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胡海岩机械振动基础三章课件

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机械振动基础第三章PPT

机械振动基础第三章PPT
2015年11月28日
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
19
3.2 杆的纵向振动 例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
2015年11月28日
20
3.2 杆的纵向振动 解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u (0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES (l , t ) x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 • 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
ia0 , l ix i ( x) ci sin l
(i 0,1,2,)
(i 0,1,2,)
3.2 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES 得： 得出：
u (l , t ) u (0, t ) ES 0 0 x x (l ) 0 (0) 0
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
10
2015年11月28日
2015年11月28日
11
3.2 杆的纵向振动 • 固有频率和模态函数

振动第3章(1)

振动第3章(1)

这是一个二阶线性常系数齐次微分方程组，式中
M
m11 m21
m12 m22
，
K
k 11 k 21
k12
k
22
（4）
分别称为系统的质量矩阵和刚度矩阵。其中 mij 为质量影响系数， k ij 为刚度影响系数。
x
x1 x2
，
x
xx21
分 别 是 系 统 的 坐 标 列 阵 和 加 速 度 列 阵 。 本 方 程 中 m11 m1 ， m22 m2 ， m12 m21 0 ，
m2 x2 k 2 x1 k 2 x2 0
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
（1）
将振动微分方程写成矩阵形式 。式（1）的矩阵形式是
m1
0
0 m2
x1 x2
k
1 k
k
2
2
k k2
2
x1
x
2
0 0
（2）
为了使讨论具有一般的性质，将式（2）改写为
Mx Kx 0
（3）
d
c p12
2
A22 A12
a
p
2 2
b
d
c
p
2 2
（12）
系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即
x
1
2
x11
1
,
x
2
2
x1 2
2
这表明，在振动过程中，振幅比1 、2
（13） 决定了整个系统的相对位置。
式中的1 表征了以第一固有频率作同步谐振动时，即作第一主振动时系统的型 态，称为第一固有振型或第一主振型； 2 表征系统作第二主振动时系统的型态，

胡海岩机械振动基础第三章课件

胡海岩机械振动基础第三章课件

3.1.1 振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程
设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标 x
的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x, t)
表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上 分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。
多自由度
大自由度
无限自由度
ox
u(x,t)
dx l
f (x,t)
f
u
u+
u x
dx
x N dx N+ Nx dx
实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称 为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运 动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由 度系统。
研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、
N
ku
N
k(0 u ,t) Eu A (0 ,t) 0 , k(l,u t) Eu A (l,t) 0
x
x
u (0 ,t)
u (l,t)
k u (0 ,t) E Ax , k u (l,t) E Ax
u(x,t)U (x)q(t)
k U ( 0 ) E A U ( 0 ) , k U ( l ) E A U ( l )
U (x)a1cosxa2sinx
a10, a2cosl0
由
cos l 0
rl (r1)
2
求出无穷多个固有频率: r(r2 1)l r1,2,
U r(x ) a 2 sirx n a 2 s( i2 r n 2 1 l)x , r 1 ,2 ,
这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为

机械振动讲课ppt课件

机械振动讲课ppt课件
相位
t
xA co t s) (
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t0)描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts T [) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l g
T 2π
角频率 2π2π
周期和频率仅与振动系 统 本身的物理性质有关
T
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
F
o
m
x
x
Fk xma
令 2 k
m
a2x
xA co t s) (
积分常数，根据初始条件确定
d2x 2x 0 二阶常系数微分方程
dt2
2
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
单摆
msginmt a
mlmdl2m••l
t t 时
o
A
t
xAcots()
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.

胡海岩机械振动基础课件PPT课件

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N
N
N
mij uj (t) cij u j (t) kij u j (t) fi (t),
j 1
j 1
j 1
i 1,, N
&&
&
M u (t) Cu(t) Ku(t) f (t)
10
第10页/共131页
建立方程的重要条件是 系统的状态作用不相耦 合与系统的线性特性
11
第11页/共131页
刚度矩阵为
fi ki1 0 2 i N
k1 k2
k2
0
K
0 0
k2 k2 k3
k3
0
0
0 k3 k3 k4
0 0
0
0
0
k N 1 k N kN
0
0
0
k
N
k N
13
第13页/共131页
质量矩阵可用类似的过程得到
f1 m11 m1 1 m1 fi mi1 0 2 i N mii mi , mij 0, i j
,
n min(i, j)
最后将所
得 dij 排为 柔度矩阵 D。 取 N=3 为例
1
k1
1
D
k1
1 k1 11 k1 k2
1
k1
11
k1 k2
1
11
1
1
1
k1
k1 k2
k1 k2 k3
19
第19页/共131页
例：梁的横向振动近似计算方程
解：用集中质量法可将梁系统 简化为一个二自由度系统
f1 1
m1 k1u1
di1 1 k1 , i 1,, N
18

机械振动基础 ppt课件

机械振动基础 ppt课件
2. 常力只改变系统的静平衡位置，不影响系 统的固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振 动。在分析振动问题时，只要以静平衡位置作为坐 标原点就可以不考虑常力。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
3. 按系统特性（自由度数目）分类： → 单自由度系统的振动； → 多自由度系统的振动； → 弹性体振动。
4. 按描述系统的微分方程分类： → 线性振动； → 非线性振动。
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
5. 按振动位移的特征分类： → 扭转振动； → 直线振动。
机电设备故障诊断
机电设备故障诊断
(Remote Fault Diagnosis)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机电设备故障诊断
第二章 机械振动基础
本章内容：
○ 振动概述 ○ 机械振动系统的建模基础 ○ 机械系统的自由振动响应 ○ 机械系统的强迫振动响应
§2.1 振动概述 “大振动”现象
坐汽车、火车、轮船时的振动，有时会使人颠簸得难受
J
D
扭振模型
n Kt J
n ——系统扭转振动的固有频率
其中， Kt ——扭转刚度 J ——转动惯量
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 几点重要结论：
1. 单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简 谐振动，其振动频率只取决于系统本身的结构特性 (因此称之为固有频率)，而与初始条件无关；振动 的振幅和初相位与初始条件有关。
家里的冰箱电扇空调因振动而产生的噪音使人心烦意乱
§2.1 振动概述 “大振动”现象
印尼海啸汶川大地震美国新奥尔良唐山地震遗址 飓 风

胡海岩+机械振动基础课后习题解答-第3章习题


m1l 2 3 M 0
0 7m2l 2 48
9l 2 k1 16 K 9l 2 k1 16
9l 2 k1 16 9l 2 k1 l 2 k2 16 4
ml 2 M 3
0 1 0 7 /16
1 0
2
3EI 3EI ml Ml 3EI (2m M ) 3EI (2 1) Mml Ml
1 φ2 0 1
3
1 φ1 1 1
1 φ3 2 1
P139, 3-1: 求图示摆的柔度系数。
d11 d 21 d 31
1
d11 d21 d31
l1 (m1 m2 m3 ) g
d 22
d 32
1
d 22 d32
l1 l2 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g
d33
1
d 22 d32
l l1 l2 3 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g m3 g
P139,3-2: 求图示系统的的刚度矩阵和柔度矩阵， 并求m1 m2 m, k1 k2 k时系统的固有频率。
1 m1l 2 l 2 2 1 m2l 2 l T ( m1 ( ) )1 ( m2 ( ) 2 ) 2 2 2 12 2 2 12 4
1 3l 3l 1 l U k1 ( 1 2 )2 k2 ( 2 )2 2 4 4 2 2
r r
n
Kφr r2 Mφr , (r 1...N ) M 1 Kφr r2φr , (r 1...N )
M 1 KΦ Φ diag[i2 ]

机械振动基础CH0

❖ 课程安排按自由度由简至繁 单——二(多)——无限……（大自由度）
（尽量与教学平行进行试验）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
23
课程内容体系（续1）
❖ 第一章：
介绍概念，复习和在高层次上学习质点 动力学有关内容，是全课基础。
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
24
课程内容体系（续2）
随机振动，模态分析，动力学建 模与动态设计 （复杂本构、结构、载荷）
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
6
考试（察）办法
❖ 闭卷考试（约占总成绩70%） ❖ 作业（约占总成绩10%）
但缺两次作业，不允许考试。 ❖ 试验考察（约占总成绩20%） ❖ 缺席处理（缺席一次扣10分）
2020年9月2日9时24分
❖ 第二章：
介绍多自由度系统振动。引入矩阵和解 耦技术，介绍振动方程组的求解。是全课重 点。并引伸出隔振、吸振理论。
2020年9月2日9时24分
振动分析与测试
(机械振动基础)
Vibration analysis & measument in Mechanical Engineering
教材主编：胡海岩 教授
学习目的
❖目的
（1）解决机械工程中的振动问题。 核心是简化问题（基础）
（2）培养分析问题、解决问题能力。 学习创造性思维方法（迁移）
（3）为进一步深造打基础 （考研、研究生阶段学习）。
❖ 试验方案 ❖ 试验步骤 ❖ 试验仪器 ❖ 试验结果 ❖ 试验结论
理论与试验的关系
2020年9月2日9时24分
振动工程研究所
20
振动问题解决途径（综合）

机械振动培训课件

被动控制技术具有简单、可靠、低能耗等优点，但减振效果可能不如主动控制技术。
混合控制技术是将主动控制技术和被动控制技术结合起来，以实现更好的减振效果。
该技术可以综合利用主动控制技术的快速响应和被动控制技术的可靠性，提高减振效果并降低能耗。
混合控制技术需要复杂的系统设计和集成，但其在实际工程中的应用越来越广泛。
03
02
01
利用振动的原理，使物料在输送管道或设备中产生连续的抛掷运动，从而实现物料的定向输送。
振动输送
利用不同物质在振动过程中产生的不同运动轨迹，将物料分成不同粒度的组分。
振动筛分
通过施加周期性的激振力，使被压实材料内部产生交变应力，从而使材料颗粒之间发生相对位移，达到紧密排列的效果。
振动压实
利用振动原理使物料在模具中产生周期性的压力和位移，从而实现制品的成型和脱模。
振动成型
机械振动理论
02
描述一个自由度系统在振动时的运动规律和特性。
总结词
单自由度系统振动是机械振动中最基本的模型之一，它描述了一个单一自由度（如弹簧-质量系统）在振动时的运动规律和特性。通过分析系统的质量和阻尼，可以确定系统的固有频率、振型等参数，进而研究系统在不同激励下的响应。
详细描述
总结词
机械振动培训课件
汇报人：
2024-01-01
机械振动基础机械振动理论机械振动分析方法机械振动控制技术机械振动实验技术机械振动案例研究
目录
机械振动基础
01
机械振动是指物体在一定位置附近所做的往复运动。它具有周期性，即物体在振动过程中会不断重复相同或相似的运动轨迹。
机械振动定义
描述物体离开平衡位置的最大距离，通常用正弦或余弦函数表示。
数据处理

机械振动基础知识培训(ppt 86页)实用资料

7 隔振
PAG 4
§4-1 单自由度系统的自由振动
一、自由振动微分方程
模型：弹簧质量系统
（弹簧原长l0,刚性系数k）
l0
在重力作用下弹簧变形δst为
st
静变形，该位置为平衡位置。
Ox
平衡
Fst kst mgkst
st
mg k
x
Fst F mg mg
取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;
阻尼类型
介质阻尼 内阻尼 干摩擦阻尼
粘性阻尼：当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度一次方成正比（较多）
设振动质点的速度为v
粘性阻尼力
Fcv
负号表示方向
c ：粘性阻尼系数
PAG 30
§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 一、阻尼 — 振动过程中的阻力
振动系统中存在粘性阻尼时,常用阻尼元件c表示
§4-1 单自由度系统的自由振动
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角β= 30°，求此系统振
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
一般的机械振动系统都可简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统
k
c
m
上节研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变 的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力， 而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
PAG 31
§4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动 二、振动微分方程
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U
(x)

a1
cos
x

a2
sin

x
a1 0,
a2

cos

l

0
11
由 cos l 0

rl (r 1)

2
求出无穷多个固有频率:
r

(r

1) 2

l
r 1, 2,
Ur
(x)

a2
sin
r
x

a2
sin
(2r
1)
2l
x
,
r 1, 2,
l
0U r (x)U s (x)dx
l
0U r (x)U s (x)dx
Байду номын сангаас
(a)
20
(r )2
l
0U r (x)U s (x)dx
l
U
0
r
(
x)U
s
(x)dx
(a)
同理可得
(s )2
l
0U s (x)U r (x)dx
l
0U s (x)U r (x)dx
(b)
r2 2s 2
l
0U r (x)U s (x)dx 0
r s
杆的固有频率互异
(a)-(b)
l
0Ur (x)U s (x)dx 0 r s
l
0Ur (x)U s (x)dx 0 r s
21
l
0Ur (x)U s (x)dx 0 r s
l
0Ur (x)U s (x)dx 0 r s
杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束 条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。
10
简单边界条件
a. 在固定端： u 0
U 0 ;
b. 在自由端： N EA u 0 x
U 0 。
例 ：试求 x 0 端固定, x l 端自由的等截面直杆
纵向固有振动。
解：写出边界条件 U(0) 0, U (l) 0

2 r

Kr Mr
,
r 1, 2,
22
对于端点固定或自由的非均匀变截面直杆，其固有 振型的加权正交关系式为


l
0 (x) A(x)U r (x)U s (x)dx
l
M r rs


E(x) A(x)U r (x)U s (x)dx Kr rs
0
更一般地，若杆在 x 0 端有弹簧 k1 和集中质量 m1 、
ku(l, t) EA
x
u(x,t) U(x)q(t)
kU (0) EAU (0), kU (l) EAU (l)
15
b. 一端装有集中质量m时
N
mu
N
mu

m

2u(0, t )
t2

EA
u(0, t )
x

0,

m

2u(l, t )
t2

EA
u(l, t )
tan
17
tan
是杆的质量与杆端
集中质量的比值。
r r / l
1 0.860 / l 2 3.426 / l 3 6.437 / l
2
1 g0
0.860
1
1/
2
3
3.426
6.437
tan
-2
0
2
4
6
8 10
可取Taylor展开 tan 3 / 3 ，将频率方程写作
2 (1 2 )
3
解出

2 1
并Taylor展开至二次项

2 1

3 2
(
1 4
3
1) 2 3 1 / 3
1

1
l

EA / l
m Al / 3
k
2u(x, t) 2 2u(x, t) 1 f (x, t)
t2
x 2 A
其中
def
E 是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度
8
杆的自由振动
2u(x, t) 2 2u(x, t)
t2
x2
（1）固有振动的形式
分离变量法: u(x, t) U(x)q(t)
这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为
第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有
振型函数的值具有相对性，即 a2 可以是任意常数。不妨取式
中 a2 1 ，则有
(2r 1)x
U r (x) sin 2l ,
r 1, 2,
杆的固有振动解:
ur
(x,
t)

sin
表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上 分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。
ox
u(x,t)
dx l
f (x,t)
f
u
u+
u x
d
x
x
N
dx
N+
N x
dx
6
u(x,t)
f (x,t)
f
u
u+
u x
d
x
ox
dx
l
x
N
dx
N+
N x
d
x
Static (x) E E du(x)
dx
Dynamic (x,t) E u(x,t)
x
杆的纵向应变和轴向力分别为
(x,t) u(x,t) x
根据Newton 第二定律
N (x,t) E(x) A(x) (x,t) E(x) A(x) u(x,t) x
（1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组; （2）由边界条件得出固有振动; （3）利用固有振型的正交性将系统解耦; （4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。
5
3.1.1 振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程
设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标 x
的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为(x)，用u(x, t)
14
复杂边界条件
--反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系
a. 一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时
ku
N
ku
N
ku(0,t) EA u(0,t) 0, ku(l,t) EA u(l,t) 0
x
x
u(0, t)
ku(0, t) EA
,
x
u(l, t)
(x)A(x)dx
2u( x, t )
t2
[N(x,t)


N ( x, t )
x
dx]
N(x,t)
f
( x, t )dx
7
(x) A(x)

2u(x, t)
t2

x
[E(x) A(x)
u(x,t)
]
x

f
(x,t)
直杆纵向受迫振动微分方程
对于均匀材料的等截面直杆， E(x) A(x)为常数
1)x l
,
r 1, 2,
上式在 r 1 时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型。
此时，杆的运动有别于
u(x, t)

(a1

cos

x

a2

sin

x)(b1
cos t
b2
sin t )
1 0
q(t) 2q(t) 0 0
q1 (t) b1 b2t
(2r
1)x 2l
(b1r
cos
rt

b2r
sin
r t),
r 1, 2,
12
对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有 振型函数为
r

r
l
,
Ur
(x)

sin
rx l
,
r 1, 2,
而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为
r

(r
1)v l
,
Ur
(
x)

cos
(r
m Al / 3
STOP
相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法 计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。
19
3.1.2 固有振型函数的正交性
U
r(x)

( r
)2U
r
(x)

0
( r
)2U
s
(
x)U
r
(
x)

U
s
(
x)U
r(
x)
(r )2

l
U
0
U (x)q(t) 2q(t)U (x)
q(t) 2 U (x)
两端必同时等于一 常数。可以证明，
q(t)
U (x) 该常数不会为正数.
q(t) 2 U (x) 2
q(t) U (x)
9
U (x) ( ) 2U (x) 0
dx]
Mt (x,t)

Me (x, t)dx