第七讲--一元二次方程的性质(201911整理)

一元二次方程的像与性质一元二次方程是数学中常见且重要的形式之一，它具有一些独特的性质与像。

本文将就一元二次方程的像以及相关的性质进行探讨。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，a ≠ 0。

我们先来了解一下一元二次方程的定义和一些基本概念。

1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指在方程中只有一个未知数x，并且该未知数的最高次项系数为2。

这种方程的一般形式如前所述。

2. 一元二次方程的根与解一元二次方程的根是指能够使方程等式成立的未知数值。

解是指找出一元二次方程的根的过程。

根据韦达定理，一元二次方程的解可由以下公式得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)这里的±表示两个解，一个为加号，一个为减号。

了解了一元二次方程的定义和相关概念后，我们来探讨一下一元二次方程的像与性质。

1. 一元二次方程的像一元二次方程的像是指图像在平面坐标系中所呈现的形状。

一元二次方程的像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。

当a > 0时，方程y = ax^2 + bx + c的像是开口向上的抛物线。

抛物线的顶点是最小值点，也是方程的最小值。

当a < 0时，方程y = ax^2 + bx + c的像是开口向下的抛物线。

抛物线的顶点是最大值点，也是方程的最大值。

2. 一元二次方程的性质一元二次方程具有一些重要的性质，我们来逐一了解。

性质1：对称性一元二次方程的抛物线具有轴对称性，即关于抛物线的顶点对称。

性质2：判别式一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来求解方程的根的性质。

根据Δ的值，可以得到以下结论：a) 若Δ > 0，则方程有两个不同的实根；b) 若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；c) 若Δ < 0，则方程无实根，但可以存在复数根。

性质3：顶点坐标一元二次方程的抛物线的顶点坐标可以通过以下公式求解：x = -b/(2a)y = -(Δ)/(4a)性质4：方程的图像与系数的关系通过调整一元二次方程的系数a、b、c的值，我们可以改变抛物线的开口方向、大小和位置。

一元二次方程引言：一元二次方程是初中数学中的重要内容，通过学习一元二次方程的基本概念、性质和求解方法，可以帮助我们解决实际问题，提高数学解题能力。

本文将介绍一元二次方程的定义、性质及应用，并详细阐述常用的求解方法。

一、一元二次方程的定义和性质1. 定义：一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的系数，且a ≠ 0。

2. 基本性质：（1）一元二次方程的最高次项是二次项，即x的指数为2；（2）一元二次方程的系数a、b、c可以是任意实数，其中a ≠ 0；（3）一元二次方程的解可以是实数或复数；（4）一元二次方程的解的个数最多为2个；（5）一元二次方程在平面直角坐标系上的解对应于方程的图像与x 轴的交点。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过求解各个因式为零的方程来求解一元二次方程。

2. 公式法：使用一元二次方程的求根公式可以求解任意一元二次方程。

根据韦达定理，一元二次方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为： x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a三、一元二次方程的应用举例1. 求解实际问题：一元二次方程在解决实际问题时发挥着重要作用。

例如，通过设立一元二次方程可以求解物体的抛体运动、盈亏平衡、几何图形的面积等问题。

2. 几何意义：一元二次方程的解对应于方程的图像与x轴的交点，这一特性能够帮助我们求解几何图形的交点和切点等问题。

结论：通过学习一元二次方程的定义、性质和求解方法，我们可以更好地解决实际问题，培养数学思维和解题能力。

同时，掌握一元二次方程的基本概念也为进一步学习高等数学和实际应用奠定了坚实的基础。

一元二次方程性质一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，具有广泛的应用领域。

本文将从方程的定义、一元二次方程的性质以及解法等方面进行论述。

1. 方程的定义方程是一个等式，其中含有未知数。

而一元二次方程指的是只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为二的方程。

一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。

2. 一元二次方程的性质一元二次方程具有以下几个重要的性质：2.1 平方差公式平方差公式是一元二次方程中的重要成立式，它可以用来将完全平方的一元二次式转化为一个二次项与某个常数之差的形式。

平方差公式的具体形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 和 (a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2。

2.2 解的性质一元二次方程的解可以分为三种情况：实根、重根和虚根。

实根指的是方程的解为实数，重根指的是方程有两个相同的实数解，虚根指的是方程的解为复数。

解的性质与一元二次方程的判别式有关，判别式Δ = b^2 - 4ac 的值决定了方程的解的性质。

2.3 方程与图像一元二次方程与二次函数之间有着密切的联系。

对于一元二次方程y = ax^2 + bx + c而言，其对应的二次函数图像是一个抛物线。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。

3. 解法解一元二次方程的常用方法有以下几种：3.1 因式分解法当一元二次方程可以通过因式分解得到两个一次因式相乘时，可以直接得到方程的解。

例如：x^2 + 5x + 6 = 0可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，解得x = -2或x = -3。

3.2 公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ = b^2 - 4ac。

通过将方程的系数代入公式，可以直接计算出方程的解。

一元二次方程等式的基本性质一元二次方程在数学中是一种十分重要的方程形式，其形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$x$为未知量，$a,b,c$为已知量且$a\neq0$。

在解决实际问题时，很多时候需要使用到一元二次方程等式的基本性质。

在这篇文章中，我们将对一元二次方程等式的基本性质进行详细的分析。

1. 唯一解首先是一元二次方程具有唯一解的性质。

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，当且仅当$b^2-4ac>0$时，它有两个不相等的实数解；当$b^2-4ac=0$时，它有两个相等的实数解；当$b^2-4ac<0$时，它没有实数解。

这一性质可以很容易地从方程的根公式中得到证明。

2. 对称性其次是一元二次方程具有对称性的性质。

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，称$x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$为一根，$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$为另一根。

由于一元二次方程中$x$的系数都是偶数次项，因此当$x$取一个值时，原方程的值与$x$取相反数的值也是相等的。

这表明，一元二次方程在相等意义下具有对称性。

3. 同解方程另一个关键性质是同解方程。

对于形如$ax^2+bx+c=0$和$kax^2+kbx+kc=0$的两个一元二次方程，设它们的根分别为$x_1,x_2$和$y_1,y_2$，则这两个方程是同解方程的充分必要条件是$x_1+y_1=x_2+y_2$并且$x_1y_1=x_2y_2$。

这一性质可以从二次方程根公式的推导过程中得到证明。

利用同解方程的性质，我们可以通过简单的变形来计算一元二次方程的根。

4. 求解问题最后是一元二次方程在求解实际问题中的应用。

在实际问题中，很多时候需要通过一元二次方程来求解未知量。

例如在物理学中，我们可以利用一元二次方程来计算自由落体运动的速度和高度；在经济学中，我们可以使用一元二次方程来计算企业生产成本和利润等。

一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。

在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。

在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。

1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。

举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。

完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。

举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。

举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。

一元二次方程的性质与解法一元二次方程是高中数学中的重要内容，它在代数学中有着重要的应用和解决实际问题的能力。

本文将介绍一元二次方程的性质和解法，并给出详细的解题步骤，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是常数，且a≠0。

一元二次方程最高次项是二次项，未知数的最高次数是2。

在解一元二次方程之前，我们先来看一下它的一些性质。

一、一元二次方程的解的个数根据一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac，我们可以得到解的个数的结论。

1. 当Δ＞0时，方程有两个不同实根；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根，也称为重根；3. 当Δ＜0时，方程无实根。

此时，方程的解为共轭复数。

二、一元二次方程的解的性质1. 设x₁, x₂为方程ax²+bx+c=0的两个根，则有以下关系成立：（1）x₁+x₂=-b/a；（2）x₁x₂=c/a；2. 方程x²+(a+b)x+ab=0的两个根分别为-1和-a；3. 如果方程ax²+bx+c=0有根α，则其对应的齐次方程ax²+bx+c=0的通解为x=k(α+1)，其中k为常数。

解一元二次方程的方法有很多，我们下面将介绍三种常用的解法。

一、配方法步骤：1. 将一元二次方程ax²+bx+c=0移项并进行因式分解，即得到(a₁x+b₁)(a₂x+b₂)=0；2. 求解出(a₁x+b₁)=0和(a₂x+b₂)=0的两个一元一次方程；3. 解出这两个一元一次方程，得到两组根：x₁= -b₁/a₁，x₂= -b₂/a₂；4. 将得到的解带入原方程进行验证，如果两边相等，则说明解是正确的。

二、公式法步骤：1. 计算出方程的判别式Δ=b²-4ac，确定解的个数；2. 根据解的个数和判别式的结果，采取相应的公式求解：（1）当Δ＞0时，方程的两个解分别为x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实根，即x₁=x₂=-b/2a；（3）当Δ＜0时，方程无实根，解为共轭复数。

一元二次方程知识点总结
一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。

以下是一元二次方程的知识点总结:
1. 一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有一个未
知数的二次方程，通常表示为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为已知常数，x 为未知数)。

2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法包括配方法、公
式法、因式分解法等。

其中，配方法是最常用的解法，它可以使一元二次方程化为一个完全平方公式的形式，从而方便解出未知数的值。

3. 一元二次方程的性质：一元二次方程的性质包括根的分布性质、根的符号性质、根的近似计算等。

其中，根的分布性质指出，一元二次方程的根的分布情况取决于系数 a、b、c 的大小。

4. 一元二次方程的应用：一元二次方程在数学、物理、化学等
领域中都有广泛的应用。

例如，在物理中，一元二次方程可以用来描述物体的运动轨迹;在化学中，一元二次方程可以用来表示化学反应
的平衡状态等。

5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式是指 b2-4ac，它可以用来判断一元二次方程是否有实数根、有几个实数根等。

6. 一元二次方程的逆用：一元二次方程的逆用是指利用一元二
次方程的根的判别式和根的分布性质来求解未知数的方法。

例如，如果已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实数根，可以利用逆用定理求解未知数的值。

以上是一元二次方程的知识点总结。

在学习一元二次方程时，需要掌握基本概念、解法、性质、应用和判别式等方面的知识，并且结合实际问题进行理解和应用。

一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。

它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。

在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。

2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。

2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。

4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。

四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。

它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。

一元二次方程的基本概念与性质一元二次方程是数学中的重要概念，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

本文将从基本概念和性质两个方面来探讨一元二次方程的相关内容。

一、基本概念一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，通常表示为：ax² + bx + c = 0。

其中，a ≠ 0，a、b、c为已知常数，且a、b均不为零。

在解一元二次方程之前，需要了解以下几个基本概念：1. 方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次数为2。

2. 系数：方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

3. 解：解是指能够使方程成立的未知数值，也就是使方程的左边等于右边的值。

二、性质1. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。

判别式Δ = b² - 4ac的值决定了解的情况。

a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，也称为重根；c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可以有共轭复数解。

2. 解的表示形式：解可以用根的形式或者用因式分解的形式表示。

a) 用根的形式表示解时，通常表示为x₁、x₂。

例如方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为x₁ = (-b + √Δ) / (2a)和x₂ = (-b - √Δ) / (2a)。

b) 用因式分解的形式表示解时，通常表示为(x - α)(x - β) = 0。

例如方程x² - (α + β)x + αβ = 0的解即为α和β。

3. 特殊情况：a) 当a = 0时，方程变为一元一次方程，解是唯一确定的。

b) 当c = 0时，方程成为一元二次齐次方程，解中必定包含0。

4. 图像表示：一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过方程的a值的正负来判断抛物线开口的方向。

a) 当a > 0时，抛物线开口向上；b) 当a < 0时，抛物线开口向下。

一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要概念，也是解析几何和函数的基础知识。

在本文中，我们将详细介绍一元二次方程的概念、性质以及解法。

同时，我们还将通过实际问题的例子来展示一元二次方程在现实生活中的应用。

一、概念和性质一元二次方程是指只含有一个未知数x的二次方程，一般的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c都是已知数且a≠0。

其中，a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项。

一元二次方程的最高次数为2，因此它有两个根或者解。

二、解法1. 因式分解法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果方程的解能够通过因式分解来求得，那么我们可以直接将方程写成(x+m)(x+n)=0的形式，其中m 和n为已知数。

然后令x+m=0和x+n=0，解得x=-m和x=-n，这两个值即为方程的解。

2. 完全平方公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果方程不能直接因式分解，我们可以借助完全平方公式来求解。

完全平方公式是指二次三项式的平方可以通过两个线性项的平方来表示。

具体而言，一元二次方程ax^2+bx+c=0的解可以通过以下公式求得：x = (-b±√(b^2-4ac))/2a其中，±表示两个解，分别对应加号和减号。

3. 公式法除了使用完全平方公式，我们还可以利用一元二次方程的根与系数的关系来求解。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的两个根可以通过以下公式求得：x1 = (-b+√(b^2-4ac))/2ax2 = (-b-√(b^2-4ac))/2a其中，x1和x2分别表示方程的两个根。

三、应用实例一元二次方程在现实生活中有广泛的应用。

下面我们通过几个实际问题的例子来说明一元二次方程的应用。

1. 例题一：某物体自由落体运动的高度问题假设某物体从高度为h的地方自由落体，忽略空气阻力，以g表示重力加速度。

根据物体自由落体运动的规律，其下落时间t和下落距离d之间满足以下关系：d = 0.5gt^2。

一元二次方程的解的性质一元二次方程是数学中常见的一类方程，其形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为待求变量。

解一元二次方程即求出满足该方程的x的值，这些解是方程的根。

一元二次方程的解可以分为两种情况：有解和无解。

解的性质取决于方程的判别式Δ。

一、当Δ>0时，方程有两个不相等实根。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，将方程使用求根公式x = (-b ± √Δ)/(2a)进行求解，得到两个不相等实根。

这种情况下，方程的图像是开口向上的抛物线，两个解在x轴两侧。

二、当Δ=0时，方程有两个相等实根。

当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

此时，使用求根公式x = -b/(2a)求解，得到两个相等实根。

这种情况下，方程的图像是与x轴相切于一个点的抛物线。

三、当Δ<0时，方程无实根，只有复数根。

当Δ<0时，方程无实根，只有复数根。

此时，方程的图像是开口向上或向下的抛物线，且不与x轴相交。

方程的解为复数，具体形式为x = (-b ± i√(-Δ))/(2a)，其中i为虚数单位。

在实数范围内，方程无解。

综上所述，一元二次方程的解的性质由方程的判别式Δ决定。

判别式Δ>0时，方程有两个不相等实根；Δ=0时，方程有两个相等实根；Δ<0时，方程无实根，只有复数根。

除了解的性质外，一元二次方程还具有一些重要的性质，如对称性、顶点坐标等。

通过分析方程的解，我们可以对方程及其图像有更深入的理解和应用。

在实际生活和工作中，一元二次方程的解的性质和应用广泛存在于各个领域。

例如，在物理学中，一元二次方程可用于描述自由落体运动、抛体运动等问题；在经济学中，一元二次方程可用于描述成本、收益、利润等关系；在工程学中，一元二次方程可用于描述抛物线的弧线、曲线的受力等等。

总之，一元二次方程的解的性质与方程的判别式Δ密切相关，通过对判别式的值进行判断，可以获知方程的根的情况。

一元二次方程中的知识点一元二次方程是高中数学中的一个重要概念，它是由二次项、一次项和常数项组成的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0。

在解一元二次方程的过程中，我们需要掌握以下几个知识点。

一、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

在解一元二次方程时，我们需要考虑以下几个性质：1. 当a ≠ 0时，方程有两个根（可能相等），记作x1和x2；2. 当a = 0时，方程退化为一元一次方程，解为-x = c/b。

二、求解一元二次方程的方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过因式分解的方法求解方程。

具体步骤如下：（1）将方程因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式；（2）令(x - m)(x - n) = 0，得到两个一次方程x - m = 0和x - n = 0；（3）分别解这两个一次方程，得到x = m和x = n，即方程的两个根。

2. 公式法：当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示平方根。

根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负情况，可以判断方程有无实根和实根的个数。

三、一元二次方程的图像与性质1. 抛物线：一元二次方程的图像是一个抛物线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的函数。

2. 对称性：一元二次方程的图像具有轴对称性。

对称轴的方程为x = -b/2a，即抛物线的顶点所在的直线。

3. 判别式与根的关系：根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值，可以判断方程的根的情况：（1）当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；（2）当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，即重根；（3）当Δ < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。