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一、选择题1．如图，A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若A B C '''与ABC 的周长比是2:3，则它们的面积比为（ ）A ．2:3B ．4:5C ．2:3D ．4:92．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，下列条件中不．能判定ABC 是直角三角形的是（ ）A ．B DAC ∠=∠ B ．90B DAC ∠+∠=︒ C ．2AB BD BC =⋅D ．2AC CD BC =⋅3．如图，小颖身高为160cm ，在阳光下影长240AB cm =，当她走到距离墙角（点D ）120cm 的C 处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE 的长度为（ ）A ．120cmB ．80cmC ．60cmD ．40cm4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线//BD x 轴，若(1,0),(0,2)A D ，则点C 的坐标为（ ）A ．(4,3)B ．(4,4)C ．(3,4)D ．(2.5,4)5．如图，4AB=，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，12BE DB=，作EF DE⊥并截取EF DE=，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE x=，BC y=，则y关于x的函数解析式是（）A．124xyx=--B．21xyx=--C．31xyx=--D．84xyx=--6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足512MG GNMN MG-==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（）A．55-B．355-C．2085-D．1045-7．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（540）cm B．（540）cmC．（120﹣5cm D．（5160）cm8．如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①12DEAB=；②14CD CE DEAC BC AB++=++；③CD EFCA FA=；④13FDECDESS=△△．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt ABC △的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形CDEF 的边长为（ ）A ．2517B ．6017C ．10017D ．1441710．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABO 的两个顶点分别为A （﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心画△A B O ''，使它与△ABO 位似，且相似比为12，则点A 的对应点A '的坐标为（ ）A ．（4，2）B ．（1，1）C ．（﹣4，2）D ．（4，﹣2）11．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭12．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．边长为4的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF ⊥AE ，交CD 边于点F ，若CF 的长为34，则CE 的长为 _____ ．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 中点，点F 为BC 边上一点，且CF=1，连接AF ，EG ⊥AF 交BC 于点G ，则BG=________．15．如图，在ABC 中，D 在AC 边上，:1:2AD DC =，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，若3BE =，则EC 的长为____．16．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠ADC ＝120°，以AC 为边作菱形ACC 1D 1，且∠AD 1C 1＝120°；再以AC 1为边作菱形AC 1C 2D 2，且∠AD 2C 2＝120°…；按此规律，菱形AC 2020C 2021D 2021的面积为_____．17．已知点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，△ADE ，△DEC ，△BCD 的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE ，CD=6，则BC 的长为_______．18．如图所示，在ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，已知FC 长是6，则线段OC 的长为______．19．在平面直角坐标系中，ABC 与DEF 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，相似比为1:2；若B 点的坐标为(2,1)，则B 的对应点E 的坐标为________． 20．如图，在ABC 中，AB AC >，将ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中：①DA 平分EDC ∠；②AEF DBF △∽△；③BDF CAD ∠=∠；④EF BD =．所有正确结论的序号是_____．三、解答题21．在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．（1）如图1，若2BC BA =，求CBE ∠的度数； （2）如图2，当5AB =，且10AF FD =时，求BC 的长；22．已知ABC ∆中，90C =∠．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．23．如图，已知O 为坐标原点，B ，C 两点坐标为(3,1)-，(2,1)．（1）在y 轴的左侧以O 点为位似中心将OBC 放大到原来的2倍，画出放大后111O B C ；（2）写出11B C ，的坐标；（3）在（1）条件下，若OBC 内部有一点M 的坐标为(,)x y ，请直接写出M 的对应点1M 的坐标．24．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DEAB的值可能为（ ）A．2 B．12C．2或12（2）已知：如图1，ABC中，AD是BAC∠的角平分线，2,AB AD ADE B=∠=∠．求证：ABD△与ADE互为母子三角形．（3）如图2，ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作//EG BC，交射线DA于点G，连结BE，射线BE与射线DA交于点F，若AGE与ADC互为母子三角形．求AGGF的值．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：△AME~△ABC；（2）求证：111 ME AD BC=+；（3）若AD=5，BC=7，求MN的长．26．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点、顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．求面积最大的三角形的斜边长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用位似是相似的特殊形式，利用相似的性质可知对应边A′B′与AB之比等于△A′B′C′的周长与△ABC 的周长之比为2：3，再根据面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵△A'B'C'是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，△A'B'C'的周长与△ABC 的周长比是2：3， ∴A B C '''∽ABC ，23A B AB ''=， ∴222439A B C ABC A S B S B A '''⎛''⎛⎫== ⎪⎝⎫= ⎪⎝⎭⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】 解：A.能， ∵AD ⊥BC ， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B=∠DAC ，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°； ∴△ABC 是直角三角形； B.不能， ∵AD ⊥BC ， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠DAC ， ∴△ABD ≌△ACD （ASA ）， ∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形， ∴无法证明△ABC 是直角三角形； C.能，∵2AB BD BC =⋅ ∴AB BCBD AB= ∵∠B=∠B ∴△CBA ∽△ABD ， ∴∠ADB=∠BAC ，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形；D.能，∵2AC CD BC=⋅，∴AC BC=CD AC∵∠C=∠C∴△CBA∽△CAD，∴∠ADC=∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形．故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．3．B解析：B【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可．【详解】解：如图，过E作EF⊥CG于F，设投射在墙上的影子DE长度为x，由题意得：△GFE∽△HAB，∴AB：FE＝AH：（GC−x），则240：120＝160：（160−x），解得：x＝80．答：投射在墙上的影子DE长度为80cm．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确地构造直角三角形．4．B解析：B【分析】过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，证明△ADO ∽△BAF ，确定点B 的坐标，利用中点坐标公式确定点E 的坐标，二次运用中点中点坐标公式即可确定点C 的坐标． 【详解】如图，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAO+∠BAF=90°， ∵∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠ADO=∠BAF ， ∴△ADO ∽△BAF ， ∴OA ：BF=OD ：FA ，∵//BD x 轴，若(1,0),(0,2)A D ， ∴OA=1，OD=2,BF=2， ∴1：2=2：FA ， ∴FA=4， ∴点B （5,2）， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴点E 是BD 的，AC 的中点， ∴点E （52,2）， 设点C 的坐标为（m ，n ），∴150,2,222m n ++== ∴m=4，n=4,∴点C 的坐标为（4，4）， 故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，中点坐标公式，平行x 轴直线上点的坐标特点，构造辅助线证明三角形的相似，灵活运用中点坐标公式是解题的关键．5．A解析：A【分析】作FG ⊥BC 于G ，依据已知条件求得△DBE ≌△EGF ，得出FG =BE =x ，EG =DB =2x ，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG ⊥BC 于G ，∵∠DEB +∠FEC =90°，∠DEB +∠BDE =90°；∴∠BDE =∠FEG ，在△DBE 与△EGF 中，B FGE BDE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EGF ，∴EG =DB ，FG =BE =x ，∴EG =DB =2BE =2x ，∴GC =y -3x ，∵FG ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴FG ∥AB ，CG ：BC =FG ：AB ， 即34x y x y-=， ∴124x y x =--， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线分线段成比例，辅助线的做法是解题的关键．6．A解析：A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2， 在Rt ABF ，AF=2222325AB BF -=-=，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴512CD BC -=即5142CD -=， 解得CD=252-，∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()125252⨯-⨯=55-， 故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC ＝BD ＝540，进而得出答案．【详解】解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴AC ＝BD ＝8051-=540， ∴CD ＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝5160，故选：D ．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较51-叫做黄金比． 8．C解析：C【分析】根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：在△ABC 中，中线AE 、BD 相交于点F ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE AB ＝12，故①正确； ∴△CDE ∽△CAB ， ∴12CD DE CA AB ==，12CD CE DE DE AC BC AB AB ++==++，故②错误； ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴12EF DE AF BA ==， ∴CD EF CA FA=，故③正确； ∵CD ＝DA ，12EF AF =， ∴S △CDE ＝S △ADE ，13DEF ADE S S ∆∆=， ∴FDE CDE S S ∆∆＝13，故④正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．B解析：B【分析】根据正方形的性质得：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ACB ，列比例式可得结论．【详解】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=ED ，DE ∥CF ，设ED=x ，则CD=x ，AD=5-x ，∵DE ∥CF ，∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AD BC AC=，∴5125x x -=， ∴x=6017， ∴正方形CDEF 的边长为6017． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．【详解】解：∵△ABO 与A B O ''△的相似比为12，且A '在第四象限， ∴点A 的对应点A '的坐标为118,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(4，-2)， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．11．C解析：C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值12叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则113122AP -=-=， 2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点睛】 本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．1或3【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出结合可得出由可证出再利用相似三角形的性质可求出的长【详解】解：四边形为正方形即或故答案为：1或3【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质正方形的 解析：1或3．【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出90BAE AEB ∠+∠=︒，结合90AEB CEF ∠+∠=︒可得出BAE CEF ∠=∠，由B C ∠=∠，BAE CEF ∠=∠可证出ABE ECF ∆∆∽，再利用相似三角形的性质可求出CE 的长．【详解】 解：四边形ABCD 为正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒．EF AE ⊥，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，ABE ECF ∽， ∴CE CF BA BE ，即4344CE CE， 1CE ∴=或3CE =．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出ABE ECF ∆∆∽是解题的关键．14．【分析】证明△ECG △FBA 利用相似三角形的性质求解即可【详解】设EG 交AF 于点Q ∵EG ⊥AF ∴∠FQG=90∴∠QFG+∠QGF=90在正方形ABCD 中∠B=∠C=90∴∠QAB+∠AFB=90∴ 解析：43【分析】证明△ECG ~△FBA ，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】设EG 交AF 于点Q ，∵EG ⊥AF ，∴∠FQG=90︒，∴∠QFG+∠QGF =90︒，在正方形ABCD 中，∠B=∠C =90︒，∴∠QAB+∠AFB =90︒，∴∠QGF =∠FAB ，在△ECG 和△FBA 中，∠B=∠C =90︒，∠QGF =∠FAB ，∴△ECG ~△FBA(两组对应角相等的三角形是相似三角形)，∴EC CG BF AB =， ∴EC CF FG BF AB+=， ∵E 是CD 的中点，∴122CE CD ==， ∵CF=1，∴BF=3， ∴2134FG +=， 解得：FG=53， ∴43BG BF FG =-=， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．15．9【分析】过D 点作DF ∥CE 交AE 于F 如图先由DF ∥BE 根据平行线分线段成比例得到DF=BE=3再由DF ∥CE 得到然后利用比例的性质求CE 的长【详解】解：过D 点作DF ∥CE 交AE 于F 如图∵DF ∥BE解析：9【分析】过D 点作DF ∥CE 交AE 于F ，如图，先由DF ∥BE ，根据平行线分线段成比例得到DF=BE=3，再由DF ∥CE 得到DF AD CE AC=，然后利用比例的性质求CE 的长． 【详解】解：过D 点作DF ∥CE 交AE 于F ，如图，∵DF ∥BE ，∴DF DO BE BO=， ∵O 是BD 的中点，∴OB=OD ，∴DF=BE=3，∵DF ∥CE ，∴DF AD CE AC=，∵AD ：DC=1：2，∴AD ：AC=1：3， ∴13DF CE =， ∴CE=3DF=3×3=9．故答案为9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．16．【分析】根据题意可以求得菱形ABCD 的面积再根据题意可以知所有的菱形都相似即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E 如右图所示由已知可得∠ABC ＝解析：40412【分析】根据题意，可以求得菱形ABCD 的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC 2020C 2021D 2021的面积．【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，如右图所示，由已知可得，∠ABC ＝120°，BC ＝1，∠CAB ＝30°，∴∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴CE ∴AC∴菱形ABCD 的面积是1×2＝2，∵AC AB ＝1，图中的菱形都是相似的，∴菱形AC2020C 2021D 2021的面积为：2×[（1）2]2020＝2×4040＝40412，【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．17．3【分析】根据△ADE△DEC△BCD的面积之比为4：2：3可得出AE：EC=2：1AD：BD=2：1则可证明DE∥BC利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE根解析：3【分析】根据△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，可得出AE：EC=2：1，AD：BD=2：1，则可证明DE∥BC，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE，根据相似三角形的判定可推出BC CDCD DE=，计算后即可得出结论．【详解】解：如图，∵S△ADE：S△DEC=4：2，∴AE：EC=2：1，∵S△ADE：S△DEC：S△BCD =4：2：3，∴S△ACD：S△BCD=6：3，∴AD：BD=2：1，∵AE ADEC BD=，∴DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ACD=∠ADE ，∴∠ACD=∠B ，∵∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴BC AB AC CD AC AD==， 同理可证：△ACD ∽△ADE ， ∴CD AC AD DE AD AE ==， ∴BC CD CD DE=， ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，， ∴DE AD BC AB=， ∵AD ：BD=2：1， ∴23AD AB =， ∴23DE BC =， ∴23DE BC =， ∴223BC BC CD ⋅=， ∵，∴3BC =．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO 根据相似比可求得CO 的长即可【详解】解：∵点EF 分别是△ABC 中ACAB 边的中点∴EF 是△ABC 的中位线∴EF=BCEF ∥BC ∴△EFO解析：4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO ∽△BCO ，根据相似比可求得CO 的长即可．【详解】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点．∴EF是△ABC的中位线．∴EF=1BC，EF∥BC．2∴△EFO∽△BCO，且相似比为1：2．∴CO=2FO．∵FC=6．∴OC=2FO=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．19．或【分析】根据位似图形的有两个在原点同侧或异侧分类讨论根据坐标变化规律求解即可【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形分两种情况当与在原点同侧时E点坐标为：当与在原点异侧时E点坐标为：故答案为--解析：(4,2)或(4,2)【分析】根据位似图形的有两个，在原点同侧或异侧分类讨论，根据坐标变化规律求解即可．【详解】解：ABC与DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，分两种情况，当ABC与DEF在原点同侧时，E点坐标为：(4,2)，--，当ABC与DEF在原点异侧时，E点坐标为：(4,2)--．故答案为：(4,2)或(4,2)【点睛】本题考查了平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律，解题关键是注意分类讨论，熟记位似坐标变化规律．20．①②③【分析】由旋转性质得AD=AC∠ADE=∠C利用AD=AC得到∠ADC=∠C即可推出∠ADC=∠ADE判断①正确；根据∠E=∠B∠AFE=∠BFD即可证明△AEF∽△DBF判断②正确；利用三角解析：①②③【分析】由旋转性质得AD=AC，∠ADE=∠C，利用AD=AC得到∠ADC=∠C，即可推出∠ADC=∠ADE，判断①正确；根据∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，即可证明△AEF∽△DBF，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD不一定等于∠CAD，不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，由此判断④错误．【详解】由旋转得：AD=AC，∠ADE=∠C，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∴∠ADC=∠ADE ，即DA 平分∠EDC ，故①正确；∵∠E=∠B ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△DBF ，故②正确；∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD ，∠ADE=∠C ，∴BDF CAD ∠=∠，故③正确；∵∠FAD 不一定等于∠CAD ，AD=AD ，∠ADC=∠ADE ，∴不能证明△ADF 全等于△ADC ，故CD 不一定等于DF ，∴DE-DF 不一定等于BC-CD ，即无法证明EF=BD ，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，三角形的外角性质，是一道三角形的综合题．三、解答题21．（1）15°；（2）【分析】（1）由翻折易得BC BF =，FBE EBC ∠=∠，由2BF AB =及直角三角形的性质易得30AFB ∠=︒，再由矩形的对边平行即可得结论；（2）根据翻折易得FAB EDF ∆∆∽，从而有对应边成比例，由此可得DE 的长，从而可得EC 的长，即EF 的长，由勾股定理得DF ，最后可得AD 的长．【详解】（1）将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处，BC BF ∴=，FBE EBC ∠=∠，2BC AB =，2BF AB ∴=，四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90º，//AD BC ，30AFB ∴∠=︒，30AFB CBF ∴∠=∠=︒，1152CBE FBC ∴∠=∠=︒； （2）将BCE ∆沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， 90BFE C ∴∠=∠=︒，CE EF =， 又矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，90AFB DFE ∴∠+∠=︒，90DEF DFE ∠+∠=︒，AFB DEF ∴∠=∠，FAB EDF ∴∆∆∽，∴AF AB DE DF =， AF DF AB DE ∴=，10AF DF =，5AB =， 2DE ∴=，523CE DC DE ∴=-=-=，3EF ∴=，2222325DF EF DE ∴=-=-=，255AF ∴==， 25535BC AD AF DF ∴==+=+=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的翻折，关键是图形的翻折这个条件，由它可得出对应线段相等、对应角相等，充分用好用足它们．22．图见解析；理由见解析【分析】作AB 的垂线即可；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判定．【详解】解：如图，作AB 的垂线，垂足为P ，直线CP 就是所求直线；证明：∵CP ⊥AB ，∴∠CPA=∠BPC=90°，∵90C =∠，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACP=90°，∴∠ACP =∠B ，∴△CPA ∽△BPC ．【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的判定，解题关键是熟悉尺规作图的方法，根据相似确定如何作图．23．（1）见解析；（2）1(6,2)B -，1(4,2)C --；（3）1(2,2)M x y --．【分析】（1）先确定B ，C 的位置，再确定它们各自关于原点的对称点，最后把对称点的坐标各自扩大2倍即可；（2）点B 关于原点的对称点为（-3,1），扩大2倍，得到1B ；点C 关于原点的对称点为（-2,-1），扩大2倍，得到1C ；（3）利用原点对称原理计算，加上倍数即可．【详解】解：（1）如图，△111O B C 即为所求作．（2）∵点B (3,1)-，∴点B 关于原点的对称点为（-3,1），∴扩大2倍，得到1(6,2)B -；∵点C (2,1)，∴点C 关于原点的对称点为（-2,-1），∴扩大2倍，得到1(4,2)C --．（3）∵点M (,)x y ，∴点M 关于原点的对称点为(,)x y --，∴扩大2倍，得到1(2,2)M x y --．【点睛】本题考查了位似的作图与计算问题，熟练将位似与原点的对称密切联系起来是解题的关键．24．（1）C ；（2）见解析；（3）13AG GF =或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；（2）根据两角对应相等两三角形相似得出ABD ADE ∽△△，再根据2AB AD =从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当,G E 分别在线段,AD AC 上时和当,G E 分别在射线,DA CA 上时两种情况加以讨论；【详解】（1）∵DEF 与ABC 互为母子三角形， ∴1=2DE AB 或2 故选：C （2）AD 是BAC ∠的角平分线，BAD CAD ∴∠=∠，ADE B ∠=∠，ABD ADE ∴∽．又2AB AD =，ABD ∴与ADE 互为母子三角形．（3）如图，当,G E 分别在线段,AD AC 上时，AGE 与ADC 互为母子三角形，2CD AD GE AG∴==， AG DG ∴=， AD 是中线，BD CD ∴=，又//GE BC ，GEF DBF ∴∽△△．2DF DB CD GF GE GE∴===， 3DG GF ∴=，3AG GF∴=． 如图，当,G E 分别在射线,DA CA 上时，AGE 与ADC 互为母子三角形，2CD AD GE AG∴==， 1123AG AD DG ∴==，AD 是中线，BD CD ∴=，又//GE BC ，GEF DBF ∴∽△△．2DF DB CD GF GE GE ∴===， DG GF ∴=， 13AG GF ∴=． 综上所述，13AG GF =或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．25．（1）见详解；（2）见详解；（3）356 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明,ABC DBC △AME ∽△△DEN ∽△，CEN AME ABC △∽CAD,△∽△，根据三角形相似的性质即可解答．（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN 的长【详解】（1）//MN BCAME ABC ∴△∽△，（2）//AD MN ，//AD BCDE AE BD AC ∴= //MN BC,ABC DBC ∴△AME ∽△△DEN ∽△,AE ME DE NE AC BC BD CB ∴== ME NE BC BC∴= ME NE ∴=∴E 是MN 的中点，ME=NE=12MN //BC//AD MNCEN AME ABC ∴△∽CAD,△∽△,NE CE ME AE AD AC BC AC ∴== 1NE ME CE AE AC AD BC AC AC AC ∴+=+== 1NE ME AD BC∴+= 111ME AD BC∴=+ （3）结合（2）的结论，5,7AD BC == 11157MN ∴=+ 3512ME ∴=ME NE =7035126MN ME NE ∴=+== 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题．26．【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝5，AC：BC＝1∶2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为2，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE10，EF＝10，DF＝2的三角形，∵102105210，5∴△ACB∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF1010÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为2．【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．。
一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB D ∠=︒,是AB 边的中点，AF CD ⊥于点E ，交BC 边于点F ，连接DF ，则图中与ACE △相似的三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB,AC 上的点，且DE// BC ，若AE ： EC=1： 4，那么:ADE BEC S S △△的值为（ ）A ．1∶16B ．1∶18C ．1∶20D ．1∶24 3．如图，ABC 中，AD BC ⊥于点D ，下列条件中不．能判定ABC 是直角三角形的是（ ）A ．B DAC ∠=∠B ．90B DAC ∠+∠=︒ C ．2AB BD BC =⋅D ．2AC CD BC =⋅ 4．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线//BD x 轴，若(1,0),(0,2)A D ，则点C 的坐标为（ ）A ．(4,3)B ．(4,4)C ．(3,4)D ．(2.5,4) 6．如图，4AB =，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，12BE DB =，作EF DE ⊥并截取EF DE =，连结AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE x =，BC y =，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．124x y x =--B ．21x y x =--C ．31x y x =--D ．84x y x =-- 7．点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB <BC ．若AC=4，则BC 的长为（ ） A ．252+ B ．252- C ．51- D ．51- 8．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，点E 在CB 的延长线上，13BE AB =，过点E 作ED AC ⊥于D ．若AD ED =，6AC =，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．4 9．若275x y z ==，则2x y z x z +-+的值是（ ） A ．67 B ．13 C ．49 D ．410．如图，点D 、E 、F 分别是ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，若//DE BC ，//EF AB ，则下列比例式一定成立的是（ ）A ．EF FC AD BF =B ．AD DE DB BC = C ．BF EF BC AD = D ．EF DE AB BC = 11．若ad=bc ，则下列不成立的是( )A ．a c b d =B ．a c a b d b -=-C ．a b c d b d ++=D ． 1 111a c b d ++=++ 12．如图，直线123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若:1:2AB BC =，6DF =，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．如图，点P 是ABC 的重心，过P 作AB 的平行线DE ，分别交AC 于点D 、交BC 于点E ；作//DF BC ，交AB 于点F ，若ABC 的面积为36，则四边形BEDF 的面积为________．14．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3BC =．点D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作等腰直角三角形CDE ，使90CED ∠=︒，连接BE ． （1）若点E 恰好落在AB 上，则AD 的值为______；（2）线段BE 的最小值为______．15．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．16．如图，已知在Rt ABC 中，C 90∠=︒，AC 3=，BC 4=，分别将Rt ABC 的三边向外平移2个单位并适当延长，得到111A B C △，则111A B C △的面积为______．17．如图，正方形ABCD 和正方形EFOG 是位似图形，其中点A 与点E 对应，点A 的坐标为()4,2-，点E 的坐标为()1,1-，则这两个正方形位似中心的坐标为______．18．在Rt △ABC 中，AB =6，AC =5，点D 在边AB 上，且AD =2，点E 在边AC 上，当△ADE ∽△ABC 时，AE =____．19．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一点O ，从O 点不经过池塘可以直接到达点A 和点B ，连接AO 并延长到点C ，连接BO 并延长到点D ，使3AO BO CO DO==，测得36CD m =，则池塘两端AB 的距离为________m ．20．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．三、解答题21．我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深儿何？”它的大意是：如图，已知四边形BCDE 是矩形，5CD =尺，5AB =尺，0.4BF =尺，求井深BC 为多少尺？22．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的点，点F 在边CD 上，∠BEF ＝90°且CF ＝3FD ．（1）求证：△ABE ∽△DEF ；（2）若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求 CG 的长．23．如图，点C ，B ，E 在同一条直线上，AC ⊥BC ，BD ⊥DE ，BC ＝ED ＝6，BE ＝10，∠BAC ＝∠DBE ．（1）求证：△ABC ≌△BED ；（2）求△ABD 的面积．24．如图，在△ABC 中，∠C =∠ADE ，AB =3，AD =2，CE =5，求证：（1）△ADE ∽△ACB ；（2）求AE 的长．25．如图1，在等边ABC 中，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EDF=60．（1）求证：BDE CFD △∽△；（2）若点D 移至BC 的中点，如图2，求证：FD 平分EFC ∠．26．已知::2:3:4a b c =，且2316a b c -+=，求232a b c +-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用直角三角形斜边上的高线模型，可判断有2个三角形与ACE △相似，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，传递一组等角，得到第3个三角形.【详解】∵∠EAC=∠CAF ，∠AEC=∠ACF ，∴△ACE ∽△AFC ；∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，∴∠EAC=∠ECF ，∵∠AEC=∠CEF ，∴△ACE ∽△CFE ；∵90ACB D ∠=︒,是AB 边的中点，∴DC=DB ，∴∠ECF=∠EAC=∠B ，∵∠AEC=∠BCA ，∴△ACE ∽△BAC ；共有3个，故选B.【点睛】本题考查了直角三角形的相似，熟练运用三角形相似的判定定理是解题的关键. 2．C解析：C【分析】 由已知条件可求得ABE EBC S S ∆∆，又由平行线分线段成比例可求得ADE BDES S ∆∆，结合S △BDE =S △ABE -S △ADE 可求得答案．【详解】解：∵AE 1EC 4=， ∴14ABE EBC S S ∆∆=， ∴14ABE EBC S S ∆∆=， ∵DE ∥BC ，∴14AD AE DB EC ==， ∴14ADE BDE S S ∆∆=， ∴S △BDE =4S △ADE ，又∵S △BDE =S △ABE -S △ADE ，∴4S △ADE =14S △EBC -S △ADE ， ∴120ADE EBC S S ∆∆=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质及三角形的面积，掌握同高三角形的面积比即为底的比是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.能，∵AD ⊥BC ，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC ，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；∴△ABC 是直角三角形；B.不能，∵AD ⊥BC ，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC ，∴△ABD ≌△ACD （ASA ），∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形，∴无法证明△ABC 是直角三角形；C.能，∵2AB BD BC =⋅ ∴AB BC BD AB= ∵∠B=∠B∴△CBA ∽△ABD ，∴∠ADB=∠BAC ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAC=90°∴△ABC 是直角三角形；D.能，∵2AC CD BC =⋅， ∴AC BC CD AC= ∵∠C=∠C ∴△CBA ∽△CAD ，∴∠ADC=∠BAC=90°∴△ABC 是直角三角形．故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．4．D解析：D【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EF AD DF= ∵E 是BC 的中点，∴EC=1122BC AD = ∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1，∴S △ADF ＝4， ∵12EF DF = ∴DF=2EF∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2，∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．5．B解析：B【分析】过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，证明△ADO ∽△BAF ，确定点B 的坐标，利用中点坐标公式确定点E 的坐标，二次运用中点中点坐标公式即可确定点C 的坐标．【详解】如图，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAO+∠BAF=90°，∵∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠BAF ，∴△ADO ∽△BAF ，∴OA ：BF=OD ：FA ，∵//BD x 轴，若(1,0),(0,2)A D ，∴OA=1，OD=2,BF=2，∴1：2=2：FA ，∴FA=4，∴点B （5,2），∵四边形ABCD 是矩形，∴点E 是BD 的，AC 的中点，∴点E （52,2）， 设点C 的坐标为（m ，n ）， ∴150,2,222m n ++== ∴m=4，n=4, ∴点C 的坐标为（4，4），故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，中点坐标公式，平行x 轴直线上点的坐标特点，构造辅助线证明三角形的相似，灵活运用中点坐标公式是解题的关键． 6．A解析：A【分析】作FG ⊥BC 于G ，依据已知条件求得△DBE ≌△EGF ，得出FG =BE =x ，EG =DB =2x ，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG ⊥BC 于G ，∵∠DEB +∠FEC =90°，∠DEB +∠BDE =90°；∴∠BDE =∠FEG ，在△DBE 与△EGF 中，B FGE BDE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EGF ，∴EG =DB ，FG =BE =x ，∴EG =DB =2BE =2x ，∴GC =y -3x ，∵FG ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴FG ∥AB ，CG ：BC =FG ：AB ， 即34x y x y-=， ∴124x y x =--， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线分线段成比例，辅助线的做法是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=512AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．【详解】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，∴BC=512AC，∵AC=4，∴BC=252．故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．8．B解析：B【分析】证明△ADF≌△EDC，得到DC=DF，设DC=x，再证明△EBF∽△ABC，求出x即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED⊥AC，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A，∵AD=ED，∴△ADF≌△EDC，∴DC=DF，设DC=x，∴DF=x，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ， ∴BE EF AB AC =， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．9．C解析：C 【分析】 根据275x y z k ===，则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ，代入2x y z x z+-+进行计算即可． 【详解】 解：275x y z k ===（k≠0）， 则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ， ∴2x y z x z+-+＝2754495k k k k k +-+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．10．A解析：A 【分析】根据平行可得EC FCAE BF=，EC BDAE DA=，再根据平行四边形的性质得EF=BD即可．【详解】解：∵//EF AB，∴EC FCAE BF=∵//DE BC，∴EC BDAE DA=，∴FC BDBF DA=∵//DE BC，//EF AB，∴四边形BFED是平行四边形，∴EF=BD,∴EF FCAD BF=,故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线列出恰当的比例式，再结合平行四边形性质进行推理．11．D解析：D【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．【详解】A 由a cb d=可以得到ad=bc，故本选项正确，不符合题意；B、由a c ab d b-=-可得：（a-c）b=（b-d）a，即ad=bc，故本选项正确，不符合题意；C、由a b c db d++=可得（a+b）d=（c+d）b，即ad=bc，故本选项正确，不符合题意；D、由1?111a cb d++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c，不能得到ad=bc，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．12．C解析：C【分析】连接AF 交2l 于点G ，根据平行线分线段成比例，得出12AB AG BC GF ==和21FG FE GA ED ==，则23EF DF =，即可求出结果． 【详解】 解：如图，连接AF 交2l 于点G ，∵23//l l ， ∴12AB AG BC GF ==， ∵12l l //， ∴21FG FE GA ED ==， ∵6DF =，∴243EF DF ==． 故选：C ．【点睛】 本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质．二、填空题13．16【分析】延长CP 交AB 于G 由CP ：PG=2：1推出CE ：BC=2：3AD ：AC=1：3由△CED ∽△CBA △AFD ∽△ABC 推出S △CED=×S △ABC=16S △AFD=×S △ABC=4由此即可解析：16【分析】延长CP 交AB 于G ．由CP ：PG =2：1，推出CE ：BC =2：3，AD ：AC =1：3，由△CED ∽△CBA ，△AFD ∽△ABC ，推出S △CED =49×S △ABC =16，S △AFD =19×S △ABC =4，由此即可解决问题．【详解】解：如图，延长CP 交AB 于G ．∵点P 是△ABC 的重心，∴CP ：PG =2：1，∵DE ∥AB ，∴CE ：BE =2：1，AD ：CD =1：2，∴CE ：CB =2：3，AD ：AC =1：3，∵ED ∥AB ，DF ∥BC ，∴△CED ∽△CBA ，△AFD ∽△ABC ，∴S △CED =49×S △ABC =16，S △AFD =19×S △ABC =4， ∴S 平行四边形BEDF =S △ABC -S △CED -S △AFD =36-16-4=16，故答案为：16． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．14．【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质可得AB=6BE=CE=再根据等腰直角三角形的性质得出CE=DE=最后依据AD=AB-BE-ED 得出结果；（2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等 933-324 【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质可得AB=6，BE=32，33，再根据等腰直角三角形的性质得出CE=DE=332，最后依据AD=AB-BE-ED 得出结果； （2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等腰直角三角形BCH ，先证明△CDH ∽△CEB ，得出2DH BE=DH 取最小值时，BE 边为最小值，当DH ⊥AB 时，DH最小，即图中的D H '，根据含30°的直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3，∴AB=6，BE=32，CE=332， ∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CE=DE=332， ∴AD=6-32-332=933- （2）以BC 为直角边向左构造以∠CBH 为直角的等腰直角三角形BCH ，∵△CDE 为等腰直角三角形，∴∠DCE=∠HCB=45°，∠DCH=∠HCB ， ∵2CD CH CE CB== ∴△CDH ∽△CEB ， ∴2DH BE= ∴当DH 取最小值时，BE 边为最小值，当DH ⊥AB 时，DH 最小，即图中的D H '，∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠ABC=60°∵∠CBH=90°∴D BH '∠=30°∵BH=BC=3 ∴32D H '= ∴3242BE '=最小值，故答案为933-，324．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明△CDH ∽△CEB ．15．44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m ）BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP ，根据相似三角形的性质求出AP ，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ， ∴△OBQ ∽△OAP ，∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16．54【分析】作于点D 作于点E 作于点F 分别证明△和△求出和再根据三角形面积公式求解即可【详解】解：作于点D 作于点E 作于点F ∵三边向外平移个单位∴∵∴∠且∠∴△∴又∵∠且∠∴△∴∴∴又∵△∴∴∴【点睛】 解析：54【分析】作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，分别证明△ACB BFG ∆∽和△1GHB ACB ∆∽，求出11A C 和11B C ，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，∵Rt ABC ∆三边向外平移个单位，∴1=22,2,C D CD BE GH BF ====，∵11//AB A B∴∠ABC AGC =∠且∠90ACB BFG =∠=︒∴△ACB BFG ∆∽ ∴103BG = 又∵∠11B A GC ABC =∠=∠，且∠190GHB ACB =∠=︒∴△1GHB ACB ∆∽ ∴1AC GH BC B H= ∴183B H = ∴1111C B CD DE EH HB =+++ 1082433=+++ 12=又∵△111ABC A B C ∆∽ ∴1111AC B C AC BC= ∴119A C = ∴111111112A B C S AC B C ∆=⨯⨯ 11292=⨯⨯ 54=【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，能正确作出辅助线证明三角形是解答此题的关键．17．【分析】连接AE 并延长交x 轴于H 求AE 解析式即可【详解】解：∵点与点对应∴点B 与点F 对应BF 都在x 轴上连接AE 并延长交x 轴于H 则点H 为位似中心∵点A 的坐标为（﹣42）点E 的坐标为（﹣11）设AE 的解解析：()2,0【分析】连接AE 并延长交x 轴于H ，求AE 解析式即可．【详解】解：∵点A 与点E 对应，∴点B 与点F 对应，B 、F 都在x 轴上，连接AE 并延长交x 轴于H ，则点H 为位似中心，∵点A 的坐标为（﹣4，2）点E 的坐标为（﹣1，1），设AE 的解析式为y=kx+b ，把（﹣4，2），（﹣1，1）代入得，421k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得，1323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AE 的解析式为1233y x =-+， 当y=0时，x=2，H 点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心是解题的关键．18．【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【详解】解：∵△ADE ∽△ABC ∴即解得：AE ＝；故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的性质掌握相似三角形的性质是解题的关键 解析：53【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解，即可求得答案．【详解】解： ∵△ADE ∽△ABC ， ∴AD AE AB AC =， 即265AE =， 解得：AE ＝53； 故答案为：53． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的性质是解题的关键．19．108【分析】先证明△AOB ∽△COD 然后根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵∠AOB=∠COD ∴△AOB ∽△COD ∴∵∴AB=36×3=108m 故答案为：108【点睛】本题考查了相似三角形的解析：108【分析】先证明△AOB ∽△COD ，然后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵3AO BO CO DO==，∠AOB=∠COD ， ∴△AOB ∽△COD ，∴3AO BO AB CO DO CD===， ∵36CD m =，∴AB=36×3=108m ．故答案为：108．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． 20．【分析】设正方形网格的边长为1根据勾股定理求出△EFD △ABC 的边长运用三边对应成比例则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC 即可解决问题【详解】解：设正方形网格的边长为1由勾股定理得：D【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC ，即可解决问题．【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝EF ＝同理可求：AC ，BC∵DF ＝2，AB ＝2，∴1EF DE DF BC AB AC === ∴△EDF ∽△BAC ，∴DEF 与ABC，．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题21．井深BC 为57.5尺【分析】方法一：根据已知条件证明∽ABF ACD ，得到=AB BF AC CD，代入计算即可；方法二：根据已知条件证明ABF DEF ∽△△，得到AB BF DE EF =，代入计算即可 【详解】 解：方法一：四边形BCDE 是矩形，//BF CD ∴， ABF ACD ∴∽，AB BF AC CD∴=， 即5562.50.4AB CD AC BF ⋅⨯===． BC AC AB ∴=-62.55=-57.5=（尺）．答：井深BC 为57.5尺．方法二：四边形BCDE 是矩形，//BF CD ∴，ABF DEF ∴∽，AB BF DE EF∴=， 即AB EF DE BF⋅= 5(50.4)57.50.4⨯-==． 57.5BC DE ∴==（尺）． 答：井深BC 为57.5尺．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．22．（1）见解析；（2）CG ＝6．【分析】（1）由正方形的性质得出∠A ＝∠D ＝90°，证出∠ABE ＝∠DEF ，即可得出△ABE ∽△DEF ； （2）求出DF ＝1，CF ＝3，由相似三角形的性质得出AE AB DF DE =，解得DE ＝2，证明△EDF ∽△GCF ，得出DE DF CG CF=，求出CG ＝6，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠ABE +∠AEB ＝90°，∵∠BEF ＝90°，∴∠DEF +∠AEB ＝90°，∴∠ABE ＝∠DEF ，∴△ABE ∽△DEF ；（2）解：∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4，CF ＝3FD ，∴DF ＝1，CF ＝3，∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE AB DF DE =，即441DE DE-=， 解得：DE ＝2，∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△GCF ， ∴DE DF CG CF =，即213CG =， ∴CG ＝6．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．23．（1）见解析，（2）ABD S40= 【分析】（1）由AC ⊥BC ，BD ⊥DE ，可得∠ACB=∠BDE=90°，可证△ACB ≌△BDE （AAS ）； （2）由△ACB ≌△BDE ，可得AB=BE=10,，在Rt △BDE 中，由勾股定理8=，由∠CAB+∠ABC=90°可求∠ABD=180°-∠ABC-∠EBD=90°，可求S △ABD =1AB BD 2⋅即可． 【详解】解：（1）∵AC ⊥BC ，BD ⊥DE ，∴∠ACB=∠BDE=90°，在△ACB 和△BDE 中，ACB=BDE BAC=DBE BC=ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ACB ≌△BDE （AAS ）；（2）∵△ACB ≌△BDE ，∴AB=BE=10,在Rt △BDE 中，由勾股定理8==，又∵∠CAB+∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠ABD=180°-∠ABC-∠EBD=90°，∴S △ABD =11AB BD=108=4022⋅⨯⨯． 【点睛】 本题考查三角形全等判定与性质，勾股定理，直角三角形面积，掌握三角形全等判定与性质，勾股定理应用方法，直角三角形面积的求法是解题关键．24．（1）见解析；（2）1【分析】（1）利用“两角法”进行证明；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE 的长度．【详解】解：（1）证明：∵∠C =∠ADE ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB（2）解：由（1）知，△ADE ∽△ACB ， 则AD AE AC AB= ∵AB =3，AD =2，CE =5， ∴253AE AE =+， 得：121,6AE AE ==-（舍去）∴AE 的长是1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．25．（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF ，于是得到△BDE ∽△CFD ；（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD 平分∠EFC ．【详解】解：（1）∵AB=AC=BC ，∴∠B=∠C=60°，∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE ，∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE ，∴∠BED=∠CDF ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）∵△BDE ∽△CFD ， ∴BD DE CF DF=， ∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD ， ∴CD DE CF DF= ∵∠EDF=∠C=60°，∴△DEF ∽△CDF ，∴∠DFE=∠CFD ，∴FD 平分∠EFC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．【分析】巧用未知数表示比值，转化为方程求解即可．【详解】::2:3:4a b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∵2316a b c -+=，261216k k k ∴-+=，解得2k =，4a ∴=， 6b =，8c =，2328181610a b c ∴+-=+-=．【点睛】本题考查了比例的性质，理解比例，合理引入未知数解题是解题的关键．。
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
九（上） 第四章图形的相似 分节练习第1节 成比例线段1、在某市城区地图（比例尺1：9000）上;新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 和10 cm . ★（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？2、【基础题】已知P 是线段AB 上的一点;且AP ：PB ＝2：5;则AB ：PB ＝______. ★★★3、【基础题】已知a;b;c;d 是成比例线段;其中a ＝3 cm;b ＝2 cm;c ＝6 cm;求线段d 的长. ★【基础题】已知DC BD EA BF ＝;且3＝BD ;2＝DC ;4＝EA ;则BF ＝______. ★★★ 4、【基础题】 （1）已知2＝b a ;求b b a ＋; （2）已知25＝b a ;求ba b a ＋－. ★★★ 5、【基础题】 若2＝＝＝fe d c b a ;且4＝＋＋f d b ;则＝＋＋e c a ______. ★ k c b a b c a a c b ＝＋＝＋＝＋ （0≠c b a ＋＋）;那么函数k kx y ＋＝的图象一定不经过第______象限. ★6、【综合题】若235cb a ＝＝;且8＝＋－c b a ;则a ＝______. ★ 6.1【提高题】已知151110a c c b b a ＋＝＋＝＋;求a ：b ：c ☆第2节 平行线分线段成比例 7、【基础题】如左下图;321l l l ∥∥;两条直线被它们所截; AB ＝2;BC ＝3;EF ＝4;求DE. ★7.1【综合题】如右上图;321////l l l ;AM ＝2;MB ＝3;CD ＝4.5;则ND ＝______;CN ＝______. ★8、如左下图;ABC △中;DE BC ∥;2AD =;3AE =;4BD =;则AC =______. ★★★8.1、【综合题】如右上图;在△ABC 中;EF ∥CD ;DE ∥BC ;求证：AF ·BD ＝ AD ·FD ★l 3l 2l 1F E D C B A第3节 相似多边形9、【基础题】下列各组图形中;两个图形形状不一定相同的是（ ） ★A 、两个等边三角形B 、有一个角是35°的两个等腰三角形C 、两个正方形D 、两个圆9.1、【综合题】下列各组图形中相似的图形是（ ） ★A 、对应边成比例的多边形B 、四个角都对应相等的两个梯形C 、有一个角相等的两个菱形D 、各边对应成比例的两个平行四边形10、【基础题】以正方形各边中点为顶点;可以组成一个新正方形;求新正方形与原正方形的相似比. ★10.1、【综合题】两个正六边形的边长分别为a 和b ;请问它们是否相似？不相似请说明理由;相似求出相似比. ★11、【基础题】已知矩形草坪长20 m ;宽10 m ;沿草坪四周外围有1 m 宽的环形小路;小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？11.1【综合题】如图有一张矩形纸片;折成一半后形成的矩形与原矩形相似;则原矩形的长、宽的比是多少？ ★12、六边形ABCDEF ∽六边形111111F E D C B A ;ο62＝B ∠;则1B ∠＝______.第4节 探索三角形相似的条件13、【基础题】从下面这些三角形中;选出相似的三角形． ★★★13.1【基础题】如图;在下列每个图形中（每个图形都各自独立）;是否存在相似的三角形;如果存在;把它们用字母表示出来;并简要说明识别的根据． ★★★14、【基础题】如左下图;D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点;DE ∥BC;AD ＝2;BD ＝3;DE ＝4;求BC 的长. ★★★14.1【基础题】如右上图;BD 和EC 相交于点A;ED ∥BC;BD ＝12;AD ＝4;EC ＝9;则AC ＝______. ★★★14.2、【基础题】如左下图;在△ABC 中;点D 、E 在BC 上;且FD ∥AB ;FE ∥AC ;那么△ABC 和△FDE是否相似;为什么？ ★★★14.3【基础题】如右上图;为了估算河的宽度;我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ;再在河的这一边选点B 和C ;使BC AB ⊥;然后再选点E ;使BC EC ⊥;确定BC 与AE 的交点为D ;测得120=BD 米;60=DC 米;50=EC 米;你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？ ★★★14.4【综合题】如左下图;△ABC 为等边三角形;双向延长BC 到D 、E;使得∠DAE ＝120°;求证：BC 是BD 、CE 的比例中项. ★15、【基础题】如右上图在Rt △ABC 中; ∠ACB ＝90°;CD ⊥AB 于D . ★★★（1）请指出图中所有的相似三角形; （2）你能得出AD CD ＝2·DB 吗？15.1、【综合题】如右图;正方形ABCD 的边长为2;AE ＝EB;MN ＝1;线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动;当CM= 时;ΔAED 与N;M;C 为顶点的三角形相似. ★16、【综合题】右边四个三角形;与左边的三角形相似的是（ ） ★★★16.1、【综合题】如右图;在大小为4×4的正方形网格中;是相似三角形的是 （ ） ★★★A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④17、【综合题Ⅱ】（巴中）如图;在平行四边形ABCD 中;过点A 作AE ⊥BC;垂足为E;连接DE;点F 为线段DE 上一点;且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC;（2）若AB=8;AD=6;AF=4;求AE 的长．黄金分割18、【综合题Ⅰ】如图;点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ）;已知AB ＝2 cm;求AC 的长度和ABAC 的值. ★18.1【基础题】已知M 是线段AB 的黄金分割点;且AM ＞BM . （1）写出AB 、AM 、BM 之间的比例式;（2）如果AB ＝12 cm ;求AM 与BM 的长. ★【基础题】一支铅笔长16 cm ;把它按黄金分割后;较长部分涂上橘红色;较短部分涂上浅蓝色;那么橘红色部分的长是 _____ cm ;浅蓝色部分的长是 ____ cm . （结果保留一位小数） ★第5节 相似三角形判定定理的证明19、【综合题Ⅰ】如左下图;BC AE AB DE AC AD ＝＝. 求证：AE AB ＝. ★20、【综合题Ⅲ】如右上图;在等边三角形ABC 中;点D 、E 、F 分别是三边上的点;且AE ＝BF ＝CD ;那么△ABC 与△DEF 相似吗？请说明理由. ☆21、【综合题Ⅲ】如图;在ABC △中（∠B ≠∠C ）;AB =8 cm;BC =16 cm;点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 cm/s 的速度移动;点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 cm/s 的速度移动;如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发; 经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由. ★第6节 利用相似三角形测高22、【基础题】高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m;此时测得附近一个建筑物的影长24 m;求该建筑物的高.★★★、【基础题】旗杆的影子长6米;同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米;如果此时附近的小树影子长3米;那么小树有多高？ ★22.2【综合题Ⅰ】（2007湖南怀化）如图;九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度;已知标杆高度3m CD =;标杆与旗杆的水平距离15m BD =;人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =;人与标杆CD 的水平距离2m DF =;人的眼睛E 、标杆顶点C 和旗杆顶点A 在同一直线;求旗杆AB 的高度． ★★★22.3、【综合题Ⅲ】张明同学想利用树影测校园内的树高。
浙教版初三上册数学第四章41．[2021·重庆B 卷]已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△A BC 与△DEF 的面积比是( A )A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶1【解析】 依照相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.2．[2021·重庆A 卷]若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高线的比为( A )A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶9【解析】 因为△ABC ∽△DEF ，依照相似三角形的性质“相似三角形对应高线之比等于相似比”，故选A.3．如图4－5－10，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥B C ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即AD AE ＝AB AC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 图4－5－10 图4－5－114．[2021·湘西]如图4－5－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．8【解析】 由DE ∥BC ，DB ＝2AD ，得△ADE ∽△ABC ，AD AB ＝13. ∵S △ADE ＝1，S △ADE S △ABC ＝19，∴S △ABC ＝9. ∴S 四边形DBCE ＝SABC －S △ADE ＝8.故选D.5．[2021·连云港]如图4－5－12，已知，△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D ) A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12 C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12 D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝12图4－5－12 图4－5－136．[2021·莘县一模]如图4－5－13，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( A )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF.∵S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，∴DE AB ＝25，∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3.7．一副三角板叠放如图4－5－14，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__．图4－5－148．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm2.(1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积． 解：(1)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)；(2)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1313(cm2)． 9．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm.(1)已知它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积．解：(1)∵两个相似三角形的对应边长分别是35 cm 和14 cm ，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm. ∵它们的周长相差60 cm ，∴5x －2x ＝60，∴x ＝20，∴5x ＝5×20＝100，2x ＝2×20＝40，∴较大的三角形的周长为100 cm ，较小的三角形的周长为40 cm ；(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.设较大的三角形的面积为25x cm2，较小的三角形的面积为4x cm2. ∵它们的面积相差588 cm2，∴(25－4)x ＝588，解得x ＝28，∴25x ＝25×28＝700，4x ＝4×28＝112，∴较大的三角形的面积为700 cm2，较小的三角形的面积为112 cm2.10．如图4－5－15，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4图4－5－15 图4－5－1611．[2021·咸宁]如图4－5－16，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连结DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADE ＝13.其中正确的个数有( C )A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个【解析】 ①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，即DE BC ＝12，故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ， ∴S △DOE S △COB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，故②错误； ③∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ，∵△DOE ∽△COB ，∴OE OB ＝DE CB ，∴AD AB ＝OE OB ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴O是△ABC的重心，依照重心性质，得BO＝2OE，△ABC的高线长＝3△BOC的高线长，∵△ABC与△BOC同底(BC)，∴S△ABC＝3S△BOC，由②和③，得S△ODE＝14S△COB，S△ADE＝14S△ABC，∴S△ODES△ADE＝13.故④正确．综上所述，①③④正确．故选C.12．如图4－5－17，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为(C)A．5 B．6 C．7 D．12图4－5－17 第12题答图【解析】如答图，可知△DEF∽△HMN，∴EFMN＝DFHN，即3x－4＝x－34，解得x＝7(x＝0舍去)．故选C.13．[2021·河北区校级模拟]如图4－5－18，AD＝DF＝FB，DE∥FG ∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝__1∶3∶5__．图4－5－18【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.14．如图4－5－19，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC ＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F.E是AB的中点，连结EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图4－5－19解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD为等腰三角形．又∵CF平分∠ACD，∴F 为AD 的中点．又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC ；(2)由(1)得EF ∥BC ，且EF BD ＝12，∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4，∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝3∶4.又∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92.15．如图4－5－20，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°.(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于E ，交⊙O 于D ，连结C D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．图4－5－20 第15题答图解：(1)如答图所示；(2)如答图，连结OD ，设⊙O 半径为r ， 在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝r.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又∵∠ABD ＝∠ACD ，∠ACD ＝∠ODC ＝45°，∴∠DOC ＝90°.∵在Rt △ODC 中，DC ＝OD2＋OC2＝2r ， ∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12. 16．[2021·梅州改编] 如图4－5－21，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，动点M 从点B 动身，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 动身，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时刻为t(s)(0≤t ≤5)，连结MN.图4－5－21(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值与△MBN 和△ABC 的周长比；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？要求出最小值．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，∴A B ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意，得BM ＝2t(cm)，CN ＝3t(cm)，BN ＝(53－3t)cm ， 由BM ＝BN ，得2t ＝53－3t ，解得t ＝532＋3＝103－15； (2)①当△MBN ∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52， ∴MB AB ＝12，∴△MBN 和△ABC 的周长比为12；②当△NBM ∽△ABC 时， NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157， ∴BM BC ＝237，∴△MBN 和△ABC 的周长比为237. 综上所述，当t ＝52 s 或t ＝157 s 时，△MBN 与△ABC 相似，对应的△MBN 和△ABC 的周长比为12或237；(3)如答图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t cm.第16题答图设四边形ACNM 的面积为y cm2，∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD ＝12×5×53－12×(53－3t)t＝32t2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋758 3. ∴依照二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．∴当t ＝52 s 时，四边形ACNM 的面积最小，最小为758 3 cm2.。
期末复习：浙教版九年级数学学上册第四章相似三角形一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A. 3B. 4C. 6D. 83.△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若把△ABC的各边扩大到原的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A. △ABC∽△A′B′C′B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等D. △ABC与△A′B′C′的相似比为136.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB 的长为( )米A. 3．85B. 4．00C. 4．4D. 4．50．8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8B. 42C. 52D. 549.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 10米B. 9.6米C. 6.4米D. 4.8米10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝√3+1。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（ ）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（ ）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件： ，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝ ．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为 米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是 ；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。
第1课时成比例线段课时目标1.了解相似图形、线段的比的概念;会求两条线段的比,运用线段的比解决实际问题.2.掌握比例的基本性质,提高解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.学习重点理解成比例线段的概念并会求解.学习难点了解比例的基本性质及其简单应用.课时活动设计情境引入通过用幻灯片展示生活中的图片,突出每组图片形状相同的特点.设计意图:引发学生思考每组图片的特征,激发学生的学习兴趣.探究新知1.你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同?教师提出问题,学生以小组的形式进行讨论交流,教师随机选取学生回答问题,引出学生线段的比的必要性.形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看作是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”.因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.2.归纳小结.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把mn 表示成比值k,那么ABCD=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm.AB∶A'B'=5∶3,53就是线段AB与线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.3.想一想.两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.4.做一做.如图,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上,那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?分别计算ABEF ,ADEH,ABAD,EFEH的值.你发现了什么?学生独立解答,师生共同订正答案,然后教师引导学生发现这四组对应线段的比相等,进而引出比例线段的概念.四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.在图中AB,EF,AD,EH是成比例线段,AB,AD,EF,EH也是成比例线段.5.议一议.如果a,b,c,d四个数成比例,即ab =cd,那么ad=bc吗?反过来,如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗?学生在小组内交流,教师及时给予提示,最后进行总结归纳.小结:比例的基本性质:如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab =cd .设计意图:通过发现这些形状相同的图形的不同点,引出线段的比的概念.学生实际操作并进行讨论后得出:两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系.引入成比例线段的概念,进而研究比例的基本性质.典例精讲如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即AEAD =ADAB,那么a的值应当是多少?解:根据题意可知,AB=a m,AE=13a m,AD=1 m.由AEAD =ADAB,得13 a 1=1a ,即13a2=1.∴a2=3.开平方,得a=√3(a=-√3舍去).设计意图:通过教材上的例题,让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题.巩固训练1.一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段之比是5∶1.2.一条线段的长度是另一条线段长度的35,则这两条线段之比是3∶5.3.已知a,b,c,d是成比例线段,a=4 cm,b=6 cm,d=9 cm,则c= 6 cm.4.如果2x=5y,那么xy =52.5.把mn=pq写成比例式,错误的是(D)A.mq =pnB.pm=nqC.qm=npD.mn=pq6.已知a∶b∶c=2∶3∶4,且a+b+c=15,则a=103,b=5,c=203.7.判断下列四条线段是否成比例.(1)a=2,b=√5,c=√15,d=2√3;(2)a=√2,b=3,c=2,d=√3;(3)a=4,b=6,c=5,d=10;(4)a=12,b=8,c=15,d=10.解:(1)否;(2)否;(3)否;(4)是.设计意图:通过有梯度的练习,巩固课堂上所学的知识,加深学生对线段的比和成比例线段的认识.课堂小结这节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?你有什么发现、探索?设计意图:让学生回顾本节课的学习内容,提高学生归纳总结的能力.课堂8分钟.1.教材第79页习题4.1第1,2题.2.七彩作业.第1课时成比例线段1.两条线段的比.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.2.成比例线段.四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质.如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么ab =cd .教学反思第2课时等比性质课时目标1.理解比例的等比性质;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力.2.经历运用线段的比解决问题的过程,在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识.3.通过本节课的教学,培养学生的数学应用意识,体会数学与现实生活的密切联系.学习重点让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用.学习难点运用比例的性质解决有关问题.课时活动设计复习回顾复习:1.成比例线段的定义;2.比例的基本性质;3.若3m=2n,你可以得到mn 的值吗?nm呢?设计意图:学生思考回顾上节课的内容,更好地进入本节课的学习.探究新知1.如图,已知BDAD =CEAE=12,你能求出BD+ADAD与CE+AEAE的值吗?它们有怎样的关系?如果ABBD =ACCE,那么AB-BDBD与AC-CECE有怎么样的关系?在求解过程中,你有什么发现?教师提出问题,学生先独立完成计算,再在小组内交流自己的计算结果及发现,组内达成共识后在班内展示,教师给予正确引导.议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果ab =cd,那么a+bb=c+dd和a-bb=c-dd成立吗?为什么?学生独立完成,教师随机选择学生进行回答.2.如图,ABHE ,BCEF,CDFG,ADHG的值相等吗?AB+BC+CD+ADHE+EF+FG+HG的值又是多少?在求解过程中,你有什么发现?议一议:已知a,b,c,d,e,f六个数.如果ab =cd=ef(b+d+f≠0),那么a+c+eb+d+f=ab成立吗?为什么?学生独立完成,教师随机选择学生进行回答.如果ab =cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab吗?学生尝试总结a,b,…,n之间的关系,教师多媒体展示.注意事项:要强调等比性质中,分母b+d+…+n≠0.设计意图:通过由特殊到一般的方法归纳出合比性质与等比性质,加深对成比例线段的理解.典例精讲 1.已知a b =23,求a+b b与a -b b的值.解:∵a b =23,∴a+b b=a b +1=23+1=53.∵a b =23,∴a -b b =ab -1=23-1=-13.2.在△ABC 与△DEF 中,若AB DE =BC EF =CA FD =34,且△ABC 的周长为18 cm,求△DEF 的周长.解:∵AB DE =BC EF =CA FD =34, ∴AB+BC+CA DE+EF+FD =AB DE =34.∴4(AB +BC +CA )=3(DE +EF +FD ),即DE +EF +FD =43(AB +BC +CA ). 又∵△ABC 的周长为18 cm,即AB +BC +CA =18 cm,∴DE +EF +FD =43(AB +BC +CA )=43×18=24(cm),即△DEF 的周长为24 cm . 设计意图:学到的知识要会应用升华,在这个环节中,让学生灵活运用比例的合比性质及等比性质.解决实际问题.师生互动,主要还是学生的动,要体现教师的主导作用,学生的主体作用.让学生会主动学习,遇到问题,要善于分析思考.巩固训练1.已知a b =c d =23(b +d ≠0),求a+cb+d 的值. 解:a+c b+d =23. 2.若x+y y =179,则x y = 89 .3.若a b =14,则3a+b 2b的值为 78 .4.已知a 3=b 5=c7. (1)求a+b+c b的值; (2)求a+2b -3c a+c的值.解:(1)∵a 3=b 5=c7, ∴a b =35,c b =75. ∴a+b+c b =a b +1+cb =3.(2)设a3=b5=c7=k,∴a=3k,b=5k,c=7k.∴a+2b-3ca+b =3k+2×5k-3×7k3k+5k=-8k8k=-1.5.如图,已知每个小方格的边长均为1,求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长,并计算△ABC与△EDC的周长比.解:由勾股定理,得AB=2√5,DE=√5,BC=2√10,DC=√10,AC=2√13,EC=√13,△ABC的周长=AB+BC+AC=2(√5+√10+√13),△EDC的周长=DE+DC+EC=√5+√10+√13,所以△ABC与△EDC的周长比等于2∶1.设计意图:通过有针对性的练习,加深学生对合比性质与等比性质的理解,进一步巩固本堂课所学知识,提高应用能力.课堂小结谈谈本节课的收获,与同伴进行交流.设计意图:复习比例的基本性质,合比性质,等比性质,巩固本节课所学的内容.课堂8分钟.1.课本第81页习题4.2第3题.2.七彩作业.第2课时等比性质合比性质如果ab =cd,那么a±bb=c±dd等比性质如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab教学反思。
一、选择题1．如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB,AC 上的点，且DE// BC ，若AE ： EC=1： 4，那么:ADE BEC S S △△的值为（ ）A ．1∶16B ．1∶18C ．1∶20D ．1∶24 2．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线BD 上的一点，且12OD OB =，连接CO 并延长交AD 于点E ，若△COD 的面积是2，则四边形ABOE 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（ ）．A ．3.8米B ．5.4米C ．5.6米D ．6米5．下列说法中，正确的说法有（ ）①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为49； ④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，直线123////l l l ，则（ ）A．AD EBEB FC=B．AB DEAC EF=C．BC DEAC DF=D．AB DEBC EF=7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE 的是（）A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C．AD ABAE AC=D．DE AEBC AC=8．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足512MG GNMN MG-==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（）A．55B．355C．205-D．1045-9．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等腰△ABC 的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC 相似的是（ ） A ．顶角为30°的等腰三角形B ．顶角为40°的等腰三角形C ．等边三角形D ．顶角为75°的等腰三角形11． OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A 的坐标为()3,33，OAB 与OA B ''△关于点О成位似图形，且在点О的同一侧，OAB 与OA B ''△的位似比为1：2，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．()6,63-B ．()6,63-C ．()3,33--D ．()6,63 12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M 为AD 中点，连接CM ，交BD 于点N ，则:CNO CND S S ∆∆=（ ）A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．3:4二、填空题13．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小红在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小红又在点1C 处直立高3m 的竹竿11C D ，然后退到点1E 处，此时恰好看到竹竿顶端1D 与电线杆顶端B 重合．小红的眼睛离地面高度 1.5EF m =，量得2CE m =，18EC m =，114C E m =，则电线杆AB 的高度为______m ．14．如图，平面直角坐标系中，点(0,2),(4,0)A B ，将ABO 沿着垂直于x 轴的直线CD 折叠（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合），点B 的对应点为点E ，则当ADE为直角三角形时BDC ADES S 的值是_____________．15．如图，直线122y x =-+与坐标轴分别交于点,A B ，与直线12y x =交于点,C Q 是线段OA 上的动点，连接CQ ，若OQ CQ =，则点Q 的坐标为___________．16．如图，正方形ABCD 中，点F 在边AB 上，且AF ：FB ＝1：2，AC 与DF 交于点N ．（1）当AB ＝4时，AN ＝_____．（2）S △ANF ：S 四边形CNFB ＝_____．（S 表示面积）17．如图，小明在A 时测得某树的影长为1.5m ，B 时又测得该树的影长为6m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m ．18．给出下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②一条线段只有两个黄金分割点；③两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长；④所有六边形都相似，其中正确的是_____．（填序号）19．如图，在ABC 中，AB AC >，将ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中：①DA 平分EDC ∠；②AEF DBF △∽△；③BDF CAD ∠=∠；④EF BD =．所有正确结论的序号是_____．20．如图，在ABC 中，////DE FG BC ，ADE 的面积＝梯形DFGE 的面积＝梯形FBCG 的面积，则DE BC的值为______．三、解答题21．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数+6y x =-的图象1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(),5C m（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC S 的值；（3）垂直于x 轴的直线x a =与直线12,l l 分别交于点,P Q ，若线段2PQ =，求a 的值； （4）一次函数64y kx k =-+的图象与线段AB （含端点）有公共点，且满足y 随x 的增大而减小，设直线与x 轴的交点横坐标为,x 直接写出x 的取值范围．22．如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连接AP ，作⊥PE AP ，PE 交CD 于点E ．（1）求证：PEC APB ∽△△；（2）若6AB =，点P 为BC 的中点，求DE 的长．23．如图，F 为四边形ABCD 边CD 上一点，连接AF 并延长交BC 延长线于点E ，已知D DCE ∠=∠．（1）求证：ADF ECF ∽△△；（2）若ABCD 为平行四边形，6AB =，2EF AF =，求FD 的长度．24．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ；（2）设12AF FC =． ①若BC ＝20，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是36，求△ABC 的面积．25．如图1，在平面直角坐标系O x y 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，其中()6,0B ，与y 轴交于点()0,8C ，点P 是x 轴上方的抛物线上一动点（不与点C（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，点E 关于直线PC 的对称点为E '，若点E '落在y 轴上（不与点C 重合）．请判断以P ，C ，E ，E '为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下直接写出点P 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,3),(2,1)A B C ----．（1）画出ABC 关于原点O 成中心对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在x 轴上方画出ABC 放大2倍后的222A B C △，并直接写出点2C 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C由已知条件可求得ABE EBC S S ∆∆，又由平行线分线段成比例可求得ADE BDES S ∆∆，结合S △BDE =S △ABE -S △ADE 可求得答案．【详解】解：∵AE 1EC 4=， ∴14ABE EBC S S ∆∆=， ∴14ABE EBC S S ∆∆=， ∵DE ∥BC ， ∴14AD AE DB EC ==， ∴14ADE BDE S S ∆∆=， ∴S △BDE =4S △ADE ，又∵S △BDE =S △ABE -S △ADE ，∴4S △ADE =14S △EBC -S △ADE ， ∴120ADE EBC S S ∆∆=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质及三角形的面积，掌握同高三角形的面积比即为底的比是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EF AD DF= ∵E 是BC 的中点，∴EC=1122BC AD =∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1，∴S △ADF ＝4， ∵12EF DF = ∴DF=2EF ∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2，∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．C解析：C【分析】由题意可得△BOC 的面积为4，通过证明△DOE ∽△BOC ，可求S △DOE ＝1，即可求解．【详解】解：∵12OD OB =，△COD 的面积是2， ∴△BOC 的面积为4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，S △ABD ＝S △BCD ＝2＋4＝6，∴△DOE ∽△BOC ， ∴DOE BOC S S .（OD OB ）2＝14， ∴S △DOE ＝1，∴四边形ABOE 的面积＝6﹣1＝5，故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．B解析：B【分析】设旗杆的高度约为hm ，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h 的值即可．【详解】解：设旗杆的高度约为hm ，∵同一时刻物高与影长成正比， ∴1.826h =， 解得：h ＝5.4（米）．故选：B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 5．C解析：C【分析】根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、【详解】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；②一元二次方程x 2-3x -4=0（x -4）（x +1）=0x -4=0或x =1=0x 1=4，x 2=-1，故②正确；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为22()349=，故③正确； ④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确．故选：C【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例，依次对各选项进行判断即可．【详解】解：∵123////l l l ， ∴AB DE AC DF=，B 选项错误，不符合题意； BC EF AC DF=，C 选项错误，不符合题意； AB DE BC EF=，D 选项正确，符合题意； 无法确定A 选项是否正确，故A 选项不符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7．D解析：D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、∠ADE=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ABC ∽△ADE ，故A 选项不符合题意； B 、∠AED=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ABC ∽△ADE ，故B 选项不符合题意；C 、AD AB AE AC =，即AD AE AB AC=，且夹角∠A=∠A ，则可判断△ABC ∽△ADE ，故C 选项不符合题意； D 、DE AE BC AC=，缺少条件∠AED 和∠ACB 相等，则不能确定△ABC ∽△ADE ，故D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 8．A解析：A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2，在Rt ABF ，==∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴CD BC =即4CD =，解得CD=2，∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()122⨯5， 故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COB S S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OE AB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDO BCO S S △△，即可得到答案．【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线 ∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠∴DOE COB △∽△ ∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COB S DE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC ∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠∴ADE ABC △△∽ ∴12AD DE AB BC == ∴AD OE AB OB =，即③结论正确；∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．10．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可．【详解】解：∵等腰△ABC 的底角为75°，∴等腰△ABC 的三角的度数分别为30°，75°，75°∴一定与△ABC 相似的是顶角为30°的等腰三角形故选：A ．【点睛】本题考查了想做浅咖人判定，关键是根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数解答．11．D解析：D【分析】根据位似图形的性质和△OAB 和△OA B ''的位似比为1:2，即可求出两三角形的相似比为1:2，即可根据点A 的坐标求出点A '的坐标；【详解】如图所示：作AC ⊥OB 于点C ，∵A(3，33，AC ⊥OB ，∴ OC=3， AC=33∴ 229276OA OC AC =+=+=，∵ △AOB 和△OA B ''的位似比为1:2，∴ OA '=2OA=12，即△AOB 和△OA B ''的相似比为1:2，∴ A '(6，3，故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似图形与位似图形的性质，正确理解位似图形是解题的关键． 12．A解析：A【分析】由四边形ABCD 为平行四边形，得到对边平行，即可证得：△BCN ∽△DMN ；可求相似比为2:1，继而求出ON:DN ，从而可求:CNO CND S S ∆∆．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，M 为AD 中点，∴AD ∥BC ，BC=AD=2 DM ，OB=OD ，∴∠BCN=∠DMN ，∠NBC=∠MDN ，∴△BCN ∽△DMN ；∴BN:DN=BC:DM=2:1，设DN=x ，则BN =2x ，∴BD=3x ，∴OD=32x ，∴ON=12x ， ∴ON:DN=12x: x =1:2， ∴:CNO CND S S ∆∆= ON:DN =1:2．故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．要掌握等高三角形面积的比等于其对应底边的比．二、填空题13．5【分析】利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式求得BG 的长加上15即为AB 的高【详解】解：∵DC ⊥AE ⊥AEBA ⊥AE ∴DC ∥∥BA ∴∴∵DC ∥BA ∴△FDM ∽△FBG ∴∵N=DM ∴即∴解析：5【分析】利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得BG 的长，加上1.5即为AB 的高．【详解】解：∵DC ⊥AE ，11D C ⊥AE ，BA ⊥AE ，∴DC ∥11D C ∥BA ，∴111F D N F BG ∽, ∴111D N F N BG F G=． ∵DC ∥BA ，∴△FDM ∽△FBG ． ∴DM FM BG FG=． ∵1D N=DM ， ∴11F N FM F G FG =，即 42142GM GM =++． ∴GM=10m ． ∵111D N F N BG F G=， ∴1.5424BG =．∴BG=9m ．∴AB=BG+GA=10.5（m ）．故答案是：10.5．【点睛】本题考查相似三角形的应用；解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．14．或【分析】分两种情况：当是以点E 为直角顶点时和当是以点A 为直角顶点时分别利用相似三角形的判定及性质求解即可【详解】①当是以点E 为直角顶点时∵将沿着垂直于x 轴的直线折叠（点C 在x 轴上点D 在上点D 不与A 解析：310或56【分析】 分两种情况：当ADE 是以点E 为直角顶点时和当ADE 是以点A 为直角顶点时，分别利用相似三角形的判定及性质求解即可．【详解】①当ADE 是以点E 为直角顶点时，(0,2),(4,0)A B ，2,4OA OB ∴==，2225AB OA OB ∴=+=∵将ABO 沿着垂直于x 轴的直线CD 折叠（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合），点B 的对应点为点E ，,,BD DE BC EC DBC DEC ∴==∠=∠，90,90AEO DEB AEO OAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，DEB AOE ∴∠=∠，DBO OAE ∴∠=∠．又90AOB EOA ∠=∠=︒，AOE BOA ∴△△，12AO OE BO AO ∴==， 1OE ∴=， 22135,3,22AE AO OE BE OB OE BC BE ∴=+==-===．1tan 2AO DC ABO OB CB ∠===， 34DC ∴=， 2235BD DE BC CD ∴==+=， 11339113515,5224216228BDC ADE S DC BC S AE DE ∴=⋅=⨯⨯==⋅=⨯⨯=△△， 931615108BDCADE SS ∴==； ②当ADE 是以点A 为直角顶点时，90,90AEO EAO AEO ABO ∠+∠=︒∠+∠=︒，EAO ABO ∴∠=∠．又90AOB EOA ∠=∠=︒， AOE BOA ∴△△，12AO OE BO AO ∴==， 1OE ∴=， 22155,5,22AE AO OE BE OB OE BC BE ∴=+==+===． 1tan 2AO DC ABO OB CB ∠===， 54DC ∴=， 2255BD BC CD ∴=+=， 35AD AB BD ∴=-=， 115525113515,52224162248BDC ADE S DC BC S AD DE ∴=⋅=⨯⨯==⋅=⨯=△△，255161568BDC ADE SS ∴==， 综上所述，BDC ADE S S 为310或56． 故答案为：310或56． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．15．【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为（21）从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最解析：5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】122y x =-+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为（2，1）从而可判断点C 是AB 的中点，所以OC=AC ，从而得到∠AOC=∠OAC ，又因为OQ CQ =，所以∠AOC=∠OCQ ，从而可判断△OCQ ∽△OAC ，再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA =，最后把数值代入求出OQ 的长，从而得到Q 点的坐标．【详解】解：如图所示，依题意得：12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（2，1）对于直线122y x =-+，令x=0，解得y=2， 令y=0，解得x=4．∴点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，2）．∴点C 是AB 的中点．∵△OAB 为直角三角形，∴OC=AC ，∴∠AOC=∠OAC ，∵OQ CQ=，∴∠AOC=∠OCQ，∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC，∴△OCQ∽△OAC，∴OQ OCOC OA=又∵△OAB为直角三角形，OA=4，OB=2，∴222224AB OB OA=+=+=25∴OC=AC=12AB=5∴55=，解得：OQ=54，∴点Q的坐标为（54，0）．故答案为：（54，0）．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．16．1∶11【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理等腰直角三角形的性质解决问题即可（2）设△ANF的面积为m由AF∥CD推出△AFN∽△CDN推出△ADN的面积为3m△DCN的面积为9m推出△ADC的2 1∶11【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．（2）设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出13AF FNCD DN==，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可得S四边形CNFB=11m，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AB=CD ∴AF AN CD CN=， ∵AF ：FB ＝1：2，∴AF ：AB ＝AF ：CD ＝1：3， ∴13AN CN =， ∴14AN AC =， ∵AC=， ∴14=，∴AN 4=AB ； ∵AB=4∴；（2）设△ANF 的面积为m ，∵AF ∥CD ， ∴13AF FN CD DN ==，△AFN ∽△CDN ， ∴△AFN 和△CDN 高的比=13 ∴△AFN 和△ADN 高的比=13∴△ADN 的面积为3m ，△DCN 的面积为9m ，∴△ADC 的面积＝△ABC 的面积＝12m ，∴S △ANF ：S 四边形CNFB ＝1：11，【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题．17．3【分析】根据题意画出示意图根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图则∵∴∴∵∴∴∴∴∴即树的高度为3m 故答案是3【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点准确分析计算 解析：3【分析】根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图，则CD EF ⊥，EC CF ⊥，DE 1.5m =，6DF m =，∵CD EF ⊥，∴90EDC CDF ∠=∠=︒，∴90E ECD ∠+∠=︒，∵90ECD DCF ∠+∠=︒，∴E DCF ∠=∠，∴△△EDC CDF ， ∴ED DC DC FD =， ∴29DC ED FD ==，∴3DC m =，即树的高度为3m ．故答案是3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键． 18．①②③【分析】根据矩形的判定黄金分割点的定义相似图形的性质判断命题的正确性【详解】对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定之一故①正确；如图则点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点一条线段只有两个黄金分割 解析：①②③【分析】根据矩形的判定，黄金分割点的定义，相似图形的性质判断命题的正确性．【详解】对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定之一，故①正确；如图，51AD BC AB AB -==，则点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，一条线段只有两个黄金分割点，故②正确；如图，CG DH ≠，但是EG HF =，两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，故③正确；并不是所有六边形都相似，故④错误．故答案是：①②③．【点睛】本题考查矩形的判定，黄金分割点的定义，相似图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．19．①②③【分析】由旋转性质得AD=AC∠ADE=∠C利用AD=AC得到∠ADC=∠C即可推出∠ADC=∠ADE判断①正确；根据∠E=∠B∠AFE=∠BFD即可证明△AEF∽△DBF判断②正确；利用三角解析：①②③【分析】由旋转性质得AD=AC，∠ADE=∠C，利用AD=AC得到∠ADC=∠C，即可推出∠ADC=∠ADE，判断①正确；根据∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，即可证明△AEF∽△DBF，判断②正确；利用三角形的外角性质判断③正确；由∠FAD不一定等于∠CAD，不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，由此判断④错误．【详解】由旋转得：AD=AC，∠ADE=∠C，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故①正确；∵∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△DBF，故②正确；∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，∠=∠，故③正确；∴BDF CAD∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD=AD，∠ADC=∠ADE，∴不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF，∴DE-DF不一定等于BC-CD，即无法证明EF=BD，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，三角形的外角性质，是一道三角形的综合题．20．【分析】由平行线可得△ADE ∽△AFG ∽△ABC 进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比即可得出结论【详解】解：∵S △ADE ＝S 梯形DFGE ＝S 梯形FBCG ∵DE ∥FG ∥BC ∴△ADE ∽△AFG ∽【分析】由平行线可得△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，进而利用相似三角形面积比等于对应边的平方比，即可得出结论．【详解】解：∵S △ADE ＝S 梯形DFGE ＝S 梯形FBCG ，∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ， ∴13ADE ABC S S ∆=， 由于相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，∴DE ： BC＝1． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形面积比与对应边长之间的关系，能够熟练掌握并运用． 三、解答题21．（1）1m =， 5y x =；（2）15AOC S=；（3）43a =或23a =；（4）18x ≥． 【分析】（1）由一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，可得+65m -=求出m ，设2l 的解析式为y kx =过点C(1,5)，求出k 即可；（2） 由y=0时，+60,6x x -==，OA=6，12AOC C S OA y =⋅； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ），PQ=()562a a --=解之即可；（4）由一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），13k =-，一次函数为163y x =-+ ，与x 轴交点，当18x ≥时即可．【详解】解：（1）∵一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，∴+65m -=，∴1m =，设2l 的解析式为y kx =过点C ，∴k=5，∴2l 的解析式为5y x =；（2）一次函数+6y x =-与x 轴交点为A ，当y=0时，+60,6x x -==，∴OA=6， 11651522AOC C S OA y =⋅=⨯⨯=； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ）， PQ=()56612a a a --=-=，113a -=， 113a -=±， 43a =或23a =； （4）一次函数整理得()64y k x =-+，由64x y =⎧⎨=⎩， ∴一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，A （6,0），B （0,6），一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），∴646k -+=， ∴13k =-，∴一次函数163y x =-+， ∴y=0，x=18，当18x ≥时一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点且满足y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围问题，掌握待定系数法求直线解析式，三角形面积求法，会求两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围方法是解题关键．22．（1）见解析；（2）92． 【分析】（1）根据∠B=90°，PE ⊥AP ，即可得到∠BAP=∠CPE ，再根据∠B=∠C=90°，即可得出PEC APB ∽△△；（2）根据PEC APB ∽△△，得出EC=32，最后根据DE=CD-CE 求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD 中，∠B=90°，PE ⊥AP ，∴∠BAP+∠APB=90°，∠CPE+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE ，又∵∠B=∠C=90°，∴PEC APB ∽△△；（2）由（1）可得：PEC APB ∽△△，∵点P 为BC 的中点，∴BP=CP=3，∵AB=6，∵PEC APB ∽△△， ∴BP EC AB PC=，即363EC =， ∴EC=32， ∴DE=CD-CE=6-32=92．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质．23．（1）见详解；（2）2【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论；（2）先证明AD ∥BE ，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解．【详解】（1）证明：∵D DCE ∠=∠，∠AFD=∠EFC ，∴ADF ECF ∽△△；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BE ，AB ＝CD ＝6，∴AF ：EF ＝DF ：CF ，又∵EF ＝2AF ，∴DF ：CF ＝1：2，即DF ＝13DC ＝2． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 24．（1）见解析；（2）①BE=203；②81． 【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE ，∠DBE=∠FEC ，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出12BE AF EC FC ==，即可得出结果； ②先求出2,3FC AC =易证△EFC ∽△BAC ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【详解】解：（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB=∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE=∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ， ∴12BE AF EC FC ==， ∵EC=BC-BE=20-BE ，∴1202BE BE =-， 解得：BE=203； ②∵12AF FC =， ∴2,3FC AC = ∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ， ∴2224()()39EFC ABC S FC S AC ∆∆===， ∴99368144ABC EFC S S ∆∆==⨯=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．（1）228833y x x =-++；（2）菱形，见解析；（3）P 755,26⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；（2）利用对称的性质得∠E′CP=∠ECP ，E′C=CE ，E′P=EP ，由PE ∥E′C 得∠EPC=∠E′CP ，则∠EPC=∠ECP ，于是可判断EP=EC ，所以EC=EP=PE′=E′C ，则根据菱形的判定方法得到四边形EPE′C 为菱形；（3）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为228833y x x =-++，根据二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，设P （x ，228833x x -++），则E （x ，-43x+8），则可计算出PE=228833x x -++-（-43x+8）=-23x 2+4x ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，如图，证明△CFE ∽△COB ，利用相似比可计算出CE=53x ，则可利用EC=EP 得到方程-23x 2+4x=53x ，然后解方程求出x 即可得到P 点坐标．【详解】解：（1）把点C （0，8），B （6，0）代入在抛物线y=-23x 2+bx+c 得 2826603c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得8 3 8bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为228833y x x=-++；（2）以P，C，E，E'为顶点的四边形为菱形．理由如下：∵E点和E'点关于直线PC对称，∴E CP ECP'∠=∠，E C CE'=，E P E'=，又∵PD x⊥轴，∴//PE E C'，∴EPC E CP'∠=∠，∴EPC ECP∠=∠，∴EP EC=，∴EC EP PE E C''===，∴四边形EPE C'为菱形，（3）设直线BC的解析式为y=kx+m，把B（6，0），C（0，8）代入得608k mm+=⎧⎨=⎩，解得438km⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y=-43x+8；设P（x，228833x x-++），则E（x，-43x+8），∴PE=228833x x-++-（-43x+8）=-23x2+4x，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，如图，在Rt △OBC 中，BC=22OB OC +=10， ∵EF ∥OB ，∴△CFE ∽△COB ，∴EF CE OB CB =，即610x CE =， ∴CE=53x ， ∵EC=EP ， ∴-23x 2+4x=53x ， 整理得2x 2-7x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=72， ∴点P 的坐标为（72，556）． P 点坐标为755,26⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程．26．（1）画图见解析；1(2,1)C -；（2）画图见解析；2(4,2)C -．【分析】（1）根据题意得到A ，B ，C 关于原点O 的对称点连接即可；（2）根据位似图形的作图方法作图即可；【详解】解：（1）根据题意可得()11,3A -，()12,3B ，()12,1C -，如图，1(2,1)C -， （2）根据题意可得，()22,6A -，()24,6B ，()24,2C -连接即可，如图，2(4,2)C -．【点睛】本题主要考查了旋转变换和位似变换，准确作图是解题的关键．。
北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
一、选择题1．下列各组长度的线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．2，3，4，5 B ．1，3，4，10 C ．2，3，4，6D ．1，5，3，122．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知ABC 的三边长是2，6，2，则与ABC 相似的三角形的三边长可能是（ ）A ．1，2，3B ．1，3， 22C ．1，3，62 D ．1，3，334．如图，A B C '''是ABC 以点О为位似中心经过位似变换得到的，若:1:2OA A A ''=，则A B C '''的周长与ABC 的周长比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．4：95．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，BC 上的点，且//DE AC ，若BE ：CE=1:3，则DOEAOCSS:的值为（ ）A．13B．14C．19D．1166．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，ABC中，90ABC∠=︒，点E在CB的延长线上，13BE AB=，过点E作ED AC⊥于D．若AD ED=，6AC=，则CD的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．48．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．AB BCAD DE=D．AB ACAD AE=9．已知30MAN∠=︒，点B在射线AM上，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．60BCD ∠=︒B ．2AB AD AC = C ．4ABD CBA ∠=∠D ．23AD AB =10．如图，////DE FG BC ，若3DF FB =，则EC 与GC 的关系是（ ）A ．4EC GC =B ．3EC GC = C ．52EC GC =D ．2EC GC =11．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长，与AC 的延长线交于点F ，且3AD BD =，2EF DE =，若2CF =，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．14．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．15．△ABC ，△DEF 的条件如图所示，则n 的值是_____．16．如图，一组平行线L 1、L 2、L 3截两相交直线L 4、L 5，则AOED=____．17．如图，在平面直角坐标系中，点(0,6)A ，(8,0)B ，点C 是线段AB 的中点，过点C 的直线l 将AOB 截成两部分，直线l 交折线A O B --于点P ．当截成两部分中有三角形与AOB 相似时，则点P 的坐标为__________．18．如图，ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，2CD DE =．若DEF 的面积为1，则ABCD 的面积为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FDAF=__________； （2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的平分线EF 与DC 交于点F ，若12AB =，2DF FC =，则BC 的长是_____．三、解答题21．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBDCAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．22．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ，且AD ：AC DF =：CG ， 求证：（1）AG 平分BAC ∠； （2）EF·CG=DF·BG ．23．问题发现：（1）如图1，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 为AB 上一点，且2AD DB =，过点D 作//DE BC ，填空：DE BC =________，DBEC=________； 类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将ADE 绕点A 逆时针旋转得到AMN ，连接DM ，BM ，EN ，CN ，请求出DM EN，BMCN 的值； 拓展延伸：（3）如图3，ABC 和DEF 同为等边三角形，且36AB EF ==，连接AD ，BE ，将DEF 绕AC （DF ）的中点O 逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE AD -的最大值．24．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A =40°，∠B =60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC =2，DC =6-2，BD =31-，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求CB 长．25．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．26．如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC 三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，2)．（1）请画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，相似比为1：2，在y 轴右侧，画出ΔA 1B 1C 1放大后的ΔA 2B 2C 2；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】判定四条线段是否成比例，计算前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【详解】解：A.2:3≠4:5，故四条线段不成比例，不合题意；B.1:3≠4:10，故四条线段不成比例，不符合题意；C.2:3=4:6，故四条线段成比例，符合题意；D.1:5≠3:12，故四条线段不成比例，不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键．2．C解析：C【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，∴∠C＝75°，∠A＝30°，A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，不符合题意；B、三角形各角的度数都是60°，不符合题意；C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，符合题意；D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，不符合题意；∴只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．3．A解析：A 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC ，2，∴△ABC：2=1 ∴△ABC相似的三角形三边长可能是1， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据位似变换的概念得到，A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵:1:2OA A A ''=， ∴13OA OA ':=:，∵A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的， ∴A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△， ∴13A B OA AB OA '''==， ∴A B C '''的周长与ABC 的周长比为1：3， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．5．D解析：D 【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵BE ：EC=1：3； ∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ， ∴14DE BE AC BC ==， ∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==， 故选：D ． 【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBS S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案． 【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OE AB OB =，即③结论正确； ∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．7．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ， ∴BE EF AB AC =， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．8．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9．D解析：D【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．【详解】由作图可知，PQ 垂直平分AB ，AB=BD∵PQ 垂直平分AB ，∴AC ＝BC ，∴∠MAN ＝∠CBA ，∵∠MAN ＝30，∴∠DCB ＝∠MAN ＋∠CBA ＝60︒，故选项 A 正确；AB BD =MAN ADB ∴∠=∠∠MAN ＝∠CBA ，ADB CBA ∴∠=∠ACB ABD ∴△∽△2AC ABAB ADAB AC AD ∴=∴=⋅ 故选项B 正确；ABD 为等腰三角形，且两底角均为301803030120ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒30MAN CBA ∠=∠=︒4ABD CBA ∴∠=∠故选项C 正确；如图：过点B 作BF AD ⊥在ABF 中，30A ∠=︒3AB AF ∴=22AD AFAB AF =∴=AB AD AD ∴=∴= 故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．10．A解析：A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EG ＝3GC ，进而得出结论．【详解】∵DE ∥FG ∥BC ，DF ＝3FB ， ∴EG DF GC FB==3， ∴EG ＝3GC ，∴EC ＝4GC ，故选：A ．【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11．B解析：B【分析】过点F 作//FG AB ，通过证明BED GEF ∽△△可得2FG BD =再证明FCG ACB ∽△△可得AC 的长度，即可求解．【详解】如图，过点F 作//FG AB ，交BC 延长线于点G ，则由平行易知BED GEF ∽△△，因此12BD DE FG EF ==， 即2FG BD =由平行易知FCG ACB ∽△△， 因此FG CF AB AC= ∵3AD BD =，∴4AB AD BD BD =+=， ∴2142FG BD AB BD ==， ∴12CF AC =， 即212AC =， ∴4AC =，∴6AF AC CF =+=．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线；②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE ⊥BD 设EG=x 可得CG=2x 再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB 即可求解【详解】解：∵E 为AB 中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】AB=，解：∵E为AB中点，2∴AE=EB=1，∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∵把BCE∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．14．44π【分析】证明△OBQ∽△OAP根据相似三角形的性质求出AP根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m）BQ∥AP∴△OBQ∽△OAP∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ， ∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD 可得即可求解【详解】解：∵∠A ＝50°∠B ＝60°∴∠C ＝70°∵∠B ＝∠F ＝60°∠C ＝∠D ∴△ABC ∽△EFD ∴∴∴n ＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD ，可得AB BC EF DF =，即可求解． 【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 16．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD ∠AOF=∠COD ∴△AOF ∽△DOC 同理△BO 解析：AF CD BE- 【分析】根据L 1//L 2//L 3，证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L 1//L 2//L 3，∴∠AFO=∠OCD ，∠AOF=∠COD∴△AOF ∽△DOC ，同理，△BOE ∽△COD ，△AOF ∽△EOB ， ∴AO AF OE BE =，即AO BE AF OE = ∴OE BE OD CD =， ∴OE BE OE ED CD=+ ∴OE CD BE OE BE ED ⋅=⋅+⋅ ∴()AO AF OE OE CD BE OE AF OE BE ED BE BE BE OE AF C CD BE B D E-=÷=⋅=-- 故答案为：AF CD BE - 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 17．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形 解析：(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论，当PC OA ⊥时，则//,PC OB 则APC AOB ∽，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△，当CP OB ⊥时，则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可．【详解】解：()()06,8,0,A B ， 点C 是线段AB 的中点，6,8,10,OA OB AB ∴==== 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时，则//,PC OB ∴ APC AOB ∽，,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=， ()3,0,3,AP P ∴=如图，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△，,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图，当CP OB ⊥时，则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上：()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为：()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．12【分析】首先利用以及平行四边形对边相等分别得到DE 与CEDE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出进而推出再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积进而得出四边形的面积即可推出的面积【详 解析：12【分析】首先利用2CD DE =，以及平行四边形对边相等，分别得到DE 与CE 、DE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出AB CD ∥，AD BC ∥，进而推出DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出CEB △和ABF 的面积，进而得出四边形BCDF 的面积，即可推出ABCD 的面积.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，AB CD =，∵2CD DE =，∴3CE DE =，2AB DE =， ∴13DE CE =，12DE AB =， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，AD BC ∥，∴DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽， ∴21()9DEF CEB S DE S EC ==△△，21()4DEF ABF S DE S AB ==△△， ∵DEF 的面积为1，∴=9CEB S △，S =4ABF △，∴=S 918BCDF CEB DEF S S -=-=△△，∴=+=8+4=12ABCD BCDF S S S △ABF .故答案为12.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.19．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2； （2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】 解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==，∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴FD AF=2； （2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ，∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△，∴296ABC ABCD S S==四边形 ， 故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【分析】先延长EF 和BC 交于点G 再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形并求得其斜边BE 的长然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系并根据BG解析：824+【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】解：如图，延长EF 和BC ，交于点G ，∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴ AB ＝AE ＝12，∴直角三角形ABE 中，2212122BE +==又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD//BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝，∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ， ∴12CG CF DE DF ==， 设CG ＝x ，DE ＝2x ，则AD ＝12＋2x ＝BC ，∵BG ＝BC ＋CG ，∴＝12+2x+x解得：x ＝4，∴ )12244BC=+=，故答案为：4+【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC=，∴13CB CB =，即CB =． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．22．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE ＝∠C ，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF ∽△ACG ，其性质和角平分线的定义得AG 平分∠BAC ；（2）由两对应角相等证明△AEF ∽△ABG ，△ADF ∽△AGC ，其性质得EF AF BG AG =，DF AF CG AG=，再根据等式的性质求出EF•CG ＝DF•B G ． 【详解】（1）证明：180DAE AED ADE ∠+∠+∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，AED B ∠=∠，ADE C ∴∠=∠，在ADF 和ACG 中， ::AD AC DF CG ADE C=⎧⎨∠=∠⎩ ADF ∴∽ACG ，DAF CAG ∴∠=∠，AG ∴平分BAC ∠；（2）证明：在AEF 和ABG 中，AED B EAF BAG ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF ∴∽ABG ，EF AF BG AG∴=， 在ADF 和AGC 中，DAF CAG ADF C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADF ∴∽AGC ，DF AF CG AG∴=， EF DF BG CG∴=， EF CG DF BG ∴⋅=⋅ ．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．23．（1）23，35；（2）35DM EN =，35BM CN =；（3）4 【分析】（1）在Rt ABC 中，由勾股定理求出10AC ==，由2AD DB =，可得3AB DB =，由//DE BC ，截线段成比例2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====，由AD AE AB AC =，分比AB AD AC AE AB AC --=，即BD EC AB AC=即可 （2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠，由35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠，可得ABM ACN △△，由性质35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠，可证DBM ECN △∽△，利用性质35DM BM DB EN CN EC ===； （3）如图4，连接OB ，OE ，由点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，可知90BOC DOE ∠=∠=︒，可推得AOD BOE ∠=∠，由::AO BO OD OE ==AOD BOE ∠=∠，可证AOD BOE ∽△△，可得:AD BE =，可求BO =OE =BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=即可求出．【详解】解：（1）23，35；解答如下：在Rt ABC 中，10AC ==，∵2AD DB =，∴3AB AD DB DB =+=，∵//DE BC ， ∴2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====， ∵AD AE AB AC=，∴AB AD AC AE AB AC --=， 即BD EC AB AC =， ∴63105BD AB EC AC ===， 故答案为：23，35； （2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠， ∵35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠， ∴ABM ACN △△， ∴35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠， ∵35BM DB CN EC ==，ABM ACN ∠=∠， ∴DBM ECN △∽△， ∴35DM BM DB EN CN EC ===；（3）BE AD -的最大值为4；提示如下：如图4，连接OB ，OE ，∵点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，由三线合一性质可知90BOC DOE ∠=∠=︒，∴BOD COE ∠=∠，∴AOB BOD BOC COE ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵::3AO BO OD OE ==，AOD BOE ∠=∠， ∴AOD BOE ∽△△，∴:AD BE =， ∵36AB EF ==， ∴BO =OE =在BOE △中，由三边关系可得，BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=，∵BE AD BE BE -==，∴当BE 存在最大值时，BE AD -的最大值343=⨯=．【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO 与OE ．24．（1）见解析；（2）∠ACB 的度数为96°或114°；（3）2BC =【分析】（1）由题意可求出1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°，即证明40ACD A ∠=∠=︒，即△ACD 为等腰三角形．又因为∠CBD =∠ ABC ，可证明△BCD ∽△BAC ，即推出CD 是△ABC 的完美分割线．（2）分情况讨论①当AD =CD 时②当AD =AC 时③当AC =CD 时，根据题意和完美分割线的定义即可求出∠ACB 的大小．（3）根据题意和完美分割线的定义可知，AC =AD =2，△BCD ∽△BAC ，即推出BD CD BC CA=，即可求出BC 长． 【详解】（1）∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴ 18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒，∵A B ACB ∠≠∠≠∠，∴ △ABC 不是等腰三角形．∵CD 平分∠ ACB ， ∴1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°， ∴40ACD A ∠=∠=︒，∴ △ACD 为等腰三角形．∴ 40BCD A ∠=∠=︒，∠CBD =∠ ABC ，∴ △BCD ∽△BAC ，∴ CD 是△ABC 的完美分割线．（2）①如图，当AD =CD 时，∠ACD =∠ A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =96°．②如图，当AD =AC 时，∠ACD =∠ ADC =18048662︒-︒=︒， 根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =114°．③如图，当AC =CD 时，∠ADC =∠ A =48°．∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴这与∠ADC >∠BCD 矛盾，所以该情况不符合题意．综上所述，∠ACB 的度数为96°或114°．（3）∵△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，AC =2， ∴AC =AD =2．∵△BCD ∽△BAC ， ∴BD CD BC CA = 3162--=，解得2BC = 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意理解完美分割线的定义是解答本题的关键．25．（1）AMN ，证明见解析；（2）34【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥，12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM=， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ，∴DN DE CM CE =，即313x x=-， 解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求出1A、1B、C，进而可画出图形；1（2）利用位似图形的性质得出对应点的位置，即可画出图形．【详解】解：(1)如图所示：ΔA1B1C1即为所求；(2)如图所示，ΔA2B2C2即为所求．【点睛】本题考查关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质，掌握相关性质是解题的关键．。
4.1__比例线段__
第2课时 比例线段
1．[xx·西固区校级模拟]下列线段中，能成比例的是( D )
A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cm
B ．3 cm ，5 cm ，6 cm ，9 cm
C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm
D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm
2．在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为1.5 m ，在地面上的影长为2 m ，同时一古塔在地面上的影长为40 m ，则古塔高为( C )
A ．60 m
B ．40 m
C ．30 m
D ．25 m
【解析】 设古塔高为x (m)，则有x 40＝1.52
，解得x ＝30.故选C. 3．已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，即a b ＝c d
，下列各式错误的是( C ) A ．ad ＝bc B.a ＋c b ＋d ＝a b
C.a －b b ＝c －b d
D.a 2b 2＝c 2
d 2 4．已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 000 m ，画在地图上的距离A ′B ′＝2 cm ，则这张地图的比例尺是( D )
A ．2∶5
B ．1∶25 000
C ．25 000∶1
D ．1∶250 000
5．已知P 是线段AB 上一点，且
AP PB ＝25，则AB PB
等于( A ) A.75 B.52
C.27
D.57
【解析】 由AP PB ＝25，则可设AP ＝2k ，PB ＝5k ，∴AB ＝7k ，∴AB PB ＝7k 5k ＝75
.故选A. 6．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，d ＝6 cm ，则线段a 的长为__1__cm.
【解析】 ∵a ，b ，c ，d 是成比例线段，∴a b ＝c d ，∴a 3＝26
，∴a ＝1. 7．[xx·娄底]湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1∶6 700 000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09 cm ，则我国南北的实际距离大约是__5__500__km(结果精确到1 km)．
8．正方形的边长与对角线的比是；等边三角形的边长与高线长的比是__．
【解析】 设正方形的边长为1，则对角线长为2，其比为1∶2；设等边三角形的边长为1，则高线长为
32，其比为1∶32＝2∶ 3.
9．若△ABC 的三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形的三边长的比为．
【解析】 △ABC 的三个内角为30°，60°，90°，所以设30°角所对的直角边为1，则斜边长为2，另一直角边长为3，故三边长的比为1∶3∶2. 10．已知线段m ＝10 mm ，n ＝2 cm ，e ＝ 2 cm ，d ＝2 2 cm ，试判断m ，n ，e ，d 是否是成比例线段．
解：∵m ＝1 cm ，n ＝2 cm ，e ＝ 2 cm ，d ＝2 2 cm ，
∴md ＝2 2 cm 2，ne ＝2 2 cm 2，
∴md ＝ne ，∴m n ＝e d
，
∴m ，n ，e ，d 是成比例线段．
11．已知线段a ＝4，b ＝6，c ＝2，请另确定一条线段d 的长度，使a ，b ，c ，d 为成比例线段． 解：∵线段a ，b ，c ，d 为成比例线段， ∴a b ＝c d
.又∵a ＝4，b ＝6，c ＝2，
∴d ＝bc a ＝6×24
＝3，∴线段d 的长为3. 12．如图4－1－1，已知AD DB ＝AE EC
，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．
图4－1－1 解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2
， ∴AE ＝6.4×4.24.8
＝5.6(cm)， ∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．
13．如图4－1－2，延长线段AB 到点C ，使BC ＝2AB ，再延长线段BA 到点D ，使AD ＝12
AB ，则CD ∶BD 为( A )
图4－1－2
A ．7∶3
B ．5∶2
C ．7∶2
D ．5∶3
【解析】 ∵CD ＝AD ＋AB ＋BC ＝12AB ＋AB ＋2AB ＝72AB ，BD ＝AD ＋AB ＝12AB ＋AB ＝32
AB ， ∴CD ∶BD ＝72AB ∶32
AB ＝7∶3.故选A. 14．已知在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′＝32
，A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝16 cm ，则AB ＋BC ＋AC ＝( B )
A ．48 cm
B ．24 cm
C ．18 cm
D ．36 cm
【解析】 ∵AB ＝32A ′B ′，BC ＝32B ′C ′，AC ＝32A ′C ′，∴AB ＋BC ＋AC ＝32
(A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′)＝3
2×16＝24(cm)．故选B.
15. △ABC 与△DEF 在网格中的位置如图4－1－3所示，如果每个小正方形的边长都是1.
(1)求AB DE ，BC EF ，AC DF
的值； (2)求△ABC 的周长与△DEF 的周长的比；
(3)在AB ，BC ，AC ，DE ，EF ，DF 这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．
图4－1－3
解：(1)AB ＝42，BC ＝6，AC ＝25，DE ＝22，EF ＝3，DF ＝5，
∴AB
DE ＝2，BC
EF ＝2，AC
DF ＝2；
(2)∵AB DE ＝BC
EF ＝AC
DF ，
∴AB ＋BC ＋AC DE ＋EF ＋DF ＝2DE ＋2
EF ＋2DF
DE ＋EF ＋DF ＝2，
∴△ABC 的周长与△DEF 的周长的比为2∶1；
(3)∵AB DE ＝BC
EF ，
∴AB ，DE ，BC ，EF 是成比例的线段；
∵AB DE ＝AC
DF ，
∴AB ，DE ，AC ，DF 是成比例的线段；
∵BC
EF ＝AC
DF ，
∴BC ，EF ，AC ，DF 是成比例的线段．
16．如图4－1－4，已知AD
DB ＝AE EC ＝32，求AB DB ，EC AC ，AB
AD .
图4－1－4
解：∵AD DB ＝32
， ∴令AD ＝3k ，DB ＝2k ，
则AB ＝AD ＋DB ＝5k ，
∴AB DB ＝5k 2k ＝52.同理AB AD ＝5k 3k ＝53，EC AC ＝25
. 17．如图4－1－5，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，AC ＝8，BC ＝6，求CD 的长．
图4－1－5
解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10.
∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12
AB ·CD ， ∴AC ·BC ＝AB ·CD ，
∴AC AB ＝CD BC ，∴810＝CD 6，∴CD ＝4.8.
18．如图4－1－6，已知AD ，CE 是△ABC 中边BC ，AB 上的高线，求证：AD ∶CE ＝AB ∶BC .
图4－1－6
证明：∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝12
AB ·CE ， ∴AD ·BC ＝AB ·CE ，即AD ∶CE ＝AB ∶BC
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