高中数学选修2-3优质学案10：1.3.1 二项式定理

人教版高中数学精品资料§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(402328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rnC （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

1。

3二项式定理1．3.1 二项式定理错误!问题1：我们在初中学习了（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导（a＋b)3、（a＋b）4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3,(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4。

问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b）3的展开式有4项,每一项的次数是3；（a＋b）4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明（a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b）4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个（a＋b）中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a,则得C错误!a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C错误!a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C错误!a2b2；若都选b,则得C错误!a0b4.问题4:能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋）的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0，n a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!b n。

1．二项式定理公式(a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r ＋…＋C错误!b n（n∈N＋）所表示的规律叫做二项式定理．2．相关概念(1)公式右边的多项式叫做（a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C错误!(r＝0，1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3）展开式中的C错误!a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．（4)在二项式定理中,如果设a＝1，b＝x，则得到公式（1＋x）n ＝C错误!＋C错误!x＋C错误!x2＋…＋C错误!x r＋…＋C错误!x n.错误!展开式具有以下特点：(1）项数:共有n＋1项；（2)二项式系数：依次为C错误!，C错误!,C错误!，…,C错误!，…,C错误!；（3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b 的升幂排列展开；(4)通项T r＋1＝C错误!a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项．错误!二项式定理的正用、逆用［例1］1)用二项式定理展开错误!5.(2)化简：C错误!(x＋1）n－C错误!(x＋1）n－1＋C错误!(x＋1）n－2－…＋（－1)r C错误!(x＋1)n－r＋…＋(－1）n C错误!.[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；（2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[精解详析] (1）错误!5＝C错误!(2x)5＋C错误!（2x)4·错误!＋…＋C错误!5错误!＝32x5－120x2＋错误!－错误!＋错误!－错误!。

教案 二项式定理及应用 教目标：1掌握二项式定理和性质以及推导过程。

2利用二项式定理求二项展开式中的项的系数及相关问题。

3使生能把握数问题中的整体与局部的关系，掌握分析与综合，特殊和一般的数思想。

教重点；二项展开式中项的系数的计算。

教过程：一、 复习引入：1n b a )(+的展开式，项数，通项；[]2二项式系数的四个性质。

二、 例题1. 二项式定理及二项式系数性质的简单应用：例1 （1）1821- 除以9的余数是_____________________(2)432)1()1(4)1(6)1(41-+-+-+-+x x x x =_______________A 4)1(-xB 4xC 4)1(+xD 4)2(-x (3)已知7292.......42121=++++n n n n nC C C 则=+++n n n nC C C ........21____________________ （4）n a a )(+如果展开式中奇数项的系数和为512，则这个展开式的第8项是（ ） A a a C 579 B a a C 6310 C 6810a C D a a C 7411(5)若5050105032.....)1(.......)1()1(x a x a a x x x +++=++++++则2a 等于（ ）A 502B 492C 351CD 350C小结1(1)注意二项式定理的正逆运用；(2)注意二项式系数的四个性质的运用。

2. 二项展开式中项的系数计算：[]例2 （1）523)12(x x -展开式中常数项等于_____________ （2）在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800（3）已知,........)21(7722107x a x a x a a x ++++=-求：721....a a a +++[]小结2 (1)局部问题抓通项；[](2)整体系数赋值法。

1.3.1二项式定理教学目标：知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．教学重难点:重点：二项式定理的内容及应用难点：二项式定理的推导过程及内涵教学过程一、设置情境，引入课题问题某人投资10万元，有两种获利的可能供选择．一种是年利率12％，按单利计算，10年后收回本金和利息．另一种年利率10％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息． 试问，哪一种投资更有利？分析：本金10万元，年利率12％，按单利计算，10年后的本利和是10×（1＋12％×10）＝22（万元）本金10万元，年利率10％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10%)101(10+⨯那么如何计算10%)101(+的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如n b a )(+的展开式．二、探索研究二项式定理的内容问题：n b a )(+的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试．【学生分组探究】学生可能的探究方法1：由b C a C b a b a 11011)(+=+=+22212202222C C C 2)(b ab a b ab a b a ++=++=+33322321330332233C C C C 33)(b ab b a a b ab b a a b a +++=+++=+44433422243144044322344464)(b C ab C b a C b a C a C b ab b a b a a b a ++++=++++=+ ……学生可能通过具体的例子来展开说明，如：3223333)(b ab b a a b a +++=+或4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 学生归纳过程可能如下：以4)(b a +为例的展开式的分析过程： 4322344464))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：432234,,,,b ab b a b a a ．【学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a ，b 的指数之间的关系（2）项的个数有1+n 项】 在上面4个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，所以4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况下有14C 种，所以b a 3的系数是14C ；恰有2个取b 的情况下有24C 种，所以22b a 的系数是24C ；恰有3个取b 的情况下有34C 种，所以3ab 的系数是34C ；4个都取b 的情况下有44C 种，所以4b 的系数是44C ；因此44433422243144044C C C C C )(b ab b a b a a b a ++++=+．【归纳、猜想?)(=+n b a 】)N (C C C C C )(*222110∈++++++=+---n b b a b a b a a b a n nn r r n r n n n n n n n n教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a ，b 指数的含义如b a a 34,来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程，将学生的思维过程展示．学生可能的探究方法2： )())()(()(b a b a b a b a b a n ++++=+ ，共n 个)(b a +，依据多项式乘法，直接写出各项．【学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述】问题：希望学生得到的规律（1）项数：1+n 项；（2）指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减至0，同时，字母b 的指数由0递增至n ；（3）二项式系数是nn r n n n n C C C C C ,,,,,210（4）通项：r r n r n r b a C T -+=1 【板书（1），（2）】【规律（3）得到后，板书n r r n n n n b b a b a a b a +++++-- 1)(】【规律（4）得到后，补全二项式定理板书】教师引导中，可能用到的引导问题：（1）将nb a )(+展开，有多少项？（2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？（3）字母a ，b 的指数的含义是什么？是怎样得到的？（4）如何确定r r n b a -的系数？教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数：1+n 项；（2）指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减至0，同时，字母b 的指数由0递增至n ；（3）二项式系数：下标为n ，上标由0递增至n ；（4）通项：r r n r n r b a C T -+=1指的是第r+1项，该项的二项式系数是r n C （5）公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明．三、二项式定理的应用1．解决本节课开始提出的问题．解：1010)1.01(10%)101(10+=+)1.0C 1.0C 1(102210110 +⨯+⨯+=5.24≈ 由此可见，按年利率10％每年复利一次计算的要比年利率12％单利计算更有利，10年后多得利息2.5万元．备选例题2．展开4)21(x +解：404431342224131404044)2(1C )2(1C )2(1C )2(1C )2(1)21(x x x x x C x ++++=+ 43216322481x x x x ++++=思考1．第三项的系数是多少？思考2．第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？【板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念．】思考3．若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？四、归纳小结1．学生的学习体会与感悟；2．教师强调：（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．五、作业P121 习题10.4 2，4，5。