人教A版(2019)高中数学必修二 6 4 3余弦定理 第1课时 学案(无答案)

余弦定理问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( )(5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6.已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3.答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A. (2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ， 因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， 所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值． 解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ， 显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k 2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 【解】 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2.所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ， 所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3 解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝bc .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12.[C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.- 11 - (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14.②又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.。

“余弦定理”教学设计一．教学内容解析从教材来看，本节课选自人教版数学必修第二册第六章第6.4.3节，在学习这个知识之前，学生已经学习了平面向量的概念、运算、基本定理和坐标表示，并以向量为工具，探究了向量在平面几何中的应用，本课在此基础上研究三角形.三角形是平面几何中最常见最重要的图形之一,三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具.本节课利用向量探究三角形边长与角度的关系，突出了向量在解三角形中的应用，展示了以向量为工具解决问题的优越性，发现了向量的巨大作用，感受到向量运算的力量，在证明余弦定理之后。

进一步用其解决实际问题，体现了向量教学的整体性以及数学与现实生活的联系和在实际应用中的价值。

在解决实际问题的过程中，感受数学的重要价值，体会学好数学的重要作用，发现数学与生活的密切联系，解决问题，联系以往学习的三角函数、向量的数量积等知识，理解事物之间普遍联系与辩证统一。

根据上述分析，确定本单元的教学重点:引导学生发现它的基本特征，建立清晰系统的知识结构，发展数学表达和数学应用的能力。

教学难点：余弦定理的发现，从不同角度证明余弦定理。

一．教学目标及核心素养1.经历向量的运算过程，探究三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理及其推论的证明过程。

2.类比余弦定理的学习过程，探究正弦定理，体验向量在解决问题中的优越性；4.能用余弦定理解决简单的实际问题，以解三角形知识为载体，体会解三角形与现实世界的密切联系。

5.经历把实际问题转化为数学问题的过程，提高学生分析和解决问题的能力。

在实际问题的应用过程中,培养学生文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力，发展学生的直观形象，数学建模，逻辑推理和数学运算素养。

6.达成上述目标的标志是：（1）学生知道向量是解三角形问题中的重要数学工具，能利用向量的运算探究三角形的边长和角度的关系。

6.4.3 第1课时余弦定理~6.4.3 第2课时正弦定理『知识导学』知识点 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 必记结论 三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．『自测练习』1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2『解 析』：在△ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4.∴b ＝2. 『答 案』：A2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32『解 析』：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.『答 案』：B3．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 『解 析』：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.『答 案』：1534『考点探究』考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|『题组训练』1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3『解 析』：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b <c ，得b ＝2. 『答 案』：C2．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.『解 析』：因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin 45°＝6sin 60°，解得 AC ＝2. 『答 案』：23．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．『解 析』：因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8×sin A ，解得sin A＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8×cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.『答 案』：7 『规律方法』正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． 考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状|『典题悟法』『典例1』在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 『解』 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形． 『规律方法』判定三角形形状的两条途径(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁． 『演练冲关』1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理， 得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·(a 2＋b 2－c 2)2ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形． 考点三 三角形的面积问题|『典题悟法』『典例2』△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 『解』 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 『规律方法』三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 『演练冲关』2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.易错防范系列：三角变换不等价致误『典例』在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． 『解』 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2『sin(A ＋B )＋sin(A －B )』＝a 2『sin(A ＋B )－sin(A －B )』， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B.法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．『易误点评』 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形． (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解．(3)结论表述不规范．『防范措施』 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．『跟踪练习』 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin Ccos A .(1)求角B 的大小；(2)已知a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．解：(1)tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin Ccos A cos B，∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos Bac ， ∵a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3， 即b 2＋2ac cosπ3ac ＝3，∴b 2ca＝2，而b 2ca ＝sin 2B sin A sin C ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝38.。

教学设计标题：余弦定理学情分析：一方面，学生在初中阶段已经知道：已知三角形的两边及夹角，那么这个三角形是唯一确定的，对此有一个定性的认识，不过还不能定量去描述它们的关系。

另一方面，学生学习余弦定理之前已经学习了向量和三角函数等相关知识，具备自主探究推导余弦定理的知识储备.教学目标：1. 通过问题探究，学生能运用向量推导出余弦定理，发展学生的逻辑推理能力，达到逻辑推理核心素养水平一的要求；2. 通过多种方法证明余弦定理，发展培养学生的数学思想方法，达到数学抽象核心素养水平一的要求；3.通过解决简单的解三角形问题，巩固学生对余弦定理的理解于与应用，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重难点：重点：1.探究和证明余弦定理的过程；2.运用余弦定理解三角形.难点：余弦定理的证明.教学过程：一、引言我们知道，三角形两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，已知三角形两边及其夹角，其他的边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？二、研究探讨探究：在∆ABC 中，三个角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，怎样用a,b 和C 表示c ？问题1在∆ABC 中，记CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c , 那么在∆ABC 中，用a,b 和C 表示c 的本质就是用|a |,|b |和向量a 与b 的夹角来表示|c |，你能表示出来吗？因为c =a −b故|c |2=(a −b )2=a 2+b 2−2a ∙b =a 2+b 2−2|a ||b |cos C所以c 2=a 2+b 2−2ab cos C同理可得a 2=c 2+b 2−2bc cos Ab 2=a 2+c 2−2ac cos B三、概念形成通过以上探究，我们得到了三角形边角关系的一个重要定理：余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a 2=c 2+b 2−2bc cos Ab 2=a 2+c 2−2ac cos Bc 2=a 2+b 2−2ab cos C探究思考：你还能用其它方法证明余弦定理吗？问题2在问题1中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？学生解答：如图所示，以点C 为坐标原点建立直角坐标系，根据任意角三角函数的定义，可得则A (0,b ),B(a sin C ,a cosC ),则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a sin C ,acosC −b),|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(a sin C )2+(a cos C −b )2=a 2+b 2−2ab cos C 所以c 2=a 2+b 2−2ab cos C同理可得a 2=c 2+b 2−2bc cos Ab 2=a 2+c 2−2ac cos B问题3我们发现，当三角形其中一个角为90°时，余弦定理就是初中阶段所学的勾股定理，那你能否用平面几何方法证明余弦定理呢？学生解答：当C 为直角时，根据勾股定理得c =√a 2+b 2； 当C 为锐角时，如图1，BH =a sin C ,CH =a cos C ,AH =b −CH =b −a cos C , 在Rt∆BHA 中，c 2=(a sin C )2+(b −a cos C )2=a 2+b 2−2ab cos C ；当C 为钝角时，如图2，BH =a sin(π−C)=a sin C ,CH =a cos (π−C )=−a cos C ,AH =b +CH =b −a cos C , 在Rt∆BHA 中，c 2=(a sin C )2+(b −a cos C )2=a 2+b 2−2ab cos C ；综上，c 2=a 2+b 2−2ab cos C .同理可得:a 2=c 2+b 2−2bc cos Ab 2=a 2+c 2−2ac cos B【设计意图】学生刚学完向量，通过问题1的引导，可以得到问题1的解答，从而得到余弦定理.问题1的解答是利用向量的线性运算和数量积运算，向量还有坐运算，由此设计了问题2，帮助学生更全面的应用向量，在运算过程中需要注意B 点坐标的求法.问题3的设置目的是鼓励学生建立数学知识之间的联系，培养学生解题思H C B A H C B A维的灵活性，也更进一步说明了向量强大之处！四、概念深化问题4(1)根据余弦定理，我们可以从三角形已知的两条边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？学生解答：根据余弦定理，可以得到下列推论：cos A=b2+c2−a22bccos B=a2+c2−b22accos C=a2+b2−c22ab(2)一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.余弦定理及推论可以解已知三角形哪些元素的三角形？学生解答：可以解已知两边及其夹角和已知三边的三角形.【设计意图】问题设置帮助学生加深对余弦定理的记忆，并掌握余弦定理的应用方向.通过问题的设置，培养学生自主研讨能力、合作交流能力、分析问题能力五、应用举例例1在∆ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm).分析：这是已知三角形的两边及其夹角的解三角形问题，故先使用余弦定理求出第三边，然后根据推论求出其余的角.解：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=602+342−2×60×34×cos41°≈1676.78所以a≈41(cm)根据余弦定理的推论，得cos B =c 2+a 2−b 22ca =342+412−6022×34×41=−7632788利用计算器，可得B ≈106°所以C =180°−(A +B )≈180°−(41°+106)=33°.练习1在∆ABC 中，a =7,b =8,锐角C 满足sin C =3√314，求B (已知sin 8°≈17) 分析：由条件可求cos C ,再利用余弦定理及其推论可求出B 的值.学生解答:解：因为sinC =3√314,且C 为锐角， 所以cos C =√1−sin 2C =√1−(3√314)2=1314.由余弦定理，得 c 2=a 2+b 2−2ab cos C =49+64−2×7×8×1314=9 所以c =3进而cos B =a 2+c 2−b 22ac=49+9−642×7×3=−17 而由sin 8°≈17 可知cos 98°=cos (90°+8°)=−sin 8°=−17又B ∈(0°,180°),故B ≈98°.【设计意图】通过例题讲解，让学生灵活掌握并运用余弦定理，提升学生数学运算素养和解决问题的能力.六、归纳总结(1)比较余弦定理的三种证法，总结其思想方法.几何法、代数法、向量法.几何直观，代数精确，向量兼具数与形,更加强大！(2)余弦定理可以解决哪些常见的解三角形问题？其本质思想是什么？ 可以解决“SAS 、S SS”问题,本质是方程的思想.七、课后作业教材第44页练习第1-3题。

6.4.3余弦定理、正弦定理单元——课时教学设计一、内容和内容解析1.内容本单元包括利用向量法证明余弦定理、正弦定理，求解三角形，以及余弦定理、正弦定理的应用举例.2.内容解析①内容的本质：正弦定理和余弦定理是直角三角形中边与角关系的推广和一般化，是对三角形边角关系的定量刻画，是三角形边角变化过程中的“不变性”，是三角形中边与角相互联系与转化的桥梁和纽带.正弦定理和余弦定理产生的背景主要有三个方面：一是三角形中边与角之间有确定的关系，因此定性的“大边对大角，大角对大边”应该可以定量刻画；二是由三角形全等的判定定理可知，如果三角形的三边或两边及其夹角或两角及一边确定，那么这个三角形的其他边和角随之确定；三是直角三角形中有明确的边角关系，这些边角关系也许可以推广到一般三角形中.②内容蕴含的思想和方法正弦定理和余弦定理的教学过程中，主要用到如下思想方法：一是转化，即化未知为已知、化不熟悉为熟悉、化几何问题为向量问题；二是联想，即为了寻找和发现三角形的边角关系，联想到向量加法的三角形法则、向量的投影和向量的数量积公式；三是特殊到一般、一般到特殊，即通过特殊实际问题推导出余弦定理，再将余弦定理应用到特殊的问题情境中；四是数形结合，即利用三角形，观察余弦定理与问题情境中的边角关系，从而进行应用. ③知识的上下位关系“余弦定理”教学内容选自人教版(A版)高中新教材必修第二册第六章第四节，在本单元之前，学生已经学习了平面向量的概念、运算、基本定理和坐标表示，并以向量为工具，探究了向量在平面几何和物理中的应用，在此基础上学生继续以正弦定理、余弦定理为抓手研究向量在解三角形中的重要作用.三角形是平面几何中最重要的图形之一，余弦定理和正弦定理刻画三角形边角关系，为解三角形提供基本工具.余弦定理在解决三角形一类问题中起着重要作用，也经常被运用于解决空间几何问题中，所以是高中数学学习中一个十分重要的内容.④内容的育人价值学习正弦定理和余弦定理的内容，对于培养学生文字语言、图形语言及符号语言相互转化的能力有帮助.而在实际问题中应用解三角形，通过分析数学化，建立数学模型，然后利用余弦定理和正弦定理求解，可以培养学生直观想象、数学建模和逻辑推理等素养，提高学生分析问题、解决问题的能力.用不同方法探究余弦定理和正弦定理，能认识到研究过程中用到联想、转化、分类讨论及方程等思想方法，享受研究与发现的乐趣，体会余弦定理和正弦定理所蕴含的简洁美、对称美、和谐美及统一美.⑤本单元教学重点证明余弦定理和正弦定理，余弦定理和正弦定理的应用.二、学情分析1.问题诊断学生已经掌握了平面几何中证明求解的几何法与解析法，并掌握了向量基础知识，能够利用向量法解决平面几何问题，积累了一定的数学活动经验.在此基础上利用几何法、向量法、解析法等探求余弦定理，学生已有一定的基础，但证明方法单一.因此，本单元主要存在三个难点.其一，解决几何问题可以用几何法、解析法和向量法.学生对向量法较为陌生，需要教师创设问题情境凸显向量法的简洁性.其二，在解三角形问题中，学生在如何应用定理解决问题存在疑惑，需要教师帮助学生明确正弦定理和余弦定理的应用范围.其三，在运用余弦定理和正弦定理解三角形问题时，会出现对三角形唯一确定性的讨论，学生往往无法在定量的结果中分析出解的情况.教师可以从几个方面帮助学生加深认识，一是，联系初中所学习的证明三角形全等的方法，明确何时才会出现三角形不唯一确定的情况；二是，在讨论三角形的唯一确定性时，可以从定性角度联系初中学习过的“大边对大角”、“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”明确方法；三是，可以利用问题情境帮助学生梳理出从定量角度，满足何种边角关系三角形不唯一确定；四是，从代数角度利用好一元二次方程中根的判别式，帮助学生进行取舍.2.教学难点利用多种方法证明余弦定理和正弦定理，并简单运用定理.三、教学目标1.教学目标（1）通过创设问题情境，探究三角形的边角关系，体会特殊到一般，提升学生数学建模、数学抽象核心素养；（2）通过定理的证明过程，掌握余弦定理和正弦定理，体会转化与化归的思想方法，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养；（3）通过探究定理的应用情境，解决简单的实际问题，并能利用余弦定理初步判断三角形的形状，体会数形结合的思想方法.2.达成目标的标志（1）能够在实际情境中，抽象出数学问题；（2）能利用向量法，推导余弦定理和正弦定理；（3）能利用余弦定理、正弦定理解三角形，或解决简单的实际问题，并判断三角形是否唯一确定.四、教学支持条件分析本单元教学可以通过创设情境及问题导学，激发学生求知欲，并推动学生思考、探究、解决问题、发现规律.在应用过程中，引导学生解法优化，一题多解并对比分析，掌握证明过程与结论.教师可在定理证明及应用过程中，加强对学生作图能力的培养，帮助学生数形结合，更加直观地呈现问题，克服学习中可能遇到的困难.五、课时教学设计（一）课时教学内容：余弦定理的发现、证明与应用（二）课时教学目标1. 通过创设问题情境，探究三角形的边角关系，体会特殊到一般，提升学生数学建模、数学抽象核心素养；2. 通过定理的证明过程，掌握余弦定理及其推论，体会转化与化归的思想方法，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养；3. 经历定理三种语言的相互结合和转化，解决简单的实际问题，并能应用余弦定理初步判断三角形的形状，体会数形结合的思想方法.（三）课时教学重难点教学重点：余弦定理的证明.教学难点：余弦定理的探究过程.（四）教学过程设计1. 问题设计环节一：提出解三角形问题【问题1】思考能否将这一问题进一步抽象成数学问题？环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在ABC ∆中，已知,AC BC 和C ∠，求线段AB 的长度.探究活动1：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题.追问1：画图并回答，如何用向量表示问题中的几何元素？追问2：几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？追问3：如何在向量运算中，运用已知量中的夹角？追问4：如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？【问题3】问题2中，已知量及未知量分别为三角形中的哪些元素？有何关系？ 环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问1：如图，你有什么发现？追问2：余弦定理的公式结构具有什么样的特征？环节四：余弦定理的推广与应用探究活动2：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪些应用？【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问1：余弦定理涉及几个元素？可以用于解决几类问题？追问2：结合三角形全等判定定理回答，何时三角形具有唯一确定性？画图验证一下.【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？追问1：若A 不为直角，2a 与22bc +间又有什么关系？【问题7】本节课我们学习了哪些内容？你有哪些收获？ 2. 教学设计·第一阶段推导余弦定理环节一：提出解三角形问题引入情境：如图所示，设无法到达的两个山峰的顶点分别为,A B .其中，利用现代的测量工具可以测得地面上可到达的一点和其它任意一点的距离，也可以测得地面上可到达的一点和其它任意两点连线的夹角.那么我们如何获得两点,A B 间的距离呢？在地面上任取一点C ，三点,,A B C 可以构成一个三角形，然后借助三角形的边角关系来求解.通过测量，可以得到两边,AC BC 的长度和C ∠的大小.【问题1】思考能否将这一问题进一步抽象成数学问题？预设1：在ABC ∆中，已知,AC BC 和C ∠，求线段AB 的长度.【设计意图】通过问题1，把实际问题转化为数学问题，培养学生的数学抽象素养.让学生从解决实际问题的角度体会求解三角形问题的必要性，感受数学的实用性. 环节二：用向量法解决解三角形问题问题引导语：我们已经学习过用向量方法解决几何问题，通常要先用向量表示相应几何元素，通过向量运算研究其关系，并得到相应结论.【问题2】在ABC ∆中，已知,AC BC 和C ∠，求线段AB 的长度.探究活动1：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题.追问1：画图并回答，如何用向量表示问题中的几何元素？预设1：AB AC CB =+.预设2：AB CB CA =-.追问2：几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？预设1：可以转换成向量的模，即线段AC 的长度为AC 的模，线段BC 的长度为BC 的模，线段AB 的长度为AB 的模，即AC CB +. 预设2：可以转换成向量的模，即线段AC 的长度为CA 的模，线段BC 的长度为CB 的模，线段AB 的长度为AB 的模，即CB CA -. 追问3：如何在向量运算中，运用已知量中的夹角？ 预设1：向量数量积运算涉及夹角，AC 与BC 的夹角为C ∠的补角，故()cos cos AC BC AC BC C AC BC C π⋅=-=-.预设2：向量数量积运算涉及夹角，C ∠为CA 和CB 的夹角，故cos CA CB CA CB C ⋅=.追问4：如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？预设1：若利用()22AC CB AC CB+=+， 进而()2222AC CB AC CB AC CB +=++⋅，()2222cos AC CB AC CB AC CB C +=+-， 2222cos AB AC CB AC CB C =+-，即2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅.预设2：若利用()22CB CA CB CA -=-，进而()2222CB CA CB CA CA CB -=+-⋅，()2222cos CB CA CB CA CA CB C -=+-， 2222cos AB CB CA CA CB C =+-，即2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅.【问题3】问题2中，已知量及未知量分别为三角形中的哪些元素？有何关系？预设1：涉及ABC ∆中的元素边和角，其中已知三角形的两边一角，角为两个已知边的夹角，所求边为三角形的第三边.一般地，把三角形的三个角,,A B C 和它们的对边,,a b c 叫做三角形的元素.像这样，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【设计意图】通过问题2及探究活动1，先解决实际问题，初步感受余弦定理的应用性，并完成用向量法推导余弦定理的过程，感受向量法在几何问题中的应用，提升数学建模和逻辑推理的核心素养.通过问题3，利用数学问题情境，明确何为解三角形问题，以及三角形的关键要素有哪些，为进一步理解公式结构及定理适用范围做铺垫.·第二阶段理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理引导语：2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅又可表示为2222cos c a b a b C =+-⋅，这就是余弦定理的内容.【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问1：如图，你有什么发现？预设1：2222cos a b c b c A =+-⋅追问2：用文字语言和符号语言分别表述定理？文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：在ABC ∆中，,,AB c BC a AC b ===，则：2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-. 追问2：余弦定理的公式结构具有什么样的特征？预设1：每一个等式都有四个量，即三条边和一个角；等式左侧为其中一边的平方；等式右侧为另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍；其中左侧的边所对的角为等式右边的角.【设计意图】通过问题4学习余弦定理的不同表述方式以及公式特征，加深对余弦定理的认识，同时感受到公式所承载的简洁美和对称美.·第三阶段应用余弦定理环节四：余弦定理的推广与应用探究活动2：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪些应用.【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问1：余弦定理涉及几个元素？可以用于解决几类问题？预设1：余弦定理中有四个元素可知，因此可以进行知三推一，可以已知三边求角，或者已知两边一角求边.追问2：结合三角形全等判定定理回答，何时三角形具有唯一确定性？利用手中工具验证一下.（三根定长吸管，及一个三角板）预设1：在已知两边及其夹角求第三边时，三角形唯一确定，与其有关的判定定理为SAS .预设2：在已知三边求角时，三角形唯一确定，与其有关的判定定理为SSS .因此，余弦定理又有形式：222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac +-=；222cos 2a b c C ab+-=. 预设3：在已知两边及其对角时，三角形可能不唯一，如图所示.【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？预设1：若A 为直角，则cos 0A =，故222a b c =+.因此，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理也是余弦定理的特例.追问1：若A 不为直角，2a 与22b c +间又有什么关系？预设1：若A 为锐角，则cos 0A >，根据2222cos a b c bc A =+-，可知222a b c <+.若A 为钝角，则cos 0A <，根据2222cos a b c bc A =+-，可知222a b c >+. 引导语：请同学们解决下列问题，并验证猜想.【设计意图】通过问题5从余弦定理的结构特征出发，进一步明确定理的适用范围.通过追问2，联系三角形全等判定定理，讨论余弦定理适用范围中，三角形何时具有唯一确定性.通过问题6，进一步加深认识余弦定理与勾股定理的关系，并明确余弦定理在判断三角形形状中的应用.通过探究活动2，体会数形结合的重要思想.例1在ABC ∆中，3,4,37a b c ===ABC ∆的最大内角.分析：根据大边对大角，c 为最长边，所以其对角C 最大，再根据222cos 2a b c C ab +-=求解即可.解析：c a >，c b >，∴角C 最大. 由222916371cos 22342a b c C ab +-+-===-⨯⨯， (0,)C π∈，23C π∴=. 小结：已知三边解三角形时，可以利用余弦定理的公式变形.因为三角形唯一确定，所以有唯一解.变式在ABC ∆中，3,4,6a b c ===，判断ABC ∆的形状并说明原因.分析：根据问题6可知，判断三角形形状可以利用三角形的最大边，并比较最大边的平方及另外两边的平方和，进而得出结论.解析：c b a >>，又22236,16925c b a =+=+=，222c a b ∴>+，即ABC ∆为钝角三角形.小结：利用余弦定理的特殊结论，可以判断三角形形状.【设计意图】通过问题情境及例题1，帮助学生理解，余弦定理主要用于“知三推一”类问题的解决，常见的问题为“两边夹角求边”或“三边求角”.例2 在ABC ∆中，已知︒===60C ,3,4c b ，求a .分析：已知两边一角求第三边，可用余弦定理，由于已知角为C ，故选择公式2222cos c a b ab C =+-.解析：2222cos c a b ab C =+-29164a a ∴=+-，即2450a a -+=，2(2)1a -=31a a ∴==或由三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边1() 3.a a ∴==舍， 小结：已知两边一角解三角形时，若解不唯一确定，可以利用三角形边的关系进行取舍.变式在ABC ∆中，已知︒===45B ,32,23b a ，求c .分析：已知两边一角求第三边，可用余弦定理，选择公式2222cos b a c ac B =+-. 解析：2222cos b a c ac B =+-212186c c ∴=+-，即2660c c -+=，2(3)3c -=3+33-3c a ∴==或经检验，均能构成三角形.【设计意图】通过例题2，帮助理解三角形何时具有唯一确定性，且当利用余弦定理建立一元二次求解时，如何进行解的取舍.通过例题，凸显余弦定理的应用性，提升学生数学运算的核心素养.环节五：余弦定理，由探究到应用【问题7】本节课我们学习了哪些内容？你有哪些收获？预设1：我们学习了余弦定理，利用三种不同思路来解决这个问题，几何法、向量法、解析法，涉及到转化思想、方程思想和分类讨论思想.预设2：余弦定理，主要应用于解三角形问题，涉及两边一角求边时，如果角为已知边夹角，则三角形唯一确定，如果不为夹角，则需要讨论解的情况，如果是利用三边求角，则三角形唯一确定.【设计意图】通过对余弦定理推导过程、公式结构及应用性总结，加强学生对本节课的整体认识.（五）板书设计（看教学设计改不改的）（六）目标检测设计1．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，6c =，2cosC 3=，则a =（）A ．3B ．4C ．5D ．62. 在ABC ∆中，187cos 7a c A ===，，，则b = ，C ∠= . 3．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b 3B C a ==，，则cos A =（）A ．32B ．13C ．22D ．12【解析】1.A1b =，6c =2cosC 3=，∴由余弦定理2222abcosC c a b =+-，可得：2261213a a =+-⨯⨯⨯， 可得：234a 150a --=， ∴解得：3a =或a= 53-，（舍去）．2.5；π3由余弦定理可得2216449272497b b b b =+-⨯⨯⨯=-+， 故22150b b --=，故3b =-（舍）或5b =， 故64254912582cos C +-∠==⨯⨯，而C ∠为三角形内角，故π3C ∠=. 3.B 在ABC ∆中，2b 3B C a ==，，c b ∴=， 则222222()13cos 2bc 3b b b bc a A +-+-===． （七）作业设计1．在ABC ∆中，若222bc a b c =++，则A = .︒2．在ABC ∆中，若2253ac 2c b a a =-=，，则cos B 的值为（） A ．13 B ．12 C ．15 D ．143．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且2a =，3b =，4c =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于 ．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a c +=，43b =.求B 的取值范围.【解析】1.120 根据余弦定理可知222cosA 2bcc b a +-= 222bc a b c =++()222bc b c a ∴=-+-1cosA 2∴=- 120A ∴=︒2.D 由余弦定理：22225ac 153512cos 2ac 2ac 24244c a c b c B a -+-===⨯-=-= 3.292- 因为2a =，3b =，4c =，所以AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅()()()πππaccos B abcos C bccos A =-+-+-accosB abcosC bccosA =---222222222222a c b a b c b c a ac ab bc ac ab bc+-+-+-=-⋅-⋅-⋅ ()22222222212a c b a b c b c a =-+-++-++- ()22212a b c =-++ ()22212342=-⨯++ 292=- 4.解：在ABC ∆中由余弦定理()2222222b a c accosB a c ac accosB =+-=+--，因为8a c +=，43b =，所以(223822ac accosB =--，即8ac accosB +=， 所以()28811124cosB ac a c =-≥-=-+，当且仅当4a c ==时取等号， 又()0πB ∈，，所以2π03B <≤.。