2019届高考数学大二轮复习精品(文理通用)练习：第1部分专题3三角函数及解三角形第1讲含解析

(一)三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3， 因为y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3，所以3≤t <1＋32， 即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，1＋32. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－1010，b ＝2，c ＝ 5. (1)求a ；(2)求cos(B －A )的值．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝2＋5－2×2×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝9， ∴a ＝3(舍负)．(2)在△ABC 中，由cos A ＝－1010，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－10102＝31010. 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ， 即331010＝2sin B，∴sin B ＝55， 又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴cos(B －A )＝cos B cos A ＋sin B sin A＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＋55×31010＝210. 3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B－cos 2C ＝sin 2A －3sin A ·sinB .(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长． 解 (1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sin B ， 得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B .由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2－3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3ab . 又由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32. 因为0<C <π，所以C ＝π6. (2)因为A ＝C ＝π6， 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3. 故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4(舍负)． 在△MBC 中，由余弦定理，得CM 2＝MB 2＋BC 2－2MB ·BC cos B＝4＋16＋2×2×4×12＝28， 解得CM ＝27.4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，函数f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋c a 的取值范围．解 (1)由条件可知，a ·b ＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . (2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A，由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 又f (A )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又A ∈(0，π)，得A ＝π3， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝2π3－B ，代入上式化简得， b ＋c a ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin A＝32sin B ＋32cos B sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6sin A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 又在锐角△ABC 中，有0<B <π2， 0<C ＝2π3－B <π2， ∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， 则有32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1， 即3<b ＋c a≤2. 5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab －12 ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab ＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.。

专题对点练123.1~3.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.已知cos x=,则cos 2x=()A.-B.C.-D.2.角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ=()A.2B.-4C.-D.-3.函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A. B. C.π D.2π4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.215.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b sin 2A=3a sin B,且c=2b,则等于()A.B.C.D.6.(2018天津,文6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减7.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=8.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C29.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是()A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z)B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z)C.[6k,6k+3](k∈Z)D.[6k-3,6k](k∈Z)二、填空题(共3小题,满分15分)10.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tan C=8S,则=.12.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重复,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.14.已知函数f(x)= cos22x+sin 2x cos 2x+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最值.15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求b的值;(2)若cos B+sin B=2,求a+c的取值范围.专题对点练12答案1.D解析cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.2.D解析∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tan θ=2.∴tan 2θ==-,故选D.3.C解析因为y=sin 2x+cos 2x=2=2sin,所以其最小正周期T==π.4.B解析∵ab≤=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=ab·sin C≤×36×=9,故选B.5.C解析由2b sin 2A=3a sin B,利用正弦定理可得4sin B sin A cos A=3sin A sin B,由于sin A≠0,sin B≠0,可得cos A=,又c=2b,可得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+4b2-2b·2b·=2b2,则.故选C.6.A解析将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin 2x,该函数在(k∈Z)上单调递增,在(k∈Z)上单调递减,结合选项可知选A.7.A解析由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.8.D解析曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.9.D解析由函数与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,知函数的周期为T==2,得ω=,再由五点法作图可得+φ=,求得φ=-,∴函数f(x)=A sin.令2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为[6k-3,6k](k∈Z).10.解析由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sinβ=sin(2kπ+π-α)=sin α=.11.2解析∵(a2+b2)tan C=8S,∴a2+b2=4ab cos C=4ab·,化简得a2+b2=2c2, 则=2.故答案为2.12.解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.13.解(1)由角α的终边过点P,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.14.解函数f(x)= cos22x+sin 2x·cos 2x+1=sin 4x+1=sin.(1)f(x)的最小正周期T=.(2)当x∈时,4x+,则sin.当4x+时,函数f(x)取得最小值为1,此时x=;当4x+时,函数f(x)取得最大值为,此时x=.∴当x∈时,函数f(x)的最大值为,最小值为1.15.解(1)△ABC中,,∴,∴,解得b=.(2)∵cos B+sin B=2,∴cos B=2-sin B,∴sin2B+cos2B=sin2B+(2-sin B)2=4sin2B-4sin B+4=1,∴4sin2B-4sin B+3=0,解得sin B=.从而求得cos B=,∴B=.由正弦定理得=1,∴a=sin A,c=sin C.由A+B+C=π,得A+C=,∴C=-A,且0<A<.∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin=sin A+sin cos A-cos sin A=sin A+cos A=sin, ∵0<A<,∴<A+,∴<sin≤1,∴sin,∴a+c的取值范围是.。

三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。

（1）求 tan C 的值；
（2）若 a 2 ，求 ABC 的面积.
解：（1）因为 0 A , cos A 2 ，得 sin A
1 cos2 A
5
.
3
3
又 5 cos C sin B sin(A C) sin AcosC cos Asin C 5 cos C 2 sin C ,
3 10
得
b＝cssiinnCB＝131×3
10 10
＝15
50
所以△ ABC 的面积 S＝12bcsinA＝12×15×13×45＝78.
例 4．已知 α，β 为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－ 55. (1) 求 cos 2α 的值； (2) 求 tan(α－β)的值．
解： (1) 因为 tanα＝csoinsαα＝43，所以 sinα＝43cosα.
62
3
（1）若
x1

1 3
，求
x2
；
（2）分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C，D，
记△ AOC 的面积为 S1，△ BOD 的面积为 S2，若 S1 2S2 ，
求角 的值.
解：（1）由三角函数定义，
x1

cos
，
x2

cos(

) 3
，
因为 ( , ) ， cos 1 ，所以 sin
***5．定义在区间

0
，π 2

上的函数
y

5 cos
2x
的图象与
y

2

sin
x
的图象的交点横坐标为
x0
，

（共7套）2019年高考数学复习同步练习题大汇总第三章三角函数（分章节题库）第三章三角函数、解三角形[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情][重点关注]1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为15分或17分，一般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主．2．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．3．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．4．高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换，又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求．[导学心语]1．立足基础，着眼于提高：立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法：应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键：三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意交汇：三角函数与解三角形知识的交汇渗透，这也是高考命题的热点之一．第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①角度与弧度的换算： a ．1°＝π180 rad ；b.1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.②弧长公式：l ＝r |α|.③扇形面积公式：S ＝12lr ＝12r 2α. 3．任意角的三角函数1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(2017·西宁复习检测(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为()A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D.]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝( )A.32 B.±32 C.22D.±22B [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y ＝±32.]4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B.9π C.910πD.109πD [单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝109π，由弧度数的定义得109π＝l r ，所以l ＝109π.]5．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.1．2 [由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad.](1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A ．第一象限角 B.第二象限角 C ．第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图3-1-1所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．图3-1-1(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角． 综上，α2是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．][规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进行讨论．[变式训练1] (1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B.M ⊆N C ．N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.【导学号：01772101】(1)B (2)－675°或－315° [(1)法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)由终边相同的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.5分(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.7分又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.9分当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.12分[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量．[变式训练2] 已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形，因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.5分(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.9分 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝253， ∴S 弓形＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.12分A ．sin α＞0 B.cos α＞0 C ．sin 2α＞0D.cos 2α＞0(2)(2016·河南中原名校第三次联考)已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12 D.12(1)C (2)D [(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.(2)抛物线方程y ＝－14x 2可化为x 2＝－4y ， ∴抛物线的准线方程为y ＝1. ∵点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，∴A (－3，1)，由三角函数的定义得sin α＝y r ＝1(－3)2＋12＝12.] [规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况．(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断． [变式训练3] (1)(2016·山东聊城期中)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝( )A.247B.－247C.127D.－127(2)函数y ＝2cos x －1的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [(1)由三角函数的定义可得cos α＝x x 2＋42. ∵cos α＝15x ，∴x x 2＋42＝15x ，又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.故选A.(2)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．][思想与方法]1．在利用三角函数定义时，点P (x ，y )可取终边上任意一点，若点P 在单位圆上，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ；若|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝y x .2．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法． [易错与防范]1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( ) A ．－513 B.－1213 C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·陕西质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B.－35 C.15D.35 B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．(2016·四川高考)sin 750°＝________. 12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：01772107】－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.](1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34 D.34(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C.1D.1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A.][规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] (2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.－105 [∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0， ∴sin θ＋cos θ＝－105.](1)已知A ＝sin α＋cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2} B.{－1,1}C ．{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________. (1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________.【导学号：01772108】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎛⎪⎫5π＋α－sin 2 ⎛⎪⎫α－π＝－3－2＝－2＋3.](1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. (2)(2017·郑州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15. sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·安徽皖南八校联考)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.24 [∵sin α＝13，α是第二象限角， ∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等． (4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．第三节 三角函数的图象与性质[考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin |x |是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(2017·云南二次统一检测)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( )A ．原点对称B.y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称 D.直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2 {x |x ＝6k π，k ∈Z } [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z )，x ＝6k π(k ∈Z )，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }．](1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪2－x 的最大值为( )A ．4 B.5 C.6D.7(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B. (2)由⎩⎨⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2，∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.] [规律方法] 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．[变式训练1] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2 B.3 C.3＋2D.2－ 3(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值.【导学号：01772113】(1)B [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，∴b －a ＝3.](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，3分∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22，7分 ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.12分(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(0,2](2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [(1)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．] [规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2] (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【导学号：01772114】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )， 得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.](1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B.①③④ C ．①②③D.①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，由|φ|＜π2， 得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.]☞角度3 三角函数对称性的应用(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－3 B.－33 C.2D.22(1)A (2)B [(1)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴， 可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3， 解得a ＝－33.][规律方法] 1.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)借助函数的图象．[思想与方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．3．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．[易错与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象 先平移后伸缩 先伸缩后平移 ⇓ ⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________． π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.](2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5 B.6 C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)公式C2α的变形：①sin2α＝12(1－cos 2α)；②cos2α＝12(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；。

难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a . 当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5.设h (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点． 于是，结合图形知，当0<a <1或a >9时， 直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )均有4个交点． 所以a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) [技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf ′(x )－f (x )<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F (x )＝f (x )x .因为f (x )是奇函数，故F (x )是偶函数，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，易知当x >0时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (－1)＝0，则f (1)＝0，于是F (－1)＝F (1)＝0，f (x )＝xF (x )，解不等式f (x )>0，即找到x 与F (x )的符号相同的区间，易知当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f (x )是多项式函数，因为f (x )是奇函数，所以它只含x 的奇次项．又f (1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )能被x 2－1整除．因此可取f (x )＝x －x 3，检验知f (x )满足题设条件．解不等式f (x )>0，得x ∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . 2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (2)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)； (3)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )；(7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x .[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选B 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋2 019e x <0⇔f (x )e x <－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π4ω ＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1， 可知ω为正奇数(ω>0)．由⎩⎨⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝⎛⎭⎫5π36－π18得⎩⎨⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12.又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝⎛⎭⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝⎛⎭⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6，即2πω≥π6⇒0<ω≤12.①又由题意可得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z )，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z )．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12.(1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去； 当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)； ③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2. 法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －a 42＋a28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，知t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]．答案：(－∞，2][例2] 已知a a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.[答案] 3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin B cos B ，由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝⎛⎭⎫1－19λAB ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝⎛⎭⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32. 因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32， AE ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→ 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sin π3＝32，故选A.法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA ＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝AB sin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝⎛⎭⎫AD 22＝⎝⎛⎭⎫2562＋⎝⎛⎭⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π. 答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P -BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P -BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P -BCD ＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF . DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P -BCD ＝16DC ·AD BD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得ADDB ＝2sin(150°－α)，DC ＝2sin (α－30°)sin α，则V P -BCD ＝23×sin (150°－α)sin (α－30°)sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝⎛⎭⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P -BCD≤23⎝⎛⎭⎫1－14＝12. 法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝⎛⎭⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝⎛⎭⎫2322＝32，所以四面体P -BCD 的体积V P -BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈ (－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD 的距离AF ＝3＋t 1＋t2，又DC ＝3－t ，于是V P -BCD＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t 21＋t 2＝1641＋t 2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P -BCD ≤f (0)＝12，此时D 在原点． [答案]12[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P -BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S -ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法三：利用直角三角形的三角函数设点M (－c ，y 0)，则(－c )2a 2－y 20b 2＝1，由此解得y 20＝|MF 1|2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－a 2a 2＝(c 2－a 2)2a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24，从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c 2(c 2－a 2)2a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝⎛⎭⎫c a 4－5⎝⎛⎭⎫c a 2＋2＝0，即⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫c a 2－1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a 2－2＝0， ∵ca >1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，324 C ．(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫324，＋∞ 解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P ⎝⎛⎭⎫m ，b a m ，则有AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b 2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：x 3＋y m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy . 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －xy1－a 2－x 2y 2＝2a yx 2＋y 2－a 2y 2＝2ay x 2＋y 2－a 2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a 2＝2ab 2－c 2y .又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1. 同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a 2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a 2(a 2－x 2)x 2－a2＝－b 2a 2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3. 根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝⎛⎭⎫1－m3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝⎛⎭⎫33m －3t ＋m 3＝0的两个根，则Δ＝⎝⎛⎭⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22，即12＝1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22).由k 1·k 2＝－m 3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ， 所以1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22)≤1－m 31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝⎛⎭⎫m 3＋12，所以12⎝⎛⎭⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m <0. 同理，12＝1－3m1＋9m2＋(k 21＋k 22)≤1－3m1＋9m 2＋6m ， 即12⎝⎛⎭⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9. 综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253， 即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2×(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋ 12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(|OA ―→|·|OB ―→|cos θ)2 ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(OA ―→·OB ―→)2＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12(x 1y 2－x 2y 1)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|.法二：双根法设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x得y 2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号， 因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. [答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.①所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n4＋m 2. 由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝(4＋m 2)216＋m 2.②设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝48(4＋m 2)(m 2＋16)2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)，则S 2＝48×t t 2＋24t ＋144＝48t ＋144t ＋24≤482t ·144t ＋24＝1，当且仅当t ＝144t ，即t ＝12时，等号成立， 此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15 B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2 α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23， 即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.。

三角函数问题重在“变”——变角、变式[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥][典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [快审题][稳解题] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以tan B ＝ 3. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37 .因为a ＜c ，所以cos A ＝27.所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. [题后悟道]1．利用正、余弦定理求解问题的策略2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．[针对训练]已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝a ＋c sin B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝5，a ＝32，求△ABC 的面积S .解：(1)由正弦定理可得，sin B cos C ＝sin A ＋sin C sin B ， 即sin B cos C ＝sin(B ＋C )＋sin C sin B ， 所以cos B sin C ＋sin C sin B ＝0.因为sin C ≠0，所以cos B ＋sin B ＝0，即tan B ＝－1， 又B ∈(0，π)，所以B ＝3π4.(2)法一：由余弦定理，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即52＝(32)2＋c 2－2×32c cos 3π4，整理得c 2＋6c －7＝0，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)． 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×32×1×sin 3π4＝32.法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得32sin A ＝5sin3π4，解得sin A ＝35.因为B ＝3π4，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 由三角形的内角和定理可得C ＝π－A －B ，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋45×22＝210，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32×5×210＝32.[总结升华]高考试题中的三角函数解答题相对比较传统，难度较低，大家在复习时，应“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质， 仔细审题，快速运算．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知sin α＝25，则cos(π＋2α)＝( )A.725 B ．－725C.1725D ．－1725解析：选D ∵sin α＝25，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－825＝1725，∴cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－1725，故选D.2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.故选C.3．若0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝( )A ．－725B.725C ．－2425D ．±2425解析：选C cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，因为α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos(α＋β)<0，则cos(α＋β)＝－45，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，所以sin α＝45，cos β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.4．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝55，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝31010，则β－α＝( )A.π6 B.π4C.π3D.π12解析：选B 由sin α＝55，及α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝255，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β＝31010，及β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos β＝1010， 所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝31010×255－1010×55＝22.又因为β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以β－α＝π4.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形．6．(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C ，则在△ABC 中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β，∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β，∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，故选C.二、填空题7．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－128．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C 等于________．解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以b 2＋c 2－2bc cos A ＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ， 即3sin A －cos A ＝b 2＋c 2bc ，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝b 2＋c 2bc ≥2， 因此b ＝c ，A －π6＝π2⇒A ＝2π3，所以C ＝π－2π32＝π6.答案：π69．(2018·长春质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2sin A ，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，AD ＝233，a ＝3，则b ＝________. 解析：由面积公式S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可得c ＝2b ，即c b ＝2.由a ＝3，并结合角平分线定理可得，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝4b 2＋3－b22×2b ×3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432×2b ×233，即4b 2＋3－b 22×2b ×3＝4b 2＋43－432×2b ×233， 化简得b 2＝1，解得b ＝1. 答案：1 三、解答题10．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.11．(2018·昆明调研)在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝6，∠ACB ＝150°. (1)求AB 的长；(2)延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°，求△ACD 的面积． 解：(1)由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ， 得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84， 所以AB ＝221.(2)因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝150°－45°＝105°，由正弦定理CD sin ∠CAD ＝AC sin ∠ADC ，得CD ＝23sin 105°sin 45°，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝2＋64， 所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－∠ACB ＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝32(3＋1)．12．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，且A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314×143＝13，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2－2bc －a 22bc ＝12，所以bc ＝40.B 组——大题专攻补短练1．(2018·天津五区县联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin2A ＋B2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2. 由8sin2A ＋B2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C2－2cos 2C ＝7， 所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7， 即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3.② 联立①②，解得a ＝1，b ＝2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足a 2＋c 2－b 2＋2bc cos A －4c ＝0，且c cos A ＝b (1－cos C )．(1)求c 的值及判断△ABC 的形状； (2)若C ＝π6，求△ABC 的面积．解：(1)由a 2＋c 2－b 2＋2bc cos A －4c ＝0及正弦定理得a 2＋c 2－b 2＋2bc ·b 2＋c 2－a 22bc－4c ＝0，整理，得c ＝2.由c cos A ＝b (1－cos C )及正弦定理，得 sin C cos A ＝sin B (1－cos C )， 即sin B ＝sin C cos A ＋sin B cos C ＝ sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin B cos C ＝sin A cos C ， 故cos C ＝0或sin A ＝sin B .当cos C ＝0时，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形；当sin A ＝sin B 时，A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知c ＝2，A ＝B ，则a ＝b ， 因为C ＝π6，所以由余弦定理，得4＝a 2＋a 2－2a 2cos π6，解得a 2＝8＋43，所以△ABC 的面积S ＝12a 2sin π6＝2＋ 3.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S ＝32ac cos B .(1)若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小；(2)若a ＝2，且π4≤A ≤π3，求边c 的取值范围．解：由已知及三角形面积公式得S ＝12ac sin B ＝32ac cos B ， 化简得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(1)法一：由c ＝2a 及正弦定理得，sin C ＝2sin A ， 又∵A ＋C ＝2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，化简可得tan A ＝33，而0<A <2π3， ∴A ＝π6，C ＝π2. 法二：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，∴b ＝3a ，∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，∴A ＝π6，C ＝π2. (2)由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 即c ＝a sin C sin A ＝2sin C sin A， 由C ＝2π3－A ，得 c ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A sin A＝3cos A ＋sin A sin A ＝3tan A＋1. 又由π4≤A ≤π3，知1≤tan A ≤3， ∴2≤c ≤3＋1，故边c 的取值范围为[2，3＋1]．4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c 的值；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)因为sin A ＋3cos A ＝0，所以sin A ＝－3cos A ，所以tan A ＝－ 3.因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入a ＝27，b ＝2得c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4或c ＝－6(舍去)，所以c ＝4.(2)由(1)知c ＝4.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以16＝28＋4－2×27×2×cos C ， 所以cos C ＝277，所以sin C ＝217，所以tan C ＝32.在Rt △CAD 中，tan C ＝ADAC ，所以32＝AD 2，即AD ＝ 3.即S △ADC ＝12×2×3＝3，由(1)知S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×32＝23， 所以S △ABD ＝S △ABC －S △ADC ＝23－3＝ 3.。

，
x x3
x x3
x2 x4
x4
可知 g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且 g(－1)＝
－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线 y＝a，结合图象，可知 a<－2.
[答案] B
[系统归纳]
“三招”破解含参零点问题
若无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，此时
a
当 a>0 时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；
( )2
x∈
0， a
，f′(x)<0；x∈(，＋∞)，f′(x)>0.
所以函数 f(x)在(－∞，0)和(，＋∞)上单调递增，
( )2
在 0， 上单调递减，且 f(0)＝1>0， a
故 f(x)有小于零的零点，不符合题意．
( )2
当 a<0 时，x∈ －∞， ，f′(x)<0； a
当 a＝0 时，函数 g(x)的图象与 h(x)的图象存在两个的交点；
当 a>0 时，如图(1)所示，不合题意；
当 a<0 时，由图(2)知，可先求出函数 g(x)＝ax3 与 h(x)＝3x2－1 的图象有公切线时 a
的值．由 g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得 a＝－2.由图象可知当 a<－2 时，满足题意．
交点个数
通过将原函数中的参变量进行分离后变形成 g(x)＝l(a)，则原函
参变分离
数的零点问题化归为与 x 轴平行的直线 y＝l(a)和函数 g(x)的图象
的交点问题
[应用体验] 2．已知函数 f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4 个互异的实数根，

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高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
1.(2018西南名校联盟适应性考试)在△ABC中,若原点到直线xsin
A+ysin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
答案 A
|sin������|
解析 由已知可得 sin2������ + sin2������ =1,
解析 (方法1)设BC边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,
所以 AC= ������������2 + ������������2 = 5AD,AB= 2AD. 由余弦定理,得 cos A=������������22+���������������������·������2���-������������������2 =2���2������×���2+2���5������������������×���2-59������������������������2=- 1100,故选 C.
∴sin2C=sin2A+sin2B,
∴c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选A.
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高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
2.(2018 广东茂名联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
若 2bcos C+c=2a,且 b= 13,c=3,则 a=( )
A.1
高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
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3.(2018 湖南益阳 4 月调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为

【解析】函数 f(x) sin(x )( 0) 在 ( , ) 上有最大
12 3 4 值,但没有最小值,所以 g g 3 12 4 2 3 4 2 3 ( ， 3). 4 答案: ( 3 ， 3) 4
【加练备选】 已知函数 f(x) sin 2 x sin 2 (x )，x R， 则 f(x)在区间
2 . ③利用图象. y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 ， | | | |
【考向精练】 1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上 是减函数,则a的最大值是 ( )
3 A. B. C. D. 4 2 4
【典例2】(1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f (x) cos (x )，
3
则下列结论错误的是
(
)
A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线 x 8 对称 C.f(x+π)的一个零点为 x D.f(x)在 ( , ) 上单调递减
2
3
6
(2)(2018·唐山二模)若x∈[0,π],则函数f(x)=cos x -sin x的增区间为 ( )
2 3
性质 (
)
A.最大值为 3, 图象关于 ( ， 0) 对称 6 B.最大值为1,图象关于 ( ， 0) 对称 6 x ＝ C.最大值为 3, 图象关于直线 对称 6 D.最大值为1,图象关于直线 x＝ 对称 6
【解析】选D. y cos(x ) sin(x )
第1课时
三角函数的概念、图象与性质
热点考向一
三角函数的值域、最值
考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题,主要考 查三角函数的值域、单调性、换元法、引入辅助角求 三角函数的最值等知识.考查数学运算能力和数据处理

简、求值 2．应用诱导公式或同角公式进行三角恒等变换 1.利用和、差角公式、二倍角公式化简、求值或 求角 2．与三角函数图象与性质交汇考查 1.在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算 2．结合正、余弦定理进行面积计算 3．利用正、余弦定理解决距离、高度、角度等实 际问题
解三角形
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： • (1)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本 关系式和诱导公式． • (2)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式． • (3)掌握正弦定理及余弦定，掌握求三解形面积的方法． • 预测2019年命题热点为： • (1)三角函数的概念与其他知识相结合； • (2)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数 的图象和性质．

1 A．5 2 5 C． 5
5 B． 5 D．1
2 2 5 cos α 1 2 2 [解析] 由 cos2α＝2cos α－1＝3可得 cos α＝6＝ 2 ＝ ， sin α＋cos2α tan2α＋1
5 5 a 5 b 5 5 2 5 化简可得 tanα＝± 5 ；当 tanα＝ 5 时，可得1＝ 5 ，2＝ 5 ，即 a＝ 5 ，b＝ 5 ， 5 5 5 此时|a－b|＝ 5 ；当 tanα＝－ 5 时，仍有此结果，故|a－b|＝ 5 .
sinx cosx sinxcosx 1 [解析] f(x)＝ 所以 f(x)的最小正周期 sin2x ＝cos2x＋sin2x＝sinxcosx＝2sin2x， 1＋cos2x 2π 为 T＝ 2 ＝π.
2．(2018· 全国卷Ⅲ，8)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC a2＋b2－c2 的面积为 ，则 C＝( C ) 4 π A． 2 π C． 4 π B． 3 π D． 6

2019年高考数学二轮复习 专题03 三角函数与平面向量（练）（含解析）理1.练高考1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】试题分析：sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.2. 【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是 .【解析】试题分析：)()221212112122e e e e e e e e λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=- ，12== ，1e +==2cos 60λ== ，解得：λ=3.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。

【答案】1 【解析】4. 【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为5. 【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A =，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为36. 【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-13(sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.2.练模拟1.【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( )C. D. 【答案】D【解析】由a =（1，2），可得|a a•（b +a ）=2，可得a •b +2a=2，∴·a b =﹣3，∴向量b 在a 方向上的投影为·a b a = 。

第1讲三角函数1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．1．常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )2(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋2π(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ()()00ϕϕϕ><−−−−−−−−−−−→向左或向右平移个单位y ＝sin(ωx ＋φ)A −−−−−−−−−−−→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． 4．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin tan cos ααα=． (2)诱导公式：对于“2k απ±，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆： 奇变偶不变，符号看象限．(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=．(4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． (5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan b aϕ=．热点一 三角函数的图象【例1】(1) (2018·清流一中)（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；（2）函数x y cos =图象经过怎样的变换可以得到 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)0,0,2A ωϕπ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)解 (1)列表【注：列表每行1分，该行必须全对才得分；图象五点对得1分，图象趋势错扣1分】（2）把x y cos =的图象向左平移变，横坐标变为原来的2变为原来的2(2)由(1)知()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据图象平移变换，得()5sin 226g x x θπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为y ＝sin x 的对称中心为()π,0k ，k ∈Z ． 令2x ＋2θ－6π＝k π，k ∈Z ，解得212k x θππ=+-，k ∈Z ． 由于函数y ＝g (x )的图象关于点,0125π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，令521212k θπππ+-=，k ∈Z ，解得23k θππ=-，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值6π． (2)解析 (1)由题意知A ＝2，54126T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，ω＝2，因为当512x π=时取得最大值2，所以522sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 所以522122k ϕππ⨯+=π+，k ∈Z ，解得π32k ϕ=-π，k ∈Z ， 因为|φ|<2π，得3ϕ=-π，因此函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．探究提高 1．“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】(1) (2018·孝感期末)已知函数()()1sin 20,022πf x A x A ϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()333xxm g x -⋅=，()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称．若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()()12g x f x ≥，则实数m 的取值范围为______．(2)(2017·贵阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0A >，0ω>，π2ϕ<)的部分图象如图所示．①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值． 解析(1)因为()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称， 所以()10sin 12f A ϕ=-=，sin 21π12ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，又0A >，0π2ϕ<<，所以π3ϕ=，A =所以()π1232f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，6π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2,33ππ3x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23πx ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()min 1f x =， 因为()33333x x x m g x m -⋅==-，[]1,2x ∈-，所以()min13g x m =-， 若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x ≥，则()()12min min g x f x ≥，所以113m -≥，解得23m ≤-，所以实数 的取值范围为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，答案为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．答案2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2)解 ①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ)．由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， 则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． ②根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12．热点二 三角函数的性质【例2】(2018·哈尔滨三中)已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点为(0,，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,2π2x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 解析式及0x 的值； （2）求()f x 的单调增区间；（3）若2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，求实数m 的取值范围．解（1）由题意知，2A =，π22T =，∴πT =，∴2π2Tω==；又∵图象过点(0,，∴2sin ϕ=sin ϕ=； 又∵π2ϕ<，∴3πϕ=-；∴()2sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；又∵()02,x 是()f x 在y 轴右侧的第1个最高点，∴0π2π23x -=，解得05π12x =． （2）由()2π22π23ππ2πk x k k -≤-≤+∈Z ，得()5πππ1212πk x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）∵在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，∴()0g x =有两个实数根，即函数图象有两个交点． ∴π1sin 234m x --⎛⎫-= ⎪⎝⎭在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个根，∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2π2,π33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴结合函数图象，函数()()21g x f x m =++有两个零点的范围是(5,1⎤--⎦．∴(5,1m ⎤∈--⎦．探究提高 1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间． 【训练2】(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝2． (2)f (x )的最小正周期为π．由正弦函数的性质，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ．热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2017·西安调研)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π． (1)求函数f (x )的单调递增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3． 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ． (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1．令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12．探究提高 1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|．应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|．【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数()f x 的性质，并在此基础上填写下表，作出()f x 在区间[]π,2π-上的图象．解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R 上恒成立，∴函数的定义域为R ； ∵()2222cos fx x ==+，∴由|cosx|∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[ ，2]； ∵()()πf x f x +，∴函数的最小正周期为π，∵当2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos 2xf x ，在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin 2xf x ==，在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()f x 在ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在π,π2πk k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上递减()k ∈Z ， ∵()()f x f x -=，且2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线π2k x =对称， 因此，可得如下表格：热点四 三角恒等变换及应用【例4】(1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3．答案C ．探究提高1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围， 求出角的大小．【训练4】 (1) (2018·泰安一中)平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=， 若5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为_________．(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．解析(1)∵点()00,P x y 在单位圆O 上，且xOP α∠=，∴cos ＝ 0，sin ＝ 0， 又5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4cos 5π6α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ 0＝cosα＝cos[（α）]＝cos （α）cossin （α）sin431655π2=-+⨯=． (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314．因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17．所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12．因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3．答案(1)－79；(2)π3．1．(2018·全国I 卷)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为42．(2018·全国II 卷)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．(2018·全国III 卷)函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．(2018·全国III 卷)函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为________．5．(2018·全国II 卷)已知，则 __________．1．(2018·余江一中)时有极大值，且()f x β-为奇函数，则α，β的一组 可能值依次为（） （A ）π6，π12-（B ）π6，π12（C ）π3，π6-（D ）π3，π62．(2018·湖师附中)若函数 ＝ ＋ ( ， )的图象的一条对称轴方程是， 函数 的图象的一个对称中心是， ，则 的最小正周期是（） A ．B ．C ．D ．3．(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是() 高频易错题经典常规题（45分钟）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．(2017·长沙一中调研)已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π45．(2018·潍坊期中)已知 ， 为第二象限的角，，，则 的值为（）A ．B ．C ．D ．1．(2018·长春外国语)定义行列式运算，已知函数，满足： ， ，且 的最小值为，则 的值为（） A ．B ．C ．D ．2．(2018·滨州期末)已知函数 ，的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把 上所有的点（）A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移 个单位长度D ．向左平移个单位长度3．(2017·池州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________．精准预测题4．(2018·烟台期中)已知函数 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数f （x ）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）的图象，当x ∈（ ，）时，求函数g （x ）的值域．5．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32． (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．参考答案1．【解题思路】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+， 之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项． 【答案】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B ． 2．【解题思路】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值， 【答案】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()π02ππ2π,4k x k k +≤+≤+∈Z ，得()3ππ2π2π,44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此 ， π，3π， π，3ππ，从而 的最大值为π4，故选A ．点睛：函数 ， 的性质： (1) + ， ． (2)周期．(3)由 ππ 求对称轴，经典常规题(4)由 ππ ππ 求增区间；由ππ3ππ 求减区间．3．【解题思路】将函数()2tan 1tan xf x x=+进行化简即可【答案】由已知得()22sin tan 1cos sin cos sin 21tan 2sin 1cos xx x f x x x x x x x ====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故选C ． 4．【解题思路】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【答案】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知 ， ，或 ，解得，，或，故有3个零点．5．【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得． 【答案】，解方程得．1．【解题思路】由极值点的导数为0确定α，由奇函数确定β． 【答案】()()2cos 2f x x α'=+，因为当，k ∈Z ，当0k =k ∈Z ，当0k =D ． 2．【解题思路】根据题意得到，得 ，得出， 即可求解函数的最小正周期，得到答案．【答案】由题设，有，即，得 ，又，所以，从而，所以， ，即 ， ， 又由 ，所以 ，于是，故 的最小正周期是 ．故选B ．3．【解题思路】先把y ＝cos x 用诱导公式化为正弦形式，再根据平移伸缩原则确定答案．高频易错题【答案】易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确．故选D ． 4．【解题思路】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，可得x ＝π4是其对称轴，再根据特殊值确定a ，b 的关系． 【答案】 在f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 中，令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ， ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，因此直线的倾斜角为34π．故选D ．5．【解题思路】先利用同角三角函数的基本关系求得4πsin α⎛-⎫ ⎪⎝⎭和πcos 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式求得()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值．【答案】∵α，β为第二象限的角，cos （ ）= ，sin （β+ ）=， ∴sin （）==，cos （β+）=﹣=﹣，则()πππππ41235sin sin sin cos cos cos 444444513513παβαβαβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-++--=⋅-+-⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6365=-，故选B ．1．【解题思路】先求出函数 的解析式，然后由 的最小值为可以求出周期 ，进而求出 ． 【答案】由题意得， （）， ，因为 的最小值为，所以 ，则由得 ．2．【解题思路】由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 的解析式， 再利用 的图象变換规律，得出结论．【答案】由函数 (其中 ，的部分图象可得 ，，求得 ，再根据五点法作图可得，，， 故把的图象向右平移个长度单位，精准预测题可得的图象，故选A ．3．【解题思路】已知角度与所求角度互余．【答案】∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223．故填223． 4．【解题思路】（1）根据题意得到=，从而得到ω 1，f （x ）=sin （2x+）+，令2x+kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g （x ）=sin （4x ﹣）+，当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域．【答案】（1）∵函数sin2ωx+ =sin （2ωx+ ）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，∴ω 1，f （x ）=sin （2x+ ）+． 令2x+kπ+，求得x= +， 故函数f （x ）的对称轴方程为得ππ26k x =+，k ∈Z ． （2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后， 可得y=sin （2x ﹣ +）+=sin （2x ﹣）+的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）=sin （4x ﹣）+的图象．当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），∴sin （4x ﹣）∈（﹣1，1]，故函数()g x 的值域为13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦．5．【解题思路】利用二倍角公式，辅助角公式把f (x )化为()sin y A x ωϕ=+形式．【答案】解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1．(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为5=+122kx ππ，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π，1112π．又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2．结合图象可知，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23．。

第一部分 专题八 第二讲A 组1．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解；当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53；当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.2．(2018·南宁二模)设实数x ，y 满足x ＋y 4＝1.(1)若|7－y |<2x ＋3，求x 的取值范围．(2)若x >0，y >0，求证：xy ≥xy .[解析] (1)根据题意，x ＋y 4＝1，则4x ＋y ＝4，即y ＝4－4x ，则由|7－y |<2x ＋3，可得|4x ＋3|<2x ＋3，即－(2x ＋3)<4x ＋3<2x ＋3，解得－1<x <0.(2)x >0，y >0，1＝x ＋y 4≥2x ·y4＝xy ，即xy ≤1， xy －xy ＝xy (1－xy )，又由0<xy ≤1， 则xy －xy ＝xy (1－xy )≥0， 即xy ≥xy .3．(2018·西安二模)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a )．(1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域．(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值．[解析] (1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>7；①当x >2时，得x ＋1＋x －2>7，解得x >4；②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x >7，无解；③当x <－1时，得－x －1－x ＋2>7，解得x <－3；所以函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．(2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8；因为x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3；又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8解集是R ；所以a ＋8≤3，即a ≤－5.所以a 的最大值为－5.4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若关于x 的不等式f (x )≥ax ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．[解析] (1)由于f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1<x ≤2，3x －3，x >2，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．。

一三角函数与解三角形(A)1.(2018·华南师大附中模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知C=2A,cos A=,·=.(1)求cos B的值;(2)求b的值.2.(2018·郑州二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.3.(2018·徐州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos A=,tan(B-A)=.(1)求tan B的值;(2)若c=13,求△ABC的面积.4.(2018·玉溪模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bsin A=c.(1)求角A的大小;(2)若a=,△ABC的面积为,求b+c的值.1.解:(1)因为C=2A,cos A=,所以cos C=cos 2A=2cos2A-1=2×2-1=.因为0<A<π,0<C<π,所以sin A==,sin C==. 所以cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=-(cos Acos C-sin Asin C)=.(2)因为·=,所以accos B=,所以ac=24,因为=,所以a= c.由解得所以b2=a2+c2-2accos B=42+62-2×24×=25.所以b=5.2.解:(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin(2A-)=sin(2B-),由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C,从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.所以△ABC的面积为S=acsin B=.3.解:(1)在△ABC中,由cos A=,得A为锐角,所以sin A=,所以tan A==,所以tan B=tan[(B-A)+A]===3.(2)在三角形ABC中,由tan B=3,得sin B=,cos B=,由sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理=,得b===15,所以△ABC的面积S=bcsin A=×15×13×=78.4.解:(1)在△ABC中,acos B+bsin A=c,由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Bsin A=cos Asin B,又sin B≠0,所以sin A=cos A,又A∈(0,π),所以tan A=1,A=.(2)由S△ABC=bcsin A=bc=,解得bc=2-,又a2=b2+c2-2bccos A,所以2=b2+c2-bc=(b+c)2-(2+)bc,所以(b+c)2=2+(2+)bc=2+(2+)(2-)=4,所以b+c=2.。

题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.2.(2018北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan x sin cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos 2a sin ωx -a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m =,n=(sin x,cos x),x ∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为,求x的值.2题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解 (1)由角α的终边过点P,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=2.解 (1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B,∴sin B=由正弦定理,得,∴sin A=∵B,∴A,∴A=(2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A=如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sin C=,∴h=BC·sin C=7,∴AC 边上的高为3.解 (1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=1(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解 (1)f(x)的定义域为f(x)=4tan x cos x cos=4sin x cos=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin, 所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z 的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解 (1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,2即sin∵x 0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解 (1)∵m =,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n =(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=1。