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的概率。
记 A {飞机被击落 } Ai {飞机被 i 门炮击中} , i 0,1, 2,3
Bi {第 i 门炮击中飞机 } , i 1, 2,3 样本则空A间1 的B分1B划2B3 B1B2B3 B1B2B3 , P( A1) 0.36
A2 B1B2B3 B1B2B3 B1B2B3 , P( A2 ) 0.41
§6 独立性
5/9
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,求
混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率.
记
Ai {第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2,,100
则所求概率为
100
100
P( i 1
Ai )
P
i 1
Ai
100
1 P( Ai) i 1
根据实际问题 判断事件独立性
I
II
为 p, 且四个部件是相互独立的. 求 整个系统的可靠性.
III IV
则
记
A Ai
{ {
整个系统正常工作}I、II 串联 第 i 个部件正常工I作II、} ,IVi 串1,联2,3,
4并联
A A1A2 A3A4
于是整个系统的可靠性为
相互独立
P(A) P(A1A2 A3A4) P(A1A2) P(A3A4) P(A1A2 A3A4)
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要第考一虑章 成概型率工论的艺基，本概合念
§6 独立性
9/9
1、2、3号高炮同时对飞机进行射击,三门炮击中飞机
的概率分别为0.4、0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5、0.7. 飞机被一门炮击中而被
击落的概率为0.2,被两门炮击中而被击落的概率为
0.6,若被三门炮击中,飞机必定被击落. 求飞机被击落
2021/3/11
P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) P(A1A2)P(A3A4)
p2 p2 p2 p2 p2 (2 p2 )
第一章 概率论的基本概念2
§6 独立性
3/9
A, B 独立与 A, B不相容有什么关系
A, B 独立 P(AB) P(A)P(B)
A, B 不相容 AB
A由3 事B件1B的2B不3 相容性及独立性,有P(A3) 0.14
由全概率公P(式A1)有 P(B1B2B3 ) P(B1B2B3 ) P(B1B2B3 )
3
P( A) P0(.4A| 0A.i5)P(0A.3i ) 0.60.50.3 0.60.50.7
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i0000..3260.36 0.60.4第1一1章0概.1率4论0的.4基5本8 概念9
应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。
即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。
甲最终获胜的概率为
P4(2)+P4(3)+P4(4)
C24
1 2
2
1 2
2
C34
1 2
3
1 2
1 2
4
11 16
赌注应按11：5的比例分配。
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第一章 概率论的基本概念13
§6 独立性
14/9
解法二： 一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。
p
40 50000
0.0008
第一章 概率论的基本概念10
§6 独立性
11/9
设随机试验的样本空间为有界区域 D,事件
A {试验结果落在区域 d 中}
发生的概率定义为
P( A)
d 的面积 D 的面积
称为几何概型
事件 A 发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性”
如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
§6 独立性
1/9
抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，则样本
空间是
S { HH, HT,TH,TT }
记事件 设AA, B{甲是出两现个正事面件}，, 若B {乙出现正面}
P(AB) P(A)P(B)
则称事件A,AB,之B相间互是独没立有,任简何称关A系, B的独,立它们具有“独立性”
A, B “独立”
故当 P(A) 0 或 P(B) 0 时
A, B 独立 A, B 不相容
不能同时成立
若 A, B独立，问 A, B 是否独立
若 P(AB) P(A)P(B), 则
P(AB) P(A)(1 P(B)) P(A) P(A)P(B)
P(A)P(B) P(A) P(AB)
P(A AB) P(AB)
甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为
P(B3 )
1 2
2
1 4
甲方在第四局结束赌博获胜的概率为
P(B4
)
C12
1 2
1 2
1 2
1 4
甲方在第五局结束赌博获胜的概率为
P(B5
)
C13
1
1
2
1
2 2
2
3 16
故甲方最终获胜的概率为
11
P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5)
条件概率与事件独立性通常是根据实际意义来确定的
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第一章 概率论的基本概念6
§6 独立性
7/9
设一支步枪击中目标的概率为 p 0.0试01求, n 支枪齐射能击中目标的概率.
记 Ai {第 i 支枪击中目标 }, (i 1, 2,, n) 易知 A1, A2,, An 相互独立 ,所求概率为
y x 20 y x 20
p
602 402 602
5 9
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20
O
第一章
x
20
60
概率论的基本概念12
§6 独立性
13/9
(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？
解法一： 每局甲获胜的概率是1/2
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第一章 概率论的基本概念11
§6 独立性
12/9
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等
候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。
设 分x, 别y 表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
60
这是一个几何概型，所求概率是
故 2A02,1/B3/11独立,从而 A, B独立 , A, B独第立一章 概率论的基本概念3
§6 独立性
4/9
设 A, B,C 是三个事件，若
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C)
两两独立
P(CA) P(C)P(A)
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
则称事件 A, B,C 相互独立(独立)
习题：22、23、24、28、30、31、33 (至少做四题)
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第一章 概率论的基本概念15
若 n 个事件 A1, A2,, An (n 2) 满足
P( Ai1Ai2 Aik ) P(Ai1)P( Ai2 ) P( Aik )
两两独立 三三独立
(1 i1 ik n, k 2,, n)
则称事件 A1, A2,, An 相互独立(独立)
……
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第一章 概率论的基本概念4
n
pn P( Ai) i 1 n 1 P( Ai) i 1
1 (1 p)n 1 0.999n
n 1000 2000 3000 4000 5000 pn 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
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可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
1 0.996100
0.33
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第一章 概率论的基本概念5
§6 独立性
6/9
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(CA) P(C)P(A)
A, B,C 相互独立 否!
必然事件 S 与任何事件 是否独立 不可能事件 与任何事件 是否独立
事件{甲患感冒}与 {乙患感冒 }能否认为是独立的
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P(A | B) P(A), P(B | A) P(B) P(AB) P(A | B)P(B)
P(B | A)P(A) P(A)P(B)
第一章 概率论的基本概念1
§6 独立性
2/9
系统可靠性 P{系统正常工作}
某系统由四个部件 I, II,III,IV 构成(见图). 设每个部件的可靠性均
第一章 概率论的基本概念7
§6 独立性
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1.什么是传统机械按键设计
？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动
PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式
。传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
传统机械按键设计要点 ： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留
§6 独立性
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古典概型的特点： 有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？
某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆 架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能 够发现石油的概率是多少？
认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概率为
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16
赌注应按11：5的比例分配。
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