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01相似三角形题型之一比例与比例线段比例与比例线段教学目标：1.了解比例中项的概念。
2.会求已知线段的比例中项。
3.通过实例了解黄金分割。
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。
教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。
1．知识点与方法概述A：比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.B：比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.C：黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EFF：三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点求证：DE//BC，DE?G：梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。
本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。
一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。
设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。
相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。
2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。
3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。
三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。
比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。
设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。
四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。
解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。
2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。
线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。
本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。
1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。
设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。
当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。
2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。
若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。
相似三角形的边长比例与角度比例成正比。
3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。
比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。
4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。
常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。
这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。
5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。
例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。
b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。
c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。
例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。
总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。
通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。
线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。
本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。
设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。
根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。
换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。
2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。
设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。
二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的定义之一。
2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。
设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。
4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。
设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。
《4.1比例线段》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我要和大家说说浙教版（2012）九年级上册第4章相似三角形中的4.1比例线段这一课。
下面我就从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学过程以及板书设计这几个方面来详细说说。
一、说教材1. 教材的地位和作用比例线段这一内容在整个相似三角形的章节中那可是相当重要的基础部分。
就好比盖房子，比例线段就是那稳固的地基。
相似三角形在生活中的应用可不少，像是工程绘图、测量物体高度啥的，而要学好相似三角形，比例线段这关必须得先过。
它能让学生对线段之间的数量关系有更深刻的认识，为后续学习相似三角形的判定和性质等知识做好铺垫。
2. 教材内容分析这部分内容主要是讲比例线段的概念、比例的基本性质等。
概念方面，它通过一些实际的例子，比如不同长度的线段之间的比例关系，让学生直观地感受比例线段是怎么回事。
而比例的基本性质，那可就像一把万能钥匙，能帮助学生在解决很多关于比例线段的问题时打开思路。
教材里的例题和习题也是由浅入深，循序渐进地引导学生掌握这些知识。
我曾经有一次帮朋友做一个手工小制作，是一个缩小版的房屋模型。
在制作过程中，我就发现，要想让模型各个部分看起来和真房子相似，就得精确地计算每个部分的长度比例。
这就和咱们要学的比例线段一个道理，不同的线段就像房屋模型的各个部件，只有比例合适了，整体才和谐美观。
这也让我深刻地认识到比例线段在实际生活中的重要性，学生学了这个知识，也能在生活中找到类似的例子，更好地理解和应用。
二、说学情1. 知识基础九年级的学生已经学过了一些代数知识，像一元一次方程、二元一次方程组等，对于数与数之间的运算关系有了一定的基础。
而且在之前的几何学习中，也对线段的长度、图形的形状和大小等概念有了初步的认识。
但是，比例线段这个概念相对来说比较抽象，对于他们来说，要从数的比例关系过渡到线段的比例关系，还需要一个适应的过程。
2. 学习能力和特点这个阶段的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和自主学习能力。
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
线段的比例分点与相似三角形线段的比例分点与相似三角形是数学中重要的概念和定理。
在几何学中，线段的比例分点是指将线段按照一定比例分为两段的点，而相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
本文将详细介绍线段的比例分点和相似三角形的相关内容。
一、线段的比例分点线段的比例分点是指在一条线段上，将其按照一定的比例分为两段的点。
设有一条线段AB，将其分为两段的点P和Q，当点P将线段AB分为AP和PB两段时，点Q将线段AB分为AQ和QB两段，且满足AP：PB = AQ：QB时，称点P和Q分别为线段AB的比例分点。
线段的比例分点具有以下性质：1. 比例分点唯一性：线段AB的比例分点是唯一的，即在一条线段上，只有一个点能够将其按照一定的比例分为两段。
2. 分点与线段的长度关系：设线段AB的比例分点为P和Q，线段AP的长度为x，线段PB的长度为y，线段AQ的长度为m，线段QB 的长度为n，则有x：y = m：n。
3. 全长内外分点：当m+n=1时，称P和Q是线段AB的全长内分点；当m+n>1时，称P和Q是线段AB的全长外分点；当m+n<1时，称P和Q是线段AB的全长外分点。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
设有两个三角形ABC和DEF，若它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B =∠E，∠C = ∠F，则称三角形ABC与DEF相似。
相似三角形的性质：1. 对应边的比例关系：相似三角形的对应边之间有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且AB：DE = BC：EF = AC：DF = k，则称k为相似比。
2. 高线的比例关系：相似三角形的高线之间也有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且AD：DG = BE：EH = CF：FI = k，则称k为相似比。
3. 面积的比例关系：相似三角形的面积之间具有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且面积(ABC)：面积(DEF) = k²，则称k 为相似比。
相似三角形（一）-------------------线段的比、比例线段一、知识点：1、线段的比：2、比例线段：等价形式3、比例尺：4、合比定理：5、等比定理：6、黄金分割点：黄金比例：7、方法：二、精选例题例1：(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x+y+z=6，求x 、y 、z.(2)已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.(3)已知a 、b 、c 是非零实数，且 EMBED Equation.3，求k 的值.(4)若a 、b 、c 是非零实数，并满足 EMBED Equation.3 ，且a b ca c cb b a x ))()((+++=，求x 的值.针对练习：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .例2、已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.例3、（1）已知线段AB ＝8，C 为黄金分割点，求AC ：BC（2）已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？课堂练习9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′， EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3 ＝ EMBED 낣볐 鍤栺塺漘ܫມ△塂猍⫬⫬ﾕ끗⫬⫬㔱駞⫬⫬ ⫬छ촘몔Ѝ歭愾蒖鱐秡⫬峢ﵬ쳸㣯朁荤オ 㤻祿 喇⫬셩 葁乁 ⫬ 顇㛨 ⫬捀⫬䘣檆骯誵乷仝 程뿶幹詀쐊幷⫬ 뇊㨇㱣鼚쵝敫隑⫬㉨폰ﮐ鏁巠 뷁鳨⫬쑦छ랭ᾨ 灼 꼤쁐蠆 㳸 鑾㑾옭韹얩魊㮟 磃텮䝅 ఠ 舼鈌漲⫬稤⫬䝖랦簏뺷⫬⫬⫬笏㐀豈跲诐 栉⫬劫⫬⫬䗼 訵졍⫬뼫欮⫬包鄓닳⫬屑⫬ 瘱ӝ ⫬壃㯑๊譱뗋㾞⫬ ᾂ㤙傔 噇⫬ƿ⫬㫹넊许콽垊휿⫬䨛㦭 Ḷ剉 프⫬⫬Ä3꼀℁픚㘕䏅 沔⫬ʉ⤡⫬Ả篓矀嵪쬥⫬๊䘸⫬꽕뙄芓⫬袿싪꽖趙屏单綏냑捲⫬憝翕妸솔둋鏭깮⫬⫬㛒 鸖ž씴ཿ⫬燫䯶挮猙怵⫬ ⫬瞹 樷 拢嚾绎嫥墫 薪踭嗍餚닱酨닚邇⫬⫬⫬燠똕⫬⫬툉삮誼쬗‹㦝豜嶇薰㸿⫬㟇 ⫬盿⫬狉⫬幝蚖瞅쩮僾௺ұ௺⫬逘۾횪먫旿뢡⫬捓⫬⫬荶훦ῐ⫬ ⫬⫬ﾾ뾞ǿ쪿뿯౨3ĀÀĀझ x 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km.17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______.18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则db c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 20．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 21、若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 22．已知a b a 3)(7=-，则=ba 23．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 24．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .27．若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .28、若322=-y y x , 则_____=y x . 29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .30．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .练习：1、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 2、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．3、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a :: 4.已知0≠-=-=-za c y cb x b a ，求x+y+z 的值.5、已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.。
教学过程
一、课堂导入
1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。
2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
你知道0.618这个比值的来历吗？
二、复习预习
1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？
2、比与比例有什么区别？
3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？
答案：1、2：（—3）=—2
3；—4：6=—4
6=—
2
3；
2
—3=
—4
6，2，—3，—4，6四个数
成比例。
注意四个数字的书写顺序。
2、比是一个值；比例是一个等式。
3、a:b=c:d 即a
b=
c
d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。
三、知识讲解
考点 1
比例线段
一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c
d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝
是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。
a c a k
b
c k
d b d b d
++=⇒=考点2
比例的性质
1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。
bc ad d
c
b a =⇔= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。
(k=1、2、3…)
3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。
若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则
b
a
n f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++。
4、比例中项：若
c a b c a b c
b
b a ,,2是则即⋅==的比例中项。
考点3
在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC
AB AC =
，那么称线段AB
被点C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金分割比。
其中
618.01:215:≈-=
AC AB 即618.0≈AB AC
B
C
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm。
问：这四条线段是否成比例？为什么?
【答案】这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12 ∴a c ＝d
b ，即线段a 、
c 、
d 、b 是成比例线段。
【解析】直接利用比例线段的概念解答。
【例题2】
【题干】已知d
c c b a a
d c b a +=+=:,求证
【答案】证明:∵
d
c b a = ∴
c
d a b = ∴c d c a b a +=
+ ∴d
c c b a a +=
+ 【解析】利用比例的合比性质证明。
【例题3】
【题干】根据下列条件，求a:b的值。
（1）2a＝3b；（2）a
5=b 4。
【答案】解：（1）23=b a ；（2）4
5=b a 。
【解析】比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”。
【例题4】
【题干】已知a
b=c
d，判断下列比例式是否成立，并说明理由。
（1）a＋b
b=
c＋d
d；（2）
a
b=
a＋c
b＋d。
【答案】解：（1）成立，理由如下：
d c b a = 11+=+∴d c b a 即d
d
d c b b b a +=+
d
d
c b b a +=+∴
（2）成立，理由如下：
设k d c
b a ==，则dk
c bk a ==, k
d b d b k d b ck bk d b c a =++=++=++∴
)( d
b c
a b a ++=∴ 【解析】（1）比较条件和结论的形式得到解题思路，利用等式的基本性质；
（2）采用设比值较为简单，其实质就是等比性质。
【例题5】
【题干】如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，
延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，请说明点H就是AB的
黄金分割点。
【答案】证明：设AB=2a ，那么在a a a AE AB BE BAE Rt 5)2(,2
222=+=+=∆中
a AH AB BH a AE BE AF AH a BE EF )53(,)15(,5-=-=-=-==== ，
,2152)15(-=-=∴
a a AB AH ,2
1
5)15()53(-=--=a a AH BH 因此
,AH
BH
AB AH =点H 是AB 的黄金分割点。
【解析】利用黄金分割点的定义证明。
五、课堂运用【基础】
1、（1）已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝4
5cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成
比例线段。
（2）已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？
【答案】解：（1）a 、b 、c 、d 不是成比例线段，理由如下： ∵ b ＝2cm=20mm, c ＝4
5 cm=8mm
∴3
2128,232030====d c b a ∴d c b a ≠
∴a 、b 、c 、d 不是成比例线段，但是a 、b 、d 、c 成比例线段。
（2）∵a 、b 、c 、d 是比例线段 ∴4
3
86==b a
∴4386==b a ∴4
324==d b a ∴cm d 32= 即线段d 的长度是32cm 。
【解析】利用成比例线段的概念解答。
2、若2x-3y x+y =12 ，求y x 。
【答案】 解：∵2x-3y x+y =1
2
∴ x+y=2(2x-3y)
∴x+y=4x-6y ∴3x=7y ∴7
3
x y
【解析】根据比例的基本性质，利用方程思想解答。
【巩固】
1、若x2-3xy+2y2=0，求y
x= 。
【答案】
2
1或1 【解析】：∵x 2
-3xy+2y 2
=0 ∴（x-y ）（x-2y ）=0 ∴x=y 或x=2y ∴2
1
x y 或1。
根据比例
的基本性质，利用方程思想解答。
2、如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？
【答案】解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s ，则
3519000000s =
359000000s ∴=⨯=315000000(mm)
即s ＝315(km)
量得图中28α∠=︒,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处。
答：基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处。
【解析】利用比例尺的概念及比例线段的定义解答，要注意设实际距离为s ，求角度时要注意方位。
()a b b c c a
k a b c c a b
+++===、、都是实数 1、
，则k=（ ）
A 、2
B 、-1
C 、2或-1
D 、无法确定
【解析】当a+b+c=0时，a+b=-c ，b+c=-a,c+a=-b ，故1-=+=+=+b
c
a a c
b
c b a ；当 a+b+c ≠0时，利用等比性质
2)
(2=++++=+=+=+c
b a
c b a b c a a c b c b a ，所以k=-1或2。
2、（1）x:y:z＝2:3:4，求
x－y＋z
2x＋3y－z
的值。
（2）已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。
【答案】解：（1）设x=2k,y=3k,z=4k ，则
x －y ＋z 2x ＋3y －z
=
3
1
9343322432==-⨯+⨯+-k k k k k k k k ；
（2）设a=3k,b=4k,c=5k ，则2a ＋3b －4c ＝2×3k+3×4k-4×5k=-2k=-1,所以k 2
1=
故2a －3b ＋4c=2×3k-3×4k+4×5k=14k=7。
【解析】利用设比的方法进行解答。
课程小结
1、理解并掌握比例线段的概念以及比例的性质；
2、比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。
3、比例线段在实际问题中的应用，体会数学在生活中广泛的应用价值。
