第7讲 一元二次方程

第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用. 通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础.1. 因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法.2. 因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零(即：当 A B 0时，必有A 0或B 0 ;当A 0或B 0时，必有A B 0).②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题.3. 因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.例题分析【例1】解下列方程：2 2(1) x 3x 18 0 ；(2) 0.1x 1.2 0.4x .【例2】解下列方程:(1) 2x x 2【例3】解方程:x 2 ( .10 ..2)x 2... 5 0 .(1 '一 2)x 2 (3 . 2)x 2 0 .【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为 2和-3,用刚学的因式分解法思想， 直接写出满足条件的一个一元二次方程 _____________ .【例7】 学生A 在解一元二次方程 x(x 1) x 时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请 说明理由解：等式两边同时消去相同的数 x ,得到x 1 1解得x 2所以原方程的根为：x 2【例4】解方程: 【例5】解方程:【例8】 解关于x 的方程：3x 4 x 2 10 0.2 2 2(x 25x)2 10x 2 50x 24 0.例 10】 若 (a 2 b 2 2)(3 a 2 b 2)例 11 】 解关于 x 的方程： 2mx 2 (2m 1)x m 10.例 12】 解方程： y 2 2by a 22b 2 （ a 、b 为已知数）例 13】 解关于 x 的方程：(k 1)x 2 (3k 1)x2k 2 0 .例 14 】 解关于 x 的方程： 22 a2b 22x 4abx22a b ab 0例 9】 解关于 x 的方程：30 ，求 a 2 b 2的值.7.2配方法解一元二次方程知识精讲1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法.2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2.3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1:即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x m)2 n的形式;③当n 0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.例题分析【例15】用配方法解方程：y2 4 3y 2013 0 .【例16】用配方法解方程：2x2 5x 20 0 .【例17】用配方法解方程：0.3x2 0.2x — 0 .30【例18】用配方法解方程:(x 1)22(x 1) 1 0 (要求用整体法的思想求解)【例19】用配方法解关于x的方程：x2 2ax 4b2 a2 0.【例20】若把代数式x2 2x 3化为(x m)2 k的形式，其中m、k为常数，则m k _【例21】已知方程x2 6x q 0可以配方成(x p)2 7的形式，则x2 6x q 2可以配方成下列的( )(A)(x p) 5 ；( B)(x p)29 ；2 2(c) (x p 2) 9 ；( D) (x p 2) 5 .【例22】用配方法解关于x的方程：ax2 bx c 0 (a 0).【例23】已知△ ABC的一边长为4,另外两边长是关于x的方程x2 3kx 2k2 0的两根, 当k为何值时，△ ABC是等腰三角形?【例24】求证：无论x为何值，代数式2x2 4x 5的值总是小于2 .5x25y28xy 2y 2x 2 0 【例25】结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程:的实数解.7.3课堂检测1.用适当的方法解下列方程：2(1) 4x x 21 ; (2) (x 2)( x 2)2(x 2)；2.2 2(3) x22x 3 0 ; (4) x 3x2 2(5) 2x2x 7 0 ；(6) 4(x 3)2解方程：2x2 4 5x 4、5 .. 5x2 8 .3.如果x2 2(m 1)x m2 5是一个完全平方式，求m的值.4.用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2 6x 5的值总大于18 0 ；225(x 2)20 .0.5.解关于x 的方程：mx(m x) mn2 n(n2 x2) 0.6. 若实数x、y满足(x2 y2)2 (x2y2) 6 0 ,求x2 y2的值.7.4课后作业1. 用适当的方法解下列方程：(1)3x(x 1) 3x 3 ；( 2)7x223x 20 0 ；(3) 2x(x 2) x2 5 ；(4) (x 3)(x 4) 8 ;(5) (3x 2)(2x 1) x(3x 2) (6) (x21)25(x21) 4 0 ；(7) 2y2(•7 -5)y 号2. 若厶ABC的三边a、b、c的长度是x2 7x 6 0的解，求△ ABC的周长.3. 求证：无论x 为何值，代数式x2 4x 5 的值总是大于零．4. 若多项式x2 ax 2a 3是一个完全平方式，求a 的值.5. 解关于x 的方程：(m2 4n2)x2 (m2 12n2)x 2m2 6mn 0 (m2 4n2 0) .6. 已知x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求x y z 的值.。

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x x x ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。

第7讲因式分解法及配方法解一元二次方程知识框架利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．7.1 因式分解法解一元二次方程1.因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2.因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A时，必有0A或=⋅B==B时，必有0⋅BA）．=B；当0==A或0②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．3.因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】解下列方程：（1）23180-++=；（2）2x x-=．x x0.1 1.20.4【例2】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【例3】 解方程：()()25258x x +-+=．【例4】 解方程：052)210(2=++-x x ．【例5】 解方程：02)23()21(2=++-+x x ．【例6】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【例7】 学生A 在解一元二次方程x x x =-)1(时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11=-x 解得2=x所以原方程的根为：2=x【例8】 解关于x 的方程：010324=--x x ．【例9】 解关于x 的方程：0245010)5(222=+-+-x x x x ．【例10】 若30)3)(2(2222-=---+b a b a ，求22b a +的值．【例11】 解关于x 的方程：01)12(2=++++m x m mx ．【例12】 解方程：2222y by a b -=-（a b 、为已知数）．【例13】 解关于x 的方程：022)13()1(2=++-+-k x k x k ．【例14】 解关于x 的方程：()()2222240a b x abx a b ab --=-≠．7.2 配方法解一元二次方程1. 配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2. 配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±． 3. 配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；①移项：把常数项移到方程右边；②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成n m x =+2)(的形式； ③当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例15】 用配方法解方程：220130y --=．【例16】 用配方法解方程：020522=+--x x ．【例17】 用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【例18】 用配方法解方程：01)1(2)1(2=--+-x x （要求用整体法的思想求解）．【例19】 用配方法解关于x 的方程：042222=+--a b ax x ．【例20】 若把代数式322--x x 化为k m x --2)(的形式，其中m 、k 为常数，则=+k m．【例21】 已知方程062=+-q x x 可以配方成7)(2=-p x 的形式，则262=+-q x x 可以配方成下列的（）（A ）2()5x p -=； （B ）9)(2=-p x ；（C ）9)2(2=+-p x ；（D ）5)2(2=+-p x ．【例22】 用配方法解关于x 的方程：)0( 02≠=++a c bx ax ．【例23】 已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程02322=+-k kx x 的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【例24】 求证：无论x 为何值，代数式5422-+-x x 的值总是小于2-．【例25】 结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：022285522=+-+++x y xy y x 的实数解．7.3 课堂检测1. 用适当的方法解下列方程： （1）2142-=-x x ；（2）)2(2)2)(2(-=+-x x x ；（3）0322=++x x ；（4）01832=--x x ；（5）0722=-+x x ；（6）0)2(25)3(422=--+x x ．2. 解方程：855454222+=--x x x ．3. 如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，求m 的值．4. 用配方法说明：不论x 为何值，代数式2265x x -+的值总大于0．5. 解关于x 的方程：0)()(222=----x n n mn x m mx ．6. 若实数x 、y 满足06)()(22222=-+++y x y x ，求22y x +的值．7.4 课后作业1. 用适当的方法解下列方程：（1）33)1(3+=+x x x ；（2）0202372=--x x ；（3）5)2(22+=-x x x ；（4）8)4)(3(=+-x x ；（5）0)23()12)(23(=--+-x x x x ；（6）04)1(5)1(222=+---x x ；（7）0235)57(22=++-y y ．2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是0672=+-x x 的解，求△ABC 的周长．3. 求证：无论x 为何值，代数式542+-x x 的值总是大于零．4. 若多项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，求a 的值．5. 解关于x 的方程：)04( 062)12()4(22222222≠-=+--+-n m mn m x n m x n m ．6. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求z y x ++的值．。

第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。

易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。

易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（）A．1B．2C．3D．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．36．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（）A．3B．2C．2或3-D．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（）A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。

内容分析知识结构模块一：二次三项式的因式分解知识精讲一元二次方程的应用本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解，二是运用方程的思想解决关于数字及增长（降低）率的实际问题．通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系，会运用方程思想解决实际问题，难点是找到题目中的等量关系，列出方程并解决问题．1、二次三项式的因式分解（1）形如2x2 - 4x -1的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程2x2 -4x -1 2x2 -4x -1 的两个根是2x2 -4x -1 和2x2 -4x -1 ,那么二次三项式的分解公式为：2x2 - 4x -1 2x2 - 4x -1．1 2【例1】 在实数范围内不能分解因式的是（）A ． 2x 2 - 4x -1B ． x 2 - 2 3x - 6C ． 5x 2 - 2x +11D ． 4x 2 - 2x - 2【难度】★【答案】C【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式∆ = b 2 - 4ac 与0 的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，A ： ∆ = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯ (-1) = 24 > 0 ；B ： ∆ = (-2 3)2- 4 ⨯1⨯ (-6) = 36 > 0 ； C ： ∆ = (-2)2- 4 ⨯ 5⨯11 = -216 < 0 ；D ： ∆ = (-2)2- 4 ⨯ 4 ⨯ (-2) = 36 > 0 ；只有 C 选项∆ 小于 0 ，故选 C ．【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可．【例2】 方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两个实数根是 x =-1 + 2 2 ，x = -1 - 22，则把这个 二次三项式ax 2 + bx + c 进行因式分解的结果是．【难度】★⎛ 1 - 【答案】a x + 22 ⎫⎛ ⎪1 +2 ⎫2 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x ) ，即得该式可分解为a (x - x )(x - x ) = a ⎛ x + 1 - 2 ⎫⎛ x + 1 + 2 ⎫．1 2 2 ⎪ 2 ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解．例题解析1 2x +3 ⎪ (【例3】 将9a 2 +1- 3b 2 - 6a 在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ． (3a -1+ 3b )(3a +1- 3b )B ． (3a -1- 3b )(3a +1+ 3b )C ． (3a -1+ 3b )(3a -1- 3b )D ． (3a +1+ 3b )(3a +1- 3b )【难度】★【答案】C【解析】关于的一元二次方程9a 2 - 6a +1- 3b 2 = 0 的根为a =1 + 3 3b ， a = 1 - 33b ，由此对应的二次三项式分解为9(a - a 1 )(a - a 2 ) ，⎛ 1 + 即为9 a - 3 3b ⎫⎛ ⎪ 1 - 3b ⎫= 3a -1 - 3 3b)(3a -1 + 3b )，故选C ．⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可．【例4】 若二次三项式 x 2 + bx + c 在实数范围内可分解因式为(x -2 +3 )(x + 2 - 3) ，则一元二次方程b ，c 的值分别为．【难度】★【答案】- 4 43 ， - 1 2【解析】(x -16 )(x +⎛ ) = x -3 ⎫2⎪⎛ 2 ⎫2- ⎪= x 2 - x - 1，∴b =- ，c =- 1 ． 4 4 ⎝4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 2 16 2 16【总结】考查二次三项式的因式分解，也可以利用韦达定理进行求解．【例5】 在实数范围内分解因式：（1） 2x 2 - 8 ；（2） (x -1)3 - 5(x -1) ；（3） -x 2 + x + 72 ；（4） 2x 2 - 4x - 30 ．【难度】★【答案】（1） 2(x + 2)(x - 2) ；（2） (x -1)(x -1- （4）2(x - 5)(x + 3)． 5 )(x -1+5 )；（3）-(x - 9)(x + 8)； 2 + 32 -3 3 1 2 a -5 5 2 ⎣ ⎦1 21 12 【解析】（1）原式=2(x 2 - 4)= 2(x + 2)(x - 2) ；（2）原式= (x -1)⎡(x -1)2- 5⎤ = (x -1)(x 2 - 2x - 4)，令 x 2 - 2x - 4 = 0 ，解得：x = 1 + ，x = 1 - ，即得(x -1)(x 2 - 2x - 4)= (x -1)(x -1- 5 )(x -1+ 5 )；（3）原式= -(x 2 - x - 72)= -(x - 9)(x + 8) ； （4）原式= 2(x 2 - 2x -15)= 2(x - 5)(x + 3)．【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x ) ．【例6】 在实数范围内分解因式：（1） x 2 - 8x + 5 ；（2） y 2 - 6y +1 ．【难度】★【答案】（1） (x - 4 +11)(x - 4 -11)；（2） (y - 3 - 2 2 )(y - 3 + 2 2 )．【解析】（1）令 x 2 - 8x + 5 = 0 ，解得： x = 4- 11 ， x 2 = 4 + 11 ， 即该式可分解为(x - x 1 )(x - x 2 ) = (x - 4 + 11)(x - 4 - 11)；（2）令 y 2 - 6y +1 = 0 ，解得： y = 3 - 2 2 ， y = 3 + 2 ，1 2 即该式可分解为( y - y 1 )( y - y 2 ) = (y - 3 + 2 2)(y - 3 - 2 2 )．【总结】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为(x - x 1 )(x - x 2 ) ．【例7】 在实数范围内分解因式：（1） 2x 2 - 8x + 5 ；（2） 2x 2 - 2 2x -1．【难度】★★⎛ 4 - 6 ⎫⎛ 4 + 6 ⎫ ⎛ 2 + 2 ⎫⎛2 - 2 ⎫ 【答案】（1） 2 x - 2 ⎪ x - 2 ⎪ ；（2） 2 x - 2 ⎪ x - 2 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭2 + 2 2 - 2 2 + 2 2 - 217 17 ⎛ 1 2 ( 1 4 - 【解析】（1）令2x 2 - 8x + 5 = 0 ，解得： x = 4 + 2 6 ， x = 4 - 6 ，2即该式可分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) = 2 x - 2 6 ⎫⎛ ⎪ 4 + 6 ⎫ 2 ⎪ ； ⎝ ⎭⎝ ⎭（2）令2x 2 - 2 2x -1 = 0 ，解得： x =2 + 2 ， x = 2 - 2 ， 12 2⎛ 2 - 2 ⎫⎛2 2 + 2 ⎫ 即该式可分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) = 2 x - 2 ⎪ x - 2 ⎪．⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】考查二次三项式的因式分解， ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x ) ．【例8】 在实数范围内分解因式：（1）x 2 y 2 + 4xy +1 ； （2） 2x 2 - 2 2xy - y 2 ；（3） - 1 x 2 y 2 - 3xy + 4 ．2 【难度】★★⎛ ⎫⎛ ⎫【答案】（1） (xy + 2 + 3)(xy + 2 - 3)；（2） 2 x - 2 y ⎪ x - 2y ⎪ ；（3） - 1xy + 3 + 217)(xy + 3 -17 )．⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】（1）令a = xy ，该方程即为a 2 + 4a +1 = 0 ，解得： a = -2 + 3 ， a 2 = -2 - 3 ，∴该式可分解为(a + 2 - 3)(a + 2 + 3)= (xy + 2 + 3)(xy + 2 - 3)；（2）令2x 2 - 2 2xy - y 2 = 0 ，解得： x =2 + 2 y ， x = 2 - 2 y ，1222⎛ ⎫⎛ ⎫∴该式可分解为2 x - 2 y ⎪ x - 2 y ⎪ ；⎝ ⎭⎝ ⎭（3）令a = xy ，该方程即为- 1a 2 - 3a + 4 = 0 ，解得： a = -3 + ， a = -3 - ，∴该式可分解为- 1 (a + 3 - 2 17 )(a + 3 + 1 17 )= - 1(xy + 3 - 217 )(xy + 3 + 17 )．2 2【总结】考虑分解因式中整体思想，利用换元灵活变化应用．1 2x -6 2 - 396 2 + 39 1 -7 ⎫⎛ 1 + 7 ⎫6 2 + 39 1 -7 ⎫⎛ 1+ 7 ⎫ ( ⎛ 7 = =) 【例9】 在实数范围内分解因式：（1） 2x 4 + 7x 2 - 72 ；（2）-4y 4 -10y 2 + 36 ．【难度】★★ 【答案】（1） (x 2 + 8)( 2x - 3)(2x + 3)；（2）-2(2 y 2+ 9)(y -2 )(y +2 )． 【解析】（1）原式= (x 2 + 8)(2x 2 - 9)= (x 2 + 8)(2x - 3)( 2x + 3)；（2）原式为= -2(2y 4 + 5y 2 -18)= -2(2 y 2 + 9)(y 2 - 2)= -2(2x 2 + 9)(y -2 )(y + 2 )．【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底．【例10】 在实数范围内分解因式：（1） m 2 - 2mn - n 2 ；（2） 3x 2 +12 2xy +11y 2 ；（3）6x 2 y 2 + 2xy -1 ．【难度】★★【答案】（1） (m - n -2n)(m - n +⎛⎫⎛ ⎫2n ；（2） 3 x + 3 y ⎪ x +3 y ⎪ ；⎛ （3） 6 xy +6 ⎪ xy +6 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】（1）令m 2 - 2mn - n 2 = 0 ，解得： m = (1+ 2 )n ， m 2 = (1 -2 )n ， 则原式可分解为(m - m 1 )(m - m 2 ) = (m - n - 2n)(m - n + 2n )；（2）令3x 2 +12 2xy +11y 2 = 0 ，解得： x (-6 2 + 39 ) y - ， x ，1则原式可分解为a (x - x )(x - x ) = 3 x + 323⎫⎛ ⎫ y x + y； 1 2 3 ⎪ 3⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭（3）令 a = xy ，该方程即为6a 2 + 2a -1 = 0 ，解得： a =-1 + 6 7， a = -1 - 7 ， 6⎛ 则原式可分解为6 a - -1 + 6 7 ⎫⎛ ⎪ -1 - 6 ⎫ ⎛ ⎪ 6 xy + 6 ⎪ xy + 6 ⎪ ．⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数．6 2 - 39 )y 6 2 - 39 1 =1 2a -3 ⎨ ⎨⎩⎩ 【例11】 二次三项式(2a -1)x 2 - 2 2ax + (a -1) ，当 a 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解 ．【难度】★★【答案】（1） a ≥ 1 且a ≠ 1 ；（2） a = 1 ；（3） a < 1．3 2 3 3【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数2a -1 ≠ 0 ，得： a ≠ 1，2令(2a -1)x 2 - 2 2ax + (a -1) = 0 ，得∆ = (-2 2a )2- 4(2a -1)(a -1) = 12a - 4 ， （1）原式可分解因式，则有12a - 4 ≥ 0 ，得： a ≥ 1 且 a ≠ 1；3 2 （2）原式可分解为两个相同的式子，则有12a -4 = 0 ，得： a = 1；3（3）原式不能分解因式，则有12a - 4 < 0 ，得： a < 1．3【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．【例12】 已知4x 2 + kxy + y 2 可以分解得到(2x + 2y + 3y )(mx + ny ) ，求实数 k ，m ，n 的值．【难度】★★★【答案】k = 8 ， m = 2 ， n = 2 - 3 ．【解析】(2x + 2 y + 3y )(mx + ny ) = 2mx 2 + (2n + 2m + 3m )xy + (2 + 3)ny 2 ，⎧2m = 4 由此可得： ⎪2n + 2m +⎧m = 23m = k ， 解得： ⎪n = 2 - ． ⎪(2 + 3 )n = 1 ⎪k = 8【总结】考查二次三项式的因式分解，也可通过韦达定理进行求解．【例13】多项式x2 - 4 3x +12 - 4a2 + 4ab -b2 是完全平方式，求证： b = 2a ．【难度】★★★【答案】略【解析】证明：x2 - 4 3x +12 - 4a2 + 4ab -b2 是完全平方式，∴关于x 的方程x2 - 4 3x +12 - 4a2 + 4ab -b2 = 0 有两个相等的实数根，∴∆=(-43)2 -4(12-4a2 +4ab-b2 )=4(2a-b)2 =0，∴2a =b ．【总结】考查可分解为完全平方式的二次三项式，即所对应的一元二次方程∆= 0 ．师生总结1、因式分解常用的方法有哪些？2、二次三项式可以进行因式分解的条件是什么？模块二：一元二次方程应用：数字问题知识精讲1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．2、数字问题：主要考察的是对数的表示如：两位数= 十位数字⨯ 10+个位数字；三位数= 百位数字⨯ 100+十位数字⨯ 10+个位数字．【例14】如何表示三个连续的自然数？两个连续的偶数？两个连续的奇数？【难度】★【答案】略【解析】分别表示为n-1，n，n+1（n为正整数）；分别表示为2n ，2n+2（n为整数）；分别表示为2n-1，2n+1（n为整数）．【总结】考查数字的表示．【例15】两个连续的自然数的积是182，求这两个自然数．【难度】★【答案】13 和14．【解析】设这两个自然数分别为n 和n +1 ，依题意可得n(n +1)= 182 ，解得：n1 = 13 ，n2 =-14 ，n 为自然数，则有n ≥ 0 ，取n1= 13 ，即这两个数分别为13和14．【总结】考查连续自然数的表达方式．【例16】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的 2 倍多5，求这个两位数．【难度】★★【答案】85．【解析】设这个两位数个位为x ，则十位为x + 3 ，依题意可得：⎡⎣10(x+3)+x⎤⎦-2x(x+3)=5，整理得2x2-5x-25=0，解得：x =-5（舍），x = 5 ，即得这个两位数为85．1 2 2 【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法．例题解析【例17】已知两个数的差是8，积是209，求这两个数．【难度】★★【答案】11，19 或-19 ，-11．【解析】设两数中较小者为x ，则较大者为x + 8 ，依题意可得x (x + 8)= 209 ，解得：x1 = 11，x2 =-19 ，对应另一个数分别为19 和-11．【总结】考查方程解文字题，一个条件作设，一个列式．【例18】一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．【难度】★★【答案】25 或36．【解析】设这个两位数十位为x，则个位为x+3，依题意可得(x+3)2=10x+x+3，整理得：x2 -5x + 6 = 0 ，解得：x = 2 ，x = 3 ，对应个位数分别为5和6，1 2即得这个两位数为25或36．【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法．【例19】一个三位数，百位上的数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大2，求这个三位数．【难度】★★★【答案】321【解析】设这个三位数十位为x ，则百位为x + 1，个位为x -1，依题意可得(x-1)2+x2-(x+1)=2，整理得2x2-3x-2=0，解得x =-1（舍），x = 2 ，则百位与个位分别为3和1，1 2 2 即这个三位数为321．【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件．1、增长（降低）率问题基本公式： a (1 ± x )2= b ．ax 2 + bx + c 表示增长（降低）前的数，ax 2 + bx + c 表示增长（降低）率，ax 2 + bx + c 表示增长（降低）后的数，要列出这类方程关键在于找出ax 2 + bx + c 、 ax 2 + bx + c ．【例20】 青山村的水稻 2014 年平均每公顷产 7200 公斤，2016 年平均每公顷产 8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率是多少？ 【难度】★【答案】8.3% ．【解析】设年平均增长率为 x ，依题意可得7200(1+ x )2= 8450 ，解得： x =- 25 （舍）， x = 1 ，即年均增长率为8.3% ．1 12 212【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．【例21】 绿水超市的某种商品经过两次降价，每件的售价由原来的 90 元降到了 40 元，求每次降价率是多少？ 【难度】★【答案】33.3% ．【解析】设每次降价率为 x ，依题意可得90(1- x )2= 40 ，解得： x = 5 （舍）， x = 1，即每次降价率为33.3% ．1 3 23【总结】考查降低率问题的应用，并去掉不合理的值．模块三：增长（降低）率问题知识精讲例题解析【例22】某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【难度】★【答案】29.3% ．【解析】设每次降价率为x，初始价格为a，依题意可得a (1 -x)2 =1 a ，2解得：x =1 +2（舍），x =1 -2，即每次降价率为29.3%．1 2 2 2【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．【例23】某种商品，原价50 元，受金融危机的影响，1 月份降价10%，从2 月份开始涨价，3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率．【难度】★★【答案】20% ．【解析】设2、3 月份平均增长率为x，依题意可得50(1-10%)(1+x)2=64.8，解得：x =-11（舍），x =1，即月均增长率为20%．1 52 5【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．【例24】某为了绿化校园，某中学在2014 年植树400 棵，计划到2016 年底使这三年的植树总数达到1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数．【难度】★★【答案】10% ．【解析】设年均增长率为x，依题意可得400+400(1+x)+400(1+x)2=1324，整理得100x2+300x-31=0，解得：x =-31（舍），x =1，即年均增长率为10% ．1 102 10【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．- 1309 - 33 1309 - 334 【例25】 某电器集团公司为了适应竞争需要，从 2013 年开始，每年将销售总额的 12%作为新产品开发的研究基金．已知该公司 2013 年底投入的新产品研究基金是 4000 万元， 2015 全年销售总额是 8 亿元，求该公司 2014 和 2015 年销售总额的平均增长率（精确到 0.01%）． 【难度】★★【答案】54.92% ．【解析】设销售总额年均增长率为 x ，4000 万=0.4 亿，依题意可得 0.4 (1 + x )2= 8 ，12%整理得100x 2 + 300x - 31 = 0 ，解得： x = - 2 15 -1 （舍）， x = 2 15-1 ≈ 54.92% ，1 52 5即年均增长率约为54.92% ．【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．【例26】 某花生种植基地原有花生品种的亩产量为 200 千克，出油率为 55%．改用新品种后，每亩收获的花生可加工得到花生油 135 千克.已知新品种花生亩产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率的增长率是亩产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到 0.01%）． 【难度】★★★【答案】出油量增长率为7.23% ，则亩产量增长率为14.46% ．【解析】设出油量增长率为 x ，则亩产量增长率为2x ，依题意可得200(1+ 2x )⋅ 55%(1+ x ) = 135 ，整理得44x 2 + 66x - 5 = 0 ，⎛ 3 ⎫2119配方法得 x + ⎪ ⎝ ⎭ = 176 ，解得： x 1 = （舍）， x 2 = ≈ 7.23% ，则 2x =14.46% ，即得出油量增长率是7.23% ，亩产量增长率是14.46% ． 【总结】考查增长率问题，根据题意列出方程即可求解．3【习题1】 二次三项式ax 2 + bx + c 可以在实数范围内因式分解，那么以下各式成立的是（）A ． b 2- 4ac > 0 【难度】★B ． b 2- 4ac < 0C ． b 2- 4ac ≥ 0D ．不能确定【答案】C【解析】二次三项式在实数范围可分解因式，即方程 ax 2 + bx + c = 0 有实数根，由此可得∆ = b 2 - 4ac ≥ 0 ，故选 C ．【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联．【习题2】 二次三项式3x 2 - 2(3k +1)x + 3k 2 -1在实数范围内不能因式分解，则 k 的取值范围是．【难度】★ 【答案】k <- 2．3【解析】二次三项式在实数范围不能分解因式，即方程ax 2 + bx + c = 0 没有实数根，由此可得∆ = b 2 - 4ac = 4(3k +1)2 - 4 ⨯ 3(3k 2 -1)= 24k +16 < 0 ，解得： k <- 2．【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联，不能分解因式即∆< 0 ．【习题3】 若一元二次方程 9x 2 - bx + c = 0 有两根， - 5- 2，那么二次三项式 ，339x 2 - bx + c 可以分解为．【难度】★⎛ 5 - 【答案】9 x + 32 ⎫⎛ ⎪5 + 2 ⎫3 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】根据二次三项式的因式分解，该式可分解为 a (x - x 1 )(x - x 2 ) ，⎛ 5 - 即原式可分解为9 x + 3 2 ⎫⎛ ⎪ 5 + 2 ⎫3 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭随堂检测-5 + 2x + x +1【习题4】 已知两个数的差等于 6，积等于 16，求这两个数．【难度】★【答案】2，8 或-8 ， -2【解析】设两数中较小者为 x ，则较大者为 x + 6 ，依题意可得 x (x + 6) = 16 ，解得： x 1 = 2 ， x 2 = -8 ，对应另一个数分别为 8 和-2 ． 【总结】考查列方程解文字题，一个条件作设，一个列式．【习题5】 将下列二次三项式在实数范围内因式分解：（1） (x -1)2 - 2(x -1) +1；（2） 3x 2 - 2x -1； （3） x 2 - 2x -1 ．【难度】★【答案】（1） (x - 2)2；（2） (3x +1)(x -1) ；（3） (x -1- 【解析】（1）式子满足完全平方，即为(x -1-1)2= (x - 2)2；（2）由十字相乘法即得分解为(3x +1)(x -1) ；2 )(x -1+2 )．（3）令 x 2 - 2x -1 = 0 ，解得： x = 1 + 即得该式分解为(x - x 1 )(x - x 2 ) = (x -1- 2 ， x 2 = 1 - 2 )(x -1+ 2 ，2 )．【总结】考查二次三项式在实数范围内的因式分解．【习题6】 在实数范围内分解下列因式：（1） 6x 2 - 9x - 21 ；（2） (m 2 - m )x 2 - (2m 2 -1)x + m (m +1) ；（3） 6x 2 -11xy - 7 y 2 ；（4） 3x 2 - 4xy - y 2 ．【难度】★★2 + 7 2 - 7 2 + 7 2 - 7 65 ⎫⎛ 1 2 ⎪⎛ 【答案】（1） 6 x - 3 - 65 ⎫⎛ 4 ⎪ 3 + ；（2） (mx - m -1)(mx - x - m )； 4 ⎝ ⎭⎝ ⎭⎛ ⎫⎛ ⎫（3） (2x + y )(3x - 7 y )；（4）3 x - 3 y ⎪ x - 3y ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】（1）令6x 2 - 9x - 21 = 0 ，解得： x = 3 + 4 65 ， x =3 - 465 ，即该式可分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) = 6 x - 3 - 65 ⎫⎛ 4 ⎪ 3 + 65 ⎫4 ⎪ ； ⎝ ⎭⎝ ⎭（2）十字相乘法可得(m 2 - m )x 2 - (2m 2 -1)x + m (m +1) = (mx - m -1)(mx - x - m ) ； （3）十字相乘法可得6x 2 -11xy - 7 y 2 = (2x + y )(3x - 7 y ) ；（4）令3x 2 - 4xy - y 2 = 0 ，解得 x = 2 + 3 7 y ， x = 2 - 3 7 y ，⎛ ⎫⎛ ⎫即得该式可分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) = 3 x - 3 y ⎪ x - 3y ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】考查二次三项式的因式分解， ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x ) ．【习题7】 一个三位数，个位数字和百位数字相同，都比十位数字小 1，且个位数字和百位数字的平方和等于十位数字，求这个三位数． 【难度】★★【答案】121【解析】设这个三位数十位为 x ，则百位和个位为 x -1，依题意可得(x -1)2+ (x -1)2= x ，整理得2x 2 - 5x + 2 = 0 ，解得： x = 1（舍）， x = 2 ，则百位与个位为1，即这个三位数为121．1 22【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件．x - 12 x - 1 2【习题8】三个连续的整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个连续的整数．【难度】★★【答案】10，11，12 或-10 ，-11，-12【解析】设这三个整数中间数为x ，则另两个数分别为x -1和x + 1，依题意可得x(x +1)+x(x -1)+(x +1)(x -1)= 362 ，整理得x2 = 121，解得：x1 = 11，x2=-11，则另两个数分别为10，12和-10 ，-12 ．【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式．【习题9】某商场销售商品的收入款，3 月份为25 万元，5 月份为36 万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少．【难度】★★【答案】20%【解析】设收入款平均月增长率为x，依题意可得25(1+x)2 =36，解得：x =-11（舍），x =1，即月均增长率为20%．1 52 5【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．【习题10】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，求这种药品平均每次降价的百分率．【难度】★★【答案】20% ．【解析】设每次降价百分率为x，依题意可得200(1-x)2=128，解得：x =9（舍），x =1，即每次降价率为20%．1 52 5【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．【习题11】某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95 万人次，其中第一年培训了20 万人次．求每年接受科技培训的人次的平均增长率．【难度】★★【答案】50% ．【解析】设每年接受培训的人次增长率为x，依题意可得20+20(1+x)+20(1+x)2=95，整理得4x2+12x-7=0，解得：x =-7（舍），x =1，即平均增长率为50% ．1 2 2 2【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．【习题12】制造一种产品，原来每件的成本价是500 元，销售价为625 元，经市场预测该产品销售价第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高了6%，为了使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价每月的降低率为x，请依题意列方程：【难度】★★★【答案】略【解析】利润不变，可列出方程：625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)2=625-500．【总结】利润问题，利润=售价-成本．【习题13】若多项式mx2 - 4(m -1)x + 4m 在实数范围内能分解因式，求整数m 取得的最大值．【难度】★★★【答案】-1 ．【解析】多项式可分解因式，则关于x 的一元二次方程mx2 - 4(m -1)x + 4m = 0 有实数根，由此可得∆=16(m-1)2-4m⋅4m=-32m+16≥0且m≠0，得m ≤1且m≠0，2由此即得整数m 的最大值为-1 ．【总结】考查式子的分解与方程根的关系，注意题目中的隐含条件，即二次项系数不能为0．【作业1】 下列二次三项式可以在实数范围内因式分解的是（）A ． x 2 - x + 2 = 0B ． x 2 + 5 = 0C ． ax 2 +10x -1 = 0D ． (x -1)2 +10(x -1) -1 = 0【难度】★【答案】D【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式∆ = b 2 - 4ac 与0 的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式， A ： ∆ = (-1)2- 4 ⨯1⨯ 2 = -7 < 0 ；B ： ∆ = 02 - 4 ⨯1⨯ 5 = -20 < 0 ； C ： ∆ = 102 - 4a ⨯ (-1) = 100 + 4a ，不能确定与 0 的大小关系； D ：整理即为 x 2 + 8x -10 = 0 ， ∆ = 82 - 4 ⨯1⨯ (-10) = 104 > 0 ； 只有 D 选项∆ 大于 0 ，故选 D ．【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可．【作业2】 如果 x 2 -1 0x - a = 0的两根为 5 + 2 6， 5- ，在 实 数 范 围 内 分 解 因 式x 2 -10x - a = ．【难度】★ 【答案】(x - 5 - 2 6)(x - 5 + 2 6 )．【解析】该式可分解为(x - x 1 )(x - x 2 ) = (x - 5 - 2 6)(x - 5 + 2 6 )．【总结】考查二次三项式与方程根关联的因式分解．课后作业26 1 【作业3】 如果二次三项式2x 2 - 3x + 2m 可以分解为两个相同的一次根式，则 m 的取值范围是 ．【难度】★ 【答案】m = 916【解析】二次三项式可分解为两个相同的一次根式，可知关于 x 的方程2x 2 - 3x + 2m = 0 有两个相等的实数根，即得∆ = (-3)2- 4 ⋅ 2 ⋅ 2m = 0 ，解得： m = 9 ．16 【总结】式子可分解为两个相同的式子，即相关方程有两个相等实数根．【作业4】 把下列二次三项式进行因式分解：（1） 3x 2 - 7x ；（2）(2x -1)2 - 9(x +1)2 ；（3） x 2 + 4x - 2 ．【难度】★【答案】（1） x (3x - 7) ；（2） -(5x + 2)(x + 4)；（3） (x + 2 + 【解析】（1）提公因式法即得3x 2 - 7x = x (3x - 7) ；6 )(x + 2 -6 )．（2）平方差公式分解得 ⎡⎣(2x -1) + 3(x +1)⎤⎦ ⎡⎣(2x -1) - 3(x +1)⎤⎦ = -(5x + 2)(x + 4) ；（3）令 x 2 + 4x - 2 = 0 ，解得： x = -2 - 6 ， x 1 = -2 + ， 即得该式可分解为(x - x 1 )(x - x 2 ) = (x + 2 + 6)(x + 2 - 6 )．【总结】考查二次三项式的因式分解，注意观察题目的形式，用相应的方法分解．【作业5】 一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是 a ，高位上的三个数字是 b ，现在将 a 、b 互换，得到一个新的六位数是 ．【难度】★★【答案】1000a + b ．【解析】由于 a 是低位上的三位数，故变化后的六位数的前三位数应该是1000a ，所以变化后的六位数为1000a + b ．【总结】考查多位数的数字表示，本题中应注意数字与组成的三位数的区别．4 + 6 ⎫⎛ 4 - 6 ⎫4 + 6 ⎫⎛ 4 - 6 ⎫ ⎛ 6 = 1 2 3 + 3 - 7 ⎫【作业6】 二次三项式在实数范围内进行因式分解：（1） 2(2x -1)2 - 2(2x -1) - 3 ；（2） 2x 2 - 7xy + 5y 2 ；（3） 4x 2 + 8x -1；（4） 2x 2 y 2 - 8xy + 5 ．【难度】★★⎛ 【答案】（1） 8 x -3 + 7 ⎫⎛4 ⎪ x -4 ⎪ ；（2） (2x - 5y )(x - y ) ； ⎝ ⎭⎝ ⎭⎛ 2 - 5 ⎫⎛ 2 + 5 ⎫⎛ （3） 4 x + 4 ⎪ x + 4 ⎪ ；（4） 2 xy - 2 ⎪ xy - 2 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭【解析】（1）整理即得8x 2 -12x +1 ，令8x 2 -12 x +1 =0 ，解得： x = 3 + 4 7， x = 3 - 7 ， 4则该式分解为a (x - x 1 )(x - x 2 ) = 8 x - 4 7 ⎫⎛ ⎪ 3 - 7 ⎫ 4 ⎪ ； ⎝ ⎭⎝ ⎭（2）十字相乘法可分解得2x 2 - 7xy + 5y 2 = (2x - 5y )(x - y ) ；（3）令4x 2 + 8x -1 = 0 ，解得 x =-2 + 2 5 ， x = -2 - 5 ，2 则该式分解为a (x - x )(x - x ) = 4⎛ x +2 - 5 ⎫⎛ x + 2 + 5 ⎫； 1 2 4 ⎪ 4 ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭（4）令 a = xy ，该方程即为2a 2 - 8a + 5 = 0 ，解得a = 4 + 2 6， a = 4 - 6 ， 2 ⎛ 4 + 则该式即可分解为2 a - 2 6 ⎫⎛ ⎪ 4 - ⎫ ⎛ 2 ⎪ 2 xy - 2 ⎪ xy - 2 ⎪ ． ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭【总结】考查二次三项式的因式分解， ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x ) ．【作业7】 三个连续偶数，两两相乘，再求和得 44，求这三个偶数．【难度】★★【答案】2，4，6 或-2 ， -4 ， -6 ．【解析】设中间偶数为 x ，则另两个数分别为 x - 2 和 x + 2 ，依题意可得 x (x + 2) + x (x - 2) + (x + 2)(x - 2) = 44 ，整理得 x 2 = 16 ， 解得： x 1 = 4 ， x 2 = -4 ，则另两个数分别为2，6和-2 ， -6 ． 【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式．1 2x - 1 21 2a -【作业8】 一个两位数等于其各位数字之积的 3 倍，且其十位数字比个位数字小 2，求这个两位数． 【难度】★★【答案】24．【解析】设这个两位数十位为 x ，则个位为 x + 2 ，依题意可得10x + x + 2 = 3x (x + 2) ，整理得3x 2 - 5x - 2 = 0 ，解得： x =- 1（舍）， x = 2 ，则个位为4，即这个两位数为24．1 3 2【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件．【作业9】 某厂 1 月份印刷了科技书籍 50 万册，第一季度共印 175 万册，问 2 月、3 月平均每月的增长率是多少？（精确到 1%） 【难度】★★【答案】16%【解析】设 2、3 月份平均增长率为 x ，依题意可得50 + 50(1+ x ) + 50(1+ x )2= 175 ，解得： x 1 =-3 + 2 11 ≈ 16% ， x = -3 - 211（舍），即月均增长率为16% ． 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值．【作业10】 制造一种产品，原来每件的成本是 300 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是 195 元．平均每次降成本百分之几？（精确到 1%） 【难度】★★【答案】19%【解析】设平均每次降成本百分率为x ，依题意可得300(1- x )2= 195 ，解得： x 1 =10 + 10 65 （舍）， x = 10 - 1065≈ 19% ，即每次降价率为19% ． 【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值．2 2【作业11】如果二次三项式(m - 3)x2 - 2(m - 3)x +m + 5 在实数范围内不能因式分解，判断关于x 的方程(m +1)x2 + (2m -1)x +m -1 = 0 根的情况．【难度】★★★【答案】无实数根．【解析】由二次三项式不能因式分解，可知关于x 的方程(m -3)x2 -2(m -3)x +m +5=0 无实数根，即得∆=4(m-3)2-4(m-3)(m+5)=-32m+96<0且m-3≠0，得m>3，对方程(m +1)x2 + (2m -1)x +m -1 = 0 ，m > 3 可知m +1 ≠ 0 ，即方程为一元二次方程，∆=(2m-1)2-4(m+1)(m-1)=-4m+5<0，即得方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式，根据题意确定相应字母取值范围再求解．【作业12】某产品每件生产成本为50 元，原定销售价为65 元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价格下降10%，第二个季度又将回升4%，若要使半年以后的销售利润不变，如果你作为决策者，请提出一条措施，并补充一个问题并完整解答．我的措施是：．我的问题是：．【难度】★★★【答案】措施是：降低成本；问题是：求半年后每件产品降低成本多少元？【解析】设半年后每件产品降低成本x 元，根据题意可得：65(1-10%)(1+ 4%)-(50 -x)= 65 - 50 ，解得x = 4.16 ．答：半年后每件产品降低成本 4.16 元．【总结】此题主要考查了一元二次方程的应用以及开放性问题，培养学生的发散思维，自己提出问题并解答有利于综合能力的提升．。

第7讲 一元二次方程根与系数的关系课程标准1.了解一元二次方程的根与系数的关系能运用根与系数的关系，能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值；2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程.知识点01 一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， 叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个 的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个 的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程 实数根.注意：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定c b a .,的值； ③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ ； （2）方程有两个相等的实数根⇒ ； （3）方程没有实数根⇒ . 注意：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点02 一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系知识精讲目标导航如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大． 注意：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．考法01 一元二次方程根的判别式的应用【典例1】关于x 的一元二次方程210x mx +-=的根的个数是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【即学即练】下列方程没有实数根的是（ ） A ．27180x x --= B ．14xx+=C ．2230x x -+=D ．(2)12x x -=【典例2】已知两个关于x 的一元二次方程22:0:0M ax bx c N cx bx a ++=++=，，其中0ac a c ≠≠，．下列结论错误．．的是（ ） A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根 B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是1x =【即学即练】将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成 a bc d ，并规定 a bad bc c d =-，例如2 4234121 3=⨯-⨯=，则33 1x x x =--的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根考法02 一元二次方程的根与系数的关系的应用【典例3】已知a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，则22022a b ++的值是（ ） A ．2026B ．2024C ．2023D ．2022能力拓展【即学即练】已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ） A ．0B ．－10C ．3D ．10【典例4】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（ ） A ．3B ．-3C ．5D ．-5【即学即练】若α、β是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则αβ的值为（ ）． A ．2B ．2-C ．2022D ．2022-题组A 基础过关练1．已知x 2﹣2x ﹣5＝0的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣5D ．52．设a ，b 是方程220210x x --=的两个实数根，则a b ab +-的值为（ ） A ．2022B ．-2022C ．2020D ．-2020 3．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-4．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1B ．0C ．20223D ．202275．关于x 的一元二次方程x 2＋x －a ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） A ．－1B ．－2C ．－3D ．26．如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为13x =，21x =，那么这个一元二次方程是( ) A ．2430x x -+= B ．2430x x +-= C ．2340x x ++=D ．2340x x +-=7．已知m ，n 是方程2310x x +-=的两个根，则22m n +=_________．8．已知方程x 2﹣2022x +1＝0的两根分别为x 1、x 2，则2122022x x -的值为________． 9．已知关于x 的方程x 2+（m +2）x +2m ﹣1＝0．(1)求证：无论m 取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根12,x x 满足122x x -=，求m 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2﹣3＝0有实数根． (1)求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．题组B 能力提升练分层提分1．关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．13-2．设方程230x x -=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（ ）A ．9+B ．9-C ．9D ．93．已知a ，b 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则252a a b ++的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．04．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（ ）①若0a b c -+=，则240b ac -≥；②若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=； ③若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③5．若12x 是二次方程x 2+ax +1＝0的一个根，则a ＝________，该方程的另一个根x 2＝________．6．已知,αβ是方程x 2+2021x +1＝0的两个根，则()()222022120221ααββ++++=_____．7．已知关于x 的方程()2211104x k x k -+++=有两个实数根(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝6x 1x 2-15，求k 的值．8．已知关于x 的方程()2290x m x +--=．(1)求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根． (2)若这个方程的两个实根α，β，满足21m αβ+=+，求m 的值．题组C 培优拔尖练1．方程x 2-（k 2-4）x +k +1=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是（ ） A ．4或-4B ．2或-2C ．2D ．-22．若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ） A ．2或6B ．2或8C ．2D ．63．已知关于x 的一元二次方程：x 2-2x -a =0，有下列结论： ①当a ＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a ＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a ＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a ＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．②③④4．下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个①若方程()200++=≠ax bx c a 两根为-1和2，则20a c +=；②若2550a a -+=1=-a ；③若240b ac -<，则方程()200++=≠ax bx c a 一定无解；④若方程20x px q ++=的两个实根中有且只有一个根为0，那么0p ≠，0q =． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．设1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，则2212x x +的值为________．6．将两个关于x 的一元二次方程整理成()20a x h k ++＝（0a ≠，a 、h 、k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）与方程()2120x +-=是“同源二次方程”，且方程20ax bx c ++=（0a ≠）有两个根为1x 、2x ，则b －2c ＝______，1122ax x x ax ++的最大值是______． 7．设关于x 的方程x 2−5x −m 2+1=0的两个实数根分别为α、β． (1)证明：无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m 的取值范围．8．如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p ，x1x2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a 、b 是方程x2+15x+5=0的二根，则a b b a+=?（2）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的方程组201x y k x y ⎧-+=⎨-=⎩的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y1y2﹣1221x x x x -=2若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．。

第7讲 一元二次方程1. (2021，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，…第一步 x 2＋b a x ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝－c a＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2，…第二步 ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，…第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac >0)，…第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.…第五步 (1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac >0时，方程ax 2＋bx ＋c＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝－b ±b 2－4ac 2a）； (2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0型．方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2＋px ＋q ＝0型，然后配方．解：(1)四 x ＝－b ±b 2－4ac 2a(2)移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25.开方，得x －1＝±5.∴x 1＝6，x 2＝－4.2. (2021，河北)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B)A. a ＜1B. a ＞1C. a ≤1D. a ≥1【解析】 ∵关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，∴b 2－4ac ＝22－4×1×a ＜0.解得a ＞1.3. (2021，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c )2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为0【解析】 由(a －c )2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例1 解下列方程：(1)x 2－2x －1＝0；(2)x 2－1＝2(x ＋1)；(3)x 2＋3x ＝－14. 【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2±222＝1±2， 即x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)移项，得x 2－1－2(x ＋1)＝0，(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0，于是，得x ＋1＝0或x －3＝0.∴x 1＝－1，x 2＝3.(3)配方，得x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝－14＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫x ＋322＝2. 由此可得x ＋32＝±2. ∴x 1＝－32＋2，x 2＝－32－ 2. 针对训练1(2021，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程2x 2－4x －2＝1的过程中，变形正确的是(C)A. 2(x －1)2＝1B. 2(x －2)2＝5C. (x －1)2＝52D. (x －2)2＝52 【解析】 2x 2－4x －2＝1，2x 2－4x ＝3，x 2－2x ＝32，x 2－2x ＋1＝32＋1，(x －1)2＝52.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.一元二次方程根的判别式例2 (2021，扬州)如果关于x 的方程mx 2－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是（ m ＜13且m ≠0 ）. 【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得m <13.但当m ＝0时，原方程不是一元二次方程，所以m ≠0.针对训练2(2021，石家庄桥西区一模)常数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)训练2题图A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【解析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则b 2－4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根. 针对训练3 (2021，张家口桥东区模拟)若关于x 的一元二次方程34x 2＋3x ＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D)A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(3)2－4×34×tan α＝0.解得tan α＝ 3.∴α＝60°.一元二次方程的实际应用例3 (2021，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a .在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年用甲方案治理降低的Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1＋m )家，第三年40(1＋m )2家，三年总和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使Q 值降低了39.5，列方程组求解即可．解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.(2)根据题意，得40＋40(1＋m )＋40(1＋m )2＝190.解得m 1＝12，m 2＝－72(舍去)． ∴m ＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m )＝40×(1＋50%)＝60(家)．(3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x .第二年Q 值用乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20.5，a ＝9.5.针对训练4(2021，白银)如图，某小区计划在一块长为32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2.若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是(A)训练4题图A. (32－2x )(20－x )＝570B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570C. (32－x )(20－x )＝32×20－570D. 32x ＋2×20x －2x 2＝570【解析】 设道路的宽为x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.针对训练5 (2021，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量．(2)设生产的是第x 档次产品，则相应的产量是76－4(x －1)，每件利润是10＋2(x －1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品．根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080.整理，得x 2－16x ＋55＝0.解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、 选择题1. 已知关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0的一个解为x ＝－1，则m 的值为(A)A. －4B. 4C. －2D. 2【解析】 把x ＝－1代入原方程，得m ＝－4.2. (2021，石家庄28中质检)若x 2＋4x －4＝0，则3(x －2)2－6(x ＋1)(x －1)的值为(B)A. －6B. 6C. 18D. 30【解析】 已知条件转化为x 2＋4x ＝4，原式＝－3x 2－12x ＋18＝－3(x 2＋4x )＋18＝6.3. (2021，石家庄40中二模)用配方法解方程x 2＋x －1＝0，配方后所得方程是(C)A. ⎝⎛⎭⎫x －122＝34B. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝34C. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54D. ⎝⎛⎭⎫x －122＝54 【解析】 配方过程x 2＋x ＝1，x 2＋x ＋⎝⎛⎭⎫122＝1＋⎝⎛⎭⎫122，⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54. 4. (2021，唐山路南区一模)已知关于x 的方程x 2＋mx －1＝0的根的判别式的值为5，则m 的值为(D)A. ±3B. 3C. 1D. ±1【解析】 根据题意，得Δ＝m 2＋4＝5.解得m ＝±1.5. (2021，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－a ·b ＋b .如：3★5＝32－3×5＋5.若x ★2＝10，则实数x 的值为(C)A. －4或－1B. 4或－1C. 4或－2D. －4或2【解析】 根据题意，得x ★2＝x 2－2x ＋2.∴x 2－2x ＋2＝10.解得x 1＝4，x 2＝－2.6. (2021，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A. x 2－2x ＝0B. x 2－2x －1＝0C. x 2－2x ＋1＝0D. x 2－2x ＋2＝0【解析】 选项A ，Δ＝4>0；选项B ，Δ＝8>0；选项C ，Δ＝0；选项D ，Δ＝－4<0.7. (2021，娄底)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋k ＝0的根的情况是(A)A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定【解析】 ∵Δ＝[]－（k ＋3）2－4k ＝k 2＋2k ＋9＝(k ＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．8. (2021，定西)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(C)A. k ≤－4B. k ＜－4C. k ≤4D. k ＜4 【解析】 因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k ≥0.解得k ≤4.9. (2021，桂林)已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A. ±2 6B. ± 6C. 2或3D. 2或 3【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k 2－24＝0.解得k ＝±2 6.10. (2021，秦皇岛海港区模拟)某城市2021年底已有绿化面积300 hm 2，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2021年底已达到363 hm 2.设绿化面积的年平均增长率为x .根据题意，所列方程正确的是(B)A. 300(1＋x )＝363B. 300(1＋x )2＝363C. 300(1＋2x )＝363D. 363(1－x )2＝300【解析】 2021年底的绿化面积是300(1＋x ) hm 2，2021年底的绿化面积是300(1＋x )2 hm 2，可得方程．11. (2021，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【解析】 设参加酒会的有x 人，则每人碰杯(x －1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以共碰杯x （x －1）2次，得方程x （x －1）2＝55，取正根x ＝11. 二、 填空题12. (2021，淮安)一元二次方程x 2－x ＝0的根是 x 1＝0，x 2＝1 .【解析】 x (x －1)＝0，得x 1＝0，x 2＝1.13. (2021，秦皇岛海港区模拟)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为 1 .【解析】 把x ＝1代入方程，得m ＋n ＝－1，则m 2＋2mn ＋n 2＝(m ＋n )2＝1.14. (2021，南充)若2n (n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为（ 12）. 【解析】 把x ＝2n 代入方程，得(2n )2－2m ·2n ＋2n ＝0, 变形为2n (2n －2m ＋1)＝0，∵2n ≠0，∴2n －2m ＋1＝0.∴m －n ＝12. 15. (2021，邵阳)已知关于x 的方程x 2 ＋3x －m ＝0的一个解为x ＝－3，则它的另一个解是 x ＝0 .【解析】 把x ＝－3代入方程解得m ＝0，则原方程为x 2 ＋3x ＝0，可求出另一个解是x ＝0.16. (2021，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2－6x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值为 9 .【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝36－4c ＝0.解得c ＝9.17. (2021，威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，则m 的最大整数值是 4 .【解析】 因为方程有实数根， 所以Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤112.又因为m ≠5，所以m 的最大整数值是4.三、 解答题18. 解下列方程：(1)x 2－3x ＋1＝0；(2)x 2－2x ＝6－3x ；(3)(2x ＋3)2＝8.【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接开平方法．解：(1)这里a ＝1，b ＝－3，c ＝1.∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，∴x ＝3±52，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52. (2)原方程可化为x (x －2)＝－3(x －2)．移项，因式分解，得(x －2)(x ＋3)＝0.于是，得x －2＝0或x ＋3＝0.x 1＝2，x 2＝－3. (3)2x ＋3＝±22，2x ＝±22－3，x 1＝－3＋222，x 2＝－3－222. 19. (2021，北京)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0.(1)当b ＝a ＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【思路分析】 (1)把b ＝a ＋2代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由Δ＝0得出a ，b 之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．解：(1)Δ＝b 2－4a ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4a ＝0.令b ＝2，a ＝1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，∴x 1＝x 2＝－1.20. 【发现思考】已知等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．【探究应用】请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根． (1)当m ＝2时，求等腰三角形ABC 的周长；(2)当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．涵涵的作业解：x 2－7x ＋10＝0.a ＝1，b ＝－7，c ＝10.∵b 2－4ac ＝9＞0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝7±32. ∴x 1＝5，x 2＝2.∴当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2.当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边．解：【发现思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)．【探究应用】(1)当m ＝2时，方程为x 2－2x ＋34＝0. 解得x 1＝12，x 2＝32. 当12为腰时，因为12＋12<32，所以不能构成三角形． 当32为腰时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12.此时周长为32＋32＋12＝72. (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根．∴Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0.∴m 1＝m 2＝1，即m 的值为1.21. (2021，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天可售出 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价x 元时，该商店每天的销售利润为1 200元，则平均每天售出(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元，且40－x ≥25，即x ≤15.根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200.整理，得x 2－30x ＋200＝0.解得x 1＝10，x 2＝20(舍去)．答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．22. (2021，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y (单位：台)和销售单价x (单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元．如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)设该设备的销售单价应定为x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000.整理，得x 2－130x ＋4 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应定为50万元．1. (2021，福建A ，导学号5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D)A. 1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B. 0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C. 1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D. 1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根【解析】 方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则有(2b )2－4(a ＋1)2＝0，且a ＋1≠0.解得b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)，且a ＋1≠0.若b ＝a ＋1，则－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；若b ＝－(a ＋1)，则1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故1和－1不会同时是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．2. (2021，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2.则该方程的一个正根是(B) 第2题图 A. AC 的长B. AD 的长C. BC 的长D. CD 的长【解析】 用配方法解方程x 2＋ax ＝b 2，易得正根x ＝b 2＋a 24－a 2.据勾股定理知AB ＝b 2＋a 24.∵AD ＝AB －BD ＝b 2＋a 24－a 2，∴AD 的长是方程的正根． 3. (2021，河北，导学号5892921)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝ －3 ；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ 2或－1 .【解析】 min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，∴当(x －1)2＜x 2时，(x －1)2＝1.解得x 1＝2，x 2＝0(不合题意，舍去)．当(x －1)2≥x 2时，x 2＝1.解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－1.4. (2021，内江B ，导学号5892921)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为 1 .【解析】 把(x ＋1)看作一个整体，据已知条件可得x ＋1＝1或x ＋1＝2，所以x 1＝0，x 2＝1.所以和为1.。