第7课一元二次方程及其应用

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► 类型之二
一元二次方程的解法
命题角度： 命题角度： 1．直接开平方法 ． 2．因式分解法 ． 3．公式法 ． 4．配方法 ．
绥化] 例 3 [2011·绥化 一元二次方程 a2 － 4a－ 7＝ 0 的解为 绥化 － ＝ a1＝2＋ 11，a2＝ 2－ 11 ＋ ， － ____________________________． ．
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南京] 例 4 [2011·南京 解方程： x2－4x＋1＝0. 南京 解方程： ＋ ＝
＝－1. 解：方法一：移项，得 x2－ 4x＝－ 方法一：移项， ＝－ 配方， ＝－1＋ ， 配方，得 x2－ 4x＋4＝－ ＋ 4， ＋ ＝－ 即 (x－2)2＝ 3， － ， 由此可得 x－2＝± 3， － ＝ ， 所以 x1＝2＋ 3，x2＝ 2－ 3. ＋ ， － 方法二： ＝ ， ＝－ ＝－4， ＝ 方法二： a＝1，b＝－ ， c＝1. ＝－ × × ＝ ， 因为 b2－4ac＝(－4)2－ 4×1×1＝12>0， 4± 12 所以 x＝ ＝ ＝ 2± 3. 2 x1＝ 2＋ 3，x2＝2－ 3. ＋ ， －
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[注意 列一元二次方程解应用题时应注意： 注意] 列一元二次方程解应用题时应注意： 注意 (1)认真审题，看应用题是涉及什么问题，基本数量关系是 认真审题， 认真审题 看应用题是涉及什么问题， 什么． 什么． (2)善于从不同的类型问题中找出各量之间的等量关系，列 善于从不同的类型问题中找出各量之间的等量关系， 善于从不同的类型问题中找出各量之间的等量关系 出方程． 出方程． (3)注意抓住题中的一些表达相等关系的语句来列方程． 注意抓住题中的一些表达相等关系的语句来列方程． 注意抓住题中的一些表达相等关系的语句来列方程 (4)必须对方程的解加以检验，看看它是否有实际意义． 必须对方程的解加以检验， 必须对方程的解加以检验 看看它是否有实际意义．
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[解析 方法一 公式法： a＝1， ＝－ ， ＝－ ， 解析] 公式法： ＝ ， ＝－4， ＝－7， b＝－ c＝－ 解析 ∵ － b± b2－ 4ac 4± 42＋28 ∴ a＝ ＝ ＝ ＝ 2± 11. 2a 2 即 a1＝ 2＋ 11，a2＝ 2－ 11. ＋ ， － 配方法： 方法二 配方法： 移项， 移项，得： a2－ 4a＝7， ＝ ， 方程两边同时加上 4，得 a2－ 4a＋4＝11， ， ＋ ＝ ， 即 (a－2)2＝ 11， － ， ∴ a－2＝± 11， － ＝ ， 即 a1＝ 2＋ 11，a2＝ 2－ 11. ＋ ， －
[解析] 一元二次方程有两个不相等实数根的条件是 ∆＝(－ 2)2－ 4( a－ 1)× 1>0， ) ( － ) ， ＝ 解得 a<2 且 a≠1，故选择 C. ≠ ， a－1≠0. － ≠
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式 ∆＝b2－ 判别一元二次方程有无实数根， 判别一元二次方程有无实数根 ＝ 4ac 的值，看它与 0 的大小关系 ．因此，在计算前应先将方程化为 的值， 的大小关系．因此， 一般式； 一般式； (2)注意：二次项系数不为零． 注意： 注意 二次项系数不为零．
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考点1 一元二次方程的概念及一般形式
1．一元二次方程：只含有____个未知数，并且未知数最高 ．一元二次方程：只含有 一 个未知数 个未知数， 2 次数是________的整式方程． 的整式方程． 次数是 的整式方程 2 ＋ ＝ ≠ 2．一般形式： ______________________. ．一般形式： ax ＋ bx＋c＝0(a≠0) 3． ． 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的值相等 一元二次方程的解： 的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． 的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． [注意 在一元二次方程的一般形式中要注意强调 a≠0. 注意] 注意 ≠
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考点2 一元二次方程的四种解法
1． ． 直接开平方法： 它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝ (cx 直接开平方法： 它适合于 ＋ ≥ 或 ＋ 形式的方程． ＋d)2 形式的方程． 2．因式分解法：它是最常用的方法．主要运用提公因式法、 ．因式分解法：它是最常用的方法．主要运用提公因式法、 平方差公式、完全平方公式进行因式分解． 平方差公式、完全平方公式进行因式分解． 3．公式法：它是一种 “万能”的公式 ，一定要先把方程整 ．公式法：它是一种“万能”的公式， 理成一般形式． 理成一般形式．方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且 b2－4ac≥0 在因 ＋ ＝ ≠ ， ≥ 式 分解 不能 奏效 时 ， 往往 用公 式法 ， 使 用公式 法时 ， x1,2 ＝ －b± b2－4ac . 2a
[解析 设平均每月增长的百分率是 x，根据题意，得 160(1＋ 解析] 解析 ，根据题意， ＋ x)2＝ 250. ＝－225%(舍去 ． 舍去)． 解得 x＝25%或 x＝－ ＝ 或 ＝－ 舍去 所以平均每月增长的百分率是 25%.
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平均增长率问题的模型： 万元， 平均增长率问题的模型 ：知道 4 月份的利润为 a 万元， 6 万元， 月份的利润为 b 万元，从而求出每个月的增长率 x，则有 a(1＋ ， ＋ x)2＝ b.
答案是 x1＝0，x2＝ 1. ，
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济宁] 例 2 [2011·济宁 已知关于 x 的方程 x2＋bx＋a＝0 有一个根是 济宁 ＋ ＝ － a(a≠0)，则 a－b 的值为 ≠ ， － A．－ ．－1 ．－ B．0 ． C．1 ． D．2 ． ( A )
[解析 把 x＝－ 代入 x2＋ bx＋a＝0，得 (－a)2＋b×(－a)＋ 解析] ＝－a 解析 ＝－ ＋ ＝ ， － ×－ ＋ a＝0，得 a2－ ab＋a＝0，即 a－b＋1＝0，即 a－b＝－ ，故选择 ＝－1， ＝ ， ＋ ＝ ， － ＋ ＝ ， － ＝－ A.
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考点4 列一元二次方程解应用题
1．增长率中的等量关系 ． (1)增长率＝增量÷基础量． 增长率＝增量 基础量． 增长率 基础量 (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长 设 为原来的量， 为平均增长率， 为增长次数， 后的量， 后的量，则 a(1＋m)n＝ b，当 m 为平均下降率时 a(1－m)n＝b. ＋ ， － 2．利率中的等量关系 ． (1)本息和＝本金＋利息． 本息和＝ 本息和 本金＋利息． (2)利息＝本金×利率×期数． 利息＝ 利息 本金×利率×期数． 3．利润中的等量关系 ． (1)毛利润＝售出价－进货价． 毛利润＝ 毛利润 售出价－进货价． (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用． 纯利润＝售出价－ 进货价－其他费用． 纯利润 (3)利润率＝利润 进货价． 利润率＝ 进货价． 利润率 利润÷进货价
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江津] 的一元二次方程(a－ 例 6 [2011·江津 已知关于 x 的一元二次方程 －1)x2－ 2x 江津 ( C ) ＋ 1＝0 有两个不相等的实数根， a 的取值范围是 ＝ 有两个不相等的实数根， 则 A．a<2 B．a>2 ． ． C．a<2 且 a≠1 D．a<－2 ． ≠ ． －
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► 类型之三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况 ． 2．求一元二次方程字母系数的取值范围 ．
娄底] 例 5 [2011·娄底 如果方程 x2＋2x＋a＝0 有两个相等的实数 娄底 ＋ ＝ 1 的值为________． 根，则实数 a 的值为 ．
[解析 ∆＝b2－ 4ac＝0，即 4－4a＝0，a＝1. 解析] ＝ 解析 ＝ ， － ＝ ， ＝
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4．配方法：这是一种重要的数学方法，也是一种“万 ．配方法：这是一种重要的数学方法，也是一种“ 的方法，若没有特别的规定一般不用来解方程． 能”的方法，若没有特别的规定一般不用来解方程． 配方法解方程的步骤： 配方法解方程的步骤：化二次项系数为 1→把常数项 → 移到方程的另一边→ 移到方程的另一边 →在方程两边同时加上一次项系数一半 的平方→把方程整理成(x＋ 的形式→ 的平方→把方程整理成 ＋ a)2＝ b 的形式→ 运用直接开平 方法解方程． 方法解方程．
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│ 归类示例
解：(1)第一条边长为 a，第二条边长为 2a＋2，第三条边长为 第一条边长为 ， ＋ ， 30－a－(2a＋2)＝28－3a. － － ＋ ＝ － (2)不可以是 7. 不可以是 理由： 理由： ∵ a＝7 时，2a＋2＝16,28－3a＝7，即第一条边长为 7， ＝ ＋ ＝ － ＝ ， ， 第二条边长为 16，第三条边长为 7.又∵7＋7＜16，不满足三边之间 ， 又 ＋ ＜ ， 的关系， 不能构成三角形． 的关系 ，∴不能构成三角形． 根据三角形的三边关系， 根据三角形的三边关系， 2a＋2－a＜28－3a＜2a＋2＋a.解得 得 ＋ － ＜ － ＜ ＋ ＋ 解得 13 13 ＜a＜ . ＜ 2 3 (3)能围成直角三角形形状，当 28－3a 是最长边时， a2＋(2a＋ 能围成直角三角形形状， 能围成直角三角形形状 － 是最长边时， ＋ 2)2＝ (28－3a)2，解得 a1＝ 5，a2＝ 39(不合题意，舍去 ，∴三边边长 不合题意， － ， 不合题意 舍去)， 分别是 5,12,13.当 2a＋2 是最长边时， a2＋ (28－3a)2＝ (2a＋2)2，由 当 ＋ 是最长边时， － ＋ 于解不是整数，舍去． 能围成直角三角形形状， 于解不是整数，舍去． ∴能围成直角三角形形状，三边边长分别为 5,12,13.
·江 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 命题角度： 1．一元二次方程的概念 ． 2．一元二次方程的一般式 ． 3．一元二次方程的解的概念 ．