现将直杆从图示位置绕O点沿顺时针方向缓慢转过90°，则此过程中，细绳上的张力（）A．先增大后减小B．先减小后增大C．一直减小D．大小不变【解析】：挂钩相当于滑轮，因此绳上的张力相等，且两边绳子与竖直方向的夹角相等，设两边绳子与竖直方向的夹角为θ，将直杆从图示位置绕O点沿顺时针方向缓慢转过90°的过程中，θ先增大后减小，由2Fcosθ=mg可知绳上的张力先增大后减小，选项A正确。

2021宁德教师招聘物理学科备考：共点力作用下的平衡问题分析方法
一、图解法(矢量三角形)
如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2。

以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不计摩擦，在此过程中N1和N2的变化?
解析：N1始终减小，N2始终减小。

将重力和方向不变的N1平行移动，与方向改变的N2形成矢量三角形，然后将N2变化，如图所示,可见N1始终减小，N2始终减小。

图解法(矢量三角形)适用条件：物体受到三个力，其中：一个力是恒力，一个力方向不变，另一个力方向改变。

解题方法：1.受力分析2.把恒力和方向不变的力平行移动，与方向改变的力形成闭合三角形。

3.让第三个力根据题意发生变化，观察三角形的边的变化从而确定物体受力的大小的变化。

练习：如图，光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化?
【答案】F1逐渐变小，F2先变小后变大。

解析：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。

应用三角形法则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变;F1的方向不变;F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由右图可知，挡板逆时针转动90°过程，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。

(当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小)。

【稳扎稳打】备战2021高考物理一轮复习微专题专题13: 用三角形法解决共点力平衡问题【要点回顾】1.选定研究对象2.隔离物体进行受力分析（一重、二弹、三摩擦、四其他）3.画出受力示意图4.做出力的矢量三角形，按照三角函数关系进行求解，对于动态平衡，适合于三力平衡中有一个力是恒力，另一个力方向不变的问题。

【典型例题】例：如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把挡板由竖直位置绕O点缓慢转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()A．F1先增大后减小，F2一直减小B．F1先减小后增大，F2一直减小C．F1和F2都一直在增大D．F1和F2都一直在减小【答案】B【解析】小球初始时刻的受力情况如图1所示，因挡板是缓慢转动的，所以小球处于动态平衡状态，在转动过程中，重力、斜面的支持力和挡板的弹力组成的矢量三角形的变化情况如图2所示(重力G的大小、方向均不变，斜面对小球的支持力 F ′2的方向始终不变)，由图2可知此过程中斜面对小球的支持力F ′2不断减小，挡板对小球的弹力F ′1先减小后增大，由牛顿第三定律可知选项B 正确。

【跟踪练习】1． 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止P 点。

设滑块所受支持力为F N ，OF 与水平方向的夹角为θ, 下列关系正确的是A ．tan mg F θ= B ．tan F mg θ=C ．=tan N mg F θD ．tan N F mg θ=【答案】A【解析】物体处于平衡状态，对物体受力分析，根据共点力平衡条件，可求出支持力和水平推力．对小滑块受力分析，受水平推力F 、重力G 、支持力F N 、根据三力平衡条件，将受水平推力F 和重力G 合成，如图所示，由几何关系可得tan mg F θ=，sin N mg F θ=，A 正确． 2． 如图所示，光滑斜面固定在水平地面上，在沿斜面向上拉力F 的作用下，小物块静止在斜面上。

共点力平衡的几种解法1.力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。

2.矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。

矢量三角形作图分析法，优点是直观、简便，但它仅适于处理三力平衡问题。

3.相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题。

4.正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

5.三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。

6.正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用干三个以上共点力作用下的物体的平衡，值得注意的是，对“x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

不宜分解待求力。

7.动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。

三.重难点分析：1.怎样根据物体平衡条件，确定共点力问题中未知力的方向？在大量的三力体（杆）物体的平衡问题中，最常见的是已知两个力，求第三个未知力。

解决这类问题时，首先作两个已知力的示意图，让这两个力的作用线或它的反向延长线相交，则该物体所受的第三个力（即未知力）的作用线必定通过上述两个已知力的作用线的交点，然后根据几何关系确定该力的方向（夹角），最后可采用力的合成、力的分解、拉密定理、正交分解等数学方法求解。

mθ图 αβ图AF O图POb a图θ a θ θ bAO ·P图物体在三个共点力作用下的平衡⑴物体在三个非平行力作用下而处于平衡状态时,这三个力的作用线共面且相交于一点: ⑵物体在三个非平行力作用下处于平等状态时,表示这三个力的矢量必组成首尾相接的闭合矢量三角形.推论在解题中的应用:（一）动态分析法: A.对研究对象初始状态进行受力分析,作出受力图;B.确定并画出不变力的矢量图示;C.确定确定或大小不变的第二个力:①若此力的方向不变,则以此方向画射线:②若此力的大小不变,则以第一个力的一端点为圆心,以第二个力为半径画圆.D.确定确定第三个力(全变力)的变化趋向,以推论⑵来判断此力的变化情况.1.如图所示,小球被轻质细绳系着,斜吊着放在光滑劈面上,小球质量为m, 斜面倾角为θ.向右缓慢推劈面,在推动劈面的过程中A 绳上张力先增大后减小 B.绳上张力先减小后增大 C.斜面对小球的支持力减小 D.斜面对小球的支持力增大2.如图,一个重力为G 的球放在光滑斜面上,斜面倾角为α,在斜面上有一光滑 的木板挡住球,使之处于静止状态,今使木板与斜面间夹角β由小于90° 的初始状态缓慢增大到(180°- α),在此过程中,球对挡板的压力N 1和球对斜面的压力N 2的变化情况是 A. N 1一直减小, N 2先增大后减小 B. N 1先减小后增大, N 2一起减小 C. N 1一起增大, N 2一起减小 D. N 1先增大后减小, N 2一起增大 3.如图所示,重为G 的小球用细线吊起,搁在一个光滑的大球面上,线的另一端通 过位于大球球心O 点下上方的A 点的定滑轮由人用力拉住.当人用力缓慢拉线 时,人的拉力F 及大球对小球的支持力N 的变化情况是⑵A.F 变大,N 变大B.F 变大,N 变小C.F 变小,N 不变D.F 变大,N 不变4．在“共点力合成”的实验中，如图所示，使弹簧秤b 图示垂直于PO 的位置 开始顺时针缓慢转动，在b 转过α≤90°的过程中保持O 点位置不变和弹簧秤b 的示数不变。

用三角形法则求解三力平衡问题陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君物体在几个共点力作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，作用在物体上的这几个力的合力为零。

若物体在三个共点力的作用下处于静止或匀速直线运动状态，这三个力的合力必为零，此时可运用三角形法则进行分析与求解。

一、三角形法则三个共点力的合力为零时，若用平行四边形定则求出任意两力的合力，这个合力将代替原来的两个力，这样，三力平衡问题就变成了二力平衡问题，合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。

因此，若将表示三个力的矢量平行移动，使其依次首尾相接，将构成封闭三角形。

这就是求解与分析三个共点力平衡问题的三角形法则。

运用三角形法则作出表示力矢量的三角形后，可利用解三角形的知识与方法进行分析与求解。

例1．如图1所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°。

则小球的质量比m2/m1为A． B． C． D．解析：选碗中的小球m1为研究对象，如图2所示，由于碗的内表面光滑，它受竖直向下的重力mg、从m1（质点）指向球心O的支持力N（弹力）、沿细线斜向上的拉力T（弹力）三个力的作用而处于静止状态，由力的平衡条件可知，它们的合力为零，故将表示这三个力的矢量平行移动依次首尾相接，将构成封闭三角形，如图3所示。

由正弦定理有：，由于碗边缘光滑，相当于定滑轮，故有：。

解两式得：。

本题选A。

二、求解动态平衡问题物体在三个共点力的作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，若其中的一个力缓慢变化，而物体仍处于静止状态或匀速直线运动状态，这类问题就是动态平衡问题，变力变化过程中的每一个状态，三力的合力都等于零。

这类问题中至少有一个大小、方向均保持不变，三力矢量构成的封闭三角形中，至少有一个边保持不变，即三角形的两个顶点将保持不动，根据题中变力的变化情况，可确定出另一顶点的变化，由此可以判断出变力的变化情况。

用矢量三角形求解三力动态平衡问题矢量三角形：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代。

把代表两个分矢量的有向线段首尾相连，则合矢量就从第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。

以此类推，若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成封闭三角形。

利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速（减速）问题时是非常方便的，像摩擦角这样四力动态平衡问题，用起来也很方便！尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决，而且非常直观。

解决动态平衡的一般步骤如下：①确定研究对象；②分析对象状态和受力情况，画出示意图；③将各力首尾相连，画出封闭的矢量三角形；④根据题意，画出动态变化的边角关系；⑤确认未知量变化情况。

利用图解法应注意三点：(1)前提是合力不变，一个分力的方向不变．(2)正确判断某一个分力的大小和方向变化及其引起的另一分力的变化．(3)注意某一分力方向变化的空间三力作用下的动态平衡问题例题、如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢转动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?解析:选择小球为研究对象，分析小球受力如图所示，小球受重力G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2，小球在这三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成矢量三角形(如上图)。

挡板绕O点缓慢移动，小球处于动态平衡。

因挡板对小球的支持力N1（如图所示，红色箭头逆时针旋转）的方向与水平方向之间的夹角由0°缓慢变大，重力的大小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向不变，由矢量三角形知斜面的支寺力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变大。

总结：（1）第一个力大小方向都不变——重力G（2）第二个力方向不变——斜面的支持力N2（3）第三个力的方向在旋转，导致大小也变化——挡板的支持力N1（分别用蓝色和红色标出）。

史上最全的物体在三个共点力作用下的平衡问题一、前期准备1、平衡状态：即物体保持静止或匀速直线运动状态，此时物体（系统）加速度和所受合外力均为0，包括静态平衡与动态平衡。

2、三力平衡的总体原则：三力中的任意一个力，必在其它两个力夹角的对顶角的范围内。

二、全国Ⅱ卷最常考的八种类型1、三力平衡时：有两力垂直时，采用力的合成与分解法。

(做出两力的合力与第三力是一对平衡力；将某力沿其他两力反方向分解，所得两分力与其他两力构成两平衡力，利用三角函数关系求解)例1、如下图所示，轻绳AO 和BO 共同吊起质量为m 的重物．AO 与BO 垂直，BO 与竖直方向的夹角为θ，OC 连接重物，则( )例2、在竖直墙壁与放在水平面上的斜面体M 间放一光滑圆球，如图所示，斜面体M 在外力作用下缓慢向左移动，在移动过程中下列说法正确的是（ ）A ．球对墙的压力大小增大B ．斜面体对球的支持力大小逐渐增大C ．斜面体对球的支持力大小不变D ．斜面体对球的支持力大小先减小后增大A ．AO 所受的拉力大小为mg cos θB ．AO 所受的拉力大小为mg sin θC ．BO 所受的拉力大小为mg cos θD ．BO 所受的拉力大小为mg cos θ2、三力平衡时：无垂直且题中给了特殊角度时，采用正交分解法。

例3、如图1－1－8所示，左侧是倾角为60°的斜面、右侧是四分之一圆弧面的物体固定在水平地面上，圆弧面底端切线水平，一根两端分别系有质量为m1、m2小球的轻绳跨过其顶点上的小滑轮．当它们处于平衡状态时，连接m2小球的轻绳与水平线的夹角为60°，不计一切摩擦，两小球可视为质点．两小球的质量之比m1∶m2等于()A．1∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶43、三力动态平衡时：一力大小方向不变，一力方向不变，采用矢量三角形法。

（图解法）例4、如上右图所示，在一个半圆环上用两根细线悬挂一个重为G的物体，设法使OA线固定不动，将OB线从竖直位置沿半圆环缓缓移到水平位置OB′，则OA 与OB线中受到的拉力FA、FB的变化情况是( )A.FA、FB都增大B.FA增大，FB减小C.FA增大，FB先增大后减小D.FA增大，FB先减小后增大例5、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( )A.逐渐增大B.逐渐减小C.先增大后减小D.先减小后增大例6、如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是（）A．F1先增大后减小，F2一直减小B．F1先减小后增大，F2一直减小C．F1和F2都一直减小D．F1和F2都一直增大4、三力动态平衡时：一力大小方向不变，两力方向均改变，两力夹角也发生改变，采用相似三角形法。

力的平衡问题中矢量三角形法则的应用发表时间：2015-09-23T14:52:31.663Z 来源：《素质教育》2015年10月总第187期供稿作者：李政[导读] 重庆市渝南田家炳中学高中阶段，学习处理力的平衡问题的方法虽然有力的合成法、正交分解法、对称法等等，若能恰当应用力的三角形法则，能使一些问题更加简单。

李政重庆市渝南田家炳中学401346摘要：动力学中的平衡问题，特别是力学平衡问题，在整个高中物理教学中占据相当大的比重。

学习好平衡类问题，也有助于解决非平衡类的综合问题，能较好地“扫清”物理学习过程中的一大障碍。

文章对三力类的力学平衡问题进行了举例说明，在灵活应用上以期达到抛砖引玉、举一反三之功效。

关键词：力的平衡矢量三角形处理技巧高中阶段，学习处理力的平衡问题的方法虽然有力的合成法、正交分解法、对称法等等，若能恰当应用力的三角形法则，能使一些问题更加简单。

特别是三个力或者等效的三个力的平衡问题，对受力的物体作力的矢量图，可通过平移使三个力组成一个首位相连的矢量三角形，然后据正弦定理、余弦定理、相似三角形等数学知识求解。

解析：选小球为研究对象，其受力情况如图所示，用平行四边形定则作出相应的“力三角形OAB”，其中OA的大小、方向均不变，为小球的重力；AB的方向不变，始终与斜面垂直向上；推动斜面时，FT、mg与支持力FN构成的矢量三角形中，FT的方向逐渐趋于水平，FN 对应的边长由小逐渐增大，FT先减小后增大，故D正确。

方法总结：矢量三角形法分析动态平衡问题的步骤。

1.选某一状态的研究对象进行受力分析。

2.若是三个力类的平衡问题，需先画出两个变化的力的合力（即大小不变的那个力的反方向的力）。

3.根据已知量的变化情况再画出一系列状态的三角形。

4.判定未知量大小、方向的变化。