高中数学必修二 6 3 2-6 3 4 平面向量数乘运算的坐标表示(第1课时)学案

6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式(教师独具内容)课程标准：1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.教学重点：1.了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式.教学难点：平面向量坐标运算的应用.知识点一平面向量的坐标(1)向量的垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b□01垂直，记作□02a⊥b.(2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为□03正交基底．(3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的□04正交分解．(4)坐标的定义①给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称□05(x，y)为向量a的坐标，记作□06a＝(x，y)．②如图，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的□07终点对应的坐标就是向量a的坐标．(5)向量的坐标表示若OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y )，则□08OA →的坐标为(x ，y )⇔□09点A 的坐标为(x ，y )． 知识点二 向量的运算与坐标的关系 (1)向量坐标的运算已知平面上的两个向量a ，b ，满足a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．①a ＝b ⇔□01x 1＝x 2且y 1＝y 2.即平面上两个向量相等的充要条件是□02它们的坐标对应相等．②a ＋b ＝□03(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．③u a ＋v b ＝□04(ux 1＋v x 2，uy 1＋v y 2)．④u a －v b ＝□05(ux 1－v x 2，uy 1－v y 2)．(2)向量的模向量a ＝(x ，y )，则|a |＝□06 x 2＋y 2.知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点．(1)两点之间的距离公式AB ＝|AB→|＝□01 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点坐标公式设线段AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝□02x 1＋x 22，y ＝□03y 1＋y 22.1．求平面上向量坐标的三种方法(1)将向量用单位向量e 1，e 2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标；(3)用向量终点的坐标减去始点的坐标．2．向量的坐标与点的坐标的区别(1)当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同．(2)(x ，y )在直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x ，y )，向量(x ，y )．(3)向量坐标前带“＝”而点的坐标前不带．注意：两个相等向量的始点和终点可以不同．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若a ＝(a 1，a 2)，则将a 任意平移后其坐标仍为(a 1，a 2)．4．通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对也表示一个向量．也就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样就可以把许多几何问题代数化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把一个向量分解成两个互相垂直的基向量，叫做向量的正交分解．( ) (2)AB→＝(－2，－1)即表示B (－2，－1)，A (0,0)．( ) (3)两个相等向量的始点和终点相同．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知AB→＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________． (2)在平面直角坐标系内，已知i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示为a ＝________.(3)若点A (3,5)，B (2,1)，则向量AB→的坐标为________． (4)若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是________．答案 (1)(－2－x,1－y ) (2)(1，－2) (3)(－1，－4) (4)(－3，－4)题型一 平面向量的坐标表示例1 已知向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由平面向量基本定理，知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．[答案] A向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．由于向量的起点可以任意选取，如果向量是以坐标原点为始点的，则向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，则向量的坐标就与其终点的坐标不同．如图，分别用单位正交基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解 由图可知a ＝AA 1→＋AA 2→＝2i ＋3j ，∴a ＝(2,3)．同理可得b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)，c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)，d ＝2i －3j ＝(2，－3).题型二 平面向量的坐标运算例2 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标．(1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)．(2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．(3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．平面向量坐标的线性运算(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行．(2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行．(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则|c |＝________；(2)已知向量a ＝(x 2－3x －4，x ＋3)，b ＝(0,2)，若a ＝b ，求x 的值．答案 (1)1853 (2)见解析解析 (1)由已知得3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43， ∴|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝1853. (2)根据“两向量相等，则其对应坐标相等”列方程组求解．∵a ＝b ，∴⎩⎨⎧x 2－3x －4＝0，x ＋3＝2，解得x ＝－1. 题型三 两点间的距离公式与中点坐标公式例3 已知平面内的三个点A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)．(1)求AB →＋12AC →的坐标；(2)求AB ＋AC 的长．[解] (1)∵A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)，∴AB →＝(7－1,0＋2)＝(6,2)，AC →＝(－5－1,6＋2)＝(－6,8)．∴12AC →＝(－3,4)， ∴AB →＋12AC →＝(6,2)＋(－3,4)＝(3,6)． (2)由两点间的距离公式得，AB ＝(7－1)2＋(0＋2)2＝36＋4＝210.AC ＝(－5－1)2＋(6＋2)2＝36＋64＝10.∴AB ＋AC ＝10＋210.故AB ＋AC 的长为10＋210.(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标．(2)求线段的长度时，注意利用两点间的距离公式求解．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，点M 为BC 的中点． (1)求点M 的坐标；(2)求BC ＋2BM 的长．解 (1)设C (x ，y )，则AC→＝(x －0，y －1)＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即⎩⎨⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，所以C (－4，－2)，由中点坐标公式知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－42，2－22， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. (2)由两点间的距离公式，可知BC ＝(－4－3)2＋(－2－2)2＝49＋16＝65.BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＋(0－2)2＝494＋4＝652. ∴BC ＋2BM ＝65＋65＝265.∴BC ＋2BM 的长为265.题型四 平面向量坐标运算的应用例4 已知平面上三个点的坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，(1)当平行四边形为ABCD 时，AB→＝DC →， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎨⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，同(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，同(1)可得D (6,15)．综上所述，点D 可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．1.进行向量坐标运算的常见方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数．2．利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,2)，B (4,3)，C (3,6)，AP→＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上；(2)试求实数λ为何值时，点P 在第三象限内．解 设P (x ，y )，因为AP→＝AB →＋λAC →， 所以OP →＝O A →＋AP →＝O A →＋AB→＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(4,3)＋λ(4,4)＝(4＋4λ，3＋4λ)．(1)因为点P 在第二、四象限的角平分线上，所以x ＝－y ，所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－78，所以当λ＝－78时，点P 在第二、四象限的角平分线上．(2)因为点P 在第三象限内，所以⎩⎨⎧ x <0，y <0，所以⎩⎨⎧4＋4λ<0，3＋4λ<0，解得λ<－1. 所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．1．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 答案 D解析 ∵AB→＝MB →－MA →＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)， ∴12AB →＝(2,1)．2．若向量a ＝(x －2,3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则x ＝________，y ＝________. 答案 3 1解析 ⎩⎨⎧ x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.3．如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)解析 解法一：将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)．b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．解法二：分别将向量a ，b ，c 的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a ＝(－4,0)，b ＝(0,6)，c ＝(－2，－5)．解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a ＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b ＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c ＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．4．设AB→＝(－2，－5)，B 点坐标为(－1,3)，则A 点坐标为________． 答案 (1,8)解析 设A (x ，y )，则⎩⎨⎧－1－x ＝－23－y ＝－5，解得x ＝1，y ＝8，即A (1,8)．5．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，求a 和b . 解 解法一：设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎨⎧ m ＋p ＝2，n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，n －q ＝16，解得⎩⎨⎧ m ＝－3，n ＝4，p ＝5，q ＝－12.所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)．解法二：a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝(－3,4)，b ＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝(5，－12)．。

高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。

本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。

1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。

也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。

这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。

如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示知识点二 平面向量共线的坐标表示已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 是线段P 1P 2的中点，则点P 的坐标为□02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；若P 是线段P 1P 2上距P 1较近的三等分点，则P 点的坐标为□03⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；若P 是线段P 1P 2上距P 2较近的三等分点，则P 点的坐标为□04⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.1．线段定比分点的坐标公式 (1)线段定比分点的定义如图所示，设点P (x ，y )是线段P 1P 2上不同于P 1，P 2的点，且满足|P 1P →||PP 2→|＝λ，即P 1P →＝λPP 2→，λ叫做点P 分有向线段P 1P 2→所成的比，P 点叫做有向线段P 1P 2→的以λ为定比的定比分点．(2)定比分点的坐标表示设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎨⎧x －x 1＝λ(x 2－x )，y －y 1＝λ(y 2－y )，当λ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ.则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地，①当λ＝1时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，这就是线段P 1P 2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P 在P 1P 2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 2．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．3．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(1，－2)，则a ＝－2b .( ) (2)已知A (0,2)，B (4,4)，则线段AB 的中点坐标为(2,3)．( )(3)已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则C 点的坐标可能是(9,1)．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 时，有x 1x 2＝y 1y 2成立．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14) D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)(2)已知向量a ＝(2，－3)，若a ＝2b ，则b ＝( ) A ．(4，－6) B ．(－6,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 (3)若平面内三点A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则m 为( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2(4)已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标为________．答案 (1)D (2)C (3)A (4)(1，－1)题型一 向量数乘运算的坐标表示例1 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量： (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． (3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．在▱ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对称中心为O ，则CO →等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1,10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.题型二 向量数乘运算的简单应用例2 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[解析] 因为c ＝λ1a ＋λ2b ，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.[答案] D利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解 (1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理，可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)， 又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.题型三 向量共线例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________；(2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解析] (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)， 所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． 因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.(2)解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， 因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．解法二：由题意知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)， 因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． [答案] (1)2 (2)见解析向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . (2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.答案 1解析 因为a －2b ＝(3，3)与c ＝(k ，3)共线，所以3k ＝3×3，故k ＝1.题型四 点共线问题例4 (1)若点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝________；(2)设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x －1,4)．因为点A ，B ，C 共线，所以AB →与AC →共线． 所以7×4－72(x －1)＝0，解得x ＝9.(2)解法一：若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线，则存在实数λ，使得AB →＝λAC →，因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)． 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)． 即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ(10－k )，－7＝λ(k －12)，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． 解法二：由题意知AB →，AC →共线， 因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． [答案] (1)9 (2)见解析三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解 (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )． ∵AB →∥CD →， ∴x 2＝4，x ＝±2.(2)由已知得BC →＝(2－2x ，x －1)， 当x ＝2时，BC →＝(－2,1)，AB →＝(2,1)，∴AB →和BC →不平行，此时A ，B ，C ，D 不在一条直线上； 当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)， ∴AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线．又AB →∥CD →，∴A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． 综上，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.题型五 定比分点坐标公式例5 线段M 1M 2的端点M 1，M 2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M 1M →＝－2MM 2→，则点M 的坐标为( )A ．(3,8)B ．(1,3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)[解析] 设M (x ，y )，利用线段定比分点的坐标公式， 得x ＝1＋(－2)×21＋(－2)＝3，y ＝5＋(－2)×31＋(－2)＝1.[答案]C定比分点的两个特殊情况(1)中点坐标公式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y＝y 1＋y 22.(2)重心坐标公式：在△ABC 中，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 满足P 1P →＝λPP 2→，求λ及y 的值．解 解法一：因为P 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，y －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2，PP 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8－12，3－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－172，3－y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y －2＝λ－172，3－y )．,根据向量相等，得⎩⎨⎧－52＝－172λ，y －2＝λ(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.解法二：因为P 1(3,2)，P 2(－8,3)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，所以点P 分P 1P 2→所成的比λ＝12－3－8－12＝517. 由定比分点的坐标公式得y ＝2＋517×31＋517＝4922. 题型六 向量共线的应用例6 在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．[解] ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4，3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)． ∵OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54. 同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， 而AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.① 而CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②由①②，得x ＝127，y ＝2. ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.[变式探究] 若将本例中的“OC →＝14OA →”改为“OC →＝13OA →”，其他条件不变，再试求M 点的坐标．解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，又OC →＝13OA →， ∴C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，同理D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 设M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72，∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20，①又∵CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －53，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43，C ，M ，B 三点共线，∴43x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －53＝0，即x －3y ＋5＝0，②由①②解得，x ＝85，y ＝115， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，115.由向量共线求交点坐标的方法如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．解 ∵OP →与OB →共线，故设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝(4λ－4,4λ)，AC →＝(2－4，6－0)＝(－2,6)． 由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0.解得λ＝34.∴OP →＝(4λ，4λ)＝(3,3)．故点P 的坐标是(3,3)．1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2 答案 A解析 a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.2．设点P 是P 1(1，－2)，P 2(－3,5)连线上一点，且P 2P →＝－12PP 1→，则点P 的坐标为( )A ．(5，－9)B ．(－9,5)C ．(－7,12)D ．(12，－7)答案 C解析 ∵P 2P →＝－12PP 1→，∴P 2是P 1P 的中点，∴P (－7,12)．故选C.3．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点的坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)答案 C解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋6)，AB →＝(－8,8)．∵A ，B ，C 三点在同一条直线上，∴x －3－8＝y ＋68，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x ＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.4．与a ＝(12,5)平行的单位向量为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.5．平面内给出三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求解下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解 (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)∵a ＋k c ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，又(a＋k c)∥(2b－a)，∴2(3＋4k)＝－5(2＋k)，∴k＝－1613.。