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2019-2020年高中数学实际问题的函数建模备课资源北师大版必修1函数的本质是变量与变量之间的对应关系，它反映了事物运动变化过程中的内在联系．很多实际问题都可以抽象概括成函数表达式，即建立一个函数模型，从而简捷、准确地找到合理的答案．本节教材按照课程标准的要求，在选材上考虑了素材的时代性、典型性、多样性和可接受性，教材中给出的实例，都是学生感兴趣的、与生活实际密切相关的，是现实生活中常见的现象或其他科学实例．教师在教学中，要注意从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题、经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉，要鼓励学生自主探索、合作交流，并在思考、实践、探索、交流的过程中使学生对函数在实际中的应用有较为全面的体验和理解．“数学建模学习”活动应贯穿于全部的教学过程中，教师可尽可能地向学生提供相关的推荐课题背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课本上的课题作业和探究学习报告．还应鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算和解决实际问题．掌握函数的基础知识是学好本节的前提．例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质．反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高学生学习数学的积极性．在函数建模的教学过程中，一方面要求学生注意熟悉相关的实际背景，另一方面要求学生注意总结整理常用的函数模型．同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法．必要情况下，对学生生疏的实际背景，应当予以补充．教学中应当注意，提供的问题要由浅入深，大的题目要让学生学会化整为零，分步骤、有层次的完成，要求学生掌握计算器的使用．多项式模型和拉格朗日插值法设通过n次检测，得到一系列的数据资料．其中表示检测序号，i为变量在第次检测中的数值，i则为变量相应的数值．根据这些数据如何建立一种最佳的形式表达变量x和y的函数关系呢？一般说来，根据n对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）可以确定一个（n－1）次多项式模型：y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n－1x n－1．以某地在1890～1990年100年间人口资料为例．以20年作为一个单位，x表示从1890年以来的单位数，该地的人口数P（x）可以假设为一个4次多项式：P（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4．将数据代入，得到一个五元一次方程组．通过计算，得到P（x）的具体表达式43233733176178961763144)(x x x x x P －＋－＋＝ 其图形如下图所示．借助这一多项式模型，我们可以近似地了解1890年到1970年该地人口数的变化情况．拉格朗日插值法使我们可以更为迅速地建立P （x ）的多项式表达式．为简捷起见，仍以这一问题为例加以说明．这一问题中给出了5对数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），（x 4，y 4），（x 5，y 5），其中y i 即P （x i ）（i ＝1，2，…，5）．拉格朗日插值法告诉我们根据这5对数据所建立的多项式函数y ＝P （x ）的具体表达式为．－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－＋－－－－－－－－＝))()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()(())()()((45352515432155434241453214534323135421352423212543125141312154321x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x y y 其理由是显然的．右端的第一项))()()(())()()((5141312154321x x x x x x x x x x x x x x x x y －－－－－－－－ 中的分式在x ＝x 2、x 3、x 4、x 5时均为零，而在x ＝x 1时恰好为1．右端的其他几项在x ＝x 1时都为零，这样就满足第1对数据（x 1，y 1）．同理，该多项式满足其他的4对数据．要确定直线方程式有两种方法：随手画法与最小平方法（亦称最小二乘法）1．随手画法如果认为一个接近于直线趋势的方程式符合观察值就能够采用随手画法，首先利用尺子根据资料画一直线，使资料点尽可能均匀分布在直线两侧，使两侧的点大体相等，如下图所示．在下图中，直线交y 轴处为100万元，故由x ＝0，y ＝100知趋势直线y ＝a ＋bx 中的a 为100．可以看出是表现平均销售额的直线，从1985年的100万元增加到1994年的230万元，销售额在十年内增加了130万元，因此b 为13．这里，趋势直线能够用来预测某一年的销售额，譬如说xx 年（x ＝14）的销售额可由方程求出，y ＝100＋13×14＝282（万元）．但是，由于不同的人对同一资料可以画出不同的直线，从而也可能得出不同的方程式．譬如，某甲的方程可以是y *＝100＋13x ；某乙的方程可以是y *＝105＋12x ；某丙的方程可以是y *＝95＋14x （如上图）． 由于其中包含个人的主观判断，因而只有急于取得趋势方程式的近似值时，才采取随手画法．2．最小平方法我们知道，用随手画法可以得到趋势直线，但由于每个人的判断不同，得到的趋势直线也不尽相同，那么用何种方法来确定哪一条较合适呢？有没有更逼近原始数据的直线呢？我们知道，对于确定的一条趋势直线y *＝a ＋bx 来讲，对于每一个x i 的值，可以相应得到y i *值，假设实际值y i 与y i *值的差为Q i ，即Q i ＝y i －y i *＝y i －（a ＋bx i ），再取其平方之和S ，即∑∑n i ii n i i bx a y Q S 1212)(＝＝－－＝＝．显然，S 越小，对应的方程就越理想，故我们可以把S 作为比较优劣准则．在一组数据（x i ，y i ）已知的情况下，求出所有直线中使S 最小的那条直线即求出该直线的系数a ，b 的方法称为最小平方法．也就是说，求理想直线的问题可归结为求的最小值．我们知道一元二次多项式pt 2＋qt ＋r 在t ＝－q ／2p 时，取得极值为把上述的S 展开成关于a 的二次多项式： ∑∑∑∑∑ni i i n i i i n i ii i i ni i i n i i i y bx y bx a na y bx y bx a a y bx a bx a y S 12121221212)()(2])()(2[)]([)(＝＝＝＝＝．－＋－＋＝－＋－＋＝－－－＝－－＝ 要使S 最小，a 必须满足：nx b y n bx y n y bx a n i ni ii n i i i n i i i ∑∑∑∑1111)(2)(2＝＝＝＝－＝－＝－－＝． 其中，别是数据组（y i ）和（x i ）的算术平均值，各记作和，故上式可以表示为． ①把①式代入S 的表达式中，并表示成b 的二次多项式后得到：∑∑∑∑∑∑n i n i ii n i i i n i i i i i ni i i i n i i y y y y x x b x x b y y y y x x b x x by y x x b bx x b y y S 11212212221221)()()(2)(])())((2)([)]()([])([＝＝＝＝＝＝．－＋－－－－＝－＋－－＋－＝－＋－＝－－－＝ 要求S 最小，b 必须满足：∑∑∑∑n i i i n i i n i i i n i i x x y y x x x x y y x x b 121121)()()()(2)()(2(＝＝＝＝－－－＝－－－－－＝ 式①，式②就是确定y *＝a ＋bx 的系数a 、b 的关系式．为了便于计算机计算，可作如下变换：．－＝－－，－＝－＝＝＝＝＝＝＝∑∑∑∑∑∑∑n i i n i i n i i i i n i i n i n i i i n i i y x n y x y y x x x n x x x 1111112212))((1)()()(1)( 这样，式①，式②又可以表示成⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑∑∑∑∑∑∑．－－＝，－＝＝＝＝＝＝＝＝n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i x n x y x n y x b x n b y n a 121211111)(1))((11 这个计算公式便于运用计算机进行程序计算．规律总结高中《数学课程标准》中明确指出：高中课本应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程．高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学的应用意识，提高实践能力．本节的主要内容是通过函数模型解决实际问题，目的是通过例题和案例培养学生应用数学的意识，加强函数建模训练，引导学生自己亲身体验数学建模过程，学会实际问题的建模方法，掌握解答应用题的基本步骤．要求能阅读、理解对问题进行陈述的材料，理解问题的背景；能分析题目中的数量关系，并从实际问题出发，恰当地引入变量或建立直角坐标系，运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数式（包括定义域）；将应用问题转化为数学问题求解，并准确地将所求结果表述为实际问题．用函数模型解决实际问题的基本步骤是：“四步八字”，即审题、建模、解模、还原。
