§2 实际问题的函数建模

2．2用函数模型解决实际问题导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图像表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….④列表画出函数图像．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x.②y＝x2.③y＝(1＋5%)x，④如下表图5 图6 图7⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b (直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，抛物线型)，y ＝ka x ＋b (指数型)．⑥从表格和图像得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x 的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫作对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．应用示例思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x 件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F ，一年总库存费为E ，手续费为H ，其他费用为C (C 为常数)，则E ＝2×12x ，H ＝500×8 000x ，x ＝8 000n(n ≥1，n ∈Z )， 所以F ＝E ＋H ＋C ＝2×12x ＋500×8 000x＋C ＝8 000n ＋500n ＋C ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫16n ＋n ＋C ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －n 2＋4 000＋C ≥4 000＋C ， 当且仅当4n ＝n ，即n ＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶量y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.图8从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y ＝ax ＋b 表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y ＝ax ＋b ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.812＝56.6a ＋b ，2.86＝189.0a ＋b . 解得a ＝0.015 47，b ＝－0.063 50.这条直线是y ＝0.015 47x －0.063 50.点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(图9)．图9观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立． 令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(图10)，由函数图像可知它是递减的，因此图10 f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，即log 7x ＋1＜0.25x .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x ＞0)，销售数量就减少kx %(其中k 为正常数)．目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个．(1)当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k 的取值范围． 解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为y ＝a (1＋x %)·b (1－kx %)＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]． (1)取k ＝12，y ＝ab 10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋50x ＋10 000， 所以x ＝50，即商品价格上涨50%，y 最大为98ab . (2)因为y ＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]， 此二次函数的开口向下，对称轴为x ＝501－k k，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x ＞0}的一个子集内增大时，y 也增大．所以501－k k＞0，解得0＜k ＜1. 点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1 某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：小时，可不为整数)．(1)写出g (x )，h (x )解析式；(2)比较g (x )与h (x )的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意，知需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，216－x 人．∴g (x )＝4 0006x ，h (x )＝ 3 000216－x ·3， 即g (x )＝2 0003x ，h (x )＝1 000216－x(0＜x ＜216，x ∈N ＋)． (2)g (x )－h (x )＝2 0003x －1 000216－x ＝1 000·432－5x 3x 216－x . ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g (x )－h (x )＞0，g (x )＞h (x )；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g (x )－h (x )＜0，g (x )＜h (x )．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 0003x ，0<x ≤86，x ∈N ＋；1 000216－x ，87≤x <216，x ∈N ＋.(3)完成总任务所用时间最少即求f (x )的最小值．当0＜x ≤86时，f (x )递减，∴f (x )≥f (86)＝2 0003×86＝1 000129. ∴f (x )min ＝f (86)，此时216－x ＝130.当87≤x ＜216时，f (x )递增，∴f (x )≥f (87)＝1 000216－87＝1 000129. ∴f (x )min ＝f (87)，此时216－x ＝129.∴f (x )min ＝f (86)＝f (87)＝1 000129. ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86,130或87,129.变式训练m 与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点，(1)根据题中条件填空，m ＝________(元/吨)；(2)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解：(1)∵f (m )＝(m －195.5)2＋(m －200.5)2＋(m －204.5)2＋(m －199.5)2＝4m 2－1 600m＋160 041，∴m ＝200.(2)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨，收购总金额为200a (1＋2x %)，故y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝20010 000a (100＋2x )(10－x )＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)．(3)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)，依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，即x 2＋40x －84≤0. 解得－42≤x ≤2.又0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是0＜x ≤2.2.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m 万担(其中m 为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x %，预计收购量可增加(2x )%.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x 的取值范围．解：(1)y ＝120m ×104[1＋(2x )%]×(8－x )%＝120m (－2x 2－84x ＋800)．(2)由题意知120m (－2x 2－84x ＋800)≥0.78×120m ×104×8%，解得0＜x ≤2.所以x 的取值范围是0＜x ≤2.例2 民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图11，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图12.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)图11 图12解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g (4)＝52，∴k 2＝54. 从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，企业利润为y 万元．则y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x (0≤x ≤10)， 令10－x ＝t ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52时，y max ＝6516≈4， 此时x ＝10－254＝3.75(万元)． ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元. 变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元，在月末出售，可获利y 2元，则y 1＝15%x ＋10%(x ＋15%x )＝0.265x ，y 2＝0.3x －700.图13利用函数图像比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图像如图13所示，得两图像的交点坐标为(20 000，5 300)．由图像，知当x ＞20 000时，y 2＞y 1.当x ＝20 000时，y 1＝y 2；当x ＜20 000时，y 2＜y 1.∴当投资小于20 000元时，月初出售；当投资等于20 000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20 000元时，月末出售.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg 3≈0.477 1) 解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k ＝0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k ＝0.93k ；光线经过x 块玻璃后强度为0.9x k .∴y ＝0.9x k (x ∈N ＋)．(2)由题意，知0.9x k ＜k 3， ∴0.9x ＜13.两边取对数，x lg 0.9＜lg 13. ∵lg 0.9＜0，∴x ＞lg 13lg 0.9. ∵lg 13lg 0.9＝lg 31－2lg 3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下． 拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图14所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？图14解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图像性质分析问题、解决问题．作业习题4—2 A组2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．(设计者：林大华)。

实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标：理解函数建模的概念和重要性。

掌握将实际问题转化为函数模型的基本方法。

1.2 教学内容：函数建模的定义和应用领域。

实际问题与函数模型的关系。

函数建模的基本步骤。

1.3 教学方法：讲授法：介绍函数建模的基本概念和方法。

案例分析法：通过实际案例展示函数建模的应用。

1.4 教学活动：导入：通过一个简单的实际问题引出函数建模的概念。

讲解：介绍函数建模的定义和应用领域。

案例分析：分析一个实际问题，展示如何将其转化为函数模型。

第二章：一次函数建模2.1 课程目标：理解一次函数的概念和性质。

学会使用一次函数建模解决实际问题。

2.2 教学内容：一次函数的定义和性质。

一次函数建模的方法和步骤。

一次函数在实际问题中的应用。

2.3 教学方法：讲授法：介绍一次函数的基本概念和性质。

案例分析法：通过实际案例展示一次函数建模的应用。

2.4 教学活动：讲解：介绍一次函数的定义和性质。

案例分析：分析一个实际问题，展示如何使用一次函数建模解决。

练习：让学生尝试解决一个一次函数建模的实际问题。

第三章：二次函数建模3.1 课程目标：理解二次函数的概念和性质。

学会使用二次函数建模解决实际问题。

3.2 教学内容：二次函数的定义和性质。

二次函数建模的方法和步骤。

二次函数在实际问题中的应用。

3.3 教学方法：讲授法：介绍二次函数的基本概念和性质。

案例分析法：通过实际案例展示二次函数建模的应用。

3.4 教学活动：讲解：介绍二次函数的定义和性质。

案例分析：分析一个实际问题，展示如何使用二次函数建模解决。

练习：让学生尝试解决一个二次函数建模的实际问题。

第四章：指数函数建模4.1 课程目标：理解指数函数的概念和性质。

学会使用指数函数建模解决实际问题。

4.2 教学内容：指数函数的定义和性质。

指数函数建模的方法和步骤。

指数函数在实际问题中的应用。

4.3 教学方法：讲授法：介绍指数函数的基本概念和性质。

案例分析法：通过实际案例展示指数函数建模的应用。

解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。

函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。

本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。

一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。

它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。

举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。

通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。

二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。

非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。

以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。

通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。

三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。

它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。

以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。

通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。

四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。

它用于分析风险、预测概率等实际问题。

以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。

通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。

§2实际问题的函数建模1.解应用题的一般步骤(1)读:阅读并理解文字表达的意思,分清①和②,理清数量关系.(2)建:将文字语言转化为③语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解:求解数学模型,得到数学④.(4)答:将所得数学结论还原为⑤问题的结论.2.拟合函数模型的应用题求解步骤一、一次、二次函数模型1.(2014广东深圳月考,★☆☆)如图,用长度为24的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地,要使矩形场地的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12思路点拨设隔墙的长为x,矩形场地的面积为y,由已知条件推出y与x之间的函数关系.2.(2013河南焦作模拟,★★☆)某商人进货,进价已按原价a扣去了25%.他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人销售这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.思路点拨依题意可建立一次函数模型.3.(2013浙江余杭一模,★☆☆)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N *)之间的关系为如图所示的二次函数关系,当每辆客车营运 年时,其营运的年平均利润最大.思路点拨 由图像可求出二次函数的解析式,通过配方法求最值. 二、分段函数模型4.(2011湖南,理20,13分,★★★)如图,长方体物体E 在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E 移动方向的分速度为c(c∈R).E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分:①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时, (1)写出y 的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.思路点拨 (1)根据题意列出函数表达式; (2)利用函数的单调性求最值.三、指数函数模型5.(2012浙江,理9,5分,★★☆)设a>0,b>0,则下列结论一定成立的是( ) A.若2a +2a=2b +3b,则a>b B.若2a +2a=2b +3b,则a<b C.若2a -2a=2b -3b,则a>b D.若2a -2a=2b -3b,则a<b思路点拨 构造函数f(x)=2x +2x 及g(x)=2x -3x.6.(2013合肥模拟,★☆☆)某医药研究所开发了的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长.思路点拨 (1)根据图像求函数解析式.(2)利用函数单调性求解.一、选择题1.某企业生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为( ) A.(1+p)12-1 B.(1+p)12 C.p 12-1 D.(1+p)13-12.某商品1月份降价10%,此后受市场因素影响,价格连续上涨了三次,使得目前售价与1月份降价前相同,则连续上涨三次的价格平均回升率为( ) A.√1093-1B.√1093+1C.2√109-1 D.√3333.已知A,B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( ) A.x=60t B.x=60t+50t C.x={60t (0≤t ≤2.5)150-50t (t >3.5)D.x={60t(0≤t≤2.5)150(2.5<t≤3.5)150-50(t-3.5)(3.5<t≤6.5)4.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量近似地符合关系式y=ae nt. 假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水量只有a8升,则m的值为( )A.7B.8C.9D.105.有一批材料可以围成200 m长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为( )A.1 000平方米B.2 000平方米C.2 500平方米D.3 000平方米6.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格比较,变化的情况是( )A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减二、填空题7.国家规定的个人稿费纳税办法:不超过 800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,这个人的稿费为元.8.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图曲线,则服药后y与t之间的函数关系式是.三、解答题9.某企业生产的新产品必须依靠广告来打开销路,该产品的广告效应是产品销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行的抽样调查显示:付出100万元的广告费,所得销售额是1 000万元.问该企业应该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应?是不是广告费投入越多越好?10.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量与时间的关系近似满足g(t)=80-2t,价格与时间的关系近似满足f(t)=20-12|t-10|.(1)试写出该种商品的日销售额y(元)与时间t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值.解答题1.(2015广东湛江师范附中期中,★☆☆)某商品在近30天内,销售单价P(元)与时间t(天)的函数关系式为P={t +20,0<t ≤24,t ∈N ,-t +100,25≤t ≤30,t ∈N .该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).求这种商品日销售金额y(元)的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天.2.(2015江苏沭阳期中,★★☆)已知函数f(x)=ax 2-|x|+2a-1(a 为常数).(1)当a=1时,写出函数f(x)的增区间;(2)当a>0时,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;(3)设h(x)=f(x)x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围.3.(2014广东惠州期末,★☆☆)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24),从供水开始经过几个小时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?4.(2013安徽合肥期末,★★☆)某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)={x4+2(0<x≤4),6x-2(x>4),当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升)时称为有效净化状态;当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化状态.(1)如果投放的药剂质量为4(即m=4),试问自来水一共可持续几天达到有效净化状态?(2)为了使在7天之内(从投放药剂算起,包括7天)的自来水持续达到最佳净化状态,试确定m的值.知识清单①已知条件 ②问题 ③数学 ④结论 ⑤实际 ⑥散点图 ⑦函数模型 ⑧检验链接高考1.C 设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,易知y=x×24-4x 2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y 最大.则当隔墙的长度为3时,矩形场地的面积最大. 2.答案 y=a4x(x∈N +)解析 设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=54a.∴y=b·20%·x=54a·20%·x,即y=a4x(x∈N +). 3.答案 5解析 由题图可设y=a(x-6)2+11,而(4,7)是该二次函数图像上的一点,∴7=4a+11,∴a=-1,即y=-(x-6)2+11. ∴y x =-x 2+12x -25x=12-(x +25x)=2-(√x -√x)2,∴当√x -√x=0,即x=5时,y x取得最大值.故当每辆客车营运5年时,其营运的年平均利润最大.4.解析 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100v(320|v -c |+12)=5v(3|v-c|+10). (2)由(1)知,当0<v≤c 时,y=5v (3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;当c<v≤10时,y=5v (3v-3c+10)=5(10-3c )v+15.故y={5(3c+10)v-15,0<v ≤c ,5(10-3c )v +15,c <v ≤10.①当0<c≤103时,y 是关于v 的减函数, 故当v=10时,y min =20-3c2.②当103<c≤5时,在(0,c]上,y 是关于v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于v 的增函数.故当v=c 时,y min =50c .5.A 设f(x)=2x +2x,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,由2a +2a=2b +3b 及b>0,得2a +2a>2b +2b,即f(a)>f(b),故有a>b,即A 正确,B 错误.对于C 、D,令a=2,则2b -3b=0,即b 为g(x)=2x -3x 的零点.而g(0)=1>0,g(2)=-2<0,g(4)=4>0,故0<b<2或2<b<4,即0<b<a 或b>a,即C,D 都是错误的.故选A.6.解析 (1)设y={kt , 0≤t ≤1,(12)t -a ,t >1.当t=1时,由y=4得k=4, 由(12)1-a=4,得a=3,所以y={4t , 0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y≥0.25得,{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5-116=7916(小时).基础过关一、选择题1.A 由已知得所求为(1+p)12-1.2.A 设平均回升率为x,则(1-0.1)(1+x)3=1,解得x=√1093-1. 3.D 易知当2.5<t≤3.5时,汽车是静止的,故选D.4.D 根据题意得e 5n =12,令ae nt =18a,即e nt =18,因为e 5n =12,故e 15n =18,比较知t=15,故m=15-5=10. 5.C 如图,设三个面积相等的矩形的长和宽分别为x m,y m,矩形场地的面积为S m 2,则4x+3y=200,S=3xy=3x·200-4x 3=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500,所以当x=25时,S 最大,且S max =2 500.6.A 1-(1+20%)2×(1-20%)2=7.84%.则四年后的价格比原来的价格减少了7.84%. 二、填空题 7.答案 3 800解析 设这个人的稿费为x 元,易知420<4 000×11%,故(x-800)×14%=420⇒x=3 800. 8.答案 y={12t (0≤t ≤12)-45t +325(12<t ≤8) 解析 依题意,得y={12t (0≤t ≤12),-45t +325(12<t ≤8). 三、解答题9.解析 设投入的广告费为x 万元,广告效应为y 万元,销售额为A 万元,依题意得A=k √x ,且1 000=k √100,所以k=100,所以y=100√x -x=-(√x -50)2+2 500,所以当√x =50,即x=2 500时,y 取最大值2 500,即投入广告费为2 500万元时,所得广告效应最大,而非广告费投入越多越好.10.解析 (1)依题意得y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-12|t -10|)=(40-t)(40-|t-10|), 则y={(30+t )(40-t )(0≤t <10),(40-t )(50-t )(10≤t ≤20),即y={-(t -5)2+1 225(0≤t <10),(t -45)2-25(10≤t ≤20). (2)由(1)可知,对于0≤t≤20,当0≤t<10时,y 的取值范围是[1 200,1 225],当t=5时,y 取得最大值,最大值为1 225; 当10≤t≤20时,y 的取值范围是[600,1 200],当t=20时,y 取得最小值,最小值为600. 综上,日销售额y 的最大值为1 225,最小值为600.三年模拟解答题1.解析 因为日销售金额=销售单价×日销售量, 所以 y=P·Q={(t +20)(-t +40),0<t ≤24,t ∈N ,(-t +100)(-t +40),25≤t ≤30,t ∈N ,即y={-(t -10)2+900,0<t ≤24,t ∈N ,(t -70)2-900,25≤t ≤30,t ∈N . 若0<t≤24,则当t=10时,y 值最大,且y max =900,若25≤t≤30,则当t=25时,y 值最大,且y max =1 125, 因为900<1 125,所以当t=25时,y 值最大,且y max =1 125.故这种商品日销售金额的最大值是1 125元,日销售金额最大的一天是30天中的第25天. 2.解析 (1)当a=1时,f(x)={x 2+x +1(x <0),x 2-x +1(x ≥0),易得f(x)的增区间为[-12,0]和[12,+∞). (2)因为x∈[1,2],所以f(x)=ax 2-x+2a-1, 所以函数f(x)图像的对称轴为直线x=12a (a>0), ①当1≤12a≤2,即14≤a≤12时,f(x)在[1,12a ]上是递减的,在(12a,2]上是递增的,所以f(x)min =f (12a )=a (12a )2-12a +2a-1=-14a +2a-1;②当12a <1,即a>12时,f(x)在[1,2]上是递增的,所以f(x)min =f(1)=3a-2; ③当12a >2,即0<a<14时,f(x)在[1,2]上是递减的,所以f(x)min =f(2)=6a-3. 综上,g(a)=f(x)min ={6a -3,0<a <14,-14a +2a -1,14≤a ≤12,3a -2,a >12.(3)由题意得,当x∈[1,2]时,h(x)=ax+2a -1x -1,在区间[1,2]上任取x 1、x 2,且x 1<x 2, ∵函数h(x)在[1,2]上是增函数, ∴h(x 2)-h(x 1) =(ax 2+2a -1x 2-1)-(ax 1+2a -1x 1-1)=(x 2-x 1)(a -2a -1x1x 2)=x 2-x1x 1x 2[ax 1x 2-(2a-1)]>0, ∵1<x 1<x 2<2,∴x 2-x 1>0,x 1x 2>0, ∴ax 1x 2-(2a-1)>0,即ax 1x 2>2a-1, ①当a=0时,上式显然成立; ②当a>0时,x 1x 2>2a -1a,易知x 1x 2>1,则2a -1a≤1,解得0<a≤1;11 ③当a<0时,x 1x 2<2a -1a ,易知x 1x 2<4, 则2a -1a ≥4,解得-12≤a<0.综上,实数a 的取值范围是[-12,1].3.解析 设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨,则y=400+60t-120√6t (0≤t≤24), 令√6t =x,则x 2=6t,且x∈[0,12],故y=400+10x 2-120x=10(x-6)2+40,则当x=6,即t=6时,y 最小,且y min =40.即供水开始经过6个小时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.4.解析 (1)由题意知,当m=4时,y={x +8 (0<x ≤4),24x -2(x >4). 当0<x≤4时,x+8≥4;当x>4时,由24x -2≥4⇒4<x≤8.综上,当0<x≤8时,y≥4,所以自来水一共可持续8天达到有效净化状态.(2)易知y=mf(x)={mx 4+2m (0<x ≤4),6m x -2 (x >4)在区间(0,4]上单调递增,则2m<y≤3m;在区间(4,7]上单调递减,则6m5≤y<3m,故当x∈(0,7]时,y∈[65m ,3m],为使4≤y≤10在x∈(0,7]上恒成立,只要6m5≥4且3m≤10即可,故m=103.所以为了使在7天之内的自来水持续达到最佳净化状态,投放的药剂质量应该为103.。

实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解实际问题的函数建模的基本概念和方法，并能够运用函数模型解决简单的实际问题。

1.2 教学内容实际问题的函数建模的定义和意义函数模型的类型和特点实际问题建模的基本步骤1.3 教学方法讲授法：讲解实际问题的函数建模的基本概念和方法案例分析法：分析实际问题，引导学生运用函数模型解决问题1.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解实际问题的函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对函数模型的应用能力第二章：线性函数建模2.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解线性函数建模的基本概念和方法，并能够运用线性函数模型解决简单的实际问题。

2.2 教学内容线性函数的基本概念和性质线性函数建模的方法和步骤线性函数模型在实际问题中的应用2.3 教学方法讲授法：讲解线性函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用线性函数模型解决问题2.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解线性函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对线性函数模型的应用能力第三章：二次函数建模3.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解二次函数建模的基本概念和方法，并能够运用二次函数模型解决简单的实际问题。

3.2 教学内容二次函数的基本概念和性质二次函数建模的方法和步骤二次函数模型在实际问题中的应用3.3 教学方法讲授法：讲解二次函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用二次函数模型解决问题3.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解二次函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对二次函数模型的应用能力第四章：指数函数建模4.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解指数函数建模的基本概念和方法，并能够运用指数函数模型解决简单的实际问题。

4.2 教学内容指数函数的基本概念和性质指数函数建模的方法和步骤指数函数模型在实际问题中的应用4.3 教学方法讲授法：讲解指数函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用指数函数模型解决问题4.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解指数函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对指数函数模型的应用能力第五章：多项式函数建模5.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解多项式函数建模的基本概念和方法，并能够运用多项式函数模型解决简单的实际问题。