2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是________ A 、1a B 、2a C 、3a D 、4a 解：分母先减后增，以2n =为最小值点，所以2a 最大，故选B ． 2．函数3log 3xy =的图像是________A B C D解：变式：3log , 131, 01xx x y x x≥⎧⎪==⎨<<⎪⎩，故选A ． 3．已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得PO F ∆是直角三角形，则这样的点P 共有________A 、0个B 、2个C 、4个D 、6个 解：只须考虑直角的可能情形：由抛物线的光学性质：平行与抛物线对称轴的光线射到抛物线 上，反射后必经过抛物线的焦点；这样反射点的切线与法线垂 直；因此，旋转可知：OPF ∠不可能是直角；而POF ∠显然不 可能是直角，所以只有OFP ∠可能是直角；故选B ．4．设()f x 是定义在R 上单调减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>，则________A 、123()()()0f x f x f x ++>B 、123()()()0f x f x f x ++<C 、123()()()0f x f x f x ++=D 、123()()()f x f x f x +>解：由12121212120()()()()()()0x x x x f x f x f x f x f x f x +>⇒>-⇒<-⇒<-⇒+<；同理可得：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<； 三式相加可得：123()()()0f x f x f x ++<；故选B ．5．过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线都成等角的直线一共有________A 、0条B 、1条C 、4条D 、无数条 解：由于12条棱是由三组棱构成，每组4条互相平行；而这三组恰可由过一顶点P 的3条棱代表；过这个 顶点P 的3条棱，两两互相垂直；又空间一点可以 通过平移，看成过这个顶点P 的情形；考虑正方体 如右图，绿色正方体是题目中的长方体，其余7个 正方体是辅助的（因为正方体才会有等角）；与中间 3条红棱成等角的直线共有4条，即过点P 的大正方 体的4条体对角线；故选C ． 6．在ABC ∆中，1tan 2A =，cos B =，若ABC ∆的最长边为1，则最短边的长为________ABCD解：构造适合的图形，取5AB k =，点D 在AB 上，CD AB ⊥；且有2AD k =，3BD k =，CD k =；于是AB 最长，AC 最短，AC =；而51AB k ==；因此，15AC ==D ． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合{3,,010}A x x n n N n ==∈<<，{5,,06}B y y m m N m ==∈≤≤，则集合AB 的所有元素之和为________解：{3,,010}{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}A x x n n N n ==∈<<=；{5,,06}{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30}B y y m m N m ==∈≤≤=；{ 15 }AB =；利用容斥原理：135********A B A B A B =+-=+-=∑∑∑∑． 8．设cos 2θ=，则44cos sin θθ+的值是________ 解：变式442222222211111cos sin (cos sin )2sin cos cos 2sin 2cos 222218θθθθθθθθθ+=-+=+=+=．1A 9．23(3)x x -的展开式中，5x 的系数为________解：展开：23031222223233333(3)(3)(3)(3)x x C x C x x C x x C x -=+-+-+-； 易知，5x 的系数是223(3)27C -=．10．已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是________解：22x y +的几何意义是可行域中的点(,)x y 到原点的距离的平方；画图便知：22x y +的最大值是9．11．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n =________时，()f n 有最大值． 解：(1)12(1)21211()2020()2n n n n nn f n a a a a q -+++-===⨯-； 易知：当n 或1n -是4的倍数时()f n 是正数，才可能是最大的；考察：(1)12(1)212020()(1)122020()()212020()2n nn n n n n f n f n ++-⨯-+==⨯-⨯-，可知：取12n =，适合； 故当12n =时，()f n 有最大值．12．长方体1111ABCD A B C D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线1AC 的取值范围是________ 解：如图，设AB x =，AD y =，1AA z =；则由已知可得：222416x z +==，22239y z +==； 于是222222116925AC x y z z z =++=+-=-； 而由图形可知：03z <<；所以22125(16, 25)AC z =-∈，即1(4, 5)AC ∈．三、解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：{13}A x x =-≤<，()(){30}B x x a x a =--<；当0a >时，{03}B x a x a =<<<，由A B ≠∅，得：03a <<； 当0a <时，{30}B x a x a =<<<，由AB ≠∅，得：1a >-；D E CB A当0a =时，2{0}B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-．14．椭圆22194x y +=的右焦点为F ，1224,,,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中1P是椭圆的右顶点，并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠．若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求2S 的值．解：在椭圆中，3a =，2b =，故c= 0)F ，e =设i FP 与x 轴正方向的夹角为1θ，i d 为点i P 到右准线的距离； 则()2cos 1i i a d e c cθ+=-．即()21cos 1i i c e d b θ=+；同理：()()1222121cos 1cos 1i i i c ce d b b θθ++=+=-+； 所以：212112i i c d d b ++==；从而2411i id ==∑2180S =．15．ABC ∆中，AB AC <，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且BAD EAC ∠=∠；证明BAC ∠是直角．证明：如图，取AB 中点I ，连ID IE 、；则IE 为中位线，所以//IE AC ，且IEA EAC ∠=∠； 而BAD EAC ∠=∠，所以IEA BAD ∠=∠．…………① 在直角ADB ∆中，I 为斜边中点， 所以ID IA =，从而BAD IDA ∠=∠．…………② 联合①、②得A I D E 、、、四点共圆；∴BAD IEB C ∠=∠=∠，∴90B C ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒． 16．设p 是质数，且271p +的不同正因数的个数不超过10个．求p ． 解：当2p =时，22717535p +==⨯，有(11)(21)6++=个正因数；当3p =时，24718025p +==⨯，有(41)(11)10++=个正因数； 所以2p =、3p =满足条件；当3p >时，271(1)(1)72p p p +=-++；其中p 为奇质数，所以(1)p -与(1)p +是相邻的两个偶数，从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数， 从而(1)(1)p p -+是24的倍数；设23712423p m m +=⨯=⨯⨯，其中4m ≥；若m 中有不同于2、3的质因数，则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>； 若m 中含有质因数3，则271p +的正因数个数()()312110≥++>； 若m 中仅有质因数2，则271p +的正因数个数()()511110≥++>； 所以3p >不满足条件；综上所述，所求得的质数p 是2或3．。

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题 1、下列三数16273,log 82,log 1242的大小关系正确的是 （ ） A 、16273log 82log 1242<< B 、27163log 124log 822<<C 、27163log 124log 822<<D 、27163log 124log 822<<2、已知两点A （1,2），B （3,1）到直线LL 共有（ ）A 、1条B 、2条C 、 3条D 、 4条 3、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。

记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则2006(2006)f =（ ）A 、20B 、4C 、42D 、1454、设在xOy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合 {}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ⋂所表示的图形面积为（ ）A 、13 B 、23 C 、1 D 、435、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。

A 、2006B 、21003 C 、210031003- D 、210031002- 6、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为（ ）。

A 、2B 、4C 、6D 、8 二、填空题7、手表的表面在一平面上。

整点1,2,,12 这12个数字等间隔地分布在半径为2的圆周上。

从整点i 到整点()1i +的向量记作1i i t t + ，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅＝ 。

2006年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为A. 20B. 25C. 30D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a L 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a L 的个数为 A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。

2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）以0B 和1B 为焦点的椭圆与△01A B B 的边i A B 交于i C （0,1i =）. 在0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00B P 为半径作圆弧 00P Q 交10C B 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，10C Q 为半径作圆弧 01Q P 交1B A 的延长线于1P ；以1B 为圆心，11B P 为半径作圆弧 11P Q 交10B C 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，01C Q 为半径作圆弧 10Q P '，交0AB 的延长线于0P '. 试证：（1） 点0P '与点0P 重合，且圆弧 00P Q 与 01P Q 相内切于0P ； （2） 四点0011,,,P Q Q P 共圆.【证明】（1）显然0000B P B Q =，并由圆弧 00P Q 和 01Q P ， 01Q P 和 11P Q ， 11P Q 和 10Q P '分别相内切于点011,,Q P Q ，得1000C B B Q C P +=,11111001B C C P B C C Q +=+以及0100.C Q C B B P '=+ 四式相加，利用11101000B C C B B C C B +=+以及0P '在00B P 或其延长线上，有0000B P B P '=.从而可知点0P '与点0P 重合。

由于圆弧 10Q P 的圆心0C ,圆弧 00P Q 的圆心0B 以及0P 在同一直线上，所以圆弧 10Q P 和 00P Q 相内切于点0P . （2）现在分别过点0P 和1P 引上述相应相切圆弧的公切线0P T 和1P T 交于点T.又过点1Q 引相应相切圆弧的公切线11R S ，分别交0P T 和1P T 于点1R 和1S .连接01P Q 和11P Q ，得等腰三角形011P Q R 和111P Q S . 基于此，我们可由()()0110111111010101110 P Q P P Q R P Q S P P T Q P P P PT Q P P ππ∠=-∠-∠=-∠-∠-∠-∠而 011101110P Q P Q P P Q P P π-∠=∠+∠，代入上式后，即得()011100112P Q P P P TP P Tπ∠=-∠+∠.同理可得()001100112P Q P P P T P P T π∠=-∠+∠.所以四点0011,,,P Q Q P 共圆.二、（本题满分50分）已知无穷数列{}n a 满足y a x a ==10,，1111--+++=n n n n n a a a a a ,,2,1=n .1) 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数0n ，使当0n n ≥时n a 恒为常数？ 2) 求通项n a . 【解】1) 我们有2111111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -+--+--=-=++，1,2,.n = （2.1）所以，如果对某个正整数n ，有1n n a a +=，则必有 21n a =, 且 10n n a a -+≠.如果该1n =，我们得1y = 且 x y ≠-.（2.2）如果该1n >，我们有121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------+---=-=++, 2n ≥ （2.3）和121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------++++=+=++, 2.n ≥ （2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得222121212111n n nn n n n a a a a a a a ---------=⋅++, 2.n ≥ （2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或1x = 且 y x ≠-. （2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当2n ≥时，必有n a =常数，且常数是1或－1. 2）由（2.3）和（2.4），我们得到1212111111n n n n n n a a a a a a -------=⋅+++, 2.n ≥ （2.7）记11n n n a b a -=+, 则当2n ≥时，2232122322334334()()n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b ------------======由此递推，我们得到12111111n n F F n n a y x a y x --⎛⎫---⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 2,n ≥（2.8）这里12n n n F F F --=+，2n ≥, 011F F ==. （2.9）由（2.9）解得111122n n n F ++⎛⎫⎛⎫⎛+-⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. （2.10） 上式中的n 还可以向负向延伸，例如120,1F F --==.这样一来，式（2.8）对所有的0n ≥都成立.由（2.8）解得21212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n F F F F n F F F F x y x y a x y x y --------+++--=++---, 0n ≥. （2.11）式（2.11）中的12,n n F F --由（2.10）确定.三、 （本题满分50分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-.66,20,6,2444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x 【解】 令 ,,p x z q xz =+=我们有222333444222,3,42,p x z q p x z pq p x z p q q =++=++=++-同样，令 ,,s y w t yw =+=有222333444222,3,42.s y w t s y w st s y w s t t =++=++=++-在此记号系统下，原方程组的第一个方程为2p s =+. （3.1）于是2233244344,6128,8243216,p s s p s s s p s s s s =++=+++=++++现在将上面准备的234,,p p p 和234,,s s s 的表达式代入，得2222333324422442232244,336128,42428243216,x z q y w t s x z pq y w st s s x z p q q y w s t t s s s ++=++++++=+++++++-=++-++++利用原方程组的第二至四式化简，得222223221, (3.2)244, (3.3)224121625, q t s pq st s s p q q s t t s s s =+-=++--=-+++- (3.4)将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得 1.2s t =- （3.5）将（3.5）代入（3.2），得5 2.2q s =- （3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得 2.s = 所以有 0,4, 3.t p q === 这样一来，,x z 和,y w 分别是方程2430X X -+=和220Y Y -=的两根 即3,1x z =⎧⎨=⎩ 或 1,3x z =⎧⎨=⎩且2,0y w =⎧⎨=⎩ 或 0,2.y w =⎧⎨=⎩详言之，方程组有如下四组解：3,2,1,0x y z w ====；或 3,0,1,x y z w ====；或 1,2,3,0x y z w ====；或 1,0,3,2x y z w ====.。

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a ,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a +b 的值等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||f x x =+()f x 的解析式是 （ ）A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB + B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D 5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sincos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<则角θ的取值范围是（ ） A ．[0,]4πB ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n ≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n ≤40的数组（m,n ）的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos 31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin 5α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式;（2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。

2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】1．B 2．A3．B 4．B 5．C 6．D 7．225 8．1118 9．27 10．9 11．1212．()4,5 13．解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由AB ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由AB ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与AB ≠∅不符． 综上所说，()()1,00,3a ∈-．14．解：椭圆中，3a =，2b =，故c =)F，3e =． 设i FP 与x 轴正向的夹角为i ϑ，i d 为点i P 到右准线的距离．则()2cos 1i i a d e c cϑ+=-．即()21cos 1i i c e d b ϑ=+． 同理()()1222121cos 1cos 1i i i c c e d b b ϑϑ++=+=-+． 所以2121122i i c d d b ++==． 从而2411i i d ==∑ 2180S =． 15．如图，取AB 中点I ，连ID 、IE ．则IE 为中位线，所以//IE AC ，且IEA EAC ∠=∠．而BAD EAC ∠=∠，所以IEA BAD ∠=∠．…………① 在直角△ADB 中，I 为斜边中点，所以ID IA =，从而BAD IDA ∠=∠．…………② 联合①、②得A 、I 、D 、E 四点共圆．所以BAD IEB C ∠=∠=∠，∴ 90B C ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒．16．解：当2p =时，22717535p +==⨯，有()()11216++=个正因数； 当3p =时，24718025p +==⨯，有()()411110++=个正因数．BC所以2p =、3p =满足条件．当3p >时，()()2711172p p p +=-++．其中p 为奇质数，所以()1p -与()1p +是相邻的两个偶数，从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数，从而()()11p p -+是24的倍数．设23712423p m m +=⨯=⨯⨯，其中4m ≥．若m 中有不同于2、3的质因数，则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>； 若m 中含有质因数3，则则271p +的正因数个数()()312110≥++>； 若m 中仅有质因数2，则271p +的正因数个数()()511110≥++>． 所以3p >不满足条件．综上所说，所求得的质数p 是2或3．。