12.2一次函数(2、3)
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12.2一次函数第一教时教学目标1、理解一次函数的概念,并能根据实际上问题列出简单的一次函数的表达式2、理解一次函数的图象是一条直线,熟练地作出一次函数的图象教学重点、难点1、重点:一次函数的概念,及一次函数的图象2、难点:实际问题中一次函数解析式的确定。
教学过程在上节,遇到过这样一些函数:h=30t+1800; Q=-25t+300; y=2x; y=-2x; s=80t.这些函数有什么共同特点?不难看出,这些函数都是用自变的量的一次式表示的.可以写成:y=kx+b的形式.一般地,如果有:y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),那么,y叫做x的一次函数.其中,当b=0时,一次函数y=kx+b 就成为y=kx(k≠0).如上面的y=2x、y=-2x、s=80t,这些函数中两个变量间的关系,就是小学学过的正比例关系.因此,y=kx(k≠0)中y叫做x的正比例函数.可见,正比例函数是一次函数的特殊情形.下面,来研究一次函数的图象与性质.前面画过函数y=2x、y=-2x及另外一些正比例函数的图象,可见正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条直线,通常我们把正比例函数y=kx(k≠0)的图象叫做直线y=kx.因为两点确定一条直线,所以画正比例函数的图象,只要先描出两点,再过这两点画直线,就可以了.例1 在同一坐标系里,画下列函数的图象:y=1/2x, y=x, y=3x.解列表:(为便于比较,三个函数值计算表排在一起)如图13-11,过两点(0,0),(1,1/2)画直线,得y=1/2x的图象;过两点(0,0),(1,1)画直线,得y=x的图象;过两点(0,0),(1,3)画直线,得y=3x的图象;学生练习课本P35 ,第1、2 布置作业1、课本P43-44习题中,第1、3题2、《基训》教学后记:第二教时教学目标1、理解正比例函数的概念及其图象是一条直线2、熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握k与b的取值对直线位置的影响。
沪科版八年级上册数学一次函数 一次函数图像及性质要点提示知识点一:一次函数的定义 一般地,形如(,是常数,)的函数,叫做一次函数,当时,即,为正比例函数.⑴一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.⑵当,时,仍是一次函数. ⑶当,时,它不是一次函数.⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 知识点二:一次函数的图象及其画法⑴一次函数(,,为常数)的图象是一条直线.⑵由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成直线即可.①如果这个函数是正比例函数,通常取,两点;②如果这个函数是一般的一次函数(),通常取,,即直线与两坐标轴的交点.⑶由函数图象的意义知,满足函数关系式的点在其对应的图象上,这个图象就是一条直线,反之,直线上的点的坐标满足,也就是说,直线与是一一对应的,所以通常把一次函数的图象叫做k b 0k ≠0b =y kx =y k x b =+0b =0k ≠y kx =0b =0k =y k x b =+0k ≠k b ()00,()1k ,0b ≠()0b ,0bk⎛⎫- ⎪⎝⎭,y k x b =+()x y ,()x y ,y kx b =+y k x b =+y k x b =+直线:,有时直接称为直线. 知识点三:一次函数的性质⑴当时,一次函数的图象从左到右上升,随的增大而增大; ⑵当时,一次函数的图象从左到右下降,随的增大而减小.知识点四:一次函数的图象、性质与、的符号. 倾斜度:|k|越大,越接近y 轴;|k|越小,越接近x 轴图像的平移:b >0时,将直线y =kx 的图象向上平移b 个单位,对应解析式为:y =kx +bb <0时,将直线y =kx 的图象向下平移个单位,对应解析式为:y =kx -b 口诀:“上+下-”将直线y =kx 的图象向左平移m 个单位,对应解析式为:y =k (x +m ) 将直线y =kx 的图象向右平移m 个单位,对应解析式为:y =k (x -m )y k x b =+y k x b =+0k >y k x b =+yx0k <y k x b =+yxy k x b =+k b b口诀:“左+右-”知识点五:用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法. ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤: ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式;②将的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组; ③解方程(组),得到待定系数的值;④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求的函数解析式.典例分析1.下列关于x 的函数中,是一次函数的是( )2.如果直线y=kx+b 经过一、二、四象限,那么有()A .k >0,b >0B .k >0,b <0C .k < 0,b <0D .k <0,b >0x y ,22221A .3(1) B .y =x +x 1C .y =-x D .y =(x +3)-xxy x =-3.两个一次函数y1=mx+n.y2=nx+n,它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的()4.若把一次函数y=2x-3,向上平移3个单位长度,得到图象解析式是。
12.2一次函数(第1课时)教学设计(赛课用)2022-2023学
年沪科版八年级数学上册
一、教学目标
1.理解一次函数的概念及特征。
2.掌握一次函数方程的表示法。
3.在实际问题中应用一次函数。
二、教学重点
1.一次函数的概念及特征。
2.一次函数方程的表示法。
三、教学难点
在实际问题中应用一次函数,在不同表达形式间进行转化及其操作。
四、教学过程
1.导入
讲解本节课中即将涉及到的知识点,引导学生思考:
•什么是函数?
•什么是一次函数?
•一次函数有哪些特征?
2.讲解
接着,讲解一次函数的概念,分类及其特征,以及其在直角坐标系中的图像呈现。
3.实例演示
通过例题,让学生理解一次函数通式的含义和组成部分,进行拆分、分析、运用。
4.练习
1.让学生自主完成教材内相关习题,以检验之前讲解的内容是否理解。
2.设计与生活实际问题相关的习题,帮助学生在实际中应用一次函数。
5.评价
对学生的作业进行批评、指正,及时纠正学生的思维偏差,查漏补缺。
6.拓展
在理解了本节内容基础上,引导学生进行知识拓展,如学习二次函数、指数函数等。
五、教学手段
投影仪、黑板、白板、PPT、实物、图片等。
六、教学评估
1.学生的小测验成绩。
2.学生完成的课后作业及有关实际问题的习题。
3.学生参与课堂活动的表现。
七、教学反思
在教学过程中,应该注意何时使用而展示、生动形象地、活跃气氛,教师应当注重学生的细节和思维感悟,加强对学习方法和思维的指导。
12.2一次函数第1课时正比例函数1.初步理解正比例函数的概念及其图象的特征.2.能够画出正比例函数的图象.3.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系.4.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.重点正比例函数的概念.难点正比例函数的特征.一、创设情境,导入新课[活动1]问题1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环;4个月零1周后,人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它 (一个月按30天计算).(1)这只百余克重的燕鸥大约平均每天飞行多少千米?(2)这只燕鸥的行程y(单位:千米)与飞行时间x(单位:天)之间有什么关系?(3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?(4)对这个问题你还能提出什么问题?教师用课件或小黑板出示问题,用投影仪展示这只燕鸥飞行的距离.让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚的位置,并将两处用直线连接.学生稍作思考,自主解决三个问题:①燕鸥每天飞行的路程;②燕鸥总行程y(千米)与飞行时间x(天)的关系式:y=200x.③燕鸥飞行一个半月的行程.老师提示:这里用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行刻画,尽管只是近似的,但它反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律.教师应重点关注:学生对飞行总路程与飞行时间的函数关系的理解;学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值X围.二、合作交流,探究新知[活动2]问题首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?这些函数有什么共同特点?1.圆的周长C随半径r的大小变化而变化.2.铁的密度为7.8 g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化.3.每个练习本的厚度为0.5 cm.一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化.4.冷冻一个0 ℃的物体,使它每分钟下降2 ℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化.教师出示四个实例问题(用投影仪),要求学生:(1)能找出变量对应表达式;(2)能说出表达式中的自变量,自变量的函数.学生自主探究,分组讨论,然后分小组代表回答问题,教师对回答的问题进行评价.教师提问:C=2πr中,字母π是变量吗?引导学生观察、分析上面4个函数的表达式的共性:都是常数与自变量乘积的形式.教师口述并板书正比例函数的概念.(1)你能举出一些正比例函数的例子吗?(2)表示梯形的面积和圆的面积的函数式是否是正比例函数关系?什么情况下不是?①S =12(a +b )h . ②S =πr 2.教师让学生看书,并提问:这里为什么强调y =kx 中k 是常数,且k ≠0?学生讨论,回答并补充.教师应重点关注:(1)不要认为表达式中的字母都是表示变量.(2)对自变量的取值X 围是否能分析清楚.(3)是否概括出了这几个函数的共同特点.学生举例时教师要提醒:(1)举出实际问题;(2)能对其中的自变量、比例系数、函数关系进行解释.对举例不是正比例函数的要认真分析.[活动3]问题画出下列正比例函数的图象:(1)y =2x ;(2)y =-2x .(1)我们知道了怎样用解析式表示正比例函数,那么怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图象呢?教师在黑板上演示用描点法画出y =2x 的图象.应注意:(1)操作规X ,有示X 性.(2)要师生同画.要学生独立画出y =-2x 图象.应注意:(1)评价学生所画的图象;(2)与学生一起总结画图象的主要步骤:列表、描点、连线.(2)观察分析两个图象的异同.两图象都经过________,两图象都是________,函数y =2x 的图象从左向右呈________,经过第________象限;函数y =-2x 的图象从左向右呈________,经过第________象限.练习:在同一坐标系中画出y =12x 和y =-12x 的图象. [活动4]问题1.从以上作图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征?2.经过原点与点(1,k )的直线是哪个函数的图象?教师在画图过程中进行指导,学生画完图后,让学生讨论回答这两个图象的特点,与活动3中的两个图象的特点相比较.让学生根据讨论的结果概括、归纳出正比例函数图象特征,教师板书写出正比例函数图象的特征.此处,教师应重点关注:(1)学生是否通过对正比例函数解析式观察分析,发现当k >0时的函数y 与自变量x 同号,当k <0时函数y 与自变量x 异号.(2)学生通过对正比例函数图象的观察分析,发现其图象是一个随x 增大而增大或减小的直线.让学生讨论是否可行.应注意:(1)提醒学生从解析式入手,当x =0或x =1时,函数y 的值分别是几?(2)正比例函数的图象为什么一定过(0,0)和(1,k )两点;(3)因为两点可以确定一条直线,因此,画正比例函数的图象时只需过原点(0,0)和(1,k )画一条直线即可.3.用你认为最简单的方法画出正比例函数的图象.学生练习用“两点法”画图象,教师辅导的同时让两名学生在黑板上画.此时应注意:(1)学生画图是否用“两点法”;(2)这两点是否最简单.(关键是k 的取值)三、运用新知,深化理解例1 已知函数y=(m-5)xm2-24+m+1.(1)若它是一次函数,求m的值;(2)若它是正比例函数,求m的值.分析:(1)要使函数是一次函数,根据一次函数的定义,x的指数m2-24=1,且一次项系数m-5≠0;(2)要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m+1=0这个条件.解:(1)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m=±5,且m≠5,所以mm=-5时,函数y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数;(2)若y=(m-5)xm2-24+m+1是正比例函数,则m2-24=1,且m-5≠0,且mm=±5,且m≠5,且m=-1,这样的m不存在,所以函数y=(m-5)xm2-24+m+1不可能为正比例函数.【归纳总结】函数y=kx+b是一次函数,则k≠0,b=0时,一次函数为正比例函数.例2 已知正比例函数y=kx(k≠0),当x=-1时,y=-2,则它的图象大致是( )A B CD分析:将x=-1,y=-2代入正比例函数y=kx(k≠0)中,求出k的值为2,即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象.【归纳总结】本题考查了正比例函数的图象,知道正比例函数的图象是过原点的直线,且当k>0时,图象过第一、三象限;当k<0时,图象过第二、四象限.例3 已知正比例函数y=-kx的图象经过第一、三象限,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)三点在函数y=(k-2)x的图象上,且x1>x3>x2,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y1>y3>y2B.y1>y2>y3C.y1<y3<y2 D.y3>y2>y1分析:由y=-kx的图象经过第一、三象限,可知-k>0,即k<0,∴k,y=(k-2)x的函数值y随x的增大而减小,则由x1>x3>x2得y1<y3<y2.【归纳总结】正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的变化情况由k的符号决定.k>0时,y随x的增大而增大;k<0时,y随x的增大而减小.四、课堂练习,巩固提高1.教材P36练习.2.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容.五、反思小结,梳理新知一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的直线,我们称之为直线y=kx,当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限且从左向右上升,即y随着x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限且从左向右下降,即y随着x 的增大而减小.六、布置作业请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容.第2课时一次函数的图象与性质1.理解直线y=kx+b与y=kx直线之间的位置关系.2.会选择两个合适的点画出一次函数的图象.3.掌握一次函数的性质.重点一次函数的图象和性质.难点由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.一、创设情境,导入新课[活动1]问题1.什么叫正比例函数、一次函数?它们之间有什么联系?2.正比例函数图象形状是什么样的?3.正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)中,k的正、负对函数的图象有什么影响?教师展示问题后,学生口答,师生共评,纠正问题.教师应重点注意:(1)学生参与活动的意识及勇气;(2)能否理解直线变化趋势(形)与函数的性质(数)之间的对应关系.二、合作交流,探究新知问题1.画图:用描点法在同一坐标系中画出函数y=-6x,y=-6x+5的图象;2.观察:比较上面两个函数图象的相同点和不同点,根据你的观察结果回答下列问题:(1)这两个函数图象的形状都是________,并且倾斜程度都________,它们的位置________;(2)函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点________,即可以看作由直线y=-6x向________平移________个单位长度而得到;(3)比较两个函数的解析式,试由此解释两个函数图象的位置关系.3.拓展延伸:(1)所有一次函数的图象都是直线吗?(2)直线y=kx与直线y=kx+b之间存在着怎样的位置关系?(3)由直线y=kx可经过怎样的平移得到直线y=kx+b?学生对应描点、画图,并通过观察、比较两个函数图象后,对问题进行推广.教师对学生的观察、推广等结果进行适时的评价,在此基础上,师生共同得出:(1)一次函数的图象y=kx+b也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b;(2)直线y=kx与直线y=kx+b互相平行;(3)直线y=kx+b可以由直线y=kx平移|b|个单位而得到.教师应重点注意:(1)学生在描点的过程中,是否注意到了几组对应点的位置变化规律;(2)学生能否通过解析式对“平移”作出解释;(3)为什么说平移|b |个单位,而不说b 个单位.在同一坐标系中画出函数y =2x -1与yx +1的图象.学生独立用两个点画出函数的图象,同桌交流;体验选点的差异性和图象的一致性. 教师应指出:虽然同学们所选的点不一样,但画出的图象却是一致的,通常选取点(0,b ),(-b k,0)这两个点,教师应注意引导选择合适的点. 1.探究:在同一坐标系中画出函数y =x +1,y =-x +1,y =2x +1,y =-2x +1的图象.2.观察上面四个函数的图象,类比正比例函数y =kx 的图象中的k 的正、负对函数图象有什么影响,探究一次函数y =kx +b 中的k 的正、负对函数图象有什么影响,并在此基础上表述一次函数的性质.【归纳总结】(1)当k >0时直线从左向右上升,即y 随x 的增大而增大;当k <0时直线从左向右下降,即y 随x 的增大而减小.应重点指导:(1)观察、类比新知的方法;(2)一次函数的性质与k 有关;(3)从“数”和“形”两个方面去理解和掌握一次函数的性质.做一做1.练习:教材P39练习.2.课外思考:根据已做的题目,归纳y =kx +b (k ≠0)中b 对函数的影响.学生独立板演,老师巡视,了解学生对知识掌握的情况.对学生练习中出现的情况,有针对性地讲解,了解学生是否通过数形结合解决问题.三、运用新知,深化理解例1 已知一次函数y =(6+3m )x +(n -4).(1)m 为何值时,y 随x 的增大而减小?(2)m 、n 为何值时,函数图象与y 轴的交点在x 轴的下方?(3)m 、n 为何值时,函数图象过原点?分析:(1)因为k <0时,y 随x 的增大而减小,故6+3m <0;(2)要使此函数图象与y 轴的交点在x 轴的下方,必有6+3m ≠0,同时n -4<0;(3)函数图象过原点是正比例函数的特征,即6+3m ≠0且n -4=0.解:(1)依题意,得6+3m <0,即mm <-2时,y 随x 的增大而减小;(2)依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧6+3m ≠0,n -4<0.解得n <4且m ≠-2.故当m ≠-2且n <4时,函数图象与y轴的交点在x 轴的下方;(3)依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧6+3m ≠0,n -4=0.解得n =4且m ≠-2.故当m ≠-2且n =4时,函数图象过原点.【归纳总结】一次函数y =kx +b (k ≠0)中,k 的符号决定直线上升或下降,b 的符号决定直线与y 轴的交点位置,在考虑b 的值时,同时要考虑k ≠0这一隐含条件,在利用一次函数的性质解决问题时,常常结合方程和不等式求解.例2 两个一次函数y 1=ax +b 与y 2=bx +a ,它们在同一坐标系中的图象可能是( )A B CD分析:解此类题应根据k ,b 的符号从而确定y =kx +b 图象的位置或根据图象确定k ,b 的符号.A 选项中,由y 1的图象知a >0,b <0,则y 2的图象应过第一、二、四象限,故A 错,C 对;B 选项中,由y 1的图象知a >0,b >0,则y 2的图象应过第一、二、三象限,故B 错;D 选项中,由y 1的图象知a <0,b >0,则y 2的图象应过第一、三、四象限,故D 错.【归纳总结】对于两种不同函数的图象共存同一坐标系问题,一般常假设某一图象正确,然后根据相同字母系数的符号的不变性,来判定另一图象是否正确,进而解决问题.四、课堂练习,巩固提高1.教材P38练习.2.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容.五、反思小结,梳理新知一次函数的图象和性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧图象:一条直线,我们称它为直线y =kx +b ,它可以看作由直线y =kx 平移|b |个单位长度得到(当b >0时,向上平移;当b <0时,向下平移).性质:⎩⎪⎨⎪⎧当k >0时,y 随x 的增大而增大;当k <0时,y 随x 的增大而减小;当b >0时,直线与y 轴交于正半轴;当b <0时,直线与y 轴交于负半轴.六、布置作业1.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容.2.教材P47习题12.2第1~6,13题. 第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式1.学会用待定系数法确定一次函数解析式.2.了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数.重点待定系数法确定一次函数解析式.难点灵活运用有关知识解决相关问题.一、创设情境,导入新课1.复习:画出函数y =3x ,y =3x -1的图象.2.反思:你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗?3.引入新课:在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,可以说出它的图象特征及有关性质;反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?这将是本节课我们要研究的问题.二、合作交流,探究新知(1)求下图中直线的函数表达式.(2)分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线,因此是正比例函数,可设它的表达式为y=kx,将点(1,2)代入表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x.(2)设直线的表达式是y=kx+b,因为此直线经过点(0,3),(2,0),因此将这两个点的坐标代入,可得关于k、b方程组,从而确定了k、b的值,确定了表达式.(写出解答过程)(3)反思小结:确定正比例函数的表达式需要1个条件,而确定一次函数的表达式需要2个条件.像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.师生整理归纳.教师引导学生总结出:数学的基本思想方法:数形结合.三、运用新知,深化理解例1 如图所示,一次函数的图象过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为( )A.y=-x+2 B.y=x+2C .y =x -2D .y =-x -2分析:由正比例函数y =-x 可知,当x =-1时,y =1,∴点B 的坐标为(-1,1).设一次函数的表达式为y =kx +b ,把点B (-1,1),A (0,2)的坐标代入所设函数表达式,得⎩⎪⎨⎪⎧-k +b =1,b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =2.∴y =x +2. 【归纳总结】(1)利用待定系数法求一次函数的表达式时一定要有两个独立的条件,如两个点的坐标,或x 与y 的两对对应值等;(2)注意通过读图获取有用的信息,如本题中,A 点的纵坐标为2,即函数图象的截距为2,B 点的横坐标为-1,由B 点在直线y =-x 上可得其纵坐标.例2 如图,一次函数y =kx +b 的图象与正比例函数y =2x 的图象平行且经过点A (1,-2),则kb =______.分析:∵直线y =2x 与直线y =kx +b 平行,∴k =2.∵直线y =kx +b 过点(1,-2),∴2+b =-2.∴b =-4.∴kb =2×(-4)=-8.【归纳总结】两直线y =k 1x +b 与y =k 2x +b 平行,则k 1=k 2.先由两直线平行求得k ,再把点(1,-2)代入y =kx +b 求解可得b 的值.补充练习:(1)若一次函数y =3x -b 的图象经过点P (1,-1),则该函数图象必经过点( )A .(-1,1)B .(2,2)C .(-2,2)D .(2,-2)(2)若直线y =kx +b 平行于直线y =-3x +2,且在y 轴上的截距为-5,则k =______,b =______.(3)小明根据某个一次函数关系式填写了下表:x -2 -1 0 1y 3 1 0其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空格里原来填的数是多少?解释你的理由.四、课堂练习,巩固提高1.教材P40练习.2.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容.五、反思小结,梳理新知用待定系数法求一次函数解析式⎩⎪⎨⎪⎧①设出含有待定系数的函数解析式;②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数;④将求出的待定系数的值代回所设的解析式即可得出函数解析式. 六、布置作业1.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容.2.教材P47~48习题12.2第7~12题.第4课时 一次函数的应用1.理解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象;能深入了解一次函数的应用价值.2.在多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.重点对分段函数图象的理解.难点能将具体的实际问题转化为数学问题,利用数学模型解决实际问题.一、创设情境,导入新课小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家,其中x 表示时间,y 表示小明离他家的距离.该图表示的函数是正比例函数吗?是一次函数吗?你是怎样认为的?二、合作交流,探究新知探究点一:对分段函数图象的理解例1 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时,两车的距离y (千米)与货车行驶的时间x (小时)之间的函数图象如图所示,现有以下4个结论:①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时;②甲、乙两地之间的距离为120千米;③图中点B 的坐标为(334,75);④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时.以上4个结论中正确的是________.分析:根据题意可判断图中OA 为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距,AB 为快递车在甲地卸货时两车的间距,BC 为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距.通过分析找出各个阶段量的关系,可求出正确结论.①A 点为快递车到达乙地的时刻,快递车从甲地到乙地共用3小时,两车速度差为120÷3=40(千米/时),已知货车速度为60千米/时,则快递车速度为100千米/时,①正确;②甲、乙两地的距离为100×3=300(千米),②错误;③B 点为快递车卸货结束的时刻,快递车卸货45分钟,因此B 点横坐标为334,此时货车行驶距离为60×334=225(千米),300-225=75(千米),所以B 点纵坐标为75,则点B 的坐标为(334,75),③正确;④BC 段所用时间为414-334=12(小时),在B 点时两车相距75千米,相遇时货车行驶距离为60×12=30(千米),快递车行驶距离为75-30=45(千米),故此段快递车的速度为45÷12=90(千米/时),④正确. 【归纳总结】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论,读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义,理解问题叙述的过程.探究点二 实际问题中的方案选择例2 电信局为满足不同客户的需要,设有A 、B 两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN ∥CD ),若通话时间为500分钟,则应选择哪种方案更优惠( )A .方案AB .方案BC .两种方案一样优惠D .不能确定分析:由图可知,通话时间为500分钟时,方案A 的费用是230元,方案B 的费用是168元,∵230>168,∴选择方案B 更优惠.【归纳总结】根据图象可知通话500分钟两种方案的通话费用,选择费用少的一种方案即可.三、运用新知,深化理解例3 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼,准备购买10副某种品牌的羽毛球拍,每副球拍配x (x ≥2)个羽毛球,供社区居民免费借用.该社区附近A ,B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且每副球拍的标价均为30元,每个羽毛球的标价均为3元,目前两家超市同时在做促销活动:A超市:所有商品均打九折(按标价的90%)销售;B超市:买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A(元),在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B(元).请解答下列问题:(1)分别写出y A和y B与x之间的关系式;(2)若该活动中心只在一家超市购买,你认为在哪家超市购买更划算?(3)若每副球拍配15个羽毛球,请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.分析:(1)可根据题意,直接写出y A和y B与x之间的关系式;第(2)题在第(1)题的基础上,分类讨论,得到对应的自变量的取值X围;第(3)题须在第(2)题的基础上再次分类讨论,特别需要提醒的是,这里不再限制“只在一家超市购买”,所以,要考虑到B超市免费送羽毛球的情况,经过计算、比较,得到结果.解:(1)y A=27x+270,y B=30x+240;(2)当y A=y B时,27x+270=30x+240,解得x=10;当y A>y B时,27x+270>30x+240,解得x<10;当y A<y B时,27x+270<30x+240,解得x>10.∴当2≤x<10时,到B超市购买划算;当x=10时,两家超市都一样;当x>10时,到A超市购买划算;(3)∵x=15>10,∴①选择在A超市购买,y A=27×15+270=675(元);②可先在B超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛球,后在A超市购买剩下的羽毛球(10×15-20=130)个,则共需费用:10×30+130×3×0.9=651(元).∵651<675,∴最省钱的购买方案是:先在B超市购买10副羽毛球拍,后在A超市购买130个羽毛球.【归纳总结】解答函数的应用题,必须读懂题意,注意题干条件与各个问题的条件之间的关系.题干中的条件适用于每一个小题,但是,各个小题的条件并不互相影响;要针对各个小题的条件,结合所问问题做不同的分类讨论.四、课堂练习,巩固提高1.教材P42及P44练习.2.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容.五、反思小结,梳理新知1.分段函数⎩⎪⎨⎪⎧对分段函数图象的理解分段函数的具体应用 2.利用一次 函数进行 方案决策⎩⎪⎨⎪⎧①从数学的角度分析数学问题,建立函数, 模型;②列出不等式(方程),求出自变量在取不同值时所对应的函数值,判断大小关系;③结合实际需求,选择最佳方案.六、布置作业1.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容.2.教材P48习题12.2第15~16题.第5课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式(组)1.理解一次函数与一元一次方程的关系以及一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程及不等式的求解问题.3.进一步理解数形结合思想,提高问题间互相转化的能力.重点一次函数与一元一次方程关系的理解以及一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系的理解.难点对一次函数与一元一次方程关系的理解以及用图象法求解不等式中自变量取值X围的确定.一、创设情境,导入新课[活动1]问题1.解方程2x+20=0.2.在坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.思考:直线y=2x+20与x轴交点的横坐标是方程2x+20=0的解吗?为什么?这两个问题是同一个问题吗?学生独立思考问题1,2,并完成画图,相互交流观察与思考的结果.教师巡视,对学生出现的问题给予帮助.师生共同归纳:(1)在问题1中,解方程0=2x+20,得x=-10.(2)解问题2就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时,所对应的自变量x为何值,这可以通过解方程2x+20=0,得x=-10.因此这两个问题实际上是同一个问题.即这两个问题是同一个问题的两种不同的表达方式.(3)从“数”的角度看,方程2x+20=0的解是x=-10;从“形”的角度去看,直线y =2x+20与x轴交点的坐标是(-10,0),这也说明,方程2x+20=0的解是x=-10.在此活动中,教师应关注:(1)学生能否通过问题1,2体会一次函数与一元一次方程在数与形两个方面的关系.(2)学生独立思考.[活动2]问题1.解不等式5x+6>3x+10.思考:不等式5x+6>3x+10可以转化为ax+b>0的形式吗?所有的不等式是否都能转化为这种形式呢?2.当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?思考:以上两个问题是同一个问题吗?3.问题2能用一次函数图象说明吗?引导学生解不等式后再思考问题.师生共同归纳:(1)在问题1中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式得x>2.(2)思考问题的答案是肯定的.(3)解问题2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时,函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.教师导入新课:是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何通过函数图象来解一元一次不等式?解不等式,讨论归纳.画图尝试.二、合作交流,探究新知探究一方程ax+b=0(a,b为常数)与“求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系?教师引导学生从特殊事例中寻求一般规律,进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系,从思想上真正理解函数与方程的关系.学生在教师引导下,通过自主合作,分析思考,找出这两个具体问题中的一般规律,从而经过讨论,归纳概括出较完整的关系,还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的.学生认真思考、积极讨论,并展示自己的结论.师生共同归纳:由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这。
第12章一次函数12.2一次函数第2课时一次函数的图象及其性质教学反思教学目标1.会用两点法画一次函数图象.2.利用数形结合的思想,分析一次函数与正比例函数的联系及一次函数的性质.教学重难点重点:分析一次函数与正比例函数解析式和图象之间的联系难点:画一次函数图象,掌握一次函数的图象及其性质教学过程知识回顾提问:1.什么是一次函数?一般地,形如y=kx+b ( k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数.2.什么是正比例函数?形如y=kx(k为常数,且k≠0) 的函数,叫做正比例函数.3.正比例函数与一次函数有什么关系?正比例函数是一次函数一般式b=0时的特殊情形 .即:正比例函数一定是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数.4.正比例函数y=kx ( k为常数,且k≠0 ) 的图象有什么性质?对于正比例函数y=kx,当k>0时,y=kx的图象在一、三象限,且y随x的增大而增大;当k<0时,y=kx的图象在二、四象限,且y随x的增大而减小.新课导入正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0) 的函数图象是一条经过原点的直线,对于一次函数y=kx+b (k,b为常数,且k≠0),当b≠0时,它的图象又是什么呢?下面,我们一起来研究一次函数的图象及其性质.探究新知一、正比例函数图象与一次函数图象之间的联系典型例题例1在同一坐标系中画出y=2x和y=2x+3的图象.解:列表思考:(1)通过填表你发现这两个函数之间有什么关系?学生思考回答,教师引导得出结论:从表中可以看出,对于自变量x的同一个值,一次函数y=2x+3 的函数值要比函数y=2x的函数值大3个单位.(2)现在我们通过描点、连线画出它们的函数图象,看看它们的图象有什教学反思么关系.学生独立画出函数图象(如图),观察思考,在教师引导下得出结论:对于相同的横坐标,一次函数y=2x+3的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大3.因此,把直线y=2x向上平移3个单位,就得到一次函数y=2x+3 的图象.教师讲解:由此可见,一次函数y=2x+3的图象,是平行于直线y=2x的一条直线.拓展探究:1.在右图中,把直线y=2x向下平移3个单位,这时直线应是哪个函数解析式的图象?2.观察右图中,三个函数的解析式有什么共同点呢?3.观察右图中,三个函数的图象,你发现了什么?4.观察三个函数的图象和解析式,你能得到什么结论?学生独立完成,小组交流讨论,并展示成果.1.y=2x-3;2.三个函数解析式k值相等,b值不同;3.三个函数图象都是直线,且互相平行;4.当两个一次函数的k值相等,b值不同时,这两个一次函数的图象是互相平行的.教师讲解:一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0) 的图象是平行于直线y =kx的一条直线,因此,我们以后把一次函数y=kx+b (k,b为常数,且k≠0) 的图象叫做直线y=kx+b.拓展:(1)所有一次函数y=kx+b的图象都是直线.(2)直线y=kx+b与直线y=kx相互平行.(3)直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移得到:当b>0时,向上平移b个单位长度;当b<0时,向下平移b个单位长度.典型例题例2已知直线y=kx+b (k≠0) 平行于直线y=-2x+1,且过点(-2,4),分别求出k和b.解:因为直线y=kx+b (k≠0) 与直线y=-2x+1平行,所以k=-2.又因为直线y=kx+b (k≠0) 经过点(-2,4),所以4=-2×(-2)+b,解得b=0.综上所述,k=-2,b=0.二、两点法画一次函数图象探究:完成下列填空,思考怎样快速作出一个一次函数的图象?直线y=2x+3与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是.直线y=2x-3与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是.(3)y=kx+b与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是.教师讲解:画一次函数y=kx+b (k≠0)的图象,若b≠0,通常取该直线与y轴的交点(0,教学反思b )和与x 轴的交点,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由两点确定一条直线得一次函数的图象.直线 y =kx +b 与y 轴相交于点(0,b ),b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距,简称截距.注意:截距不同于距离,截距可正可负,也可以为零.截距不同,图象与y 轴的交点就不同.典型例题例3 画出直线 y =23x -2,并求它的截距. 解:列表:过点(0,-2)和点(3,0)画一线, 就得直线y =23x -2. 它的截距是-2.三、一次函数的性质探究1:在同一平面直角坐标系中,画下列函数的图象: y =3x +1,y =2x -3,y =21x +4. (1)学生独立完成,画出函数图象.(2)观察函数图象,分析这三个函数解析式有什么共同的特点? (3)结合正比例函数的性质,想一想一次函数的图象有什么特征? 学生独立完成,并展示探究成果,教师引导纠正,得出正确答案.(1)教学反思(2)这三个解析式k>0,b不相同.(3)当k>0时,y=kx+b的图象经过的象限中必有一、三象限,且y随x的增大而增大(图象是自左向右上升的).探究2:观察右图中的三个函数的解析式和图象,你能得到什么结论?学生独立思考,回答问题,教师引导得出正确结论:当k<0时,y=kx+b的图象经过的象限中必有二、四象限,且y随x的增大而减小(图象是自左向右下降的).思考:一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k,b的正负对函数图象及性质有什么影响?观察下列图象分析k、b的取值.学生独立思考,小组讨论,回答问题.教师讲解:(1)当k >0时,直线y =kx +b 由左到右逐渐上升,y 随x 的增大而增大. ① b >0时,直线经过第一、二、三象限; ② b <0时,直线经过第一、三、四象限.(2)当k <0时,直线y =kx +b 由左到右逐渐下降,y 随x 的增大而减小. ① b >0时,直线经过第 一、二、四象限;② b <0时,直线经过第二、三、四象限. 典型例题例4 已知一次函数 y =(1-2m )x +m -1,求满足下列条件的m 的值: (1)函数值y 随x 的增大而增大; (2)函数图象与y 轴的负半轴相交; (3)函数的图象过第二、三、四象限.解:(1)由题意得1-2m >0,解得m <21.(2)由题意得1-2m ≠0且m -1<0,即m <1且m ≠21.(3)由题意得1-2m <0且m -1<0,解得21<m <1. 课堂练习1.在平面直角坐标系中,函数y =-2x +3的图象经过( ) A .一、二、三象限 B .二、三、四象限 C .一、三、四象限 D .一、二、四象限2.一次函数 y =x -2 的大致图象为( )A B C D3.一次函数y =(m 2+1)x +a +1(m ,a 为常数)的图象不可能经过的象限为( )A .一、二、三B .一、三C .一、二、四D .一、三、四4.若一次函数y =kx +1(k 为常数,k ≠0)的图象经过第一、二、三象限,则k 的取值范围是_______ .5.直线y =2x -3 与x 轴交点的坐标为_______;与y 轴交点的坐标为______;图象经过第 象限, y 随x 的增大而________.6.若直线y =kx +2与y =3x -1平行,则k = .7.点A (-1,y 1),B (3,y 2)是直线y =kx +b (k <0)上的两点,则y 1-y 2 0(填教学反思“>”或“<”).参考答案1.D2.C3.C4.k >05.(1.5,0) (0,-3) 一、三、四 增大6.k =37.>课堂小结布置作业教材38页练习1,2,3题; 教材39页练习1,2,3,4,5题.板书设计第2课时 一次函数的图象及其性质(1)当k >0,b >0时,直线经过第一、二、三象限; (2)当k >0,b <0时,直线经过第一、三、四象限; (3)当k <0,b >0时,直线经过第一、二、四象限; (4)当k <0,b <0时,直线经过第二、三、四象限.例 已知一次函数 y =(1-2m )x +m -1 , 求满足下列条件的m 的值: (1)函数值y 随x 的增大而增大; (2)函数图象与y 轴的负半轴相交; (3)函数的图象过第二、三、四象限. 解:(1)由题意得1-2m >0,解得m <21. (2)由题意得1-2m ≠0且m -1<0,即m <1且m ≠21教学反思(3)由题意得1-2m <0且m -1<0,解得21<m <1.。
专题12.2 一次函数与正比例函数【七大题型】【沪科版】【题型1 一次函数、正比例函数的识别】 (1)【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】 (2)【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】 (3)【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】 (4)【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】 (5)【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】 (6)【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】 (8)【题型1 一次函数、正比例函数的识别】;(3)y=2x2;(4)y=﹣【例1】(2022春•麻城市校级月考)下列函数:(1)y=﹣2x;(2)y=−8xx+1;(5)y=x2+1,(6)y=kx+b(k是常数),其中一次函数的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【变式1-1】(2022•市北区期中)下列语句中,y与x是一次函数关系的有()个(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系;(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y厘米,y与x的关系;(4)某种大米的单价是2.2元/千克,当购买x千克大米时,花费y元,y与x的关系.A.1B.4C.3D.2【变式1-2】(2015春•盱眙县校级期末)下列问题中,是正比例函数的关系的是()A.矩形面积一定,长与宽的关系B.正方形面积和边长的关系C.三角形面积一定,底边和底边上的高的关系D.匀速运动中,速度固定时,路程和时间的关系(2022春•北京期末)如图,有一个装水的容器,容器内的水面高度是10cm,水面面积是100cm2.现【变式1-3】向容器内注水,并同时开始计时.在注水过程中,水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加.容器注满水之前,容器内水面的高度h,注水量V随对应的注水时间t的变化而变化,则h与t,V与t满足的函数关系分别是()A.正比例函数关系,正比例函数关系B.正比例函数关系,一次函数关系C.一次函数关系,一次函数关系D.一次函数关系,正比例函数关系【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】【例2】(2022•平川区校级月考)当m,n为何值时,y=(m﹣1)x m2+n.(1)是一次函数;(2)是正比例函数.【变式2-1】(2022春•新抚区期末)已知函数y=(m+1)x2﹣|m|+4,y是x的一次函数,则m的值是()A.1B.﹣1C.1或﹣1D.任意实数【变式2-2】(2021春•萝北县期末)若y=(m+2)x+m2﹣4是关于x的正比例函数,则常数m=.【变式2-3】(2022•金牛区校级期中)当m,n为何值时,y=(m﹣3)x|m|﹣2+n﹣2.(1)是一次函数;(2)是正比例函数.【例3】(2021春•雄县期末)已知y是z的一次函数,z是x的正比例函数,问:(1)y是x的一次函数吗?(2)若当x=5时,y=﹣2;当x=﹣3时,y=6.则当x=1时,y的值是什么?【变式3-1】(2022春•柳州期末)已知一次函数图象经过点A(1,3)和B(2,5).求:(1)这个一次函数的解析式.(2)当x=﹣3时,y的值.【变式3-2】(2022•广陵区校级期末)已知y﹣1与x+2成正比例,且x=﹣1时,y=3.(1)求y与x之间的关系式;(2)它的图象经过点(m﹣1,m+1),求m的值.【变式3-3】(2022•宜兴市校级月考)已知y=y1+y2,其中y1与x成正比例,y2与x﹣2成正比例.当x=﹣1时,y=2;当x=3时,y=﹣2.求y与x的函数关系式,并画出该函数的图象.【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】【例4】(2022•嘉定区期末)正比例函数的图象经过点(2,﹣4)、(a,4),求这个函数的解析式和a 的值.【变式4-1】(2022•泰兴市期末)已知一个函数的图象是经过原点的直线,并且经过点(﹣3,9),求此4函数的关系式.【变式4-2】(2022春•衡阳县期中)已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点A(﹣3,6).(1)求y与x的函数关系式;(2)当x=﹣6时,求对应的函数值y;.(3)当x取何值时,y=23【变式4-3】(2022•黄浦区期中)若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3:1,则此函数的解析式为.【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】【例5】(2022春•江夏区校级月考)已知一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(4,0),交y轴于点B (0,2).(1)求这个函数的解析式;(2)若在第一象限有一点C(2,m),且△ACB的面积为4,求m的值.【变式5-1】(2022春•鞍山期末)如图,一次函数y=x+2与x轴,y轴分别交于点A,B,点M(1,m)是直线AB上一点,直线MC交x轴于点C(5,0);2(1)求直线MC的函数解析式;(2)若点P是线段AC上一动点,连接BP,MP,若△ABP的面积是△MPC面积的2倍,求P点坐标.【变式5-2】(2022春•凤庆县期末)如图,直线AB过点A(﹣1,5),P(2,a),B(4,﹣5).(1)求直线AB的函数解析式和a的值;(2)求△AOP的面积.【变式5-3】(2022•肃州区校级期中)如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).(1)求直线EF的关系式;(2)求△OEF的面积;(3)若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,当点P运动到什么位置时,△OP A的面积为12,并说明理由.【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】【例6】(2022•东方校级期末)为了保护学生的视力,课桌的高度)ycm与椅子的高度xcm(不含靠背)都是按y是x的一次函数关系配套设计的,如表列出了两套课桌椅的高度:第一套第二套椅子高度xcm40.038.0课桌高度ycm75.071.8(1)请确定y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌,它们是否配套?请通过计算说明理由.【变式6-1】(2022•嘉定区二模)某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时,测得部分数据如下表:行驶路程x(千米)…100150…油箱内剩余油量y(升)…5248…(1)如果该车的油箱内剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,求y关于x的函数解析式(不需要写出它的定义域);(2)张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米(不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素).假如不在高速公路上的服务区加油,那么在上高速公路之前,张老师这辆车的油箱内至少需要有多少升汽油?请根据题目中提供的相关信息简要说明理由.【变式6-2】(2022•崇明县二模)温度通常有两种表示方法:华氏度(单位:℉)与摄氏度(单位:℃),已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系,下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系: 摄氏度数x (℃) … 0 … 35 … 100 … 华氏度数y (℉)…32…95…212…(1)选用表格中给出的数据,求y 关于x 的函数解析式;(2)有一种温度计上有两个刻度,即测量某一温度时左边是摄氏度,右边是华氏度,那么在多少摄氏度时,温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56?【变式6-3】(2022•河南模拟)某种计时“香篆”在0:00时刻点燃,若“香篆”剩余的长度h (cm )与燃烧的时间x (h )之间是一次函数关系,h 与x 的一组对应数值如表所示: 燃烧的时间x(h ) …3456…剩余的长度h (cm )…210 200 190 180…(1)写出“香篆”在0:00时刻点然后,其剩余的长度h (cm )与燃烧时间x (h )的函数关系式,并解释函数表达式中x 的系数及常数项的实际意义;(2)通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm 时的时刻.【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】【例7】(2022春•成华区期末)将长为20cm ,宽为10cm的长方形白纸,按如图所示的方法粘合起来,粘合部分宽为2cm.(1)根据题意,将表格补充完整.白纸张数12345…纸条长度205674…(2)设x张白纸粘合后的总长度为ycm,则y与x之间的关系式是什么?请求出50张白纸粘合后的总长度;(3)若粘合后的总长度为2018cm,问需要多少张白纸?【变式7-1】(2022春•玉门市期末)如图,自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm.(1)观察图形,填写下表:链条的节数/节234…链条的长度/cm…(2)如果x节链条的长度为y,那么y与x之间的关系式是什么?(3)如果一辆某种型号自行车的链条(安装前)由60节这样的链条组成,那么这辆自行车上的链条(安装后)总长度是多少?【变式7-2】(2022蚌山区校级月考)用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加1的规律拼成如图图案.(1)第4个图案中白色纸片的个数是;(2)如果第n(n为正整数)个图案中有y个白色纸片,写出y与n的函数关系式.【变式7-3】(2022春•巴中期末)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=x2+12相交于点P,直线l1与y轴交于点A,一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B1处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B2处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A2处后,仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动,动点C依次经过点B1,A1,B2,A2,B3,A3,B2020,A2020……则A2022B2022的长度为()A.22021B.22022C.2022D.4044。
《一次函数》作业设计方案(第一课时)一、作业目标本次《一次函数》作业设计的目标旨在使学生:1. 掌握一次函数的概念及表达式形式。
2. 理解一次函数中斜率、截距的几何意义和实际应用。
3. 能够利用一次函数进行简单的图形分析,如求交点、判断增减性等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、作业内容作业内容围绕一次函数的核心知识点展开,具体包括:1. 概念理解:要求学生掌握一次函数的概念,并能够正确书写一次函数的表达式。
2. 函数图象:指导学生根据函数的解析式,在坐标系中画出函数图象,理解图象的斜率、截距及图像的变化趋势。
3. 代数应用:学生需要解答一些与一次函数有关的代数式子计算,如求解直线方程中的未知数等。
4. 几何运用:要求学生能够应用一次函数知识解决一些简单的几何问题,如利用直线方程求解几何图形的交点等。
5. 实际情境分析:设计一些实际生活中的问题,如计算物体匀速运动中的速度、路程等,以检验学生对一次函数在实际应用中的理解。
三、作业要求1. 准时完成:学生需在规定时间内完成作业,培养时间管理能力和责任感。
2. 独立完成:严禁抄袭,应独立思考解决问题。
3. 清晰表达:在解题过程中,要求思路清晰、步骤完整、结果准确。
4. 细心检查:作业完成后需进行自查,确保答案的准确性。
5. 附加思考题:鼓励学生在完成基础题后,尝试解决一些附加的思考题,以拓展思维和深化理解。
四、作业评价教师将根据以下标准进行作业评价:1. 知识点的掌握程度。
2. 解题思路的清晰性和正确性。
3. 计算结果的准确性。
4. 学生的独立性和自主性。
5. 学生是否能将所学知识应用到实际问题中。
教师将对学生的作业进行评分,并给出详细的评语和建议,鼓励学生继续努力并改进不足。
五、作业反馈教师将对每位学生的作业进行反馈,指出优点和不足,并提供改进建议。
对于共性问题,将在课堂上进行讲解和讨论。
同时,鼓励学生之间互相交流学习,共同进步。