江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019_2020学年高一数学下学期期中试题

2019-2020学年江苏省扬州中学高一第二学期5月月考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线x+y+2＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°3．若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则m的范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 4．在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．已知x＞1，则x+的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切7．过点（﹣1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y+5＝0 8．已知角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x0，），则sin2α等于（）A．B．C．D．9．设P点为圆C：（x﹣2）2+y2＝5上任一点，动点Q（2a，a+2），则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．10．设点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED＝45°，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，△ABD中，∠ADB＝120°，则CD 的取值范围（）A．[2+2]B．（4，2+2]C．[2]D．[2]二、填空题（共4小题）.13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．14．已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y＝0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝0．（Ⅰ）若l1⊥l2，求实数a的值；（Ⅱ）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．已知圆C经过抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|．19．已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，．（1）证明：C＝2B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝．（1）若CE＝，求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．21．已知圆C和y轴相切于点T（0，2），与x轴的正半轴交于M、N两点（M在N的左侧），且MN＝3；（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A、B，连接AN和BN，记AN 和BN的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．（1）若PM⊥PN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A.B.C.D.四个结论中，只有一个是正确的，1．直线x+y+2＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案．解：直线x+y+2＝0可化为y＝﹣x﹣，∴直线的斜率为﹣，∴α＝150°故选：D．2．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【分析】由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，即可求出B的度数．解：∵a＝4，b＝4，A＝30°，∴由正弦定理＝得：sin B＝＝＝，∴B＞A，故选：B．3．若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则m的范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，变形解可得m的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则有（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞6，即4+4m＞0，解可得m＞﹣1，即m的取值范围为（﹣3，+∞），故选：C．4．在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【分析】应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）＝0，故有A﹣B＝0，得到△ABC为等腰三角形．解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴，又由正弦定理可得，∴，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．故选：D．5．已知x＞1，则x+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用基本不等式即可得出．解：∵x＞1，∴+8＝5．当且仅当x＝3时取等号．故选：C．6．两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解：把x2+y2﹣8x+6y+9＝8化为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，又x2+y2＝9，所以两圆心的坐标分别为：（8，﹣3）和（0，0），两半径分别为R＝4和r＝3，因为4﹣2＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．7．过点（﹣1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y+5＝0【分析】两直线垂直斜率乘积为﹣1，再根据已知条件从选项判断答案．解：设直线l为x﹣2y+3＝0，求直线m．因为两直线垂直，斜率乘积为﹣1，故与直线l 垂直的斜率为﹣2，排除B、C选项，又点（﹣1，﹣3）在直线m上，所以答案为D选项．故选：D．8．已知角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x0，），则sin2α等于（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．解：角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x4，），∴sin（α+）＝，∴sin2α＝﹣cos2（α+）＝﹣1+8＝﹣1+2×＝﹣，故选：B．9．设P点为圆C：（x﹣2）2+y2＝5上任一点，动点Q（2a，a+2），则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，根据点Q的坐标可得点Q在直线x﹣2y+4＝0上，分析圆C的圆心和半径，求出圆心（2，0）到直线x﹣2y﹣6＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，设点Q（x，y），则x＝2a，y＝a+2，有x＝2y﹣4，即x﹣2y+4＝0恒成立，故点Q在直线x﹣2y+4＝0上，圆心（2，0）到直线x﹣2y+7＝0的距离d＝＝，故选：A．10．设点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得实数a的取值范围．解：∵点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝3与线段AB有交点，而直线AB经过定点M（0，﹣2），且它的斜率为﹣a，即﹣a≥＝1，或﹣a≤＝﹣，故选：D．11．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED＝45°，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】在△ABE中由正弦定理求得BE的值，在△BED中由正弦定理求得sin∠BDE，再利用诱导公式求出cos∠DAC的值．解：因为∠BAD＝15°，∠BED＝45°，所以∠ABE＝30°；在△ABE中，由正弦定理得，在△BED中，由正弦定理得，又∠ACD＝90°，所以sin∠BDE＝sin（∠DAC+90°），故选：A．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，△ABD中，∠ADB＝120°，则CD 的取值范围（）A．[2+2]B．（4，2+2]C．[2]D．[2]【分析】以AB为底边作等腰三角形OAB，使得∠AOB＝120°，以O为圆心，以OA 为半径作圆，则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧，讨论O，C与AB的位置，根据圆的性质得出CD的最值即可．解：以AB为底边作等腰三角形OAB，使得∠AOB＝120°，以O为圆心，以OA为半径作圆，则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧（不含端点），∴OM＝1，OA＝2，即圆O的半径为2．∴OC＝＝2，∴CD的最小值为2﹣8．此时OC＝＝2，∴CD的最大值为2+2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程x+y﹣5＝0，或3x﹣2y＝0．【分析】设直线在x轴为a，y轴截距为b，当a＝b＝0时，直线过点（2，3）和（0，0），其方程为，即3x﹣2y＝0．当a＝b≠0时，直线方程为，把点（2，3）代入，得，解得a＝5，由此能求出直线方程．解：设直线在x轴为a，y轴截距为b，①当a＝b＝0时，直线过点（2，3）和（0，6），②当a＝b≠0时，把点（2，3）代入，得，故答案为：x+y﹣5＝0，或2x﹣2y＝0．14．已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是[0，）．【分析】结合图形，转化为半圆的切线的斜率可得．解：如图：y＝k（x+4）是过定点P（﹣4，0），当直线与半圆切于A点时，k PA＝＝＝，结合图象可得：直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点时，k∈[8，），故答案为：[0，）．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y＝0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．解：∵直线和圆相切，∴，∴a+6b＞0，从而a+2b＝5，故ab的最大值为，故答案为：16．已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为．【分析】以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，设B（﹣a，0），C（a，0），（a＞0），则A（0，），设P（x，y），运用两点距离公式可得P在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得a的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值．解：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（0，），（x+a）2+y4+（x﹣a）2+y2＝3[x7+（y﹣）2]＝3，即有点P既在（0，0）为圆心，半径为的圆上，可得|1﹣|≤≤1+，则△ABC的面积为S＝•2a•＝，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝0．（Ⅰ）若l1⊥l2，求实数a的值；（Ⅱ）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【分析】（Ⅰ）由l1⊥l2，得a×1+3（a﹣2）＝0，由此能求出实数a＝．（Ⅱ）当l1∥l2时，，求出a＝3，由此能求出直线l1与l2之间的距离．解：（Ⅰ）∵直线l1：ax+3y+1＝2，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝8．若l1⊥l2，则a×1+3（a﹣6）＝0，（Ⅱ）当l1∥l2时，，∴直线l1：3x+3y+2＝0，l2：x+y﹣1＝0，即l2：8x+3y﹣3＝0∴直线l1与l2之间的距离：d＝＝．18．已知圆C经过抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）求出抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长．解：（1）抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，7），（0，3）…所求圆的圆心是直线y＝x与x＝2的交点（2，2），圆的半径是，（2）圆心C到直线2x﹣y+2＝0的距离d＝…|AB|＝2＝…19．已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，．（1）证明：C＝2B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．【分析】（1）先利用余弦定理完成边化角，然后得到关于角的等式，分析其中2B与C 的关系即可证明；（2）根据（1）的结论计算出cos B的值，然后即可计算出a的值，再根据面积公式求解三角形面积即可．解：（1）证明：由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2ac cos B，∴，由2B＝π﹣C得A＝B，不符合条件，（2）由（3）及正弦定理得：，∴．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝．（1）若CE＝，求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求出CF，CE，利用S△CEF＝，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．解：（1）由题意，△ACE中，AC＝4，∠A＝，CE＝，∴13＝16+AE2﹣2×，（2）由题意，∠ACE＝α∈[0，]，∠AFC＝π﹣∠A﹣∠ACF＝﹣α．在△ACE中，由正弦定理得，∴CE＝，S△CEF＝＝，∴α＝时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．21．已知圆C和y轴相切于点T（0，2），与x轴的正半轴交于M、N两点（M在N的左侧），且MN＝3；（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A、B，连接AN和BN，记AN 和BN的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【分析】（1）由题意设圆心的坐标为（m，2）（m＞0），利用垂径定理列式求得m，即可求得圆C的方程；（2）当直线AB的斜率为0时，知k AN＝k BN＝0，即k1+k2＝0为定值．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1+ty，联立圆O方程，得到韦达定理，求得k1+k2为定值．解：（1）∵圆C与y轴相切于点T（0，2），可设圆心的坐标为（m，2）（m＞0），则圆C的半径为m，又|MN|＝3，∴，解得m＝，证明：（2）由（1）知M（5，0），N（4，0），当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1+ty，设A（x1，y5），B（x2，y2），则k1+k2＝综上可知，k1+k4＝0为定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．（1）若PM⊥PN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．【分析】（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，可得P到圆心的距离为，由P在直线x﹣y+4＝0上，设P（x，x+4），利用|OP|＝2，解得x，可得（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，过P作圆的切线PC，PD，可得∠CPD≥600，在直角三角形△CPO中，根据300≤∠CPO＜900，sin ∠CPO＜1，进而得出点P的横坐标的取值范围．（3）设P（x0，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，化简与x2+y2＝4联立，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+4）y＝4，与x2+y2＝4联立，化简可得Q的坐标，可得Q点的轨迹为：+＝，圆心C，半径R．由题可知T（﹣4，0），可得|TQ|≤|TC|+R．解：（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，则P到圆心的距离为，故|OP|＝，解得x＝﹣2，（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，在直角三角形△CPO中，∵304≤∠CPO＜900，∴sin∠CPO＜4，∴2＜≤6，解得﹣4≤x≤0，（3）设P（x3，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+7）y＝4，∴Q的坐标为（，），由题可知T（﹣4，0），∴|TC|＝＝．∴线段TQ长的最大值为3．。

2019—2020学年度第二学期期末检测试题高一数学一､单项选择题1.直线310x +=的倾斜角为（ ） A.6π B. 3πC.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线310x +=，则3333y x =+， 设直线的倾斜角为α， 所以3tan 3α=， 所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若60,3A a =︒=sin sin b cB C++等于（ ） A.1233 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理可求sin sin b cB C++的值.【详解】因为60,A a =︒=2sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+=====+.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，注意在ABC 中， sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++，最后一个关系式应用了比例的性质（等比定理）.3.已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相内切，则圆C 的方程为（ ）A. ()()224336x y -++= B. ()()224316x y ++-= C. ()()224336x y ++-= D. ()()224316x y -++=【答案】C 【解析】 【分析】先判断点()4,3C -在圆221x y +=的外部，然后设所求圆的半径为r ，再由15r -==求解.【详解】因为()2243251-+=>， 所以点()4,3C -在圆221x y +=的外部，设以()4,3C -为圆心的圆的半径为：r ，则15r -==，解得6r =，所以所求圆的方程为：()()224336x y ++-=. 故选：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果. 【详解】由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥ 所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ， 因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题. 5.若128,,,x x x 的方差为3，则1282,2,,2x x x 的方差为（ ）6 B. 3 C. 6D. 12【答案】D 【解析】 【分析】 本题可根据128,,,x x x 的方差为3以及方差的计算公式得出结果.【详解】因为128,,,x x x 的方差为3，所以1282,2,,2x x x 的方差为23212，故选：D.【点睛】本题考查方差的相关性质，若128,,,x x x 的方差为k ，则128,,,nx nx nx 的方差为2kn ，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.6.已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ）B.C. D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得球的表面积，设圆锥高为h ，进而可表示出母线l ，由圆锥侧面展开图为扇形，根据扇形面积公式，可求得圆锥的侧面积，加上底面圆的面积，即可表示出圆锥的表面积，结合题意可求得高h 的值.【详解】由题意可得球的表面积2244216S r πππ==⨯=，设圆锥的高为h ，则圆锥的母线l =，则圆锥的侧面积=2S rl ππ=扇，所以圆锥的表面积24216S r S ππππ=+=+=锥扇，解得h =故选B.【点睛】本题考查球及圆锥的表面积的求法，需熟记各个几何体的面积公式及求法，属基础题.7.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos a C b =，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式即可判断.【详解】由2cos 2sin cos sin a C b A C B =⇒=2sin cos sin()sin()A C A C A C π⇒=--=+2sin cos sin cos cos sin A C A C A C ⇒=+sin cos cos sin A C A C ⇒= sin cos cos sin 0A C A C ⇒-= ()sin 0A C ⇒-=A C ⇒=.所以ABC 的形状一定是等腰三角形. 故选：C【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 8.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若//,a b αα⊥，则a b ⊥ B. 若//,,a b αβαγβγ⋂=⋂=，则//a bC. 若//,a αβα⊥，则a β⊥D. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可通过线面平行、线面垂直、面面平行的性质判断出选项A 、B 、C 是正确的，然后绘出正方体ABCD EFGH -，再然后令平面ABCD 是平面α、平面ADHE 是平面γ以及平面CDHG 是平面β，最后结合图像即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为//a α，b α⊥，所以a b ⊥，a b ⊥，故A 正确； B 项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行， 所以根据//αβ、a αγ⋂=、b βγ=可证得//a b ，故B 正确；C 项：因为a α⊥，所以a 垂直于平面α内的两条相交直线，因为//αβ，所以平面α内的两条相交直线必与平面β内的两条相交直线对应平行， 所以a 垂直于平面β内的两条相交直线，a β⊥，故C 正确；D 项：如图所示，绘出正方体ABCD EFGH -，令平面ABCD 是平面α，平面ADHE 是平面γ，平面CDHG 是平面β， 则满足αγ⊥，βγ⊥，但是//αβ不成立，故D 错误， 故选：D.【点睛】本题考查直线与直线、平面与平面之间位置关系的判断，考查两直线平行或垂直的判定，考查两平面垂直或平行的判定，考查推理能力，可结合图形解题，是简单题. 9.在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且满足223tan 2tan 30AD BD CD B A ==-+=，，则B ∠的大小为（ ） A.6πB.3π C.4π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设1DAC ∠=∠，在相应三角形中应用正弦定理得到等量关系式，化简得到tan 3tan B A =，与已知条件联立，求得tan 1B =，利用三角形内角的取值范围，求得角的大小.【详解】设1DAC ∠=∠，因为AD BD =，所以BAD B =∠∠， 因为2AD BD CD ==，2BD ADCD CD==，1=A B ∠∠-∠，()C A B π∠=-∠+∠，sin sin()tan tan 2sin 1sin()tan tan AD C A B A BCD A B A B++====∠--，化简得tan 3tan B A =， 又因为23tan 2tan 30B A -+=， 所以有23tan 6tan 30B B -+=，解得tan 1B =，又因为(0,)B π∈，所以4B π=，故选：C.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，属于简单题目. 二､多项选择题10.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ）A. 2120a ,B ===B. 245a ,b ===C. 3,60b c B ︒===D. 60a b B ︒===【答案】BD 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求出相应角的正弦值，再根据大边对大角得到结论.【详解】A.因为2120a ,B ===，由正弦定理得：sin sin a bA B=， 所以1206a sin B sin Ab ==因为a b <， 所以120A B <= 即A 为锐角，只有一解；B. 因为245a ,b ===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以6a sin B sin Ab === 因为a b >， 所以45A B >=，即A 为锐角或钝角，有两解；C. 因为3,60b c B ︒===，由正弦定理得：sin sin c bC B=，所以12c sin B sinC b ===， 因为b c >， 所以60C B <=， 即C 为锐角，有一解；D. 因为60a b B ︒===，由正弦定理得：sin sin a b A B=，所以sin sin a B A b ===， 因为a b >， 所以60A B >=即A 为锐角或钝角，有两解. 故选：BD【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形解的个数问题，还考查了运算求解，分析问题的能力，属于中档题.11.已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AB 【解析】 【分析】考虑M 点在圆内时实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.12.如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，6AP =，AB a .若在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π.则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】ABC 【解析】 【分析】由题，可算得3AQ =，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3a 的取值范围. 【详解】假设在直线BC 上有一点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角为3π，此时，易得3PQA π∠=，在Rt APQ 中，由于6AP =，可得3AQ =.所以，在直线BC 上存在两个不同点Q ，使得直线PQ 与平面ABCD 所成角都为3π，等价于在直线BC 上有两个点到点A 的距离为3023a <<故选：ABC【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的存在性问题，考查学生分析问题的能力和转化能力，体现了数形结合的数学思想. 三､填空题13.口袋中有若干红球､黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为________. 【答案】0.8 【解析】 【分析】首先求摸出蓝球的概率，再根据互斥事件和的概率求解.【详解】口袋里摸出红球，摸出黄球，摸出蓝球是互斥事件，所以从口袋中摸出蓝球的概率是10.40.20.4--=，所以摸出红球或蓝球的概率是0.40.40.8P =+=. 故答案为：0.8【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型.14.已知点(1,3)A 与直线:l 340x y ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为___________.【答案】(5,1)- 【解析】 【分析】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出,a b 的值即可.【详解】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，则由3(3)11133++4022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪⨯=⎪⎩，解得5,1a b =-=，故点(5,1)A '-， 故答案为：()5,1-.【点睛】本题主要考查了求一个点关于直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上两个条件及中点坐标公式，属于中档题.15.如图，为测量两座山顶之间的距离MC ，已知山高52km BC =，7.5km MN =，从观测点A 分别测得M 点的仰角30,MAN ∠=C 点的仰角45CAB ∠=︒以及60MAC ∠=︒，则两座山顶之间的距离MC =________km .【答案】7【解析】 【分析】根据已知分别在,Rt AMN Rt ABC △△中，求出,AM AC ，在AMC 中，用余弦定理，即可求解.【详解】在Rt AMN △中，30,2157.5,M MAN AM M N N ∠==∴==， 在Rt ABC 中，45,21052,CAB AC B B C C ∠==︒∴==，在AMC 中，2222cos MC AM AC AM AC MAC =+-⋅∠2211510215101752=+-⨯⨯⨯= 57()MC km ∴=.故答案为：57.【点睛】本题考查解三角形实际应用问题，涉及直角三角形边角关系以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16.如图，三棱锥B ACD -中，平面BCD ⊥平面ACD ，0660CD BDC =∠=，，若32BC BD AC AD ==，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.【答案】63【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出BCD 的面积，再以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设出点(),A x y ，由2AC AD =，利用两点间的距离公式求出y 的最大值，由棱锥的体积公式即可求解.【详解】在BCD 中，由0660CD BDC =∠=，，3BC BD =， 设BD x =，则3BC x ，由余弦定理可得2233626cos60x x x =+-⨯⨯， 解得3x =， 所以11393sin 60362222BCDSDC DB =⋅⋅=⨯⨯⨯=过A 作AP CD ⊥，垂足为P ， 因为平面BCD ⊥平面ACD ， 所以AP ⊥平面BCD ， 即AP 为三棱锥B ACD -的高，以CD 为x 轴，CD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0C -，()3,0D ， 设(),A x y ，由2AC AD =， ()()2222323x y x y ++=-+整理可得()22221090,516x y x x y +-+=-+=， 当5x =时，y 取得最大值4， 所以三棱锥的体积的最大值为14633B ACD BCDV S -=⋅⨯=，故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、锥体的体积公式，属于中档题. 四､解答题17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos cos A c B b C a += （1）求角A ；（2）若23a =ABC ∆3，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）2326【解析】 【分析】(1)首先可以根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换将()2cos cos cos A c B b C a +=转化为1cos 2A =，然后根据()0,A π∈即可求出角的值； (2)首先可根据解三角形面积公式得出4bc =，然后根据余弦定理计算出26b c +=求出ABC ∆的周长.【详解】(1)由已知及正弦定理得：()2cos A sinC cos B sinBcosC sin A +=，()2cos sin sin A B C A +=， 因为,,A B C 是ABC ∆的内角，所以()()sin sin sin B C A A π+=-=，2cos sin sin A A A =，因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π∠=，(2)因为1sin 2ABC S bc A ∆=，所以1sin 23bc π=4bc =，由已知及余弦定理可知：a =2222cos a b c bc A =+-， 故()21222cos3b c bc bc π=+--，解得b c +=ABC ∆的周长为【点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形的相关公式的使用，考查的公式有()sinC cos B sinBcosC sin B C +=+、2222cos a b c bc A =+-、1sin 2ABC S bc A ∆=，考查正弦定理边角互化的应用，考查化归与转化思想，是中档题.18.已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点()1,0E ，AD 边所在直线的方程为220x y ++=.点()2,1F -在AB 边所在直线上.求： （1）AB 边所在直线的方程； （2）CD 边所在直线的方程.【答案】（1）240x y --=；（2）220x y .【解析】 【分析】（1）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，故12AB k =，点()2,1F -在AB 边所在直线上，点斜式写出AB 边所在直线的方程；（2）方法一：设直线CD 的方程为20x y m -+=.由点E 到,AB CD 的距离相等，求出m ，即得直线CD 的方程. 方法二：由直线AB 、AD 的方程联立，求出点A 的坐标，求出点A 关于点E 的对称点C 的坐标.由//AB CD ，即可求出直线CD 的方程.【详解】（1）ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥.AD 边所在的直线方程为：220x y ++=，∴AB 所在直线的斜率为12AB k =， ()21F ,-在AB 边所在直线上，∴AB 边所在直线的方程为()1122y x +=-， 即240x y --=. （2）方法一：ABCD 为矩形，∴//AB CD .∴设直线CD 的方程为20x y m -+=.矩形ABCD两条对角线相交于点()1,0E ，∴点E 到,AB CD 的距离相等，=2m =或4m =-(舍). ∴CD 边所在的直线方程为220x y .方法二：由方程240x y --=与220x y ++=联立得()0,2A -，∴点A 关于点E 的对称点()2,2C .//AB CD ，∴CD 边所在的直线方程为220x y .【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.19.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[]80,100，得到频率分布直方图，如图所示.（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 【答案】（1）65人；（2）815. 【解析】 【分析】（1）由直方图，求出打分值[)60100,的频率，根据总人数为100即可求解.（2）由直方图求出第二组和第三组的人数之比为1：2，利用列举法求出6人中随机抽取2人的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由直方图知，所打分值[)60100,的频率为00175200015020065...⨯+⨯=，∴ 人数为1000.6565⨯=(人)答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人. （2）由直方图知，第二､三组的频率分别为0.1和0.2， 则第二､三组人数分别为10人和20人， 所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中， 第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为,A B ；第三组有4人，记为a b c d ,,,. 从中随机抽取2人的所有情况如下：,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共15种其中，两人来自不同组的情况有：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共8种∴ 两人来自不同组的概率为815答：行风监督员来自不同组的概率为815.【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样、古典概型的概率计算公式，属于基础题. 20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC a ===，2ACB π∠=，点D 为BC 中点，连接1A C ､1AC 交于点E ，点F 为1DC 中点.（1）求证： //EF 平面ABC ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面1AC D ； （3）求点C 到平面1AC D 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）63a . 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线性质可得//EF AD ，然后再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意可证11A C AC ⊥，BC ⊥1AC ，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理即可证出.（3）方法一：利用等体法11C ACD C AC D V V --=即可求解；方法二：利用综合法，作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H ，证出CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角1C CG ∆中，求解即可. 【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ACC A 为平行四边形E ∴为1AC 的中点F 为1DC 的中点，//EF AD ∴又EF ⊄平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ //EF 平面ABC（2）四边形11ACC A 为平行四边形，1AC CC =∴平行四边形11ACC A 菱形，即11A C AC ⊥三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱∴1C C ⊥平面ABCBC ⊂平面ABC∴1C C ⊥BC ，2ACB π∠=BC AC ∴⊥BC 1C C ⊥，1C C AC C ⋂=，1,C C AC ⊂平面11ACC A BC ∴⊥平面11ACC A1AC ⊂平面11ACC A ，BC ∴⊥1AC ，11A C AC ⊥，1BC AC C =，,BC 1A C ⊂平面1A CB ， 1AC ∴⊥平面1A CB ，1AC ⊂平面1AC D ， ∴ 平面1AC D ⊥平面1A CB（3）法一：(等体积法)连接DE ，设点C 到平面1AC D 的距离为h1C C ⊥平面ABC ，CA,CD ⊂平面ABC ，11C C CA,C C CD ∴⊥⊥，1C C 为三棱锥1C ACD -高，在直角1C CA ∆中，12AC CC a ==，122AC a ∴=. 在直角1C CD ∆中，12CD a,CC a ==，15CD a ∴=.在直角ACD ∆中，2CD a,AC a ==，5AD a ∴=，2ACD S a ∆∴=. 在等腰1AC D ∆中，11522DA DC a,AC a ===，3DE a ∴=，126DAC S a ∆∴=11C ACD C AC D V V --=，111133ACD AC D C C S h S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯ 2266h a a == ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为6a方法二：(综合法)作CG AD ⊥，垂足为G ，连接1C G ，作1CH C G ⊥，垂足为H .1C C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC1C C AD ∴⊥CG AD ⊥，1CG C C C =，1CG,C C ⊂平面1C CG AD ∴⊥平面1C CGCH ⊂平面1C CGAD CH ∴⊥ 1CH C G ⊥，1ADC G G =，1C G,AD ⊂平面1AC D ，CH ∴⊥平面1AC D ， 即CH 为点C 到平面1AC D 的距离，在直角ACD ∆中，5CG =；在直角1C CG ∆中，125C C a,CG ==，11265245a C C CGCH aC Ga ⨯⨯∴=== ∴ 点C 到平面1AC D 的距离为63a .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离，属于中档题.21.如图，我炮兵阵地位于A 处，两移动观察所分别设于,C D .已知ACD 为正三角形.当目标出现于B 时，测得1BC =千米，2BD =千米.（1）若测得60DBC ∠=，求ABC 的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B 是否在我方炮火射程范围内？ 【答案】（1）34；（2）目标B 是在我方炮火射程范围内. 【解析】 【分析】（1）在BCD 中，由余弦定理求得CD ，则有222BD CD BC =+，得到2BCD π∠=，然后由1sin 223ABCSCA CB ππ⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭求解.（2）设CBD ,CDB αβ∠=∠=，在BCD 中，由余弦定理得到2254cos CD AD α=-=， 在ABD 中，由余弦定理得到22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，将BD ，AD 代入利用三角恒等变换化简得到2546AB sin πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）在BCD 中，由余弦定理得：2222CD BC BD BD BC cos DBC =+-⋅⋅∠， 21423CD ∴=+-=， 222BD CD BC =+，2BCD π∴∠=，11sin 2234ABCSππ⎛⎫∴=⨯+=⎪⎝⎭. （2）设CBD ,CDB αβ∠=∠= 在BCD 中，254cos CD α=-，1CDsin sin βα=， sin sin CD βα=，在ABD 中，22223AB BD AD BD ADcos πβ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭ ，942cos AD cos sin αββ=--+，942cos αα=--94cos αα=--， ()9422cos cos ααα=---+，5496sin πα⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭(当且仅当23πα=时，AB 取到最大值)∴ max 3AB =4<，在射程范围内. 答：目标B 在我方炮火射程范围内.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知圆2221:()(0)C x a y r r -+=>，圆心1C 在直线240x y ++=上，且直线40x ++=被圆1C 截得的弦长为（1）求圆1C 的方程；（2）过圆222:(6)4C x y -+=上任一点()00,Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点M 和N ，求线段MN 长度的取值范围. 【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可知a ，利用弦心距、半径、半弦长的关系即可求出半径，得到圆的方程；（2）设切线方程为()00y k x x y =-+，求出M ，N ，表示出210MN k k x =-，利用圆心到切2=，化简可得1212,k k k k +，代入210MN k k x =-，换t ，求值域即可. 【详解】（1）圆心()1,0C a 在直线240x y ++=上2a ∴=-圆心1C到直线40x ++=的距离1d =∴直线40x +=被圆1C截得的弦长为=2r∴圆1C 的方程22(2)4x y ++=（2）设过点Q 的圆1C 的切线方程为()00y k x x y =-+2=，整理､化简成关于k 的方程()()22200000044240x x k y x y k y +-++-=，①判别式()()()2222200000000042444161664y x y y x x x y x ∆=+--+=++，00k ∴=.直线()00y y k x x -=-与y 轴的交点为()000,y kx -设()()0100200,,0,M y k x N y k x --，则210MN k k x =-，而21,k k 是方程①的两根，则2100MN k k x =-=，又()220064x y -+=，[])000||4,8MN x ∴==∈()t t ∈，21616||66t MN t t t==++由于函数6t t+在区间是单调递减，所以max min |||MN MN =MN ⎡∴∈⎢⎣【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法，圆的弦的性质，圆的切线，点到直线的距离，考查了推理能力，运算能力，属于难题.。

第二学期高一数学期末检测一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足()()()221i 1i z a a R ⋅+=-∈，则z 为实数的一个充分条件是（）A.0a =B.1a =C.a =D.2a =2．在空间四边形ABCD 中，,,AB CD E F =分别为,BC AD 的中点，若AB CD 与所成的角为030，则EF AB 与所成角的大小为（）A ．015B ．075C ．001575与D ．以上都不正确3．已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，αβ ＝l ，则下列说法中，①若m ⊥n ，则m ⊥l ；②若m ⊥1，则m ⊥β；③若m ⊥β，则m ⊥n ．正确结论的序号为（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③4．在矩形ABCD 中，63AB AD ==，．若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且13BN BC =，则AM MN ⋅= （）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且6SA SB SC ===，则圆锥SO 的体积为（）A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，2,23BAC AD BAC BC D AD ABC π∠=∠=∆平分交于点，且，则的面积的最小值为（）A ．3B ．C ．4D ．7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 上靠近B 的三等分点，点F 是棱1CC 的中点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为（）A.8B.12C.18D.208．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．12C ．4D ．4二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论正确的为（）A ．AC BE⊥B ．//EF ABCD 平面；C ．三棱锥A BEF -的体积为定值；D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等.10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（）A ．1A D EF⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -的外接球体积为6πC ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -的体积为2173D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为417711．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为22，侧棱长为2，则（）A ．棱台的侧面积为67B ．棱台的体积为143C ．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为12D ．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为7712．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且)3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（）A．ABC 是等边三角形B．若3AC =，则A ，B ，C ，D 四点共圆C．四边形ABCD 面积最大值为5332+D．四边形ABCD 面积最小值为5332-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若2,41==AB AA ，则三棱锥A 1—BC 1D 的体积为．14．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为_______．15．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点,E F 分别为,PA PD的中点，则平面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为_____．四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，tan ,c C b =其中B 为钝角．（1）证明：2B C π-=；（2）求sin sin cos B C A +-的取值范围．18．设1z 是虛数，2114z zz =+是实数，且﹣2＜2z ≤1．（1）求1z 的实部的取值范围；（2）若1122z z ω-=+，求22z ω-的最小值．19．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==．（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅ .（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅ 的最大值．（3）若045EAF ∠=，求AE AF ⋅ 的最小值．20．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AC =，1BC CD ==，30CAD ∠=︒，60ACB ∠=︒，M 是PB 上一点，且3PB MB =，N 是PC 中点.（1）求证：PC BD ⊥；（2）若二面角P BC A --大小为45︒，求棱锥C AMN -的体积.21．如图,在三棱锥D-ABC 中,已知△BCD 是正三角形,AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3.AF FC =（1）求三棱锥D -ABC 的体积（2）求证:平面DAC ⊥平面DEF ;（3）若M 为DB 中点,N 在棱AC 上,且CN=38CA ,求证:MN ∥平面DEF 22．为了美化环境，某公园欲将一项空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB =3百米，AD =5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设,(,)2BAD πθθπ∠=∈（1）当5cos 5θ=-时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．。

某某省某某市扬中第二高级中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题〔共8小题〕.1．复数z满足，如此它的虚部为〔〕A．﹣i B．﹣1C．﹣2i D．﹣22．cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于〔〕A．0B．C．D．﹣3．设，是两个不共线的向量，假如向量＝﹣〔k∈R〕与向量＝共线，如此〔〕A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k4．设，如此＝〔〕A．2sin x B．2cos x C．﹣2sin x D．﹣2cos x5．轮船A和轮船B在中午12时，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，如此14时两船之间的距离是〔〕A．50nmile B．70nmile C．90nmile D．110nmile6．定义运算＝ad﹣bc、假如cosα＝，＝，0＜β＜α＜，如此β等于〔〕A．B．C．D．7．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量，如此λ，μ满足的关系为〔〕A．λ+μ＝1B．C．λ+4μ＝1D．4λ+μ＝18．圭表〔圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆〕是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为〔〕A．B．C．D．二、多项选择题〔共4小题〕.9．向量＝〔1，﹣2〕，＝〔λ，1〕，记向量，的夹角为θ，如此〔〕A．λ＞2时，θ为锐角B．λ＜2时，θ为钝角C．λ＝2时，为直角D．时，θ为平角10．在△ABC中，如下说法正确的答案是〔〕A．假如A＞B，如此sin A＞sin BB．假如，如此sin2C＞sin2A+sin2BC．假如sin A＜cos B，如此△ABC为钝角三角形D．假如sin2A＝sin2B，如此A＝B11．设P是△ABC所在平面内的一点，，如此〔〕A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，假如满足条件的三角形有且只有一个，如此边b的可能取值为〔〕A．1B．C．2D．3三、填空题〔共4小题〕.13．设向量＝〔1，﹣1〕，＝〔m+1，2m﹣4〕，假如⊥，如此m＝．14．假如，如此＝．15．1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0〔m，n∈R〕的一个根，如此m+n＝．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．2b sin C＝〔2a+b〕tan B，c＝2，如此△ABC面积的最大值为．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数〔1+2i〕z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．〔1〕求复数z；〔2〕假如+〔m∈R〕为纯虚数，某某数m的值．18．，且．求：〔1〕sin〔2α﹣β〕的值；〔2〕β的值．19．如图，在四边形ODCB中，，且．〔1〕求的值；〔2〕点P在线段AB上，且BP＝3PA，求∠BCP的余弦值．20．在①C＝；②a＝1；③S＝3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，假如问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；假如问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为S，且4S＝b2+c2﹣a2，c cos A+a cos C＝，______？21．＝〔sin x，cos x〕，＝〔cos x，﹣cos x〕，设f〔x〕＝•．〔1〕当时，求f〔x〕的值域；〔2〕假如锐角△ABC满足f〔C〕＝0，且不等式tan2A+tan2B+m tan A tan B+1≥0恒成立，求m的取值X围．22．如下列图，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上〔M，N不与A，B重合，M在A，N之间〕，且∠MON＝30°．〔1〕假如M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；〔2〕为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．参考答案一、选择题〔共8小题〕.1．复数z满足，如此它的虚部为〔〕A．﹣i B．﹣1C．﹣2i D．﹣2解：复数z满足＝＝＝1﹣2i，如此它的虚部为﹣2．应当选：D．2．cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于〔〕A．0B．C．D．﹣解：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°＝sin66°cos36°﹣cos66°sin36°＝sin〔66°﹣36°〕＝sin30°＝应当选：B．3．设，是两个不共线的向量，假如向量＝﹣〔k∈R〕与向量＝共线，如此〔〕A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k解：设，是两个不共线的向量，假如向量＝﹣〔k∈R〕与向量＝共线，如此：利用向量共线根本定理：k＝，应当选：D．4．设，如此＝〔〕A．2sin x B．2cos x C．﹣2sin x D．﹣2cos x解：∵，如此＝，＝sin x+cos x+sin x﹣cos x＝2sin x．应当选：A．5．轮船A和轮船B在中午12时，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，如此14时两船之间的距离是〔〕A．50nmile B．70nmile C．90nmile D．110nmile解：根据题意，轮船A行驶的距离为50nmile，轮船B行驶的距离为30nmile，用图形表示如下：在△AOB中，OA＝50，OB＝30，∠BOA＝120°，∴根据余弦定理得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cos120°＝＝4900，∴AB＝70〔nmile〕．应当选：B．6．定义运算＝ad﹣bc、假如cosα＝，＝，0＜β＜α＜，如此β等于〔〕A．B．C．D．解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ＝sin〔α﹣β〕＝．∵0＜β＜α＜，∴cos〔α﹣β〕＝．又∵cosα＝，∴sinα＝．sinβ＝sin[α﹣〔α﹣β〕]＝sinα•cos〔α﹣β〕﹣cosα•sin〔α﹣β〕＝×﹣×＝，∴β＝．应当选：D．7．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量，如此λ，μ满足的关系为〔〕A．λ+μ＝1B．C．λ+4μ＝1D．4λ+μ＝1解：由AC＝4AD可得：，所以＝，因为P，B，D三点共线，所以λ+4μ＝1，应当选：C．8．圭表〔圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆〕是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l，那么表高为〔〕A．B．C．D．解：如图，设表高AB＝x，在△ACD中，∠CAD＝β﹣α，如此，∴AC＝，在直角三角形ABC中，，即x＝AC•sinβ＝＝l•＝．应当选：D．二、多项选择题〔共4小题〕.9．向量＝〔1，﹣2〕，＝〔λ，1〕，记向量，的夹角为θ，如此〔〕A．λ＞2时，θ为锐角B．λ＜2时，θ为钝角C．λ＝2时，为直角D．时，θ为平角解：根据题意，向量＝〔1，﹣2〕，＝〔λ，1〕，如此•＝λ﹣2，依次分析选项：对于A，当•＞0且、不共线时，θ为锐角，如此有，解可得λ＞2，A正确；对于B，当•＜0且、不共线时，θ为钝角，如此有，解可得λ＜2且λ≠﹣，B错误；对于C，当λ＝2时，•＝λ﹣2＝0，即θ为直角，C正确；对于D，当λ＝﹣时，向量＝〔1，﹣2〕，＝〔﹣，1〕，有＝﹣2，θ＝180°，D正确；应当选：ACD．10．在△ABC中，如下说法正确的答案是〔〕A．假如A＞B，如此sin A＞sin BB．假如，如此sin2C＞sin2A+sin2BC．假如sin A＜cos B，如此△ABC为钝角三角形D．假如sin2A＝sin2B，如此A＝B解：由A＞B⇒a＞b⇒2R sin A＞2R sin B⇒sin A＞sin B，A正确；由⇒c2＞a2+b2⇒sin2C＞sin2A+sin2B，B正确；由sin A＜cos B⇒cos〔90°﹣A〕＜cos B⇒90°﹣A＞B⇒A+B＜90°⇒C＞90°⇒△ABC为钝角三角形，C正确；sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A+2B＝π⇒A＝B或A+B＝，D错误．应当选：ABC．11．设P是△ABC所在平面内的一点，，如此〔〕A．B．C．D．解：显然成立，C对，∵，∴，∴＝＝，∴＝，∴，D对，∴＝≠，A错，∴＝≠，B错，应当选：CD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，假如满足条件的三角形有且只有一个，如此边b的可能取值为〔〕A．1B．C．2D．3解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝2，所以，整理得：c2﹣bc+b2﹣4＝0，故△＝b2﹣4〔b2﹣4〕＝0，解得b＝〔舍负〕，或b2﹣4≤0，解得0＜b≤2．故b的取值为〔0，2]∪{}．应当选：ABC．三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．设向量＝〔1，﹣1〕，＝〔m+1，2m﹣4〕，假如⊥，如此m＝ 5 ．解：向量＝〔1，﹣1〕，＝〔m+1，2m﹣4〕，假如⊥，如此•＝m+1﹣〔2m﹣4〕＝﹣m+5＝0，如此m＝5，故答案为：5．14．假如，如此＝﹣．解：∵tanα＝＝＝﹣∴＝＝﹣故答案为：﹣15．1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0〔m，n∈R〕的一个根，如此m+n＝．解：将x＝1+2i代入方程x2﹣mx+2n＝0，有〔1+2i〕2﹣m〔1+2i〕+2n＝0，即1+4i﹣4﹣m﹣2mi+2n＝0，即〔﹣3﹣m+2n〕+〔4﹣2m〕i＝0，由复数相等的充要条件，得，解得m＝2，n＝，故．故答案为：．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．2b sin C＝〔2a+b〕tan B，c＝2，如此△ABC面积的最大值为．解：由2b sin C＝〔2a+b〕tan B，如此2b sin C＝〔2a+b〕，即2b cos B sin C＝〔2a+b〕sin B，由正弦定理得2sin B cos B sin C＝〔2sin A+sin B〕sin B，∵sin B≠0，∴2cos B sin C＝2sin A+sin B＝2sin〔B+C〕+sin B＝2sin B cos C+2cos B sin C+sin B，即2sin B cos C+sin B＝0∵sin B≠0，∴2cos C+1＝0，即cos C＝﹣，即C＝120°，∵c＝2，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即12＝a2+b2﹣2ab×〔﹣〕＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，即ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，如此△ABC的面积S＝ab sin C≤×＝，即三角形面积的最大值为．故答案为：．四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数〔1+2i〕z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．〔1〕求复数z；〔2〕假如+〔m∈R〕为纯虚数，某某数m的值．解：〔1〕设Z＝a+bi〔a，b∈R且a＞0〕，由得：a2+b2＝10①．又复数〔1+2i〕z＝〔a﹣2b〕+〔2a+b〕i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，如此a﹣2b＝2a+b，即a＝﹣3b②．由①②联立的方程组得a＝3，b＝﹣1；或a＝﹣3，b＝1．∵a＞0，∴a＝3，b＝﹣1，如此Z＝3﹣i．〔2〕∵为纯虚数，∴，解得m＝﹣5．18．，且．求：〔1〕sin〔2α﹣β〕的值；〔2〕β的值．解：〔1〕∵，且，∴α﹣β为锐角，∴cosα＝＝，cos〔α﹣β〕＝＝，∴sin〔2α﹣β〕＝sin[α+〔α﹣β〕]＝sinαcos〔α﹣β〕+cosαsin〔α﹣β〕＝•+•＝．〔2〕由于cosβ＝cos[α﹣〔α﹣β〕]＝cosαcos〔α﹣β〕+sinαsin〔α﹣β〕＝•+•＝，结合β∈〔0，π〕，可得β＝．19．如图，在四边形ODCB中，，且．〔1〕求的值；〔2〕点P在线段AB上，且BP＝3PA，求∠BCP的余弦值．解：〔1〕根据题意，如图建立坐标系，A〔2，0〕，B〔0，1〕，C〔3，2〕，如此＝〔﹣1，﹣2〕，＝〔﹣3，﹣1〕，＝〔﹣2，1〕，如此＝3+2＝5；〔2〕点P在线段AB上，且BP＝3PA，如此P的坐标为〔，〕，如此＝〔﹣，﹣〕，如此•＝+＝，||＝，||＝，cos∠PCB＝＝＝．20．在①C＝；②a＝1；③S＝3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，假如问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；假如问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为S，且4S＝b2+c2﹣a2，c cos A+a cos C＝，______？解：因为4S＝b2+c2﹣a2，所以2bc sin A＝2bc cos A，即sin A＝cos A，所以tan A＝1，由A为三角形内角，得A＝，因为c cos A+a cos C＝，由余弦定理，得c•+a•＝，化简，得b＝，选①C＝；B＝＝，由正弦定理，得＝，所以c＝，a＝2，此时三角形的周长为2++﹣1＝1++；②a＝1；由正弦定理，得，所以sin B＝＞1，B不存在，此时三角形不存在；③S＝3，如此＝＝3，所以c＝2，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6+12＝6，所以a＝，此时三角形的周长为2．21．＝〔sin x，cos x〕，＝〔cos x，﹣cos x〕，设f〔x〕＝•．〔1〕当时，求f〔x〕的值域；〔2〕假如锐角△ABC满足f〔C〕＝0，且不等式tan2A+tan2B+m tan A tan B+1≥0恒成立，求m的取值X围．解：〔1〕＝〔sin x，cos x〕，＝〔cos x，﹣cos x〕，f〔x〕＝•．所以，当时，，，∴．〔2〕由f〔C〕＝0可得，∴，∴，注意到tan A tan B＞1，∴，设，不等式⇔〔tan A+tan B〕2﹣2tan A tan B+m tan A tan B+1≥0⇔〔tan A tan B﹣1〕2﹣2tan A tan B+m tan A tan B+1≥0，⇔t2﹣4t+mt+2≥0，恒成立，注意到，∴当时，，∴．22．如下列图，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上〔M，N不与A，B重合，M在A，N之间〕，且∠MON＝30°．〔1〕假如M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；〔2〕为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．解：〔1〕在△OAB中，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，在△AMO中，OM2＝OA2+AM2﹣2OA•AM cos60°＝28，∴cos＝，在△OAN中，sin∠ANO＝sin〔∠A+∠AON〕＝sin〔∠A+∠NOM+∠AOM〕＝sin〔∠AOM+90°〕＝cos∠AOM＝，在△OMN中，，∴MN＝；〔2〕设∠AOM＝α，0°＜α＜60°，在△AMO中，，∴OM＝，在△ANO中，，∴ON＝，∴s＝＝，∵0°＜α＜60°，∴α＝15°时，△OMN的面积最小，最小值为54﹣27．。

江苏省扬中市第二高级中学2019-2020第二学期高一数学期末模拟考试二一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知O 是ABCD 的两条对角线的交点．若DO AB AC λμ=+，其中,λμ∈R ，则:=λμ（ ） A. -2B. 2C. 12-D.122．设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =，且b c <，则b = （ ） A. 3 B. 2 C. 22 D. 33．在平面直角坐标系xOy 内，过点()4,3P -且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程是 （ ）A ．7y x =-B ．1y x =-+C ．7y x =-或34y x =-D ．1y x =-+或34y x =-4．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．1(0,)2 C ．2(0,) D ．2(,1) 5．已知椭圆141622=+y x ，过点)1,2(P 且被点P 平分的椭圆的弦所在的直线方程是 （ ） A ．0178=-+y x B. 042=-+y x C. 02=-y x D. 0518=--y x 6．若点P 是椭圆221164x y +=上的动点，则点P 到直线220x y +-=的最大距离为 （ ）A. 22B. 25C. 5D. 107．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率为 （ ）A ．4B ．15C ．14D ．258．设12,F F 是椭圆221164x y +=的左、右焦点,过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则22AF BF +的最大值为 A.14B.13C.12D.10( )二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3(cos cos )2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=，若点D 是ABC ∆外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的命题是 （ ） A ． ABC ∆的内角3B π=； B ．ABC ∆的内角3C π=；C ．四边形ABCD 面积的最大值为533+；D ．四边形ABCD 面积无最大值. 10．已知两点A (－1,0)，B (1,0)以及圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足＝0，则r 的取值可以是下列选项中的 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 711．以下四个命题表述正确的是 （ ） A ．直线(3)4330()m x y m m R ++-+=∈恒过定点(3,3)--；B ．圆224x y +=上有且仅有3点到直线:20l x y -+=的距离等于1；C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:4800C x y x y m +--+==恰有三条公切线，则4m =； D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引切线,PA PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2).12．已知直线y kx =与椭圆2222:12x y C b b+=交于A 、B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法正确的是 （ ） A ．椭圆C 的离心率为22 B ．12AE BE k k ⋅=- C ．12AE k k = D ．以AE 为直径的圆过点B三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13. 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的中点，AD 与CE 的交点为O ，若3AO BC ⋅=-，AB =32，则角B 的最大值为 . 14．过点33(2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程 .此时ACB ∠= .15.已知,,A B C 是椭圆)012222>>=+b a by a x （上的三点，点O 在BC 上，A 为右端点，AC BC ⊥, 2BC AC =，且ABC ∆的外接圆在y 轴上截得的弦长为6，则椭圆的方程为 .16．过直线:2l y x =-上任意一点P 作圆22:1O x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点00(,)B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -= ．三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设直线123:210,:20,:360l x y l x y l x my +-=-+=+-=. （1）若直线123,,l l l 交于同一点，求m 的值；（2）设直线l 过点(2,0)M ，若l 被直线12,l l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的方程. AB DC EO x y18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知4c =，3C π=． （1）若ABC ∆的面积等于3ABC ∆的形状，并说明理由； （2）若ABC ∆是锐角三角形，求ABC 周长的取值范围．19．已知曲线()22:10,0E ax by a b +=>>。

2019-2020学年江苏省扬州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于（）A．B．C．D．23．已知以C（﹣4，3）为圆心的圆与圆x2+y2＝1相内切，则圆C的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+3）2＝36B．（x+4）2+（y﹣3）2＝16C．（x+4）2+（y﹣3）2＝36D．（x﹣4）2+（y+3）2＝164．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．5．若x1，x2，…，x8的方差为3，则2x1，2x2，…，2x8的方差为（）A．B．2C．6D．126．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）A．B．4C．2D．87．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos C＝b，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形8．下列命题说法错误的是（）A．若a∥α，b⊥α，则a⊥bB．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若α∥β，a⊥α，则a⊥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β9．在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD＝2CD，3tan2B﹣2tan A+3＝0，则∠B 的大小为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共3小题．）．10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A．a＝B．a＝2，b＝C．D．11．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），则实数a的取值可为（）A．1B．2C．3D．412．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AP＝6，AB ＝a．若在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为．则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为．14．已知点A（1，3）与直线l：3x+y+4＝0，则点A关于直线l的对称点坐标为．15．如图，为测量两座山顶之间的距离MC，已知山高BC＝5km，MN＝7.5km，从观测点A分别测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝60°，则两座山顶之间的距离MC＝km．16．如图，三棱锥B﹣ACD中，平面BCD⊥平面ACD，CD＝6，∠BDC＝60°，若BC＝BD，AC＝2AD，则该三棱锥的体积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos A（c cos B+b cos C）＝a．（1）求角A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E（1，0），AD边所在直线的方程为2x+y+2＝0．点F（2，﹣1）在AB边所在直线上．求：（1）AB边所在直线的方程；（2）CD边所在直线的方程．19．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分．上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2a，∠ACB＝，点D为BC 中点，连接A1C、AC1交于点E，点F为DC1中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1CB⊥平面AC1D；（3）求点C到平面AC1D的距离．21．如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于C，D．已知△ACD为正三角形．当目标出现于B时，测得BC＝1千米，BD＝2千米．（1）若测得∠DBC＝60°，求△ABC的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？22．已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0），圆心C1在直线2x+y+4＝0上，且直线x+y+4＝0被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）过圆C2：（x﹣6）2+y2＝4上任一点Q（x0，y0）作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点M和N，求线段MN长度的取值范围．参考答案一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以要求倾斜角，先求直线的斜率，把直线方程化为斜截式，就可求出斜率，再根据斜率求出倾斜角．解：直线x﹣y+1＝0互为斜截式，得y＝x+∴直线x﹣y+1＝0d的斜率为，设倾斜角为θ则tanθ＝，∴θ＝故选：A．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于（）A．B．C．D．2【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解．解：A＝60°，a＝，由正弦定理可得，＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，则＝2．故选：D．3．已知以C（﹣4，3）为圆心的圆与圆x2+y2＝1相内切，则圆C的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+3）2＝36B．（x+4）2+（y﹣3）2＝16C．（x+4）2+（y﹣3）2＝36D．（x﹣4）2+（y+3）2＝16【分析】结合圆内切的性质可求圆的半径，进而可求圆的方程．解：根据圆内切的性质可得，|r﹣1|＝＝5，故r＝6，或r＝﹣4（舍），所求圆的方程为（x+4）2+（y﹣3）2＝36．故选：C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．【分析】由BC⊥平面DCC1D1，得BC⊥DC，BC⊥D1C，从而∠DCD1是二面角D1﹣BC ﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣BC﹣D的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BC⊥平面DCC1D1，∴BC⊥DC，BC⊥D1C，∴∠DCD1是二面角D1﹣BC﹣D的平面角，∵DD1⊥DC，DD1＝DC，∴∠DCD1＝，∴二面角D1﹣BC﹣D的大小为．故选：B．5．若x1，x2，…，x8的方差为3，则2x1，2x2，…，2x8的方差为（）A．B．2C．6D．12【分析】利用方差的性质直接求解．解：∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3＝12．故选：D．6．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）A．B．4C．2D．8【分析】根据球的半径求出球的表面积，设圆锥的高为h，求出圆锥的母线长和表面积，列方程求得h的值．解：球的半径为2，则球的表面积为S球＝4π×22＝16π；圆锥的底面半径为2，设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为l＝＝；所以圆锥的表面积为S圆锥＝π×22+π×2×＝4π+2π；由题意知，4π+2π＝16π，解得h＝4；所以圆锥的高为4．故选：B．7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos C＝b，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】根据正弦定理、内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围即可判断出△ABC的形状．解：∵b＝2a cos C，∴由正弦定理得sin B＝2sin A cos C，∵B＝π﹣（A+C），∴sin（A+C）＝2sin A cos C，则sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，sin A cos C﹣cos A sin C＝0，即sin（A﹣C）＝0，∵A、C∈（0，π），∴A﹣C∈（﹣π，π），则A﹣C＝0，∴A＝C，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．8．下列命题说法错误的是（）A．若a∥α，b⊥α，则a⊥bB．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若α∥β，a⊥α，则a⊥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】根据线线，线面，面面的有关判定，性质和结论即可判断各命题的真假．解：对A，若a∥α，根据线面平行的性质定理，存在平面β，有a⊂β，α∩β＝c，使得a ∥c，由于b⊥α，所以b⊥c，即有a⊥b，A正确；对B，根据面面平行的性质定理可知，B正确；对C，根据一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则它和另一个平面也垂直，C正确；对D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，D错误．故选：D．9．在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD＝2CD，3tan2B﹣2tan A+3＝0，则∠B 的大小为（）A．B．C．D．【分析】设CD＝t，则AD＝BD＝2t，在△ADC中，运用正弦定理和三角函数的诱导公式、和差公式和同角的商数关系，解方程可得所求角．解：可设CD＝t，则AD＝BD＝2t，在△ADC中，可得＝＝，可得＝，即为sin A cos B+cos A sin B＝2（sin A cos B﹣cos A sin B），化为sin A cos B＝3cos A sin B，即有tan A＝3tan B，又3tan2B﹣2tan A+3＝0，可得3tan2B﹣6tan B+3＝0，解得tan B＝1，由B为三角形的内角，可得B＝，故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题．每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）．10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A．a＝B．a＝2，b＝C．D．【分析】利用正弦定理求出对应角的三角函数值，结合大边对大角的定理，对选项中的命题分析，判断解的个数即可．解：对于A，：a＝，b＝2，B＝120°，△ABC是钝角三角形，只有一解；对于B，a＝2，b＝，B＝45°，由正弦定理得＝，解得sin A＝，又a＞b，且A∈（0，π），所以A有个值，三角形有两解；对于C，b＝3，c＝，B＝60°，由正弦定理得＝，解得sin C＝，由b＞c，所以B＞C，所以C＝30°，三角形只有一解；对于D，a＝2，b＝，B＝60°，由正弦定理得＝，解得sin A＝，又b＜a，所以A＞60°，所以A有两个值，三角形有两解．故选：BD．11．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），则实数a的取值可为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由弦AB的中点为M（0，1）可得点M在圆内，可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故选出答案．解：由题意弦AB的中点为M（0，1），则可得M点在圆内，将点M坐标代入圆的方程可得：﹣3+a＜0，即a＜3，故选：AB．12．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AP＝6，AB ＝a．若在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为．则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出图形，求出使的a值，即可求得满足直线BC上存在两不同点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角都为的a的范围，结合选项得答案．解：如图，当∠PBA＝时，由AB＝a，得PB＝2a，又PA＝6，∴4a2＝a2+36，即a＝．若AB＞，则直线BC上不存在点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角为．若AB＝，则直线BC上存在唯一一个点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角为．若AB＜，则直线BC上存在两不同点Q，使直线PQ与平面ABCD所成角都为．结合选项可知，a的值可以是1，2，3．故选：ABC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为0.8．【分析】利用互斥事件概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出摸出红球或蓝球的概率．解：口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，∴摸出红球或蓝球的概率为P＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．14．已知点A（1，3）与直线l：3x+y+4＝0，则点A关于直线l的对称点坐标为（﹣5，1）．【分析】设点A关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），可得3×++4＝0，＝，联立解得a，b．解：设点A关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），则3×++4＝0，＝，联立解得a＝﹣5，b＝1．∴点A关于直线l的对称点坐标为（﹣5，1）．故选：15．如图，为测量两座山顶之间的距离MC，已知山高BC＝5km，MN＝7.5km，从观测点A分别测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝60°，则两座山顶之间的距离MC＝5km．【分析】由题意，可先求出AC、AM的值，从而由余弦定理可求MC的值．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝5km，所以AC＝10km．在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，MN＝7.5km，所以AM＝15km，在△MCA中，AM＝15km，AC＝10km，∠MAC＝60°由余弦定理得：MC2＝AM2+AC2﹣2AM•AC cos60°＝225+100﹣2×15×10×＝175km2∴山顶间距MC＝5；故答案为：5．16．如图，三棱锥B﹣ACD中，平面BCD⊥平面ACD，CD＝6，∠BDC＝60°，若BC＝BD，AC＝2AD，则该三棱锥的体积的最大值为6．【分析】由题意画出图形，结合已知求得△BCD为直角三角形，再由已知求得A点的轨迹，得到A到CD距离的最大值，则答案可求．解：如图，在△BCD中，设BD＝m，则BC＝BD＝，又CD＝6，∠BDC＝60°，∴，即m2+3m﹣18＝0，解得m＝3或m＝﹣6（舍）．∴BD＝3，BC＝，CD＝6．则BD2+BC2＝CD2，即∠DBC为90°．在平面ACD中，以CD中点为坐标原点，以CD所在直线为x轴，以CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则C（﹣3，0），D（3，0），设A（x，y），由AC＝2AD，得，即（x﹣5）2+y2＝16，则A在以（5，0）为圆心，以4为半径的圆上．要使三棱锥的体积取最大值，则A到CD的距离最大为4．∴该三棱锥的体积的最大值为V＝．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos A（c cos B+b cos C）＝a．（1）求角A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求周长．【解答】解（1）由已知及正弦定理得：2cos A（sin C cos B+sin B cos C）＝sin A，∴2cos A sin（B+C）＝sin A，在△ABC中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，∴2cos A sin A＝sin A，∵sin A≠0，∴，∵A∈（0，π），∴，（2）∵，∴，∴bc＝4，由已知及余弦定理得：12＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，∴，∴△ABC的周长为．18．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点E（1，0），AD边所在直线的方程为2x+y+2＝0．点F（2，﹣1）在AB边所在直线上．求：（1）AB边所在直线的方程；（2）CD边所在直线的方程．【分析】（1）由边AD所在直线方程及AD⊥AB，求得AB边所在直线当斜率，再由直线方程的点斜式求AB边所在直线的方程；（2）由AB∥CD，设直线CD的方程为x﹣2y+m＝0，再由E到AB与CD的距离相等列式求得m值，则答案可求．解：（1）∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB．∵AD边所在的直线方程为：2x+y+2＝0，∴AB所在直线的斜率为．∵F（2，﹣1）在AB边所在直线上，∴AB边所在直线的方程为：，即x﹣2y﹣4＝0；（2）∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，设直线CD的方程为x﹣2y+m＝0．由矩形性质可知点E到AB、CD的距离相等，即，解得m＝2或m＝﹣4（舍）．∴CD边所在的直线方程为x﹣2y+2＝0．19．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分．上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0，20），第二组[20，40），第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二、三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率．【分析】（1）由直方图知，求出所打分值[60，100）的频率，然后求解所打分数不低于60分的患者的人数．（2）根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为A，B；第三组有4人，记为a，b，c，d．列出从中随机抽取2人的所有情况，两人来自不同组的情况，然后求解两人来自不同组的概率．【解答】解（1）由直方图知，所打分值[60，100）的频率为0.0175×20+0.0150×20＝0.65，∴人数为100×0.65＝65（人）答：所打分数不低于6（0分）的患者的人数为65人．（2）由直方图知，第二、三组的频率分别为0.1和0.2，则第二、三组人数分别为10人和20人，所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为A，B；第三组有4人，记为a，b，c，d．从中随机抽取2人的所有情况如下：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种．其中，两人来自不同组的情况有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种∴两人来自不同组的概率为答：行风监督员来自不同组的概率为．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2a，∠ACB＝，点D为BC 中点，连接A1C、AC1交于点E，点F为DC1中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1CB⊥平面AC1D；（3）求点C到平面AC1D的距离．【分析】（1）证明四边形ACC1A1为平行四边形，推出EF∥AD，然后证明EF∥平面ABC．（2）证明A1C⊥AC1．C1C⊥平面ABC，推出C1C⊥BC，BC⊥AC，证明BC⊥平面ACC1A1．得到BC⊥AC1，结合A1C⊥AC1，证明AC1⊥平面A1CB，然后证明平面AC1D ⊥平面A1CB．（3）法一：连接DE，设点C到平面AC1D的距离为h，通过，转化求解点C到平面AC1D的距离．方法二：作CG⊥AD，垂足为G，连接C1G，作CH⊥C1G，垂足为H．推出CH⊥平面AC1D，CH为点C到平面AC1D的距离，通过求解三角形求解即可．解：（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴E为AC1的中点，∵F为DC1的中点，∴EF∥AD，又∵EF⊄平面ABC，AD⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）∵四边形ACC1A1为平行四边形，AC＝CC1，∴平行四边形ACC1A1为菱形，即A1C⊥AC1．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴C1C⊥BC，∵，∴BC⊥AC，∵BC⊥C1C，C1C∩AC＝C，C1C，AC⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1．∵AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，∵A1C⊥AC1，BC∩A1C＝C，BC，A1C⊂平面A1CB，∴AC1⊥平面A1CB，∵AC1⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面A1CB．（3）法一：（等体积法）连接DE，设点C到平面AC1D的距离为h，∵C1C⊥平面ABC，CA，CD⊂平面ABC，∴C1C⊥CA，C1C⊥CD，C1C为三棱锥C1﹣ACD高，在直角△C1CA中，AC＝CC1＝2a，∴．在直角△C1CD中，CD＝a，CC1＝2a，∴在直角△ACD中，CD＝a，AC＝2a，∴，∴在等腰△AC1D中，，∴，∴，∵，∴，∴点C到平面AC1D的距离为．方法二：（综合法）作CG⊥AD，垂足为G，连接C1G，作CH⊥C1G，垂足为H．C1C⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴C1C⊥AD，∵CG⊥AD，CG∩C1C＝C，CG，C1C⊂平面C1CG，∴AD⊥平面C1CG，∵CH⊂平面C1CG，∴AD⊥CH，∵CH⊥C1G，AD∩C1G＝G，C1G，AD⊂平面AC1D，∴CH⊥平面AC1D即CH为点C到平面AC1D的距离，在直角△ACD中，；在直角△C1CG中，，∴，∴点C到平面AC1D的距离为．21．如图，我炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设于C，D．已知△ACD为正三角形．当目标出现于B时，测得BC＝1千米，BD＝2千米．（1）若测得∠DBC＝60°，求△ABC的面积；（2）若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求；（2）由已知结合余弦定理及正弦定理可表示AB，然后结合辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．【解答】解（1）在△BCD中，根据余弦定理得：CD2＝BC2+BD2﹣2BD•BC•cos∠DBC，∴CD2＝1+4﹣2＝3，∵BD2＝CD2+BC2，∴，∴，（2）设∠CBD＝α，∠CDB＝β在△BCD中，CD2＝5﹣4cosα，，在△ABD中，，＝＝，＝，＝，＝（当且仅当时，AB取到最大值），∴AB max＝3＜4，在射程范围内．答：目标B在我方炮火射程范围内．22．已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0），圆心C1在直线2x+y+4＝0上，且直线x+y+4＝0被圆C1截得的弦长为2．（1）求圆C1的方程；（2）过圆C2：（x﹣6）2+y2＝4上任一点Q（x0，y0）作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点M和N，求线段MN长度的取值范围．【分析】（1）由圆心C1（a，0）在直线2x+y+4＝0上求得a值，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合弦长利用垂径定理求半径，则圆的方程可求；（2）设过点Q的圆C1的切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，由圆心到直线的距离等于半径可得关于k的一元二次方程，利用求根公式求得k，进一步求得|MN|，然后利用换元法及函数的单调性求最值，可得线段MN长度的取值范围．解：（1）∵圆心C1（a，0）在直线2x+y+4＝0上，∴a＝﹣2．∵圆心C1到直线的距离，∴直线被圆C1截得的弦长为，即r＝2．∴圆C1的方程（x+2）2+y2＝4；（2）设过点Q的圆C1的切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，则，化简成关于k的方程，①判别式，∴．直线y﹣y0＝k（x﹣x0）与y轴的交点为（0，y0﹣kx0）．设M（0，y0﹣k1x0），N（0，y0﹣k2x0），则|MN|＝|k2﹣k1|x0，而k2，k1是方程①的两根，则，又，∴．令，则．由于函数在区间是单调递减，∴，∴．。

江苏省镇江市丹徒中学2019年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，若与共线，则实数的值是（）A.-17B.C.D.参考答案：C2. 已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={x∈Z|x2+x﹣2＜0}，则?U A=（）A．{﹣2，1，2} B．{﹣2，1} C．{1，2} D．{﹣1，0}参考答案：A【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出A的补集即可．【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={x∈Z|x2+x﹣2＜0}={x∈Z|﹣2＜x＜1}={﹣1，0}，所以?U A={﹣2，1，2}．故选：A．3.A. 2013B. 4026C. 0D.参考答案：A4. 在中，若，则边的中线长为A． B． C． D．参考答案：B5. 已知等差数列｛a n｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于A. －10B. －8C. －6D. －4参考答案：C试题分析：有题可知，a1，a3，a4成等比数列，则有，又因为｛a n｝是等差数列，故有，公差d=2，解得；考点：?等差数列通项公式?等比数列性质6. 半圆的直径，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A. 2B. 0C. -2D. 4参考答案：C【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.7. 在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（）A．8 B．16 C．D．参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积公式和余弦定理，求出b2+c2=80，再利用基本不等式得出bc的最大值，写出△ABC的面积，求其最大值即可．【解答】解：△ABC中，，设A、B、C所对边分别为a，b，c，则c?b?cosA=a=8①；所以△ABC的面积为：S△ABC=bcsinA=bc=bc=，由余弦定理可得b2+c2﹣2bc?cosA=a2=64②，由①②消掉cosA得b2+c2=80，所以b2+c2≥2bc，bc≤40，当且仅当b=c=2时取等号，所以S△ABC=≤=8，所以△ABC面积的最大值为8．故选：D．8. 把一个位数从左到右的每个数字依次记为，如果都是完全平方数，则称这个数为“方数”．现将1，2，3按照任意顺序排成一个没有重复数字的三位数，这个数是“方数”的概率为（）A．0 B． C．D．参考答案：B9. 已知函数在上有最小值－1，则a的值为（A）－1或1 （B）（C）或－1 （D）或1或－1参考答案：A10. 设是定义在上的奇函数，当时，则[ ]A. B. C.1D.3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数=4x2-4x ++2的图像与x轴的两个交点横坐标分别为x1,x2,当x12+x22取到最小值时，的值为___________参考答案：-112. 已知，且，则有序实数对的值为____.参考答案：或略13. 设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则．参考答案：14. 为使函数f ( x ) = x2 + 2 x + cos 2 θ– 3 sin θ + 2的值恒为正，则参数θ在区间 ( 0，π )上的取值范围是。

2019～2020学年度第二学期期中考试高一英语试题(考试时间:120分钟总分:150分)第一卷(共110分)第一部分:听力(共两节，20小题；每小题1.5分，满分30分)第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.【此处可播放相关音频，请去附件查看】What color is the woman’s sw eater? A. Black. B. Green. C. Yellow. 【答案】C 【解析】【原文】M: You look so cool in this yellow sweater. W: Thank you. In fact, green is my favorite color, but the sales girl said the green ones were sold out. 2.【此处可播放相关音频，请去附件查看】What is the man doing? A. Driving. B. Reading. C. Shopping. 【答案】A 【解析】【原文】W: Look, the bookstore is over there. M: I’m sorry but I can’t stop there. There is no place to park my car.3.【此处可播放相关音频，请去附件查看】What’s the weather like today?A. Fine. B. Cloudy. C. Rainy. 【答案】B 【解析】【原文】M: Rainy day isn’t it?W: No, it’s like what the radio said. It’s cloudy.M: I wish it would be fine for the weekend.4.【此处可播放相关音频，请去附件查看】What do we know about Lucy?A. She is out of work.B. She doesn’t like chatting.C. She likes watching movie.【答案】A【解析】【原文】W: I find Lucy often surfs the Internet these days. Is she chatting or watching movies?M: No. She was fired last week; she’s looking for a new job on the Internet. 5.【此处可播放相关音频，请去附件查看】When was the camp held?A. On Saturday.B. On Friday.C. On Sunday. 【答案】A【解析】【原文】W: Hello, David. What about the camping on Saturday?M: Great, but I didn’t see you in the camp, Jane. Did you go and enjoy yourself? W: No, I didn’t. I fell sick on Friday night and didn’t get better until Sunday.第二节听下面5段对话或独白。

江苏省镇江市丹徒高级中学2019-2020学年高一下学期4月期初考试数学试题一、单选题(★) 1 . 直线的倾斜角为（）A．B．C．D．(★) 2 . 下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（）A．B．C．D．(★) 3 . 过点且垂直于直线的直线方程为（）A．B．C．D．(★) 4 . 在中，，，，则（）A．B．C．D．(★) 5 . 在△ ABC中，已知，则角 A为（）A．B．C．D．或(★) 6 . 已知的面积为，若，，则A的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°(★) 7 . 设，向量且，则（）A．1B．2C．-1D．-2(★) 8 . 已知向量=(1，2)， =( x，-2)，且⊥( )，则实数 x=（）A．-1B．9C．4D．1(★) 9 . 已知直线与，若平行，则 k的值是（）.A．3B．5C．3或5D．0(★) 10 . 在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形(★)11 . (2010·重庆南开中学)平面向量与的夹角为60°，＝(2,0)，| |＝1，则· ＝( )A．B．1C．D．(★★) 12 . 在中，,BC=1,AC=5，则AB=A．B．C．D．二、多选题(★) 13 . 下列说法不正确的是（）A．不能表示过点且斜率为的直线方程；B．在轴、轴上的截距分别为的直线方程为；C．直线与轴的交点到原点的距离为；D．平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.(★) 14 . 设为两个非零向量，且=0，那么下列四个等式，其中正确等式有（）A．||=||B．|C．D．三、填空题(★) 15 . 点到直线2 x+ y-5=0的距离是__________．(★) 16 . 在中，，则 __________ .(★) 17 . 在中, ,则_______．四、双空题(★) 18 . 已知向量＝(1，2)，＝( m，4)，（1）若∥(2 ＋)，则实数 m的值为__________ ；（2）( ＋)· 的最小值是 ______ ．五、解答题(★) 19 . （1）以点（1,3）和（5,-1）为端点的线段的中垂线的方程（请用一般式表示）；（2）三直线相交于一点，求 a的值.(★★) 20 . 已知直线 l与直线3 x+4 y－2=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为12，求直线 l的方程.(★★) 21 . 在△ ABC是边长为2的等边三角形，（1）求的值；（2）若点 D在 BC边上，且，求 r＋ s的值.(★) 22 . 在中，内角所对的边分别为．已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．(★★) 23 . 在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．(★★)24 . △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinA．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.。

江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一下学期期中生物试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（题型注释）A. 自交B. 观察C. 测交D. 杂交2.孟德尔用纯种的紫花豌豆（AA)和白花豌豆（aa)杂交得到F1代，让F1自交得F2代，在F2代中杂合子所占的比例为（）A.1B.1/2C.l/4D.3/43.孟德尔巧妙地设计了测交实验，验证了自己的假说。

下列杂交组合中，属于测交的是( )A. DD×DDB. Dd×DdC. Dd×ddD. DD×Dd4.下列概念与实例的相应关系中，不正确的是A. 相对性状——豌豆的高茎与矮茎B. 纯合子——基因型为AA和aa的个体C. 等位基因——基因A和aD. 杂合子——基因型为aaBB的个体5.对纯合黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆杂交实验结果的叙述中，错误的是（）A.F1能产生4种比例相同的雌配子B.F2出现4种基因型的个体C.F2中圆粒和皱粒之比接近于3：1，与分离定律相符D.F2出现4种表现型的个体6.根据基因的自由组合定律，在正常情况下，不是基因型YyRr的豌豆产生的配子是（）A.YRB.yRC.YyD.Yr7.将一株基因型为AaBb（两对基因独立遗传）的小麦进行测交，测交后代中与两个亲代基因型都不同的个体所占的比例是A. 25%B. 50%C. 75%D. 100%8.将基因型为AABbCc和aabbcc的植株杂交(遵循自由组合定律)，后代表现型比为( )A. 9∶3∶3∶1B. 1∶1∶1∶1C. 4∶4∶2∶2D. 3∶19.孟德尔通过对豌豆相对性状的遗传实验的研究，发现了基因的分离定律和自由组合定律。

在这过程中用到的科学研究方法是（）A.归纳法B.类比推理法C.观察法D.假说-演绎法10.基因分离定律和自由组合定律中“分离”和“自由组合”的基因，指的是( )①同源染色体上的基因②同源染色体上的等位基因③同源染色体上的非等位基因④非同源染色体上的非等位基因A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11.如图为某生物细胞中2对同源染色体上4对等位基因的分布情况。

江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一物理下学期期中试题一．单项选择题:每小题只有一个．．．．选项符合题意(本大题13小题，每小题2分，共26分)1.发现万有引力定律和测出引力常数的科学家分别是A．开普勒、卡文迪许 B．牛顿、伽利略C．牛顿、卡文迪许 D．开普勒、伽利略2.自然界中有很多物体做曲线运动，在所有的曲线运动中，物体的运动速度A．方向一定改变 B．方向一定不变C．大小一定改变 D．大小一定不变3。

物体做曲线运动的条件为A．物体运动的初速度不为零B．物体所受的合外力为变力C．物体所受的合外力的方向与速度的方向在同一条直线上D．物体所受的合外力的方向与速度的方向不在同—条直线上4。

如图所示为运动员抛出的铅球运动轨迹（铅球视为质点)A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向下列说法正确的是A．为AB的方向 B．为BC的方向C．为BD的方向 D．为BE的方向5。

下列叙述中的力，属于万有引力的是A．马拉车的力B．钢绳吊起重物的力C．太阳与地球之间的吸引力D．两个异名磁极之间的吸引力6.2012年12月，经国际小行星命名委员会批准，紫金山天文台发现的一颗绕太阳运行的小行星被命名为“南大仙林星”。

如图所示,轨道上a、b、c、d四个位置中,该行星受太阳引力最大的是A．a B．b C．c D．d7．我国于2007年10月24日成功发射了“嫦娥一号"探月卫星，若卫星在半径为r的绕月圆形轨道上运行的周期T，则其线速度大小是πA．/T r B．/2T rπC．/r T D．2/r T8.火星的质量和半径分别约为地球的1/10和1/2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g9。

一个物体做匀速圆周运动，关于其向心加速度的方向,下列说法中正确的是A．与线速度方向相同B．与线速度方向相反C．背离圆心D．指向圆心10.如图所示用起瓶器打开瓶盖，起瓶器上A、B两点绕O点转动的角速度分别为ωA和ωB线速度大小分别为v A和v B，则A．ωA=ωB，v A〈v BB．ωA=ωB，v A〉v BC．ωA〈ωB, v A=v BD。

江苏省镇江市丹徒中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ……………………………………（）（A）周期为π的奇函数（B）周期为π的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数参考答案：A2. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】当直线与垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程。

【详解】原点坐标为(0,0)，根据题意可知当直线与垂直时距离最大，由两点斜率公式可得：所以所求直线的斜率为：故所求直线的方程为：，化简可得：故答案选A【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题。

3. 不等式的解集是（）A. B.C. D. 参考答案：C【分析】先将不等式化为，然后利用二次不等式的求解原则得出该不等式的解集.【详解】由题意可得，解该不等式得或.因此，不等式的解集是，故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键就是二次不等式的求解过程，考查计算能力，属于基础题.4. 圆关于直线对称的圆的方程为（）A B C D参考答案：B5. 已知a，5，b组成公差为d的等差数列，又a，4，b组成等比数列，则公差d=（）A．－3 B．3 C．－3或3 D．2或参考答案：C6. 设集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3C：映射．【分析】根据映射的定义，对A、B、C、D各项逐个加以判断，可得A、B、C的对应f都能构成A到B 的映射，只有D项的对应f不能构成A到B的映射，由此可得本题的答案．【解答】解：A的对应法则是f：x→，对于A的任意一个元素x，函数值∈{y|0≤y≤2}，函数值的集合恰好是集合B，且对A中任意一个元素x，函数值y唯一确定，由此可得该对应能构成A到B的映射，故A不符合题意；B的对应法则是f：x→，对于A的任意一个元素x，函数值∈{y|0≤y≤}?B，且对A中任意一个元素x，函数值y唯一确定，由此可得该对应能构成A到B的映射，故B不符合题意；C的对应法则是f：x→，对于A的任意一个元素x，函数值∈{y|0≤y≤}?B，且对A中任意一个元素x，函数值y唯一确定，由此可得该对应能构成A到B的映射，故C不符合题意；D的对应法则是f：x→，可得f（4）=?B，不满足映射的定义，故D的对应法则不能构成映射．综上所述，得只有D的对应f中不能构成A到B的映射．故选：D【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．7. 函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A, B.C. D.参考答案：A略8. 已知数列{a n}满足：，，则a n= （）A. B.C. D.参考答案：B【分析】将原式子变形为结合等差数列的通项公式的求法得到结果.【详解】数列满足：，,是以为首相为公差的等差数列，故答案：B.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.9. 过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．10. 已知集合，，则中所含元素的个数为（）A．3 B． C． D．.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6，点M是△ABC的内心，= ．参考答案：3【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；解三角形；平面向量及应用．【分析】=﹣=．故答案为AC的长．【解答】解：AC=AB?cosA=3，∴||=|﹣|=||=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的模长计算及解三角形，是基础题．12. 已知向量，则的取值范围是_________。

2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期末数学模拟试卷（2）一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1. 复数z 满足z =(√3+i 1−√3i)100+√3i ，则|z|=( )A. 5B. 2√3C. √5D. 22. 如图所示的正四面体A −BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，AC 的中点，给出下列说法：①EF//CD ；②EF//平面ABD ；③EF ⊥AD ；④EF 与AD 所成的角为60°，其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④3. 已知cos(α−π6)=34，则sin(2α+π6)+cos 2(α2−π12)的值为( )A. 14B. 12C. 3√78D. 14. 已知x 、y 是正实数，△ABC 的三边长为CA =3，CB =4，AB =5，点P 是边AB(P 与点A 、B 不重合)上任一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |.若不等式2x +3y ≥m ⋅x ⋅y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ≤32+√2B. m ≤2√6C. m ≤32√2D. m ≤35. 学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动服务.经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s.后来经核实，发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时.更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为( )A. s =s 1B. s <s 1C. s >s 1D. 无法判断6. 正三棱锥P −ABC 的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则点A 到侧面PBC 的距离是( )A. √5B. 2√2C. √2D. 6√557. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 为锐角，若c =4bcosA ，则tanAtanB⋅tanC +6tanA 的最小值为( )A. 7√33B. 3√52C. 3√32D. 328. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =2π3，AP =3，AB =2√3，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为( )A. 45πB. 57πC. 63πD. 84π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为( )A. 中位数为3，众数为2B. 均值小于1，中位数为1C. 均值为3，众数为4D. 均值为2，标准差为√210. 下列命题中是真命题的是( )A. 在四边形ABCD 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则四边形ABCD 是菱形B. 若点G 为△ABC 的外心，则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. 向量e 1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)能作为平面内的一组基底 D. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 为等腰三角形11. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则( )A. 直线D 1D 与直线AF 垂直B. 直线A 1G 与平面AEF 平行C. 平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D. 点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12. 已知f(x)=2cos 2ωx +√3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有( )A. 函数f(x)在[−π,π6]上值域为[2,3] B. 函数f(x)在[0,π6]上为增函数C. 直线x =π6是函数f(x)图象一条对称轴 D. 点(5π12,0)是函数f(x)图象的一个对称中心三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. A 工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5(单位：万只)，若这组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为1.44，且x 12，x 22，x 32，x 42，x 52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套______万只． 14. 在△ABC 中，已知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为线段AD 上的一点，且满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若△ABC 的面积为2√3，∠ACB =π3，则|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______． 15. 如图，已知圆台高为5，上底面⊙O 半径为3，下底面⊙O 1半径为4，△ABC 为⊙O 1的内接三角形，且AB ⊥AC ，P 为⊙O 上一点，则PA 2+PB 2+PC 2的最小值为______．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3(b−ccosA)sinC=√3a.若c =2，则△ABC 面积的最大值为______；若2sinA −sinB =√33，则cosA =______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知：复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(1−i)=z 2(1+i)(i 为虚数单位)，|z 1|=√2． (Ⅰ)求z 1的值；(Ⅱ)若z 1的虚部大于零，且mz 1+z 1−=n +i(m,n ∈R)，求m ，n 的值．18.2020年1月我国出现了新冠肺炎疫情，为了阻断传播途径，有效控制疫情的蔓延，全国各地都实行了居家隔离．某城市为了保障居家隔离期间对居民的供水，随机抽取了2019年12月份200户居民的用水量与2020年1月份的用水量进行对比，以便更好地确定下一步供水工作的工作计划．经过整理得到抽取的2019年12月份200户居民用水量(单位：立方米)的频率分布直方图如图．(1)(ⅰ)求抽取的200户居民用水量在[4,6)范围内的居民户数；(ⅰ)根据频率分布直方图的数据估计全市118.2万户居民中有多少万户用水量在[4,6)范围内；(2)为了进一步了解用水量在[6,8)，[8,10)，[10,12]范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．(ⅰ)各个范围各应抽取多少户？(ⅰ)若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．19.在①2a−bcosB =ccosC；②4S=√3(a2+b2−c2)；③csinA=acos(C−π6)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知_____，a−b=6，且△ABC的面积S=9√34，求△ABC的周长．20.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=√2，AD=2，PA=PD=√5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(Ⅰ)证明：EF//平面PAB；(Ⅱ)若二面角P−AD−B为60°，(i)证明：平面PBC⊥平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．21.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD.M是AD的中点，N是PC的中点．(1)求证：MN//平面PAB；(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD；(3)若平面ABCD是矩形，PA=AB，求证：平面PMC⊥平面PBC．22. 如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且AB =2，AD =1． (1)若E ，F 都是中点，求EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若E ，F 都是中点，N 是线段E ，F 上的任意一点，求AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值； (3)若∠EAF =45°，求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=(√3+i1−√3i)100+√3i=i100+√3i=1+√3i，∴|z|=√12+(√3)2=2故选：D．根据已知条件，结合复数模的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了复数模概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析4个结论：对于①，EF与CD异面，错误；EF//CD；对于②E，F分别为棱BC，AC的中点，则EF//AB，而EF⊄面ABD且AB在平面ABD 内，则EF//平面ABD，②正确；对于③EF//AB，则EF与AD所成的角即∠BAD，又由四面体A−BCD是正四面体，则∠BAD=60°，则③错误；对于④由③结论，④正确；故其中正确的是②④；故选：C．根据题意，依次分析4个结论，综合可得答案．本题考查四面体的几何结构，涉及线线、线面平行和垂直的判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由cos(α−π6)=34，得sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=2cos2(α−π6)−1=2×916−1=18，再由cos(α−π6)=34，得2cos2(α2−π12)−1=34，可得cos2(α2−π12)=78，∴sin(2α+π6)+cos2(α2−π12)=18+78=1．故选：D ．由已知结合诱导公式及倍角公式分别求得sin(2α+π6)与cos 2(α2−π12)，作和得答案． 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题．4.【答案】A【解析】解：建立如图所示的直角坐标系， 因为CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，则为CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0,1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0)，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0,x)+(y,0)=(y,x)，故P(y,x)，因为AB 所在的直线方程为x4+y3=1，即x =−34y +3，(0<x <3,0<y <4)， 因为2x +3y ≥m ⋅x ⋅y 恒成立， 所以m ≤2x+3y xy=2(y+4)4y−y 2，令f(y)=2(y+4)4y−y 2，则f′(y)=2(y 2+8y−16)(4y−y 2)2，易得，当0<y ≤4√2−4时，函数单调递减，当4√2−4<m <4时，函数单调递增， 故当y =4√2−4时f(y)取得最小值32+√2， 故m ≤32+√2． 故选：A ．由已知建立直角坐标系，结合向量数量积的坐标表示可得x ，y 的关系，然后由已知不等式分离参数，转化为求解函数的最值，结合导数可求．本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，分离法的应用是求解问题的关键，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由已知可得，两次统计的总人数没有变，故两次统计的平均数的相同的，设为x−，设劳动时间长为x i(1≤i≤15,i∈N∗)，则s=√115×[(15−x−)2+(23−x−)2+⋅⋅⋅+(x15−x−)2]，s1=√115×[(20−x−)2+(18−x−)2+⋅⋅⋅+(x15−x−)2]，要比较s与s1的大小，只需比较(15−x−)2+(23−x−)2与(20−x−)2+(18−x−)2的大小即可，因为(15−x−)2+(23−x−)2=754−76x−+2x−2，(20−x−)2+(18−x−)2=724−76x−+2x−2，所以(15−x−)2+(23−x−)2>(20−x−)2+(18−x−)2，故s>s1．故选：C．先判断两次统计的平均数情况，然后再利用标准差的计算公式进行比较即可．本题考查了特征数的理解和应用，主要考查了平均数与标准差的计算公式的应用，考查了化简运算能力与逻辑推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，∵正三棱锥P−ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO=2，∠PBO=45°，∠POB=90°，∴BO=2，∴BD=3，∴PB=√4+4=2√2，设CD=x，则BC=2x，由勾股定理得4x2−x2=9，解得x=√3，∴BC=2√3，∴S△ABC=12×2√3×3=3√3．∵PD=√1+4=√5，∴S△PAC=12×2√3×√5=√15．∵V P−ABC=V A−PBC，设点A到面PBC的距离为h，∴13×3√3×2=13×√15×ℎ，解得ℎ=6√55．∴点A到面PBC的距离为6√55．故选：D．由已知条件推导出S△ABC=3√3，S△PAC=√15.由此利用V P−ABC=V A−PBC，能求出点A 到面PBC的距离．本题考查点到平面距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．7.【答案】B【解析】解：△ABC中，c=4bcosA，由正弦定理得sinC=4sinBcosA；又sinC=sin(A+B)，所以sinAcosB+cosAsinB=4sinBcosA，整理得sinAcosB=3sinBcosA，即tanA=3tanB，且tanB>0；又tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =4tanB3tan2B−1，所以tanAtanB⋅tanC +6tanA=3tanBtanB⋅tanC+63tanB=3tanC+2tanB=3(3tan2B−1)4tanB+2tanB=34(3tanB+53tanB)≥34×2√5=3√52，当且仅当tanB=√53时取“=”；所以tanAtanB⋅tanC +6tanA的最小值为3√52．故选：B．由正弦定理和三角恒等变换求出tanA=3tanB，再用tan B表示tan C，从而求得tanA tanB⋅tanC +6tanA的值．本题考查了三角函数求值问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，属于中档题．根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P−ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【解答】解：三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成的角为θ，三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，如图所示：则sinθ=PAPQ=3PQ，且sinθ的最大值是√32，∴(PQ)min=2√3，∴AQ的最小值是√3，即A到BC的距离为√3，∴AQ⊥BC，∵AB=2√3，在Rt△ABQ中可得∠ABC=π6，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′//PA，设△ABC的外接圆的半径为r，，解得r=2√3；∴O′A=2√3，取H为PA的中点，连接OH，则OH⊥PA，∴OH=O′A=2√3，PH=32，由勾股定理得OP=R=√PH2+OH2=√572，∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×π×(√572)2=57π．故选B．9.【答案】BD【解析】解：由题意，设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，则0≤a ≤b ≤c ≤d ≤e ≤f ≤g ，对于A ，取2，2，2，2，3，4，6，则满足中位数为3，众数为2，但是第7天的人数为6>5，故选项A 错误；对于B ，若g ≥6，由中位数为1，可知均值为17⋅(a +b +c +d +e +f +g)≥1，与均值小于1矛盾，故选项B 正确；对于C ，取0，1，2，4，4，4，6，则满足均值为3，众数为4，但是第7天的人数为6>5，故选项C 错误；对于D ，当均值为2，标准差为√2时，a +b +c +d +e +f +g =14，(a −2)2+⋯+(g −2)2=14，若g ≥6，则(a −2)2+⋯+(g −2)2>14，且如1，1，1，1，2，3，5，符合题意，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题意，设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，则0≤a ≤b ≤c ≤d ≤e ≤f ≤g ，然后对选项逐个讨论，举出反例．本题考查了特征数的理解和应用，主要考查了众数、中位数、平均数、方差的理解和应用，考查了学生分析问题的能力，属于中档题．10.【答案】AD【解析】解：对于A ：在四边形ABCD 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则四边形ABCD 为平行四边形，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故对角线AC 和BD 互相垂直，则四边形ABCD 是菱形，故A 正确； 对于B ：当点G 为△ABC 的重心时， 如图所示：GA +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即：根据向量的线性运算，则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，由于该题为外心，故B 错误； 对于C ：向量e 1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)，则e 1⃗⃗⃗ =4e 2⃗⃗⃗ ，故不能作为平面内的一组基底，故C 错误；对于D ：O 为△ABC 所在平面内任一点，设D 为BC 的中点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即AD 垂直平分BC ， 所以△ABC 为等腰三角形，故D 正确． 故选：AD ．直接利用向量的线性运算和向量的数量积，向量的基底，向量的垂直的充要条件的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：向量的线性运算和向量的数量积，向量的基底，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：取DD 1 中点M ，则AM 为AF 在平面AA 1D 1D 上的射影，∵AM 与DD 1 不垂直，∴AF 与DD 1不垂直，故A 错； 取B 1C 1中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN//平面AEF ，故B 正确；把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由等腰梯形计算其面积S =98，故C 正确； 假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故D 错． 故选：BC ．取DD 1 中点M ，则AM 为AF 在平面AA 1D 1D 上的射影，由AM 与DD 1 不垂直，可得AF 与DD 1不垂直；取B 1C 1中点N ，连接A 1N ，GN ，得平面A 1GN//平面AEF ，再由面面平行的性质判断B ；把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由等腰梯形计算其面积判断C ；利用反证法证明D 错误．本题考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】BC【解析】解：f(x)=2cos2ωx+√3sin2ωx =cos2ωx+√3sin2ωx+1=2sin(2ωx+π6)+1，因为f(x)的最小正周期为π，则2π2ω=π，解得ω=1，则f(x)=2sin(2x+π6)+1，对于A，因为x∈[−π,π6]，则2x+π6∈[−11π6,π2]，故sin(2x+π6)∈[−1,1]，所以f(x)∈[−1,3]，则函数f(x)在[−π,π6]上值域为[−1,3]，故选项A错误；对于B，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，k∈Z，则函数f(x)在[0,π6]上为增函数，故选项B正确；对于C，当x=π6时，sin(2×π6+π6)=sinπ2=1，所以直线x=π6是函数f(x)图象一条对称轴，故选项C正确；对于D，因为点(5π12,0)的纵坐标为0，而f(x)对称中心的纵坐标为1，所以点(5π12,0)不是函数f(x)图象的对称中心，故选项D错误．故选：BC．先利用三角恒等变换化简f(x)，由周期公式求出ω，得到函数f(x)的解析式，利用三角函数的性质求解值域，即可判断选项A ，由正弦函数的单调性，即可判断选项B ，利用正弦函数的对称性即可判断选项C ，由三角函数的对称中心的纵坐标为1，即可判断选项D ．本题考查了三角函数的综合应用，涉及了二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数周期公式的应用，三角函数单调性、对称性以及值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】1.6【解析】解：设每天生产的平均值为x −，由题意可得，(x 1−x −)2+⋅⋅⋅+(x 5−x −)2=5×1.44=7.2，则(x 12+x 22+x 32+x 42+x 52)−2x −(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)+5x −2=7.2， 又因为x 12+x 22+x 32+x 42+x 52=5×4=20，x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=5x −，则有20−5x −2=7.2，解得x −=1.6，所以该工厂这5天平均每天生产手套1.6万只． 故答案为：1.6．设每天生产的平均值为x −，利用方差的计算公式以及平均数的计算公式，建立关于x −的方程，求解即可．本题考查了平均数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m ⋅32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵A ，P ，D 三点共线，∴12+32m =1，即m =13．∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32×13CD ⃗⃗⃗⃗⃗=12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23CB ⃗⃗⃗⃗⃗=12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵S △ABC =2√3,且∠ACB =π3．∴12CA ⋅CBsin∠ACB =2√3，即CA ⋅CB =8．∴∣CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =√14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+19CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√14b 2+19a 2+13abcos π3(令CA =b,CB =a)=√19a 2+14b 2+16ab≥√2×13a ×12b +16ab=√12ab =2． 故答案为：2．利用A ，P ，D 三点共线可求出m =13，并得到CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ .再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出∣CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的最小值． 本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．15.【答案】126【解析】解：如图，设P 在底面的投影为M ，如图建立平面直角坐标系， 则点M 在圆x 2+y 2=9上，可设M(x,y)，A(a,b)，可得x 2+y 2=9， a 2+b 2=16，则PA2+PB2+PC2=(x−4)2+y2+(x+4)2+y2+(x−a)2+(y−b)2+ 3×PM2=3(x2+y2)+a2+b2−2(ax+by)+32+75=150−2(ax+by)由柯西不等式可得(x2+y2)(a2+b2)≥(ax+by)2，即16×9≥(ax+by)2，∴−24≤2(ax+by)≤24，(当 xa =yb时取等号)．∴126≤PA2+PB2+PC2≤174．故答案为：126．设P在底面的投影为M，建立平面直角坐标系，则点M在圆x2+y2=9上，可设M(x,y)，A(a,b)，则PA2+PB2+PC2=(x−4)2+y2+(x+4)2+y2+(x−a)2+(y−b)2+ 3×PM2即可求解．本题考查了空间距离的计算，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．16.【答案】√32√6−16【解析】解：由题意可得3(b−ccosA)=√3asinC，所以3 (sinB−sinCcosA)=√3sinAsinC，所以3sinB=√3sinAsinC+3sinCcosA=3sin(A+C)，所以3sinAcosC+3sinCcosA=√3sinAsinC+3sinCcosA，整理得3sinAcosC=√3sinAsinC，因为sinA>0，所以sinC=√3cosC，即tanC=√3，由C为三角形内角，可得C=π3．由余弦定理得c2=a2+b2−ab≥ab，当且仅当a=b时取等号，故ab≤4，可得S△ABC=12absinC≤12×4×√32=√3，故△ABC面积的最大值√3．因为C=π3，又A+B+C=π，所以B=2π3−A，又2sinA−sinB=√33，可得2sinA−sin(2π3−A)=2sinA−√32cosA−12sinA=32sinA−√3 2cosA=√3sin(A−π6)=√33，所以sin(A −π6)=13， 由0<A <2π3，可得−π6<A −π6<π2， 可得cos(A −π6)=√1−sin 2(A −π6)=2√23， 所以cosA =cos[(A −π6)+π6]=cos(A −π6)cos π6−sin(A −π6)sin π6=2√23×√32−13×12=2√6−16． 故答案为：√3．2√6−16． 由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan C ，进而可求C ，由余弦定理及基本不等式可求ab 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求得△ABC 面积的最大值，由A +B +C =π，将2sinA −sinB 中B 角用A 替换，化简即可得到cos A ，由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin(A −π6)=13，可求范围−π6<A −π6<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos(A −π6)的值，根据A =(A −π6)+π6，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解cos A 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设z 1=x +yi(x,y ∈R)，则z 2=−x +yi ，∵z 1(1−i)=z 2(1+i)，|z 1|=√2，∴{(x +yi)(1−i)=(−x +yi)(1+i)x 2+y 2=2，解得{x =1y =−1或{x =−1y =1， 即z 1=1−i 或z 1=−1+i ；(Ⅱ)∵z 1的虚部大于零，∴z 1=−1+i ，则z 1−=−1−i ， 则有m−1+i +(−1−i)=n +i ， ∴{−m2−1=n −m 2−1=1，解得{m =−4n =1．【解析】(Ⅰ)设z 1=x +yi(x,y ∈R)，则z 2=−x +yi ，由题意列方程组求得x ，y 的值，则答案可求；(Ⅱ)求得z 1，代入mz 1+z 1−=n +i ，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．18.【答案】解：(1)(i)由频率分布直方图可得，用水量在[4,6)范围内的居民户数的频率为0.200×2=0.400，所以抽取的200户居民用水量在[4,6)范围内的居民户数为200×0.400=80户；(ii)把用水量在[4,6)范围内的居民户数的样本频率当成总体的频率，估计全市118.2万户居民中有118.2×0.400=47.28万户用水量在[4,6)范围内；(2)(i)把用水量在[6,8)，[8,10)，[10,12)范围内的居民数分成三层，各层的频率分别为：0.075×2=0.150，0.050×2=0.100，0.025×2=0.050，所以用水量在[6,8)内的应抽取6×0.1500.150+0.100+0.050=3户，用水量在[8,10)内的应抽取6×0.1000.150+0.100+0.050=2户，用水量在[10,12)内的应抽取6×0.0500.150+0.100+0.050=1户；(ii)记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，从6户中随机抽取3户的所有结果共有C63=20种，3户分别来自3个不同范围的可能结果共有C31⋅C21⋅C11=6种，故3户分别来自3个不同范围的概率为P(A)=620=310．【解析】(1)(i)由频率分布直方图求得频率，由频率求解频数即可；(ii)用样本分布估计总体分布求解总体的数据即可；(2)(i)利用分层抽样进行求解即可；(ii)由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，分层抽样的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19.【答案】解：①2a−bcosB =ccosC；所以2acosC−bcosC=ccosB，即2sinAcosC=sinCcosB+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，因为sinA>0，所以cosC=12，因为C为三角形内角，C=π3，②4S=√3(a2+b2−c2)；4×12absinC=√3×2abcosC，所以sinC=√3cosC，即tanC=√3，因为C为三角形内角，C=π3，③csinA=acos(C−π6)；由正弦定理得sinCsinA=sinAcos(C−π6)；因为sinA>0，所以sinC=cos(C−π6)=√32cosC+12sinC，所以tanC=√3，因为C为三角形内角，C=π3，而S△ABC=12absinC=√34ab=9√34，所以ab=9，由余弦定理得c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=36+ab=45，所以c=3√5，所以c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=45，所以a+b=6√2，故△ABC的周长a+b+c=6√2+3√5．【解析】①2a−bcosB =ccosC，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，进而可求C；②4S=√3(a2+b2−c2)，结合余弦定理及面积公式进行化简可求tan C，进而可求C；③csinA=acos(C−π6)，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan C，进而可求C；然后结合三角形的面积公式可求ab，然后结合余弦定理可求a+b，进而可求本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：连接AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH//AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAB，∴EH//平面PAB．同理可证，FH//平面PAB．又∵EH∩FH=H，EH，FH⊂面EFH，∴平面EFH//平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF//平面PAB；(Ⅱ)证明：(i)如图，连接PE，BE．∵BA=BD=√2，AD=2，PA=PD=√5，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P−AD−B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=√3．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB ⊥BD ，同理PB ⊥BA ，而AB ∩BD =B ，且AB ，BD ⊂平面ABCD ，∴PB ⊥平面ABCD ，∵PB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)解：由(i)知，PB ⊥BD ，PB ⊥BA ，∵BA =BD =√2，AD =2，∴BD ⊥BA ，∴BD ，BA ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD ，BA ，BP 为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B −DAP ，则有A(0,√2,0)，B(0,0，0)，C(√2,−√2,0)，D(√2,0，0)，P(0,0，√3)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√3)，设平面PBC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， ∵{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{√2x −√2y =0√3z =0， 令x =1，则y =1，z =0，故n⃗ =(1,1，0)， ∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点，∴E(√22,√22,0)，F(√22,−√22,√32)， ∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,√32)， 设直线EF 与平面PBC 所成角为θ，∴sinθ=|cos <n ⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|−√2|√2×√112=2√1111，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为2√1111．【解析】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理，属于拔高题．(Ⅰ)要证明EF//平面PAB ，可以先证明平面EFH//平面PAB ，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；(Ⅱ)(i)要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB ⊥平面ABCD 即可；(ii)由(i)知，BD ，BA ，BP 两两垂直，建立空间直角坐标系B −DAP ，得到直线EF 的方向向量与平面PBC 法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．21.【答案】证明：(1)取PB 的中点E ，连接EN ，AE ．∵E ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴EN−//12BC ， ∵M 是AD 的中点，四边形ABCD 是平行四边形，∴AM−//12BC ，∴EN−//AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN//AE ，又MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴MN//平面PAB ．(2)假设CM 与AD 不垂直，在平面ABCD 内过M 作AD 的垂线，交BC 于Q ，连接PQ ，MQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，MQ ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥MQ ，又AD ⊥MQ ，PA ∩AD =A ，∴MQ ⊥平面PAD ，又MQ ⊂平面PMQ ，∴平面PMQ ⊥平面PAD ，显然这与平面PMC ⊥平面PAD 矛盾．故假设不成立，∴CM ⊥AD ．(3)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ，∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又PA ∩AB =A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AE ，由(1)可知四边形AMNE 是平行四边形，∴四边形AMNE 是矩形，∴MN ⊥EN ，又AM =MD ，PA =AB =CD ，∠PAM =∠MDC =90°，∴△PMA≌△CMD ，∴PM =CM ，又N 是PC 的中点，∴MN ⊥PC ，又PC ∩EN =N ，PC ⊂平面PBC ，EN ⊂平面PBC ，∴MN ⊥平面PBC ，又MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PBC ．【解析】(1)取PB 的中点E ，连接EN ，AE.通过证明四边形AMNE 是平行四边形得出MN//AE ，从而得出MN//平面PAB ；(2)假设CM 与AD 不垂直，构造与平面PAD 垂直的平面PMQ ，得出矛盾结论即可；(3)证明四边形AMNE 是矩形得出MN ⊥EN ，再证明PM =CM 得出MN ⊥PC ，故而MN ⊥平面PBC ，于是平面PBC ⊥平面PMC ．本题考查了线面平行，面面垂直的判定与性质，属于中档题．22.【答案】解：(1)以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，E(1,1)，F(2,12)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−12)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2−12=32．(2)设EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,−12λ)，则N(1+λ,1−12λ)，λ∈[0,1]， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ,1−12λ)，NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,−1+12λ)， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)(1−λ)+(1−12λ)(−1+12λ)=1−λ2−1+λ−14λ2=−54λ2+λ=−54(λ−25)2+15， 当λ=25时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值，为15． (3)设∠BAF =θ，则∠DAE =45°−θ，∴AE =AD cos∠DAE =1cos(45∘−θ)，AF =AB cos∠BAF =2cosθ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⋅AF ⋅cos∠EAF =1cos(45∘−θ)⋅2cosθ⋅cos45°=√2cos(45°−θ)cosθ=√2√22(cosθ+sinθ)cosθ=2cos 2θ+sinθcosθ =21+cos2θ2+12sin2θ=√2sin(2θ+45°)+1≥√2+1=4(√2−1)，当2θ+45°=90°，即θ=22.5°时，等号成立，故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4(√2−1)．【解析】(1)以A 为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标运算，即可得解；(2)设EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，用含λ的式子表示点N 的坐标，推出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54λ2+λ，再由配方法，得解；(3)设∠BAF =θ，则∠DAE =45°−θ，利用三角函数表示出AE 和AF 的长，再结合平面向量的数量积、三角恒等变换公式，正弦函数的图象与性质，得解．本题主要考查平面向量在几何中的应用，还涉及三角函数，遇到规则图形，一般采用建立坐标系，转化为平面向量的坐标运算可简化试题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。