江苏省梅村高级中学2020—2021学年度第一学期12月阶段检测高二数学 无答案

江苏省无锡市梅梁中学2020-2021学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数，则与的大小关系是（）A. B.C. D. 不确定参考答案：B【分析】先对函数求导，求出，进而可判断出函数单调性，得出结果.【详解】因为，所以，故，解得，所以，因此，函数单调递增；故.故选B【点睛】本题主要考查导数的计算以及导数的应用，熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可，属于常考题型.2. 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，利用对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．3. 若，则的值分别是（）A. B. C. D.参考答案：C4. 已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为（）A.1B.C.－1D. 0参考答案：A略5. 已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，则的值为（A）（B）（C）2 （D）4参考答案：D6. 由直线，x=2，曲线及x轴所围成的平面图形的面积是（）A. B. C. D.参考答案：D如图，。

7. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 ( )A 、B 、C 、D 、参考答案：C 略8. 已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a 的值为（ ）A. 2.6B. -2.6C. -2.8D. -3.4参考答案：B 【分析】 根据最小二乘法：，求得平均数后代入回归直线即可求得结果.【详解】由题意得：；本题正确选项：【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过，因此代入点即可求解出.9. 命题; 命题双曲线的离心率为.则下面结论正确的是（ ）A ．是假命题 B ．是真命题 C ． 是假命题 D ．是真命题参考答案：D 略10. 右图是某公司个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间，内的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三角形ABC 中，若其三内角度数成等差，其对应三边长成等比，则此三角形 为 三角形。

江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知312iz i-=-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．在ABC 中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F ．若3177AF AB AC =+，则 AC AD 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3B π=，6b =，sin 2sin 0A C -=，则a =A ．3B ．C ．D ．124．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为210/ 1.732g m s ≈＝） A ．63B ．69C ．75D ．815．如图所示，平面四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，135ABC ∠=︒，AB 6=，AC =CD =ABCD 的面积为（ ）A ．39B ．36C ．42D ．486．已知锐角ABC 三边长分别为x 1x +，则实数x 的取值范围为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,57．点M 是边长为2的正六边形ABCDEF 内或《晓观数学》公众号边界上一动点，则AB AM ⋅的最大值与最小值之差为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．设点P 为ABC ∆内一点，且220PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S ∆∆=（ ）A ．15B ．25C ．14D ．13二、多选题9．已知复数122i z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为1P ，复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（ ） A ．1P 点的坐标为()2,2- B ．122i z =+（1z 为1z 的共轭复数）C ．21z z -D ．21z z -的最小值为10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得ABC 有唯一解的是（ ）A ．3a =，c =2cos 3C = B ．3a =，4c =，1cos 3C = C ．1a =，4b =，2sin 3B =D ．1b =，1sin 3B =，3C π=11．若ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450++=OA OB OC ，则下列结论不正确的是（ ） A ．2BOC π∠=B ．2AOB π∠=C ．45OB CA ⋅=-D ．15OC AB ⋅=-12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6.记S 为△ABC 的面积，下列命题正确的是（ ）A ．若3C π=，则S 有最大值B ．若6A a π==，S 有最小值C ．若a ＝2b ，则cos C 有最小值0 D ．若a +b ＝10，则sin C 有最大值2425三、填空题13．已知复数24z i =+，其中i 是虚数单位，2(1)=1z z ω-+，则=ω_________.14．若1,2,a b a ==与b 的夹角为60°，若()()35a b ma b +⊥-，则实数m 的值为_______．15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c ==，且点M 满足13AM AB =，则CM 的长为___________.16．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.四、解答题17．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .18．已知复数z 满足34i 13i z ++=+. （1）求z ；（2）求()()21i 43i 2z++的值.19．在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．20．如图，在矩形ABCD 中，36BC AB ==，E 为AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 于点G .设AB a =，AD b =.（1）求EGF ∠的余弦值； （2）用a 和b 表示AG .21．在ABC 中，2BAC π∠=，点D 在边BC 上，满足=AB .（1）若6BAD π∠=，求C ∠；（2）若2,4CD BD AD ==，求ABC 的面积.22．在气象台A 正西方向300km 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h ，距台风中心250km 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到1min1.4142.646）参考答案1．D 【分析】根据复数除法运算化简z ，由共轭复数定义得到z ，由虚部定义得到结果. 【详解】()()()()31235511212125i i i i z i i i i -+-+====+--+，1z i ∴=-， z ∴的虚部为1-.故选：D. 2．C 【分析】设AC AD λ=，可得3177AF AB AD λ=+，由B ，F ，D 三点在同一条直线上，可求得λ的值，即可得解． 【详解】 设AC AD λ=， 因为3177AF AB AC =+， 所以3177AF AB AD λ=+， 因为B ，F ，D 三点在同一条直线上， 所以31177λ+=，所以4λ=，所以4ACAD=． 故选：C 3．C 【分析】先根据正弦定理得2a c =，再根据余弦定理列方程解得结果. 【详解】因为sin 2sin 0A C -=，所以由正弦定理得2a c =,因此2222222cos 362cos 48,423a ab ac ac B a a a a π=+-∴=+-⨯∴== C.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 4．B 【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重||||G F '=,利用余弦定理即可求出||F '得解. 【详解】如图，设该学生的体重为G ,则G F '=.由余弦定理得22222||4004002400400cos()3400,||3F F π''=+-⨯⨯⨯=⨯∴=所以||69G =≈kg . 故选：B 【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．A 【分析】题意题意，四边形ABCD 的面积ABC 和ACD △面积之和，ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB =ABC BCA ∠∠，求得sin cos ACD ∠∠， cos sin BCA ACD ∠=∠，再由90BCD ∠=︒，可得sin cos ACD ∠∠，结合面积公式即可得解. 【详解】在ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB=ABC BCA∠∠，解得sin cos ACD ∠∠，cos sin BCA ACD ∠==∠， 由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2540BC +-=，解得BC = 则ABCD 的面积11sin sin 3922ABC ACD S S S AB BC ABC AC CD ACD =+=⋅⋅∠+⋅⋅∠=△△， 故选：A ． 6．A 【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出实数x 的取值范围. 【详解】显然边长x <x +1,1x +的对角均为锐角即可，由余弦定理得：()()222215021510x x x x x x ⎧++->⎪+⎪⎨⎪+-+>，解得：12x <<． 故选：A 【点睛】已知三边，判断是锐角三角形还是钝角三角形的方法：①如果一个三角形的最长边平方=其他两边的平方和，这个三角形是直角三角形； ②如果一个三角形的最长边平方>其他两边的平方和，这个三角形是钝角三角形； ③如果一个三角形的最长边平方<其他两边的平方和，这个三角形是锐角三角形； ④特别地：如果一个三角形的三条边相等，这个三角形是等边三角形，也是锐角三角形。

江苏省梅村高级中学2020-2021学年高三（上）暑期检测卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,4,6A =，{}233n B n =∈<N ，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．212ii-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．ABC 中，0AB BC ⋅>，则ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则暑针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒5．已知函数(]2,,1xy x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()1,2-C ．[)1,2D ．[)1,2-6．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42g x x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．7,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭7．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有（ ） A ．144种B ．120种C ．84种D ．60种8．圆()()212231:x C y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 1C ．6-D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选错和漏选的得0分． 9．己知函数()2361f x x x =--，则（ ）A ．函数()f x 在()2,3有唯一零点B ．函数()f x 在()1,-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[]1,1x ∈-上的最大值为8，则3a = D ．当01a <<时，若()x f a 在[]1,1x ∈-上的最大值为8，则13a = 10．下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ= D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件11．下图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A ．sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．5cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭12．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆．B ． :8p a ≥；q ：对[]1,3x ∈不等式20x a -≤恒成立．C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列， p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a -+<．D ．已知空间向量()0,1,1a =-，(),0,1b x =-，:1p x =；q ：向量a 与b 的夹角是3π． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______________．14．设椭圆22143x y +=的焦点为1F ，2F ，点Р在椭圆上，若12PF F 是直角三角形，则12PF F 的面积为______________．15．如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =______________．16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的体积为___________，该正三棱锥内切球的半径为___________．（第一空3分，第2空2分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a ＋，34a +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a -的前n 项和n S ．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 面积的取值范围．19．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21．已知抛物线24y x =，与圆()22:11F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点．（1）求证：OM ON ⊥．（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN 的面积S ． 22．（12分）已知函数()2ln 2,f x x a x x a =--∈R ．（1）若函数()f x 在()0,+∞内单调，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()1212f x f x x x +的取值范围．。

2020-2021无锡市梅村中学高三数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．若不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（）A．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．(]0,1C．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．若正数,x y满足20x y xy+-=，则32x y+的最大值为（）A．13B．38C．37D．13．已知,x y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y-的最小值为（）A．4B．8C．12D．164．等差数列{}n a满足120182019201820190,0,0a a a a a>+>⋅<，则使前n项和0nS>成立的最大正整数n是（）A．2018B．2019C．4036D．40375．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．3323B．5323C．323D．83236．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．147．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km8．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.15．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 22．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，212(2)54(2)5922x x x x -++≥-⋅+=--Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 90290BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．B 解析：B【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.二、填空题13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.14．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <， 再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.16．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛解析：14【解析】 【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 2a b C ab +-==，化简221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22ab +≤所以三角形面积1121sin 22224S ab C =≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.17．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}【解析】 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果：{}5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.19．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.20．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：；2【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 60322222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式.三、解答题21．（1）4π；（2. 【解析】 【分析】（1）由二倍角的余弦公式把24sin4sin sin 22A BA B -+=+的余弦公式求cos()A B +，由三角形三内角和定理可求得cos C ，从而求得角C ； （2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求E 边. 【详解】 试题分析：（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=，故cos()A B +=34A B π+=，因为A B C π++=，所以4C π=.（2）因为1sin 2S ab C ⊥=，由6ABC S =V ，4b =，4C π=，所以a =， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以c =. 【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题. 22．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++--【解析】试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1112(21)(21)nn n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和23．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n na a n n +=+，则{}n a n为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列， 又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =. （2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论． 24．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2+. 【解析】分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A = 又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bc bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．25．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+， 所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)n nT n =+．【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可.（2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可. （3）首先得到11166(1)65n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】（1）由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩所以61n a n =-． （2）由（1）得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+， 因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥， 因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.。

江苏南通2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）数学试题a一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线23y x =的准线方程为（ ）A. 34x =-B. 34x =C. 34y =-D. 34y =【答案】A 【解析】 【分析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=， 所以抛物线的准线方程为34x =-. 故选：A【点睛】本题主要考查抛物线准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（ ）B.【答案】C 【解析】【分析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上， 所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ） A 4B. 6C. 8D. 12【答案】A 【解析】 【分析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离.【详解】设点P的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤， 对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ==，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，.114422PF x x ====+=+6=，解得4x=，因此，点P到右准线的距离为844-=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4. 已知抛物线()220x py p=>的焦点到双曲线22154y x-=的渐近线的距离为2，则p的值为（）A. 4 B. 6 C. 9 D. 12【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线22154y x-=20y±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p⎛⎫⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p=>的焦点到双曲线22154y x-=的渐近线的距离为2，22p⨯=，解得6p故选：B【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单.5. 设抛物线C：24y x=的焦点为F，过点()2,0-且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则MF NF+=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6. 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解． 【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =，由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以24sin 25max B ==， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7. 已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A.12C.13【答案】B 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a+-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以2c e a ===， 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8. 已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（ ） A. 8B. C. 4D.【解析】 【分析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案.【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±. 则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF =又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯， 1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ） A. 渐近线方程 B. 顶点坐标C. 离心率D. 焦距【答案】AC.【分析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果.【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±， 故选：AC.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）A. 2B.D. 3【答案】AB 【解析】 【分析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案. 【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得， 所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤，【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11. 设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 12MF = B. 22MF =C. 点M 的横坐标为83D. 12MF F S △【答案】BCD 【解析】 【分析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形， 所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得： 22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 6622MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=，【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A. 点F 的坐标为()1,0B. 若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C. 若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D. 若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-，所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===，所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+， 因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>， 方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>， 即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14. 设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6 【解析】 【分析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可.【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 周长为16，因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=， 故答案为：6.【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________.【解析】 【分析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a=，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ， 由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =， 因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =， 的在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以ce a==【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题16. 已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________.【答案】 (1). 2 (2).92【解析】 【分析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB .【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =，所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=.故答案为：2；92.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】 【分析】（1）先表示出焦点坐标和设点P的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩， 又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l ：y =若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l 的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18. 已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点.（1）求ABCD的值；（2）设M 为1C 与2C 的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M 的坐标，然后由3OM =求出c 即可. 【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c +=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =，又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =，令x c =解得2y c =±，所以4CD c =，故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,33M c c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题.19. 设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点距离的最大值1.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题意易得2c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =， 又2221b a c =-=， 所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m ±=，又m <<，所以m =，即直线l恒过定点43⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =2）1k =±. 【解析】 【分析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k +=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==， 所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --，由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-， 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++， ()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++，21k =∴解得1k =±.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21. 已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形. （1）求双曲线E 的方程； （2）过点M直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】 【分析】(1)由题意可知c =2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS =,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形， 所以c=又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点， 当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--， 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k <<， （或由双曲线的渐近线方程为2y x=±得22k -<<）. 121212PQNx x x x S N M -==-=△=2102k ≤<， 令1,12t ⎛⎤= ⎥⎝⎦，则2441212t S t t t==--，因为12y t t =-在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22. 已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122y y x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证； （2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8aMN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ，211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=， 因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =， 此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②， 将①②联立方程组，解得122M y y y +=， 所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则12||AB y y a =-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤， 所以3311||||||22168ABMa a SAB MN a MQ p=⋅≤⋅==.。

梅村高级中学2019-2020学年度第一学期期终试卷高二 数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分） 1．命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣3x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈[1，2]，x 2﹣3x +2＞0 B ．∀x ∉[1，2]，x 2﹣3x +2＞0C ．2000[1,2],320x x x ∃∈-+>D ．2000[1,2],320x x x ∃∉-+>2．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A ．221111x y >++ B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1） C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 33．已知m ，n ∈R 则“m ＞0且n ＞0”是“曲线221x y m n+= 为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，AD c =u u u r r，N 是BC的中点，试用,,a b c r r r 表示1A N u u u u r（ ）A ．12a b c -++r r rB ．a b c -++r r rC ．12a b c --+r r rD ．12a b c -+r r r5．函数2()ln 8x f x x =-图象大致为（ ）6．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝0，当x ＞0时，有2'()()0xf x f x x->成立，则不等式x •f （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）7．抛物线2:4C y x =，焦点为F ，抛物线上一动点P 到A （1，1）点与到F 距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．65 D ．21168．如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 9．设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|+|PF 2|＝3b ，|PF 1|•|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．94D ．310．设函数f （x xmπ，若存在f （x ）的极值点x 0满足x 02+[f （x 0）]2＜m 2，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．（不定项选择）设a ＞1，b ＞1，且ab ﹣（a +b ）＝1，那么（ ）A ．a +b 有最小值1)B ．a +b 有最大值21)+C ．ab 有最大值3+D ．ab 有最小值3+12．（不定项选择）下列结论正确的是（ ）A ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有b ac d > B ．若x ＞y ＞0，且xy ＝1，则21log ()2x yx x y y +>>+C ．设{a n }是等差数列，若a 2＞a 1＞0，则2a >D ．若x ∈[0，+∞），则21ln(1)8x x x +≥-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，总分20分）13．曲线f （x ）＝xlnx +x 在点x ＝1处的切线方程为 ．14．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11+a 9a 12＝2e 5，则lna 1+lna 2+lna 3+…+lna 20＝ ．15．若a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则11a a b++的最小值为_________. 16．已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++≥⎩，若函数f （x ）的图象与直线y ＝x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ． 三、解答题（本大题共6小题，总分70分）17．（本小题10分）已知集合P ＝{x |x 2﹣8x ﹣20≤0}，S ＝{x |1﹣m ≤x ≤1+m }． （Ⅰ）若1∈S ，求出m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件，若存在，求出m 的范围．若不存在，请说明理由．18．（本小题10分）已知数列{a n }为递增的等差数列，其中a 3＝5，且a 1、a 2、a 5成等比数列．（1）求{a n }的通项公式； （2）设11(1)(1)n n n b a a +=++ ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得5n mT <成立的m 的最小正整数．19．（本小题10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点． （Ⅰ）证明：BE ⊥DC ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．20．（本小题12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足231px=-+（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为20(4)p+元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21．（本小题14分）已知椭圆Γ：22221x ya b+=（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2＝1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．22．（本小题14分）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥恒成立，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m +++<L ，求m 的最小值.参考答案1、C2、D3、B4、A5、C6、A7、B8、A9、B 10、C11、AD 12、AC 13、210x y --= 14、50 15、7 16、{20,16}--17、解：（Ⅰ）若1S ∈，则111m m -+剟， 即1111m m -⎧⎨+⎩„…，得00m m ⎧⎨⎩……，得0m …．（Ⅱ）2{|8200}{|210}P x x x x x =--=-剟?，{|11}S x m x m =-+剟． 假设存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充分条件，则必有P S ⊆． 所以12110m m --⎧⎨+⎩„…，得39m m ⎧⎨⎩……，解得9m …．所以存在实数[9m ∈，)+∞使条件成立．18、解：（1）在等差数列中，设公差为0d ≠，由题意215235a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得21111(4)()25a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-；（2）由（1）知，21n a n =-． 则111111()(1)(1)22(1)41n n n b a a n n n n +===-++++g ，11111111[(1)()()](1)42231414(1)n nT n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++． 11104(2)4(1)4(1)(2)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++Q ，{}n T ∴单调递增，而14(1)4n n T n =<+，∴要使5n m T <成立，则154m …，得54m …，又m Z ∈，则使得5n mT <成立的m 的最小正整数为2．19、证明：()I PA ⊥Q 底面ABCD ，AD AB ⊥， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，2AD DC AP ===Q ，1AB =，点E 为棱PC 的中点．(1B ∴，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)，(1E ，1，1) ∴(0BE =u u u r ，1，1)，(2DC =u u u r，0，0) Q 0BE DC =u u u r u u u rg ，BE DC ∴⊥；（Ⅱ）Q (1BD =-u u u r，2，0)，(1PB =u u u r ，0，2)-，设平面PBD 的法向量(m x =r，y ，)z ， 由00m BD m PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1y =，则(2m =r，1，1)，则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足：sin ||||m BE m BE θ===u u u r r g u u u r r g故直线BE 与平面PBD． （Ⅲ）Q (1BC =u u u r ，2，0)，(2CP =-u u u r ，2-，2)，(2AC =u u u r，2，0)， 由F 点在棱PC 上，设(2CF CP λλ==-u u u r u u u r，2λ-，2)(01)λλ剟， 故(12BF BC CF λ=+=-u u u r u u u r u u u r，22λ-，2)(01)λλ剟， 由BF AC ⊥，得2(12)2(22)0BF AC λλ=-+-=u u u r u u u rg ，解得34λ=， 即1(2BF =-u u u r ，12，3)2，设平面FBA 的法向量为(n a =r，b ，)c ， 由00n AB n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得01130222a a b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令1c =，则(0n =r，3-，1)，取平面ABP 的法向量(0i =r，1，0)， 则二面角F AB P --的平面角α满足：||cos ||||i n i n α==r r g r r g故二面角F AB P --20、解：（Ⅰ）由题意知，20(4)(102)y p x p p =+--+， 将231p x =-+代入化简得：416(0)1y x x a x =--+剟． （Ⅱ）2222224(1)423(3)(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x y x x x x --+++-+-'=--==-=-++++ 当1a …时，(0,1)x ∈时0y '>，所以函数4161y x x =--+在(0,1)上单调递增(1,)x a ∈时0y '<，所以函数4161y x x =--+在(1,)a 上单调递减 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当1a <时，因为函数4161y x x =--+在(0,1)上单调递增4161y x x =--+在[0，]a 上单调递增，所以x a =时，函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上，当1a …时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大； 当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大（注：当1a …时，也可：417(1)17131y x x =-++-+„， 当且仅当41,11x x x =+=+即时，上式取等号）21、解：（1）ACBD Q 为正方形，∴直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-， 设点A 、B 的坐标为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ， 解方程组22221y x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22221222a b x x a b ==+， 由对称性可知，22212244a b S x a b ==+；（2）由题意，不妨设直线1l 的方程为y kx =，则直线2l 的方程为y kx =-， 设0(P x ，0)y ，则2200221x y a b+=，又1d Q2d∴222222200000012222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++， 将222002(1)x y b a=-代入上式，得222202221222()21b k x b a d d k -++=+， 2212d d +Q 为定值，2220b k a ∴-=，即b k a=±，于是直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a-，此时222212222a b d d a b +=+；（3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为0(x ，0)y ， 则切线AC 的方程为：001x x y y +=，点A 、C 的坐标为1(x ，1)y 、2(x ，2)y 为方程组00222211x x y y x y ab +=⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解．①当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形， 椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b+=； ②当00x ≠或00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x ya b +=，整理得：2222222220000()2(1)0a x b y x a x x a b y +--+=，由韦达定理可知222012222200(1)a b y x x a x b y -=+，同理可知222012222200(1)b a x y y a x b y -=+，ACBD Q 为菱形， AO CO ∴⊥，即12120x x y y +=， ∴22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x a x b y a x b y --+=++， 整理得：22222200()a b a b x y +=+， 又Q 22001x y +=，2222a b a b ∴+=，即22111a b +=； 综上所述，a ，b 满足的关系式为22111a b+=．22、解：。

江苏省南菁高级中学2020-2021学年第一学期高二12月份阶段性考试强化班 (数学学科)2020.12.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等差数列{}n a 中，. 若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于( B )A . 186B . 90C . 45D . 302．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( D )A . b a ＞b ＋1a ＋1B ．a －1b ＞b －1aC . 2a ＋b a ＋2b ＞a bD ．a ＋1b ＞b ＋1a 3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为( A ) A . 174B . 184C . 188D . 1604．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，'()f x 为其导函数，且()'()10f x f x ++>，(0)2019f =，则不等式()2020x xe f x e +>的解集为( A )A ．(0,)+∞B ．(,0)(0,)-∞+∞C ．(2019,)+∞D ．(,0)(2019,)-∞+∞解：设()()xxg x e f x e =+，则()()()[()()1]xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=++=++，∵()'()10f x f x ++>，0x e >，∴()[()()1]0xg x e f x f x ''=++>，∴()g x 是R 上的增函数， 又(0)(0)12020g f =+=，∴()()2020x xg x e f x e =+>的解集为(0,)+∞， 即不等式()2020x xe f x e +>的解集为(0,)+∞．故选A ．5．设函数()y f x =在R 上有定义．对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x Kf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩，取函数()2x f x x e -=--．若对任意的x R ∈，恒有()()K f x f x =，则( D )A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为16．已知点(),4P n 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，如果12PF F ∆的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为( A )A ．35B ．45C ．23D . 577．过点(,)A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，1e) D . (1，＋∞)解：设切点为()，，所以切线方程为:，代入得，即这个关于的方程有两个解.化简方程为，即，令()，，，在上单调递增，在上单调递减，，g(1)＝0，所以，所以. 选B.8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知322(1)2019(1)a a -+-＝2021sin3π，32019(1)a -＋20192019(1)a -＝ 2021cos6π，则2020S 等于( B ) A ．0 B ．2020 C ．4040 D ．2020 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的为( ABD )A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D10．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为( BCD ) A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为x ＝－1，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点， 过A ，B 两点作准线的垂线，垂足为A 1，B 1，P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则( ACD ) A ．线段AB 长度的最小值为4 B ．∠A 1FB 1为锐角 C ．A ，O ，B 1三点共线D ．P 的坐标可能为(3，－2)解析：抛物线C 的方程为y 2＝4x ，线段AB 长度的最小值为通径2p ＝4，A 正确；11,//AA AF AA x =轴，∴111AFA AA F A FO ∠=∠=∠，同理11BFB B FO ∠=∠，∴1190A FB ∠=，B 错误； 设直线与抛物线交于AB ：1x my =+，联立抛物线：2440y my --=，设1122(,),(,),A x y B x y则124y y ⋅=-，12114OA y k y x y ===-，∵12(1,)B y -，∴12OB OA k y k =-=，A ，O ，B 1三点共线，C 正确；设AB 的中点00(,)P x y ， 则12022y y y m +==，200121x my m =+=+，取m ＝－1时，P (3，－2)，D 正确； 答案：ACD12．关于函数1()ln f x x x=+，下列判断正确的是( )A ．1x =是()f x 的极小值点；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点；C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则122x x +>. 【分析】A ．求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；B ．求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；C ．利用参数分离法，构造函数21ln ()xg x x x=+，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可； D ．令()(1)(1)g t f t f t =+--，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可．解：A ．函数()f x 的的定义域为(0,)+∞，22111'()x f x x x x-=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 1x ∴=是()f x 的极小值点，即A 正确；B ．1()()ln y g x f x x x x x==-=+-，221'()0x x g x x -+-∴=<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， 且(1)0g =，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即B 正确；C ．若()f x kx >恒成立，即21ln x k x x <+恒成立．令21ln ()x g x x x =+，则3ln 2'()x x x g x x --=， 令()ln 2h x x x x =--，则()h x lnx '=-，当(0,1)x ∈时，'()0h x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，∴在(0,1)x ∈上，函数()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞上函数()h x 单调递减，()(1)0h x h ∴≤<，()0g x ∴'<，∴21ln ()xg x x x=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值，当x →+∞时，()0g x →，∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即C 不正确；D ．由单调性可知，12(0,1),(1,),x x ∈∈+∞ 令(0,1)t ∈，则1(0,1)t -∈，11t +>，令21121()(1)(1)ln(1)ln(1)ln1111t tg t f t f t t t t t t t+=+--=++---=++---， 则2222222222222(1)41112224'()0(1)1(1)(1)1(1)t t t t t t t g t t t t t t t ----++---=+⋅=+=<-+----，()g t ∴在(0,1)上单调递减，则()(0)0g t g <=，∴(0,1)t ∈时，(1)(1)f t f t ->+令11x t =-，由12()()f x f x =(1)f t >+，得21x t >+，则12112x x t t +>-++=，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题：“2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<”为真命题，则实数a 的取值范围是 ．4a >14．设抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 两点在抛物线上，且A 、B 、F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点N ，若|NF |＝32，则||AB ＝_________615．已知正数y x ,满足12=+y x ，则1121++y x 的最小值为________．2316．已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为 ．3ln 22+四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题10分) 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋ y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (4，0)，其离心率为32．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知P 是椭圆E 上一点，F 1，F 2为椭圆E 的焦点，且∠F 1PF 2＝π2，求点P 到y 轴的距离．解(1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1经过点A (4，0)，所以 16a 2＝1，解得a ＝4．又椭圆E 的离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝23．所以b 2＝a 2－c 2＝4．因此椭圆E 的方程为 x 216＋y 24＝1． ………………… 4分(2)方法一：由椭圆E 的方程x 216＋y 24＝1，知F 1(－23，0)，F 2(23，0)．设P (x ，y )．因为∠F 1PF 2＝π2，所以PF 1→·PF 2→＝0，所以x 2＋y 2＝12． …………………6分由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 24＝1，x 2＋y 2＝12，解得x 2＝323． …………………8分所以|x |＝463，即P 到y 轴的距离为463． …………………10分方法二：由椭圆E 的方程x 216＋y 24＝1，知c ＝23，F 1F 2＝43．设P (x ，y )．因为∠F 1PF 2＝π2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝48． …………………5分 由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以2PF 1·PF 2＝(PF 1＋PF 2)2－(PF 21＋PF 22)＝16，所以三角形的面积S ＝12PF 1·PF 2＝4． …………………6分又S ＝12F 1F 2·|y |＝23|y |，所以23|y |＝4，所以|y |＝233．代入x 216＋y 24＝1得，x 2＝323． …………………8分所以|x |＝463，即P 到y 轴的距离为463． ………………… 10分18. (本小题10分)已知递增的等差数列{}n a 中，2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 211-=(*∈N n )． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：(1)027122=+-x x 得31=x ，92=x ， 因为{}n a 是递增，所以32=a ，95=a ，解⎩⎨⎧=+==+=3941215d a a d a a 得⎩⎨⎧==211d a ，所以12-=n a n ……………2分 在112n n s b =-中，令1=n 得11211b b -=，321=b ， 当2≥n 时，n n b S 211-=，11112n n s b --=-，两式相减得n n n b b b 21211-=-311=-n n b b ，{}n b 是等比数列，所以n n n b b 32)31(11=⨯=- …………………5分 (2)nn n n n b a c 324-=⋅=nn n n n T 32432)1(43234322432141321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=-1221032432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n T 两式相减得：n n n n T 32434343422121--++++=- n n 3444+-=，所以nn n T 3222+-=……………10分 19. (本小题10分) 已知函数3221()132f x x ax =-+，a ∈R ． (1)若函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，求a 的值； (2)求函数()f x 在[1,3]x ∈上的最大值.解：(1)由3221()132f x x ax =-+，则2()2f x x ax '=-．因函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，得(1)0f '=，当2a =时，'()2(1)f x x x =-显然满足要求，所以2a =． ……………4分 (2)因2()2f x x ax '=-(2)x x a =-，[1,3]x ∈，当12a≤，即2a ≤时，'()0f x ≥，()f x 在[1,3]上单调递增， 则max 9()(3)192f x f a ==-； ……………6分当32a≥，即6a ≥时，'()0f x ≤，()f x 在[1,3]上单调递减， 则max 5()(1)32af x f ==-； ……………7分当132a <<，即26a <<时，当[1,]2a x ∈时，'()0f x ≤；当[,3]2ax ∈时，'()0f x ≥，所以()f x 在[1,]2a 递减，在[,3]2a递增，则{}max ()(1),(3)f x f f =．又52(3)(1)43f f a -=-，故当1323a <<时，(3)(1)f f >；当133a =时，(3)(1)f f =；当1363a <<时，(3)(1)f f <． ……………9分综上，()f x 在[1,3]x ∈上的最大值max 5113,,323()91319,.23a a f x a a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……………10分20. (本小题12分) 已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和2)1(+=n n n a a S ，*∈N n . (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设12log 2++=n n n a a b ，称使数列}{n b 的前n 项和为整数的正整数n 为“优数”，试求区间(0，2020)内所有 “优数”的和S . 解：(1)当1n =时，()111111=,2a a S a S +=，()1110a a ∴-=，又10a >，所以11a =， 当1n >时，()()1111122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，整理得：()()1110n n n n a a a a --+--=， 因为10n n a a ->+，所以有11n n a a --=，所以数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列， 数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=；……6分(2)由n a n =知：22+22log log 11n n n a n b a n +==++，数列{}n b 的前n 项和为 12322223452log log log log 2341n n b b b b n ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++ ()223452log log 212341n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+- ⎪+⎝⎭，令()123n b b b b k k Z +++⋅⋅⋅=∈，则有()12log 21,22k n k n ++-==-，由()0,2020,n k Z ∈∈知10k <且k *∈N ，所以区间()0,2020内所有“优数”的和为()()()()2341022222222S -=-+-+-+⋅⋅⋅+-()()29234101121222221818222202612-=+++⋅⋅⋅+-=-=-=-.……12分21. (本小题12分) 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为 (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点()()0,0M m m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .(i)设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，'k ，证明'k k为定值； (ii)求直线AB 的斜率的最小值.解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知24,2a c ==所以2,a b ===，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.…… (2)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()(00,2,P x m Q x 所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，直线QM 的斜率002'm m k x x --==-. 此时'3k k =-，所以'k k为定值3-. …………………6分 (ii)法1：设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+，可得()()21202221m x k x -=+ ，所以()()21122221k m y kx m m k x -=+=++， 同理，()()()()2222222262,181181m k m x y m kx k x---==+++. …………………8分所以()()()()()()()222221222222223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m k m k k m y y m m k x k x k k x----+--=+--=++++ ，………………9分所以2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由00,0m x >>，可知0k >，…………………10分 所以1626k k+，等号当且仅当k =时取得. 由0(,2)P x m ，00,0m x >>在椭圆C :22142x y +=上得0x =0m k x ===7m =，经检验，0∆>符合题意. 所以直线AB的斜率的最小值为2…………………12分 法2：同上可得21202421m x k x -=+()；222024181m x k x -=+()因为12112212,,3AB y y k y kx m y kx m x x -==+=-+- 所以()()1212121233AB kx m kx m x kx k x x x x +--++==--22220022220024243(21)(181)2424(21)(181)m m k k k x k x m m k x k x --+++=---++ 22223211811121181k kk k k k +++=-++（）（）（）（）26111(6)44k k k k+==+ 下面同解法1. 22. (本小题14分) 已知函数f (x )＝a ln x ＋1x，a ∈R ．(1)若不等式f (x )＞1对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－x 有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，且h (x 2)－h (x 1)≤4e，求a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＞1可化为a ln x ＋1x－1＞0．记g (x )＝a ln x ＋1x－1， 则g (x )＞0对任意x ∈(1，＋∞)恒成立．考察函数g (x )＝a ln x ＋1x －1，x ＞0，g′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2．当a ≤0时，g′(x )＜0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，所以g (2)＜g (1)＝0，不合题意； ………………… 2分 当a ＞0时，x ∈(0，1a )，g′(x )＜0；x ∈(1a ，＋∞)，g′(x )＞0，所以g (x )在(0，1a ]上单调递减，在[1a，＋∞)上单调递增，若1a≤1，即a ≥1时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增， 所以x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞g (1)＝0，符合题意； …………………4分 若1a ＞1，即0＜a ＜1时，g (x )在[1，1a )上单调递减， 所以当x ∈(1，1a)时，g (x )＜g (1)＝0，不符合题意；综上所述，实数a 的取值范围为[1，＋∞)． ………………… 6分 (3)方法一：h (x )＝f (x )－x ＝a ln x ＋1x －x ，x ＞0，h′(x )＝a x －1x 2－1＝－x 2＋ax －1x 2．因为h (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，所以h′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0的两实数根为x 1，x 2，0＜x 1＜x 2， 所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝1，△＝a 2－4＞0，所以a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，从而h (x 2)－h (x 1)＝(a ln x 2＋1x 2－x 2)－(a ln x 1＋1x 1－x 1)＝2(a ln x 2＋1x 2－x 2)＝2[(x 2＋1x 2)ln x 2＋1x 2－x 2]． ………………… 9分记m (x )＝2[(x ＋1x )ln x ＋1x －x ]，x ≥1．则m′(x )＝2[(1－1x 2)ln x ＋(x ＋1x )·1x －1x 2－1]＝2(1－1x2)ln x ≥0 (当且仅当x ＝1时取等号)，所以m (x )在[1，＋∞)上单调递增，又m (e)＝4e，不等式h (x 2)－h (x 1)≤4e可化为m (x 2)≤m (e)，所以1＜x 2≤e ．………… 12分因为a ＝x 2＋1x 2，且y ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上递增，所以2＜a ≤e ＋1e，即a 的取值范围为(2，e ＋1e]． ………………… 14分方法二：h (x )＝f (x )－x ＝a ln x ＋1x －x ，x ＞0，h′(x )＝a x －1x 2－1＝－x 2＋ax －1x 2．因为h (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，所以h′(x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0的两实数根为x 1，x 2，0＜x 1＜x 2， 所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝1，△＝a 2－4＞0，所以a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2． 设t 2＝x 2x 1(t ＞1)，则x 1＋t 2x 1＝a ，t 2x 21＝1，所以x 1＝1t ，a ＝t ＋1t，x 2＝t ，从而h (x 2)－h (x 1)≤4e 等价于h (t )＝(t ＋1t )ln t ＋1t －t ≤2e ，t ＞1．…………… 9分记m (x )＝(x ＋1x )ln x ＋1x －x ，x ≥1．则m′(x )＝(1－1x 2)ln x ＋1x (x ＋1x )－1x 2－1＝(1－1x2)ln x ≥0 (当且仅当x ＝1时取等号)，所以m (x )在[1，＋∞)上单调递增．又t ＞1，m (e)＝2e ，所以1＜t ≤e ． ………………… 12分因为a ＝t ＋1t ，且y ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上递增，所以2＜a ≤e ＋1e，即a 的取值范围为(2，e ＋1e]． ………………… 14分。

江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．￢p ：∀x ∉A ，2x ∉B C ．￢p ：∃x ∉A ，2x ∈BD ．￢p ：∃x ∈A ，2x ∉B2．数列1，－3,5，－7，9，……的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n (2n －1)C ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)3．已知数列{}n a 中，2539,,28a a ==且11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，则7a =（ ）A ．109B ．1011 C ．1211D ．13124．等差数列{}n a 中，公差不为0，若245,,a a a 成等比，则4735a a a a +=+（ ）A ．14B ．118C ．1D ．1或125．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16B ．8C ．4D ．26．已知数列{}n a 满足21212,0,1,2,n nn a n a a a a n --+⎧===⎨⨯⎩为奇数为偶数(n ≥3)，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．48B ．49C ．50D ．617．数列{}n a 的通项公式cos ,2n n a n π=其前n 项和为n S ，则2012S 等于 A ．1006B ．2012C ．503D ．08．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为1c 的频率正好是中音c的2倍.已知标准音1a 的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）A ．dB ．fC ．eD ．#d二、多选题 9．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．2x >B ．0x ≥ C ．1x <-或1x > D ．10x -<<10．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．511．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅三、填空题13．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.14．已知0,0a b >>，若45a b ab ++=，则ab 的最大值是___.15．已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为3，等差数列{}n b 的首项是5-，公差为1，把{}n b 中的各项按如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列{}n c ：1a ，1b ，2a ，2b ，3b ，3a ，4b ，5b ，6b ，4a ，…，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2018c =__________．（用数字作答）四、双空题16．若1x ，2x 是函数()()320,0f x x mx nx m n =-+>>的两个不同的零点，且1x ，2x ，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m =__________，n =__________五、解答题17．已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =． （1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．若关于x 的不等式22(21)0x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B .（1）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.（2）设命题p ：22,(21)8x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m的取值范围.19．甲乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过一道数列问题，因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知__________. （1）判断4S 、3S 、5S 的关系； （2）若316a a -=，设31n nn b a -=，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：5n T <. 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第一问的答案是4S 、3S 、5S 成等差数列.如果甲乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.20．已知数列{}n a 的前n 项和,n S 若对1,22n n n n N S a ++∀∈=-恒成立（1）求证：数列{}2n na为等差数列 （2）若不等式：223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，求λ取值范围. 21．已知函数()12f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a cab ac--+的最小值. 22．设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列2{}n a 的前n 项和为,n T 且24(),3n n S p T --=其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列； （3）证明：“数列12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，其中x ､y 均为整数”的充要条件是“x =1，且y =2”.。

2014-2015学年江苏省无锡市梅村高中高二（上）第一次段考数学试卷一、填空题：（共14题，每题5分）1．经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为．2．y=4x2的焦点坐标为．3．椭圆+=1的右准线方程为．4．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，实轴长为12，它的标准方程为．5．已知直线l：y﹣1=（x﹣2），则过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线方程为．6．过原点及A（1，1），且在x轴上截得的线段长为3的圆方程为．7．三条直线x﹣y+1=0，2x+y﹣4=0，ax﹣y+2=0共有两个交点，则a= ．8．求圆x2+y2﹣4x﹣2y+3=0上到x﹣y﹣5=0的距离最近的点的坐标．9．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= ．10．若圆O1：x2+y2=5，圆O2：（ x﹣m）2+y2=5（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为．11．已知点A的坐标是（1，1），F是椭圆+=1的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+|PF|的最小值为．12．直线y=k（x+1）与曲线y=5+有公共点，求k取值范围．13．椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是．14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是．二．解答题：（15，16每题14分；17，18每题15分； 19，20每题16分）15．已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．16．已知方程x2+y2﹣2（m+3）x+2（1﹣4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．17．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程．并求此时的S ABCD．18．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C 的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当＞时，求k的取值范围．20．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．2014-2015学年江苏省无锡市梅村高中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（共14题，每题5分）1．经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+8=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为 x﹣2y+m=0，把点（﹣2，3）代入可得 m 值，从而得到所求的直线方程．解答：解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为 x﹣2y+m=0，把点（﹣2，3）代入可得﹣2﹣6+m=0，∴m=8，故所求的直线的方程为 x﹣2y+8=0，故答案为：x﹣2y+8=0．点评：本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，设出与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为 x﹣2y+m=0 是解题的关键．2．y=4x2的焦点坐标为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把y=4x2，化为，可得，即可得到焦点坐标．解答：解：∵y=4x2，∴，∴，解得．因此抛物线的焦点为．故答案为．点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．3．椭圆+=1的右准线方程为x=．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程可得a2和b2，进而可得c值，右准线的方程为x=，代入化简可得．解答：解：由题意可得a2=25，b2=9，∴c==4，∴右准线的方程为：x==，故答案为：x=．点评：本题考查椭圆的准线方程的求解，属基础题．4．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，实轴长为12，它的标准方程为或．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用分类讨论思想和双曲线的性质求解．解答：解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，实轴长为12，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为=1，a＞0，b＞0，此时，解得a=6，b=4，∴双曲线方程为．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为=1，a＞0，b＞0，此时，解得a=6，b=4，∴双曲线方程为．故答案为：或．点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．5．已知直线l：y﹣1=（x﹣2），则过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线方程为x=2或x﹣y﹣2+=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：当所求直线斜率存在时，直线l：y﹣1=（x﹣2），过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线的斜率k满足=tan30°．解出k，利用点斜式即可得出．当所求直线斜率不存在时，直线x=2也满足条件．解答：解：当所求直线斜率存在时，直线l：y﹣1=（x﹣2），过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30°的直线的斜率k满足=tan30°．解得k=．此时直线的方程为：，化为x﹣y﹣2+=0．当所求直线斜率不存在时，直线x=2也满足条件．综上可得：直线方程为x=2或x﹣y﹣2+=0．故答案为：x=2或x﹣y﹣2+=0．点评：本题考查了“到角公式”、点斜式、分类讨论思想方法，属于基础题．6．过原点及A（1，1），且在x轴上截得的线段长为3的圆方程为x2+y2﹣3x+y=0，或x2+y2+3x ﹣5y=0 ．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆过原点设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0．再由点A在圆上，可得D+E+2=0 ①．再由0和3是x2+Dx=0的两个根、或者0和﹣3是x2+Dx=0的两个根．求得D=﹣3，或D=3 ②．再结合①求得对应的E的值，从而求得圆的方程．解答：解：根据圆过原点故可设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0．再由点A在圆上，可得D+E+2=0 ①．再由圆在x轴上截得的线段长为3，可得0和3是x2+Dx=0的两个根、或者0和﹣3是x2+Dx=0的两个根．求得D=﹣3，或 D=3 ②，由①②可得E=1，或E=﹣5．故所求的圆的方程为x2+y2﹣3x+y=0，或x2+y2+3x﹣5y=0．故答案为：x2+y2﹣3x+y=0，或x2+y2+3x﹣5y=0．点评：本题主要考查用待定系数法求圆的方程，属于基础题．7．三条直线x﹣y+1=0，2x+y﹣4=0，ax﹣y+2=0共有两个交点，则a= 1或﹣2 ．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：由三条直线共有两个交点，得到三线中有一定有两条平行，而x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0不平行，得到x﹣y+1=0和ax﹣y+2=0平行，或2x+y﹣4=0和ax﹣y+2=0平行，由x﹣y+1=0及2x+y﹣4=0的斜率，即可得到a的值．解答：解：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，而x﹣y+1=0和 2x+y﹣4=0不平行，∴x﹣y+1=0和ax﹣y+2=0平行，或2x+y﹣4=0和ax﹣y+2=0平行，∵x﹣y+1=0的斜率为1，2x+y﹣4=0的斜率为﹣2，ax﹣y+2=0的斜率为a，∴a=1或a=﹣2，故答案为：1或﹣2点评：本题考查两直线平行的性质，以及两直线的交点坐标，其中根据题意得出三线中一定有两直线平行，进而根据两直线平行，得到其斜率相等是解题的关键．8．求圆x2+y2﹣4x﹣2y+3=0上到x﹣y﹣5=0的距离最近的点的坐标（3，0）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求得过圆心且与x﹣y﹣5=0垂直的直线的方程，再把此直线方程和圆的方程联立方程组，求得此直线和圆的交点的坐标，数形结合可得结论．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣2y+3=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=2，圆心为C（2，1），半径为．求得过圆心C且与x﹣y﹣5=0垂直的直线的方程为 y﹣1=﹣1×（x﹣2），即 x+y﹣3=0．由，求得，，如图所示：故圆x2+y2﹣4x﹣2y+3=0上到x﹣y﹣5=0的距离最近的点的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，用点斜式去直线的方程，求两条曲线的交点坐标的方法，属于基础题．9．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△PF1F2的面积=求解，能得到b的值．解答：解：由题意知△PF1F2的面积=，∴b=3，故答案为3．点评：主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．若圆O1：x2+y2=5，圆O2：（x﹣m）2+y2=5（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：由题意结合圆的切线性质可得O1A⊥AO2，由勾股定理可得m的值，再用勾股定理求得AB的长度．解答：解：由题 O1（0，0）与O2：（m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得0＜|m|＜2．再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2=+=10，∴m=±，∴AB=2=，故答案为：．点评：本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，圆的切线性质，属于基础题．11．已知点A的坐标是（1，1），F是椭圆+=1的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+|PF|的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求得椭圆的离心率和左准线方程，把|PF|转化为椭圆上的点到左准线的距离，过A作左准线的垂线AB，则AB的长度即为所求．解答：解：由椭圆方程+=1作出椭圆如图，由a2=9，b2=5，得c2=4，c=2，∴，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF|与到左准线的距离的比值为e=，∴|PF|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+|PF|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆的简单几何性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．12．直线y=k（x+1）与曲线y=5+有公共点，求k取值范围[1，5] ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：直线y=k（x+1）经过定点M（﹣1，0），曲线即（x﹣2）2+（y﹣5）2=4（y≥5），求得MA和MB的斜率，数形结合求得直线的斜率k的范围．解答：解：直线y=k（x+1）经过定点M（﹣1，0），曲线y=5+，即（x﹣2）2+（y﹣5）2=4（y≥5），表示一个半圆有公共点，如图所示：由于MA的斜率为=5，MB的斜率为=1，故直线y=k（x+1）的斜率k满足1≤k≤5，故答案为：[1，5]．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．13．椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题．分析：设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．解答：解：如图，设p（x，y），则，且∠F1PF2是钝角⇔x2+5+y2＜10．故答案为：点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式．属基础题．14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是[2，+∞）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．解答：解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．二．解答题：（15，16每题14分；17，18每题15分；19，20每题16分）15．已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：（1）将直线的方程：（2+m）x+（1+2m）y+4﹣3m=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．（2）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y﹣=k（x+），列出方程，进而得出交点．解答：解：（1）证明：∵m（x+2y﹣3）+2x+y+4=0，∴由题意得∴直线l恒过定点M（）．（2）解：设所求直线l1的方程为y﹣=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A（﹣，0）B（0，）．∵AB的中点为M，∴解得k=．∴所求直线l1的方程为y﹣=（x+），即：10x﹣11y+77=0．所求直线l1的方程为10x﹣11y+77=0．点评：本题给出动直线恒过定点，要我们求直线恒过的定点坐标，中点的坐标，着重考查了直线的方程及点与直线位置关系等知识，属于基础题．16．已知方程x2+y2﹣2（m+3）x+2（1﹣4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．考点：二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题．分析：（1）将方程化为标准方程的形式，要得到方程为圆，则方程的右边大于0，可得不等式，解之可得到m的范围．（2）可设r2=﹣7m2+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法，可确定函数的值域．解答：解：（1）由方程x2+y2﹣2（m+3）x+2（1﹣4m2）y+16m4+9=0变形得：[x﹣（m+3）]2+[y+（1﹣4m2）]2=﹣7m2+6m+1，当且仅当﹣7m2+6m+1＞0，即7m2﹣6m﹣1＜0时方程表示圆；所以＜m＜1时，该方程表示一个圆；（2）在＜m＜1时，设r2=﹣7m2+6m+1，为开口向下的抛物线，r2=﹣7m2+6m+1=∴∴点评：本题以二元二次方程为载体，考查方程表示圆的条件，考查配方法求二次函数的最值，正确配方是关键．17．已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程．并求此时的S ABCD．考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）当a=时，M（1，）在圆x2+y2=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦，此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=，从而可得，AC=2，即可求出此时的S ABCD．解答：解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+a2=4∴a=±当a=时，点M为（1，），k OM=，此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）即：x+y﹣4=0；当a=﹣时，点M为（1，﹣），k OM=﹣，此时切线方程为：y+=﹣（x﹣1）即：x﹣y﹣4=0∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0（2）当a=时，M（1，）在圆x2+y2=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=，从而可得，AC=2，∴S==4．点评：本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．18．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：（Ⅰ）直线l1：y=2，设设l1交l于D，则D（2，2）．由l的倾斜角为30°知反射光线l2所在的直线方程为．已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），圆心C 在过点D且与l垂直的直线上，知．由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，，得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为B'C﹣3．由此能求出 PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．解答：解：（Ⅰ）直线l1：y=2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…（2分）∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2=（x﹣2）．即．…（4分）已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…（6分）又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r=3．故所求圆C的方程为．…（10分）（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…（12分）得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…（14分），得，最小值．…（16分）点评：本题主要考查圆标准方程，简单几何性质，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当＞时，求k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2，结合a2=b2+c2，即可求出a，b的值；（2）设l1的方程为y=kx﹣1，代入+y2=1，求出M的坐标，可得DM，用﹣代k得DN，求出△DMN的面积，可得=，利用＞，可得＞，从而可求k的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1．…（4分）（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y=kx﹣1，代入+y2=1，得M（，），从而DM=．…（6分）用﹣代k得DN=．所以△DMN的面积S=⋅×=．…（8分）则=，因为＞，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．解答：解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．点评：此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．。