50人生日相同的概率

一些很有趣的概率学问题说到概率，有些好玩的东西不得不提。

比如，你知道吗，23个人中至少两个人生日相同的概率竟然超过了1/2；假如你们班上有50个人的话，那更不得了，至少两人生日相同的概率达到97% ！如果你会计算这个概率问题的话，你可以亲自证实这一点。

本文适宜的读者是知道上述问题怎么算的高中朋友，上述问题也是高中阶段学的一些基本概率知识。

上面的问题都是简单概率，它包含了一个最基本的原则，即使没有系统地学习过，平常人们也都在无形之中使用它：概率等于你要算的东西除以总的数目。

比如。

我们要计算23个人中任何两个人都不在同一天生的概率。

假设2月29日与其它日期出现概率相同的话（这是为了便于计算我们做出的假设，它有悖于常理），那么它的概率为A(366,23)/366^23。

它约为0.493677。

因此，至少两人在同一天生的概率为1-0.493677=0.506323。

当然，对于“你要算的东西除以总的数目”的认识是片面的，比如“投两个骰子出现的数字和从2到12共有11种可能，问数字和大于10的概率”这一问题的答案并不是2/11，因为这11个点数和出现的概率不是相等的，我们只能从投出的两个数字共6*6=36种情况中进行统计，可能的情况只有(5,6)、(6,5)和(6,6) （不会有人说还有(6,7)之类的吧），答案应该是3/36=1/12。

这些都是废话，我不细说了。

但是，你有想过这个问题吗：要是这些数目是无穷的怎么办？换句话说，统计的东西不是“离散”的怎么办？比如看这样一个问题。

明天早上我要和MM 约会，但是具体见面时间我忘了，好像是8:00-9:00的某个时候。

那么我随便在这个时段中选一个时间去等MM，最多等她半个小时，正好能见到MM的概率是多少（假设MM先到的话不会等我）。

这个问题和我们平时见到的问题不同的地方在于，它的“情况”是连续的，不是离散的，不能逐一统计数目。

咋办呢？我们注意到，我的时间随机取一个，MM的时间随机取一个，对于某些组合我们是有缘分的（这些组合无穷多）。

“生日相同的概率”教案北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学》九年级上册第六章“频率”与“概率”第三节“生日相同的概率”（第二课时）。

教材分析：学生已经了解了可以通过试验，用试验频率来估计随即事件发生的概率，上节课提出了求：50个同学中有2个同学生日相同“的概率，用的是真实试验的方法，即让学生进行大量的抽样调查。

本节课紧随上节课，是学生已经体会到用调查的方法既麻烦又费时，有时甚至难以实施的前提下提出问题：是否可以用替他方法代替试验（调查）？从而引入“模拟试验”。

教材首先给出了一种模拟方案，并引导学生通过对模拟试验的设计和操作强化对概率意义的理解。

随后，根据计算器可以产生随机数的功能，教材提出了以计算器为工具的模拟试验，这为学生较大量地收集和分析数据提供了可能性，使学生进一步体会到只有大量的实验数据才能更接近于真实结果。

同时计算器和计算机的使用，让学生从对具体的随即机实验的形象思维提高到可以用“数”来代替的抽象思维水平。

教学目标1.理解用模拟试验代替实际实验的意义，认识几种简单常用的模拟试验方法。

能运用计算器或计算机产生随机整数的方法进行模拟试验，并会由模拟试验的结果估计随机事件发生的概率。

2.经历从实际问题出发，探索解决问题方法和策略的过程，进一步理解概率的意义，发展随机观念。

3.通过让学生设计模拟试验方案并实施操作等教学，进一步发展自主学习与合作交流的意识和能力。

4.体会教学思想方法的魅力，体验科学探索的艰苦和乐趣，培养刻苦钻研的精神。

教学重点：理解模拟试验的意义和方法，会用模拟试验的方法估计随机事件发生的概率。

教学难点：对模拟试验合理性的理解。

教学过程：一、引入（1）上节课我们提出了这样一个问题：估计6个人中有2个人生肖相容的概率。

请同学们说一说，对这个问题你们是用什么方法调查、收集数据的？求得的概率估计值是多少？（2）提出问题：能不能找出一种替代方法，不用进行实际调查也可以估计这个问题的概率？【设计意图】让学生通过回忆实际调查收集数据的过程，感受到这种方法既费时又费力，意识到引入模拟试验的必要性。

初三数学第六章第3－4节生日相同的概率；池塘里有多少鱼北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第六章第3~4节及本章的知识回顾二、教学目标1、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率2、进一步体会概率与统计之间的联系，用样本去估计总体的统一思想。

3、经历试验、统计等活动，在活动中进一步提高学生合作交流的意识和能力。

三、知识要点1、生日相同的概率的认识（1）此问题不能用树状图或列表法求解，只能通过试验的方法估计其概率。

（2）50个同学中有两个同学的生日相同，并不能说明50个同学中有两个同学生日相同的概率是1，而50个同学中没有两个同学生日相同，也不能说明其相应的概率为0。

2、模拟试验的两种方法：（1）用替代的实物模拟试验：替代物与被替代物形状、大小、质地可以差别很大，但是作为试验时考察的试验对象，其出现的概率应该是相同的，这样才不会影响试验结果；（2）用计算器产生随机数来模拟试验：当找不到合适的实物时，用实物替代比较麻烦，可以用计算器来模拟。

3、设计模拟试验估算概率需要注意以下几点：（1）清楚事件发生的可能性；（2）准备的替代物一定要完全相同；（3）要保证试验的随机性，摸牌或摸球放回时一定要注意摇匀；（4）要清楚地记录每一次试验（5）要重复多次试验4、已知袋中的一种颜色的球的数目，估算另一种颜色的球的数目，此问题有两种解法：（1）从袋中随意摸出一种球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复这一过程，摸一定的次数，记录其中某颜色的球出现的次数，利用频率估算另一颜色的球的数目。

（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色的球数与10的比值，再把球放回袋中，重复上述过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算另一颜色的球的数目。

5、估算袋中单一色球的数目向口袋中再放另一种颜色相同的球若干个，也可以从口袋中取出几个并将它们染成一样的其他颜色或作上标记，方法与4相同6、如何估计池塘有多少条鱼可设计如下方案：一次从鱼塘中捞出100条鱼，作上记号，然后放回去，待鱼完全混合于鱼群后，再一次从鱼塘中捕捞100条鱼，数出有记号的鱼的数目，利用，100100鱼的总数有记号的鱼的数目 即可得出鱼塘里鱼的数量。

生日概率的准确计算在我们的日常生活中，生日是一个非常重要的日子。

无论是家庭聚会、朋友聚会还是公司庆祝，生日都是一个值得庆祝的特殊时刻。

然而，你有没有想过在一群人中，生日相同的概率有多大呢？本文将介绍如何准确计算生日概率，以及一些有趣的生日统计数据。

我们来看一下生日概率的计算方法。

假设有n个人，我们想知道至少有两人生日相同的概率。

为了简化计算，我们可以先计算没有两人生日相同的概率，然后用1减去这个概率就是我们所要求的。

假设第一个人的生日是任意一天，那么第二个人的生日就不能和第一个人相同，有365种选择。

同理，第三个人的生日不能和前两个人相同，有364种选择。

以此类推，第n个人的生日不能和前n-1个人相同，有(365-(n-1))种选择。

所以，没有两人生日相同的概率为：P(n) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (365-(n-1))/365接下来，我们可以使用这个公式计算不同人数下的生日概率。

下面是一些有趣的数据：1. 当有23个人时，至少有两人生日相同的概率超过一半，为50.73%。

这个结果可能有些出人意料，因为23个人实际上并不多。

2. 当有70个人时，至少有两人生日相同的概率超过99%，为99.41%。

这个结果也很有趣，因为70个人看起来也不算很多。

3. 当有365个人时，即每天都有一个人生日，必定会有至少两人生日相同。

这是因为365个人中的每个人都只有365种选择，所以生日相同的概率为100%。

通过这些数据，我们可以看出生日概率与人数之间的关系。

随着人数的增加，生日相同的概率也会增加。

这是因为随着人数的增加，生日的选择范围减小，导致生日相同的可能性增加。

除了计算生日概率，我们还可以通过生日统计数据来了解更多有趣的信息。

例如，美国的生日分布显示，9月份是全年中最多人出生的月份，而2月份是最少人出生的月份。

这可能与9个月前的圣诞节和新年的庆祝活动有关。

总结同一天过生日的概率总结同一天过生日的概率总结同一天过生日的概率假设你在参加一个由50人组成的婚礼，有人或许会问：“我想知道这里两个人的生日一样的概率是多少?此处的一样指的是同一天生日，如5月5日，并非指出生时间完全相同。

”也许大部分人都认为这个概率非常小，他们可能会设法进行计算，猜想这个概率可能是七分之一。

然而正确答案是，大约有两名生日是同一天的客人参加这个婚礼。

如果这群人的`生日均匀地分布在日历的任何时候，两个人拥有相同生日的概率是97%。

换句话说就是，你必须参加30场这种规模的聚会，才能发现一场没有宾客出生日期相同的聚会。

人们对此感到吃惊的原因之一是，他们对两个特定的人拥有相同的出生时间和任意两个人拥有相同生日的概率问题感到困惑不解。

两个特定的人拥有相同出生时间的概率是三百六十五分之一。

回答这个问题的关键是该群体的大小。

随着人数增加，两个人拥有相同生日的概率会更高。

因此在10人一组的团队中，两个人拥有相同生日的概率大约是12%。

在50人的聚会中，这个概率大约是97%。

然而，只有人数升至366人(其中有一人可能在2月29日出生)时，你才能确定这个群体中一定有两个人的生日是同一天。

多少只袜子才能配成一对?关于多少只袜子能配成对的问题，答案并非两只。

而且这种情况并非只在我家发生。

为什么会这样呢?那是因为我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只，它们或许始终都无法配成一对。

虽然我不是太幸运，但是如果我从抽屉里拿出3只袜子，我敢说肯定会有一双颜色是一样的。

不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色，最终都会有一双颜色一样的。

如此说来，只要借助一只额外的袜子，数学规则就能战胜墨菲法则。

通过上述情况可以得出，“多少只袜子能配成一对”的答案是3只。

当然只有当袜子是两种颜色时，这种情况才成立。

如果抽屉里有3种颜色的袜子，例如蓝色、黑色和白色袜子，你要想拿出一双颜色一样的，至少必须取出4只袜子。

生日悖论与生日攻击每个人都有生日，偶尔会遇到与自己同一天过生日的人，但在生活中，这种缘分似乎并不常有。

我们猜猜看，在50个人当中，出现这种缘分的概率有多大，是10%，20%，还是50%？有人告诉我，在文章开头插入公式十分倒胃，所以我就不写计算过程，直接给出结果（除了传统的排列组合方法外，Paul Halmos[1]还给出了一个巧妙的解法）。

在50个人中有相同生日的概率，高达97%，这个数字，恐怕高出了绝大多数人的意料。

我们没有算错，是我们的直觉错了，科学与生活，又开了个玩笑。

正因为计算结果与日常经验产生了如此明显的矛盾，该问题被称为―生日悖论(Birthday Paradox)‖[2]。

它体现的，是理性计算与感性认识的矛盾，并不引起逻辑矛盾，所以倒也算不上严格意义上的悖论。

它的原始表述是：在23个人当中出现相同生日的概率大于50%[2]。

为了让矛盾更突出，我把人数换成了50，如果事先不知道答案，猜测的结果一般远远小于97%。

也许有人质疑，我们在计算时，假定人们的生日均匀而随机地分布，但生活中却未必如此——别担心，不平均分布的情形也已解决[3]，而且更进一步的证明是，不平均分布时，概率只会更高[4]。

此外，Knuth在TAOCPv3中还计算了，平均在多少人中才能找到一对相同生日，答案是25人[5]，这看起来实在不可思议。

对于为何出现这种矛盾，我没有看到专门的研究。

我的想法是，首先，当只有1个人时，概率为0%，当人数大于365时，根据鸽巢原理，概率是100%。

于是，在1到365这个区间内，我们直觉地认为，对应的概率是线性地从0％增长到100%，哪怕不线性，也不会陡峭得太离谱，所以对于57人来说，该概率应该在57/365，即七分之一左右。

但事实上，这条曲线的增长劲头却是十分可怕：[6]绿色的曲线，就是在不同的人数时，对应的存在相同生日的概率，它就像坐了直升机一样迅猛窜升，在50人时就已相当接近100%，与我们幻想的线性曲线有天壤之别。

3-《生日相同的概率》练习题一、温故知新1.下列事件是随机事件，必然事件，还是不可能事件？ （1）13人中，有两个人在同一个月出生 。

（2）掷一枚均匀的骰子，朝上的点为6点 。

（3）在367人中，有两人在同一天出生 。

（4）50人中有，有两人的生日相同 。

2.星期天，小颖有事要与小亮打电话，但小亮家的电话号码的后两位数想不起来了，小颖随意拨一个电话号码，她能打通小亮家的概率为 。

二、堂清练习题1.下列说法正确的是（ ）（A ）“明天的降水量概率为30%”是指明天下雨的可能性是30% （B ）连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25（C ）连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 （D ）某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖2.如图，数轴上两点A,B ，在线段AB 上任取一整数点C ，则点C 到表示1的点的距离不大于2的概率是 ．3.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（ ） A ．对小明有利B ．对小亮有利C ．游戏公平D ．无法确定对谁有利4.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b ，且a 、b 分别取0、1、2、3，若a ，b 满足1a b -≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为 .5.袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是（ ） Ａ．12Ｂ．13Ｃ．23Ｄ．14三、课后练习题1.如图5所示，水平放置的甲、乙两区域分别由若干大小完全相同的黑色、白色正三角形组成。

小明随意向甲、乙两个区域各抛一个小球，P(甲)表示 小球停止在甲中黑色三角形上的概率，P(乙)表示小球 停在乙中黑色三角形上的概率，下列说法中正确的是( ) A.P(甲)＞P （乙） B.P(甲)＝P （乙）C.P(甲)＜P （乙）D.P(甲)与P(乙)的大小关系无法确定2.将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是 ( )A.2719B.2712;C.32D.2783.如图，一个小球从A 点沿制定的轨道下落，在每个叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H 点的概率是（ ）。

6.3生日相同的概率“生日相同的概率”是一个具有趣味性和可操作性、密切联系学生生活的概率问题.该问题的理论概率大约等于0.97.而这一结论可能有违学生的“常识”，因而具有一定的趣味性，同时生日数据随手可得，因而具有较好的可操作性.此外，该问题也便于使用计算器或计算机进行模拟实验，“如果班里50个同学中有2个同学的生日相同”，该题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象实则极为平凡，这也有助于破除迷信.培养学生唯物主义的世界观.本节是用实验频率来估计一些复杂事件的概率.而实验频率稳定于理论概率是本节的教学重点和难点，是用实验的方法估计随机事件发生的概率基础.但对于义务教育阶段的学生而言.又难以给出一个理论的解释.因而只能借助于大量的重复试验去感悟.因此，在教学过程中，务必引导学生积极参与实验.学生通过实验还会发现，实验频率并不一定等于理论概率.虽然多次试验的频率逐渐稳定于理论概率，但也可能无论做多少次实验，实验频率仍是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在着一定的偏差，应该说偏差的存在是正常的，经常的.其次，随着现代社会的迅猛发展，更多的事务要求人们合作交流.在本节中，用实验频率稳定于理论概率来认识“生日相同的概率”，必须收集、整理大量的数据，必须综合多个学生甚至全班学生的试验数据.因此在教学过程中，务必注重学生的合作和交流活动.同时鼓励学生使用计算器等现代信息技术手段进行概率学习活动.6.3生日相同的概率(一)教学目标(一)教学知识点能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.(二)能力训练要求经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.(三)情感与价值观要求通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.并且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.教学重点用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率.教学难点经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大. 教学方法探究——实验——合作交流法.本课时选择了贴近学生生活的生日问题，旨在通过具体收集数据.进行实验，统计结果，合作交流的过程，丰富学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系.教具准备每个同学课外凋查10个人的生日、生肖；投影片两张：第一张：活动一(记作§6.3.1 A)；第二张：“几个人中至少有两个人生日相同”的概率大小的表格(记作§6.3.1 B)；第三张：活动二(记作§6.3.1 C).教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]《红楼梦》62回中有这样一段话：探春笑道：“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，也有三个一日的，两个一日的……过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧，”宝玉又在旁边补充，一面笑指袭人：“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以记得.”关于生日问题，还有几个很有趣的故事：(1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊.(2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说：“我们来打个赌.我说，我们之间至少有两个人的生日相同.”“赌输了.罚酒三杯！”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报出.结果没有生日恰巧相同的.“快!你可得罚酒啊!”突然，一个女佣人在门口说：“先生.我的生日正巧与那边的将军一样”.大家傻了似的望望女佣.他趁机赖掉了三杯罚酒.那么，在几个人中，有2个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有2个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然还是一种偶然呢?下面，我们就带着这个问题，学习研究一个历史上很有名的趣味性问题——生日相同的概率.Ⅱ.经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率[师]400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?[生]一定![师]依据是什么呢?[生]抽屉原理——把m个东西任意放进n个空抽屉里(m>n).那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西.在上面的问题小，由于一年最多有366天，因此，在400个同学中一定会出现至少2个人出生在同月同日.就相当于把400个东西放到366个抽屉里，一定至少有2个东西放在同一抽屉里.[师]这位同学解释得很精彩!同学们可接着思考：300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗? [生]这就不敢保征了.[师]但我认为我们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同.[生]不可能吧？！(惊讶)[师]不相信吗?我们现在就来调查一下全班同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的.为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“0216”.然后，我们请两位同学把结果板演在黑板上.同时，请同学们想一想：在结果未出来之前，你能猜想到什么？[生]没有2个同学的生日相同.[生]有2个同学的生日相同.[生]也许会有3个同学的生闩相同，……[师]有3个同学的生日当然也必然有2个同学的生日相同了.这节课我们研究的只要有2个同学的生日相同即可.但是，如果咱们班50个同学中市两个同学的生日相同，那么能说明这50个同学中有2个同学生日相同的概率是1吗?如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗?[师]调查的结果出来了.同学们根据调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题.[生]咱们班50个同学中有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学中行2个同学生日相同的概率是1；而50个同学中没有2个同学生日相同.也不能说明其相应概率为0.[生]我也这样想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，我们就说同徽朝上的概率为1，国徽朝下的概率是0，很显然是错误的.概率的意义应是建立在大量的重复实验的基础上，用事件发生的频率近似地表示概率.因此.我们要真正体验随机选取的50个同学中有2个同学生日相同的概率，必须经过大量的重复的实验去体会、感受.[师]出示投影片：(§6.3.1 A)活动一：每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选择50个被调查人，看看他们中有没有2个人的牛日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案.估计50个人中有2个人生日相同的概率.(1)设计目的：旨在通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到体问题的概率较大.(2)准备工作：每个同学课外调查10个人的生日，为了节约时间，可仿照前面的办法，进行一定的简化，如可将“3月8日”记为“0308”.(3)设计方案：(可由学小生自主设计，这里的方案，在具体实验时仅供参考)方案一：在具体实验时，可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取.方案二：将每个同学所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再按照某规则从中选取50个进行实验，例如排成20×25的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往右，自上而下地数出50个数，进行实验.方案三：要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总.(4)过程指导：(a)收集数据为了节约时间，可以对生日的表示方式简化，还可以以小组的形式参与整理、收集数据，以保证时间的充分利用.(b)鼓励学生大胆地发言，交流、讨论从大量重复实验过程中初步感受到本问题的概率较大.(c)在活动和分析的基础上，激励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出1～365之间的某一个自然数代表生日进行实验；让同学们分工合作制作365个依次写有1～365的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取1张，记下号码放，回去；再随机抽取1张，记下号码，放回去；再从中抽取，一张……直至抽取第50张.记下号码为一次试验.重复多次实验，即可估计出50个人中有2个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验.(5)评价指导(a)主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况.(b)鼓励学生思维的多样性.(c)关注学生能否用实验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率.(d)关注学生对概率的理解是否全面.[师]通过大量重复的试验，你能估算一下50个人中有2个人生日相同的概率吗?[师生共析]我们可从实验的频率估计理论概率，并使我们感受到本问题的概率较大。