3.1.1两角和与差的正弦、余弦正切公式

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式课标要求1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.2.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用.重点难点重点:两角差的余弦公式的推导及应用.难点:两角差的余弦公式的推导.两角差的余弦公式cos(α-β)= ,可简记为C(α-β),其中α,β是任意角.思考: (1)两角差的余弦公式是如何推导的?(一是利用三角函数线,二是利用向量数量积)(2)公式有何特点?(公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是两组含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆)题型一 运用公式化简求值【例1】 化简求值:(1)cos 75°;(2)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;(3)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.名师导引:(2)(3)中所给式子不符合两角差的余弦公式,可先用诱导公式调整再计算.题后反思 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用公式求值. 跟踪训练11:cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°的值为( )(A)12 (C)-12 题型二 条件求值【例2】 已知α,β∈（3π4,π）,sin(α+β)=-35, sin （β-π4）=1213,求cos （α+π4）的值. 题后反思 (1)求解给值求值型问题,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值.注意根据角的终边所在的象限确定符号.(2)注意角的配凑:如(α+β)-α=β,(α+β)-β=α,(2α+β)-α=α+β,(α+2β)-β=α+β等.跟踪训练21:(2014牡丹江一中期末)若α,β均为锐角,sin(α+β)=35,则cos β=()【例1】求cos 31π12+cos25π12的值.【例2】已知sin α+sin β,求(cos α+cos β)2的取值范围. 达标检测——反馈矫正及时总结1.cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于(C)(A)cos 100°(B)sin 100°(D)1 22.已知锐角α、β满足cos α=35,cos(α+β)=-513,则cos β等于(A)(A) 3365(B)-3365(C)5475(D)-54753.sin 75°=.4.°+12sin 75°= .课堂小结1.利用向量数量积、推导两角差的余弦公式.2.利用两角差的余弦公式可实现给式求值或给值求值问题,求解关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式.同时注意公式的正用和逆用及拆角、拼角等技巧.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式.2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.3.能灵活运用公式进行化简和求值.重点:(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.(2)利用公式进行化简和求值.难点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形用.1.两角和的余弦公式cos(α+β)=,简记为C(α+β).思考1: C(α±β)公式有什么共同特征?(余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=; S(α-β):sin(α-β)=.思考2: S(α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式ϕ)（其中tan ϕ=ba,ϕ为辅助角）;ϕ)（其中tan ϕ=ab,ϕ为辅助角）.3.两角和与差的正切公式T(α+β):tan(α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+-;T(α-β):tan(α-β)=tan tan1tan tanαβαβ-+.思考3:使用T(α±β)的条件是什么?(公式T(α±β)只有在α≠π2+k1π,β≠π2+k2π,α±β≠π2+k3π(k1,k2,k3∈Z)时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的)题型一三角函数式的化简求值【例1】(1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sinπ12cosπ12;(4)1tan751tan75+-.名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解.(4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.题后反思三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tanπ4”、“”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.题型二三角函数的条件求值【例2】已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=-35,求cos 2α的值.名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.题后反思(1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值;(3)求2α-β的值. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数取得最大值时,x= .题后反思 辅角公式ϕ)(或ϕ))可以将形如asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+π6）的值域为( B )](C)[-1,1] ] 【例1】 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值.【例2】 已知α,β都是锐角,且,sin β=12,求α-β的值. 达标检测——反馈矫正 及时总结 .(2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12 2.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )(D) 3.sin 255°= . 4.1tan12tan72tan12tan72--= . 5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值.1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和差公式的特例.2.利用两角和与差的正、余弦、正切公式解决问题时常用到方程思想和整体思想.求解时注意角的变换,根据角的差异及式子的差异选择恰当公式,找准解题思路和方法.3.求值时注意角的范围引起的三角函数值符号的变化.。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)； ②cos 2α＝12(1＋cos 2α)． (3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15D.45D [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ.又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.π3 [由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.](1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 【导学号：51062114】 (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] (2017·浙江镇海中学测试卷一)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D.255A [2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，得tanα＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝－13，即3sin α＝－cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±1010， 而－π2<α<0，所以sin α＝－1010， 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－255.]☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A.12 B.32 C. 3D. 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C(2)1[(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15D ．－725(2)(2017·浙江金华十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， ∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.已知函数f (x )＝sin 2x －sin2⎝ ⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.14分[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.【导学号：51062115】(1)B (2)1 [(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防范]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.16 B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.] 2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32 B.22 C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5 B.92 C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.] 4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：51062116】A.35 B.45 C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°) ＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.]7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________.【导学号：51062117】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝2(1＋cos 8)＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2(sin 4－cos 4)2 ＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：51062118】 [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.6分(2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72C [∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.]2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________． 13 79 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2· cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.]3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：51062119】 [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分。

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点探究考点1 运用公式求值【例1】 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.【变式1】 计算：(1)sin 75°； (2)sin x sin(x ＋y )＋cos x cos(x ＋y )．考点2 给值求值【例2】设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.【变式2】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值．考点3 已知三角函数值求角【例3】 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．【变式3】 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．考点4 利用和(差)角公式化简【例4】 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)α＋βsin α－2cos(α＋β)．【变式4】 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.考点5 利用和(差)角公式求值【例5】 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值．【变式5】 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．考点6 公式的变形应用【例6】 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值．【变式6】 已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)·(1＋tan β)的值．考点7 给角求值问题【例7】 求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.【变式7】 求下列各式的值：(1)tan 15°＋cos 15°sin 15°； (2)tan 20°＋4sin 20°的值．考点8 给值求值问题【例8】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x 的值．【变式8】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值．考点9 给值求角问题【例9】 已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．【变式9】 已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．方法技巧 方程思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．【示例】 是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．易错点1 忽略隐含条件导致错误【示例】 在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，求cos A 的值．易错点2 因未进行分类讨论而致错【示例】 化简1＋sin θ－1－sin θ(θ∈(0，π))达标训练一。