2018届江苏省南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题

南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2018届高三年级第四次模拟考试数学I参考公式：球的体积公式：34π3V r =，其中r 为球的半径； 样本数据12 n x x x ，，，的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知复数z ＝1＋2i （i 为虚数单位），则z 2的值为 ▲ ．2．某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x 环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 ▲ ．3．袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲ ．4．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．5．设集合A ＝[－1，0]，B ＝{y |y ＝(12)x 2－1，x ∈R }，则A ∪B ＝ ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点到一条渐近 线的距离为3，则此双曲线的准线方程为 ▲ ．7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为36，则这个球的体积为 ▲ ．8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，横坐标分别为1，7．记点P (2，f (2))，点Q (5，f (5))，则MP →·NQ →的值为 ▲ ．（第8题图）9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则∠C 的值为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝ln|x |－x －2，则关于a 的不等式f (2a －1)－f (a )＜0的解集为 ▲ ．11．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2，且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11的值是 ▲ ．12．已知关于x 的方程x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z xy ＋1z的最小值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的上半支(y ≥0)与圆(x －2)2＋y 2＝3相交于A ，B 两点，直线y ＝x 恰好经过线段AB 的中点，则p 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ．设f (x )＝m ·n ． (1) 求函数f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝1，a ＝23，c ＝2， 求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AA 1，点M ，N 分别为A 1B 和B 1C 1的中点． (1) 求证：MN ∥平面A 1ACC 1； (2) 求证：平面A 1BC ⊥平面MAC ．（第16题图）A MA 1CBB 1C 1N在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为32，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，且△AF 1F 2的周长是4＋23． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 当AB ＝32DE 时，求△ODE 的面积．18．（本小题满分16分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM 为东西走向，Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． (1) 求有轨观光直路AB 的长；(2) 已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型音乐喷泉组合，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r ＝2at (百米)（0≤t ≤9， 0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿(1)中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．AOBPQMN （第18题）已知f(x)＝ln x－ax3，g(x)＝a e x e．(1) 若直线y＝x与y＝g(x)的图象相切，求实数a的值；(2) 若存在x0∈[1，e]，使f(x0)＞(1－3a)x0＋1成立，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使f(x)＋g(x)≤0对任意x∈(0，2)恒成立?证明你的结论．20．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{a n}满足，a1＝1，a n＋1＝λa n2＋2a n＋μa n＋1，n∈N*．(1) 当λ＝2，μ＝0时，求证：数列{a n}是等比数列；(2) 若数列{a n}是等差数列，求λ＋μ的值；(3) 若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{b n}满足a1≤b n≤a n．求{b n}的通项公式．南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2018届高三年级第四次模拟考试数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A 21b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值1λ=-的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ α．求矩阵A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的方程为2214x y +=．以直角坐标系原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为椭圆C 上的动点，点Q 为直线l 上的动点，求线段PQ 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111111a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A ，B ，C ．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A ，B ，C 三辆车每天出车的概率依次为23，23，12，且A ，B ，C 三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车． (1) 求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；(2) 设X 表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E (X )．23．设集合{}()1235S n n =，， ，，≥，对S 的每一个4元子集，将其中的元素从小到大排列，并取出每个集合中的第2个数．记取出的所有数的和为()F n ． (1) 求()5F 的值； (2) 求证：F (n )C 5n ＋1为定值．。

南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==，且{3}A B ⋂=，则实数a 的值是__________． 【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =． 答案：3 2.已知复数12i1iz +=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是__________． 【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-． 答案：12-3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值． 【详解】解：模拟程序的运行过程，得：1S =，1i =，满足条件5i …，执行循环112S =+=，3i =， 满足条件5i …，执行循环235S =+=，5i =， 满足条件5i …，执行循环5510S =+=，7i =， 此时不满足条件5i …，退出循环，输出10S =． 故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________．【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=， 所以300.515⨯=．故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15． 答案：155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==． 答案：146.已知tan()34πθ+=，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2-由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=． ∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++． 答案：2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B =________．【答案】22n n+ 【解析】由39S =，15225S =，得11323921514152252a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，可得()221111,2,2,,222n n n n n S n n n a d S n n n B n n -++===+⨯=⇒=∴=⨯=，故答案为22n n+. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________． 【答案】16令224x ym-=，得2y x=±，故双曲线的渐近线方程为y x=．1()12-=-，解得16m=．答案：169.8，则其体积为________．【解析】设四棱锥斜高为,h'底面边长为,a因为正四棱锥的高为，正四棱锥的侧面积为8，所以22'2121122,=233334aha h V shah⎧=⎪⎪⇒===⨯=⎨+=⎩'⎪⎪'，故答案为310.设()f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a xf xx x+-<≤⎧=⎨-<≤⎩，其中a R∈．若()()55f f-=，则()2f a的值是________．【答案】1【解析】因为()f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),201,02x a xf xx x+-<≤⎧=⎨-<≤⎩，(5)(5)(1)(1)f f f f-=⇒-=，可得()101(2)21a a f a f-+=⇒=⇒==，故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x=+-+在[]1,1-上单调递减，则a的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【分析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线，所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v ．13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，(22,),(22,2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得512OM =-=，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则(22,1)N a +，且||2CD =．∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以1)N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>， 整理得2(1)1a +>， 解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞． 答案：()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛：解答本题时，要根据所给出的条件得到点M 的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M 在以CD 为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键． 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________．【答案】6 【解析】m n ==，则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++， 以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+，即1,2m n ==时同时成立． 所以所求的最小值为6． 答案：6二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长． 【答案】（1）3Aπ=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V 的面积为3，可得 4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=. ∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V 的面积为3，∴13sin 32bc A bc ==，∴4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别为,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点， 所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点， 所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=， 因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PDE ．17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低.【解析】 试题分析：（1）设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BFθ==，故12080sin EF θ=-，从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-，利用导数求解，可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,?O E O F ，则20ME =米，1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米， 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米， 故阴影部分面积为8004800200033π-平方米． （2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BF θ==，所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-， 修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-，所以()()1600012cos f θθ=-'， 令()0f θ'=，得3πθ=，当θ变化时，()(),f f θθ'的变化情况如下表：θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有极小值，也最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 18.已知椭圆C 的方程：22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ，求直线AM 的方程.【答案】（1）22:143x y C +=；（2）2y x =+或1142y x =+. 【解析】 试题分析：（1）由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==，由此可得椭圆方程．（2）由题意设AM 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标，由此可得MN ，AM ，然后由52AM MN=u u u u v u u u u v 建立关于k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程． 试题解析：（1）由题意得24,1a c c ==，24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意得，直线AM 的斜率存在，设AM 的方程为()2y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222143k x x ++=， ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=，2p x ≠-Q ，()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=， 22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-， 又4N x ，=2224643M N k MN x k k +∴=-==+，又M AAM x=-==，52AM MN=Q，=Q解得1k=或14k=．∴直线AM的方程为2y x=+或1142y x=+．19.已知函数()ln,(),f x x axg x ex a R=-=∈（e是自然对数的底数）（1）若直线y ex=为曲线()y f x=的一条切线，求实数a的值；（2）若函数()()y f x g x=-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a的取值范围；（3）设()()(),[1,]H x f x g x x e=⋅∈，若()H x在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a的取值范围.【答案】（1）1ee-；（2）(,][1,)e e-∞-⋃-+∞；（3）10ae<<或112ae<<.【解析】【详解】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a的范围．（3）由题意得()2lnlnxH x x ax ex ex ax=-⋅=-，令()[]ln,1,xt x a x ex=-∈，然后对实数a的取值进行分类讨论，并根据()t x的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x的单调性，进而得到函数()H x有极值时实数a的取值范围．试题解析：（1）设切点()00,P x y，则()0000000ln,,lny x ax y ex x a e x=-==+（*）又()1,f x ax='-()1,f x a ex∴=-='1xa e∴=+，代入（*）得0ln1,x=0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时，()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '<，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e<，所以结论成立，即()0k x '<， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时，()H x 在[]1,e 上有极值点．点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20.设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设312232222n n na a a a T =++++L ，证明：3n T <．【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）由题意得11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减可得212n n a a ++=，在此基础上可得数列{}n a 为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）由数列{}n a 为“()2P 数列”，可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，于是可得312232345123582222222222n n n n n a a a a a T =++++=++++++L L ，然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，故得21,02n n n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <，即结论成立． 试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”， 则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， 又1n =时，121a a =-， 所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即12n na a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=-，同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-， 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立． 所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=， 即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-， 即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”． （3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”， 所以22n n S a +=-， 所以132n n S a ++=-， 故有，132n n n a a a +++=-， 又1n =时，132a a =-， 故33a =，满足321a a a =+，所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．故312232345123582222222222n n n n n a a a a a T =++++=++++++L L ， 所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++， 两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-， 显然21,02nn n n a T T -+， 故131244n n T T <+， 即3n T <. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立．21.如图，D 为△ABC 的BC 边上的一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G ．求证：（1）∠BAC ＋∠EGF ＝1800； （2）∠EAG ＝∠EFG ．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）连结GD 交AB 于H,由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGH ＝∠B ，同理∠FGH ＝∠C ， 故∠BAC ＋∠EGF =∠BAC ＋∠B +∠C ＝1800；2）由（1）知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG . 试题解析：（1）连结GD 交AB 于H,由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGH ＝∠B ， 同理∠FGH ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF =∠BAC ＋∠B +∠C ＝1800； （2）由（1）知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG ．22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值=3λ所对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u v .（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线'C 的方程为2xy =，求曲线C 的方程． 【答案】（1）见解析； （2）2632x xy += 【解析】试题分析：（1）可以利用矩阵特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论. 试题解析：（1）依题意,得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即31333a b -=-⎧⎨-=⎩ 1333a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线2xy =上一点，则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'，即，2x y ''=Q ，()2)32x y x +=（整理得，曲线的方程为2632x xy +=23.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线2cos :3sin x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)相交于两点,A B ，求,A B 两点的距离． 【答案】AB ＝13． 【解析】试题分析：利用平方法消去曲线2:3x cos C y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的参数可得曲线C 的普通方程，利用代入法消去曲线22:3x t l y t=-+⎧⎨=⎩的参数可得到线l 的普通方程，两普通方程联立可得交点坐标，利用两点间距离公式可得结果.试题解析：曲线C 的普通方程为22143x y +=曲线l 的普通方程为332y x =-+， 两方程联立得2320x x -+= 122,1x x ==，()32,0,1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭AB ＝．24.D ．（不等式选讲）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥.【答案】见解析 【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-=21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y ≥-=- 试题解析：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，=21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y ≥-=-， 所以2212232x y x xy y+≥+-+． 考点：均值不等式25.如图，已知长方体1111ABCD A B C D - ，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30o ，AE 垂直BD 于点E ，F 为11A B 的中点.（1）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）线段11C D 上是否存在点P ,使得二面角F BD P --余弦值为35？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由. 【答案】（125；（2）存在点P ，为11C D 的中点. 【解析】试题分析：（1）先利用直线BD 与平面11AA B B 所成角为30o，求得1AE =, 以{}1,,AB AD AA u u u v u u u v u u u v为正交基底建立平面直角坐标系，求出直线AE 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面BDF 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u v u u u u v，则2322P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求出面BDP 的一个法向量，利用（1）中平面BDF 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：由11AD AA B B ⊥面, 得 BD 与面11AA B B 所成角为030DBA ∠=，2,3AB AD =∴=,由1AE BD AE ⊥⇒=,（1）以{}1,,AB AD AA u u u v u u u v u u u v为正交基底建立平面直角坐标系，则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12AE u u uv ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =v(),1,0,1,BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u uv()200x y n x z ⎧-=⎪⇒=⎨⎪-+=⎩v13cos ,AE n +∴==u u u v v 答：AE 与面BDF（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u v u u u u v，则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设面BDP 的一个法向量为()1,,n x y z =v，2,3BP u u u v λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()1202220x y n x y z λλ⎧-=⎪⎪⇒=-⎨⎪-+=⎪⎩u v13cos ,5n n ∴===u vv化简得211342813022λλλλ-+=⇒==或 1012λλ<<∴=Q答：存在点P ，为11C D 的中点.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角与二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.26.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值； （III ）求n p ．【答案】（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-． 【解析】 试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论． 试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=． （2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=； 当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=， 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+， 即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21nnn kpn k-⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．。

苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)B （第14题） A DC E （第16题）1A 1B NM1C CBA某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2（第17题）（第18题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A C D E F(第21－A 题) O .B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11AC 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C =，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x =所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分（第16题）1A 1B NM1C CB AP18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --， 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③②①q ，得21q =λ ，③②q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分 所以131********M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d == 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=-AC，1(,2=BE ， ………………………………………2分 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|4α-⨯=<>==AC BE ， 所以直线AC 和BE………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 因为1(2CB =，1(0,0,2)CC=， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C -- ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y 121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分 令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t'<得0t<<，f t'>得t>()0所以()f t在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t=时，()f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值s t=+=．……………………………………………………………10分此时21。

连云港市2017-2018学年度高三第一次质量检测数学I 参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1} 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2] 14．277二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（1）在ABC △中，由3cos 5A ，得A为锐角，所以4sin 5A ，所以sin 4tan cos 3A A A ，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A. ………………………………4分1433314133…………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B ，所以sin B B， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C,得13sin sin c B b C ，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A . …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC在直三棱柱111ABC A B C 中，11//BC B C ，11BC B C ， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N . …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分而MN 平面11ABB A ，1PB 平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1BB 面111A B C ， 又因为1BB 面11ABB A ，所以面11ABB A 面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC，所以1111B C B A ，面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C 平面， 所以11B C 面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B 面11ABB A ， 所以111B C A B ，即11NB A B ，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ，又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB 面1AB N ，所以1A B 面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN 面1AB N ，所以1A B AN .……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ，垂足为E ，在AOE 中，10cos AE ，220cos AB AE ， …………………………………………………………2分在ABD 中，sin 20cos sin BD AB ，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S2400sin cos ，(0)2……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S …………8分设3(),(01)f x x x x 则2()13f x x ，由2()130f x x得：x当x 时，()0f x，当x 时，()0f x 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin 时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB（第16题）1答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b ，由题意知：22121914c a a b ……………2分解之得：2a b ，所以椭圆方程为：22143x y ……………………………4分（2）若AF FC ，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B ，此时直线BF 方程为3430x y ， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y，得276130x x ，解得137x （1x 舍去），…………8分故1(1)713317BF FD ．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y ，直线AF 的方程为00(1)1y y x x ，代入椭圆方程22143x y，得 2220000(156)815240x x y x x ， 因为0x x 是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x ，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x 上，所以00003(1)152C c y y y x x x ， 同理，D 点坐标为0085(52x x ，0352y x ， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x， 即存在53m ，使得2153k k ． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)当1a 时，2()()()ln 2h x f x g x x x x ，所以1(21)(1)()21x x h x x x x………………………………………………2分 所以当102x 时，()0h x ，当12x 时，()0h x ，所以函数()h x 在区间1(0,2单调递减，在区间1(,)2单调递增，所以当12x 时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x……………………………………6分 所以12122ax x ，代入21211221(ln )x x x ax x a x 得：222221ln 20(*)424a a x a x x ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x ，则23231121()222a x ax F x x x x x 不妨设2000210(0)x ax x 则当00x x 时，()0F x ，当0x x 时，()0F x 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x 上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x 可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x设21()2ln 2G x x x x x ，则211()220G x x x x对0x 恒成立，所以()G x 在区间(0,) 上单调递增，又(1)=0G所以当01x ≤时()0G x ≤，即当001x ≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e2211()04a a e≥ ……………………………………14分 因此当001x ≤时，函数()F x 必有零点；即当001x ≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x 得：2120y x所以12(0,1)y x x在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x ，所以实数a 的取值范围是[1,) ．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 ，则当14n n S a (2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ， 即1122(2)n n n n a a a a ，所以12n n b b ， ……………………………………………………………2分 又由12a ，1214a a a ，得2136a a ，21220a a ，即0n b ，所以12n n bb ，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ），当2n 时，2212S a a ，即12212a a a a ，得12q q ， ① 当3n 时，3323S a a ，即123323a a a a a ，得 2213q q q q ， ② 当4n 时，4434S a a ，即1234434a a a a a a ，得 233214+q q q q q ， ③ ② ① q ，得21q ，③ ② q ，得31q ， 解得1,1 q ．代入①式，得0 ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na (2n ≥)，所以12n a a ，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ，． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a ，由12212a a a a ，得562 ， 又32，解得112，．…………………………………………………12分 由12a ，23a ，12 ，1 ，代入1n n n S na a 得34a ，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a ，得：1112n n n n S a a ，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a 即11(1)(2)20n n n n a n a a 所以21(1)20n n n na n a a相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n1321(2)(2)(1)2n a a a n n ， ……………………………………14分因为12320a a a ，所以2120n n n a a a ，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分。

南师大附中2018届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1．{0，1}2．－213．104．55．1076．47．3328．120522=-y x 9．－2ln210．充分不必要11．912．)23,6[]623 -(-，13．2314．(，)451二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15．(本小题满分14分)解：(1)因为1=⋅n m ，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即1cos sin 3=-A A ，………2分则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即216sin(=-πA ，………4分又π<<A 0，所以5666A πππ-<-<，故66ππ=-A ，所以3π=A ．………6分(2)由题知3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得cos 2cos sin sin 22=--B B B B ………8分易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ，所以2tan =B 或1tan -=B ，………10分而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去，所以2tan =B ，………12分故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=πtan tan 81tan tan 11A B A B ++=-=-．………14分16．(本小题满分14分)证明：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB //CD ．………2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以AB //平面PDC ，………4分又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ，所以AB //EF ．………7分(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．………8分因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB //EF ，所以AB ⊥AF ，………9分又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，………12分又AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．………14分17．(本小题满分14分)解：(1)在ABC ∆中，6=AB ，︒=∠60A ，︒=∠75APB 由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，即644BP -===-，故PB 的距离是92－36千米．………4分(2)甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()t f ，要保持通话则需要()9≤t f ．︒1当10≤≤t 时，()()()()︒-⋅⋅--+=60cos 31262312622t t t t t f 9=≤，………6分即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t ，又[]1,0∈t 所以17158≤≤-t ，………8分时长为7115-小时．︒2当41≤<t 时，()()()︒-⋅--+=60cos 31262312362t t t f 9=≤，………10分即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t 所以41≤<t ，………12分时长为3小时．3＋7115-＝207(小时)．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是207小时．………14分(注：不答扣1分)18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，b ＝3，又因为ca ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.………4分(2)因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12×F 1F 2×r 12×(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)×r ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＋F 1F 2＝c a ＋c ＝13.………8分(3)若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点(52，0)，………9分下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，k (x －1)，＋y 23＝1化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以△＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.………11分由题意，D (4，y 1)，E (4，y 2)，直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×(52－4)＝2(x 1－4)y 2＋3(y 2－y 1)2(x 1－4)＝2(x 1－4)k (x 2－1)＋3k (x 2－x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2kx 1x 2－5k (x 2＋x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2k ·4k 2－123＋4k 2－5k ·8k 23＋4k 22(x 1－4)＝8k ·(3＋4k 2)＋2k ·(4k 2－12)－5k ·8k 22(x 1－4)(3＋4k 2)＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝40k 3－40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝0，所以点T (52，0)在直线AE 上，同理可证，点T (52，0)在直线BD 上.………16分所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).19．(本小题满分16分)解：(1)'11()ax f x a x x-=-=，0x >，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；………2分当0a >时，1(0,x a∈'()0f x >，()f x 在1(0,a上单调递增；1(,),x a ∈+∞'()0f x <，()f x 在1(,),a +∞上单调递减，函数有极大值1(ln 1f a a a=--，无极小值．………4分(2)由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值1()ln 1f a a a=--，令()ln 1g x x x =--(x ＞0)，11'()1x g x x x -=-=，(0,1)x ∈，'()0g x <，()0g x <在(0，1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 在(1，＋∞)上单调递增，函数()g x 有最小值(1)0g =．要使若函数()f x 有两个零点时，必须满足01a a >≠且，………6分下面证明01a a >≠且时，函数有两个零点．因为(1)0f =，所以下面证明()f x 还有另一个零点．①当01a <<时，1()ln 10f a a a=-->，222112ln 12ln 1()2ln a a a a a a f a a a a a a-+--+=-+-==-，令2()2ln 1h a a a a =-+(01a <<)，'()2(ln 1)22(ln 1)0h a a a a a =+-=-+<，()h a 在(0,1)上单调递减，()(1)0h a h >=，则21()0f a <，所以()f x 在211(,a a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在211(,a a 上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．②当1a >时，1(ln 10f a a a=-->，111(0a a a f a a a a e e e=--⨯+=-⨯<，易证ae a >，可得11a e a <，所以()f x 在11(,a e a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在11(,a e a上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．综上，a 的范围是(0,1)(1,)+∞ ． (10)分(3)证明：121221()()ln ln ()f x f x x x a x x -=-+-，12122112121212()()ln ln ()ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又'11()ax f x a x x -=-=，'12122(2x x f a x x +=-+， (12)分'121212112121212212111222ln ln 2()21([ln ]22(1)1[ln ]1x x x x x x x f k x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=-=-+--+-=--+不妨设0＜x 2＜x 1，t ＝x 1x 2，则t ＞1，则1211222(1)2(1)ln ln 11x x x t t x x t x ---=-++．令2(1)()ln 1t h t t t -=-+1)(t >，则22(1)'()0(1)t h t t t-=-<+，因此h (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (1)＝0.又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′(x 1＋x 22)－k ＜0，即f ′(x 1＋x 22)＜k ．………16分20．(本小题满分16分)解：(1)设等差数列的公差为d (d ≠0)，等比数列在公比为q (q ≠1)，由题意得：222141112332411144()(3)4444a a a a d a a d b b b b q b q b q ⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，，解得d ＝1，q ＝2，………4分所以1,2n n n a n b -==.(2)由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有2m n i m j n k a a b a b a b =+，即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅，由于i j k <<，且为正整数，所以1,2j i k i -≥-≥，所以22224j ik i mn m n m n --=⋅+⋅≥+，………6分可得2mn m n ≥+，即211m n +≤，①当1≤m ≤2时，不等式211m n+≤不成立；②当42m n =⎧⎨=⎩或33m n =⎧⎨=⎩时1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立；………8分③当4n ≥时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ；所以n m +的最小值为6，当且仅当1=-i j ，2=-i k 且42m n =⎧⎨=⎩或33m n =⎧⎨=⎩时取得．………10分(3)由题意得：1221(1)22c p c =++123311(1)323c c p c +=+++123123111(1)()23111(1)23n nn nS p p p p c c c c n T n=++++=++++++++=++++ ………11分123n nT c c c c =++++ (1)1211112222n n T c c c =+++ (2)(1)—(2)得1111111224822n n n n T -=+++++- 1122((22n n n =--，………12分求得114(2)(42n n T n -=-+<，所以1114(1)23n S n <++++ ，设1()ln 1(1)f x x x x =+->，则22111()0x f x x x x-'=-=>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，有()(1)0f x f >=，可得1ln 1x x>-.………14分当2k ≥，且k ∈N*时，11kk >-，有11ln11k k k k k ->-=-，所以12131ln ,ln ,,ln 21321n n n <<<- ，可得1112311ln ln ln1ln 23121nn n n ++++<++++=+- ，所以1114(1)4(1ln )23n S n n<++++<+ .………16分南师大附中2018届高三年级校模考试数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以ACBC＝AMBM．又AC＝12AB，所以ABBC＝2AMBM①……………4分因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即ABBC＝BNBM②……………8分由①、②可知2AMBM＝BNBM，所以BN=2AM．……………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝|λ－1－2－2λ－x|＝(λ－1)(λ－x)－4． (3)分因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．……………6分由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．……………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆C：ρ＝22cosθ直角坐标方程为x2＋y2－22x＝0，即(x－2)2＋y2＝2．直线l：θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．……………6分圆心C到直线l的距离d＝|2－0|2＝1．……………8分所以AB＝2． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以(12a＋1＋42b＋1)[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋2b＋12a＋1＋4(2a＋1)2b＋1≥5＋22b＋12a＋1×4(2a＋1)2b＋1＝9． (8)分而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94． (10)分证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得(1 2a＋1＋42b＋1)[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(12a＋12a＋1＋42b＋12b＋1)2＝(1＋2)2＝9．……………8分由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94．……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)解：(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法，其中S＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝32)＝12C36＝35.……………3分(2)S的所有可能取值为34，32，334.S＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝34)＝6C36＝310.……………5分S＝334的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，11所以P (S ＝334)＝2C 36＝110.……………7分又由(1)知P (S ＝32)＝12C 36＝35，故S 的分布列为S 3432334P31035110所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320.……………10分23．(本小题满分10分)解：(1)若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}，则A ＝∅，{a 1}，{a 2}，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有12C 种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为12C ×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5.…………3分(2)集合M 有2n 子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1).…………5分若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C nn －1)＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ).…………7分又(x ＋1)n (x ＋1)n 的展开式中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2，且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，所以(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时，有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n .…………9分所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n 2n2.…………10分。

2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研数学测试试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，且，则实数的值是__________．【答案】【解析】∵，∴，∴．答案：32. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部是__________．【答案】【解析】∵，∴的实部是．答案：3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为__________．【答案】【解析】执行循环得结束循环，输出4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为__________．【答案】【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为，所以．故估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为．答案：5. 有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：6. 已知，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得，解得．∴．答案：点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7. 设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴，∴，∴．答案：8. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】令，得，故双曲线的渐近线方程为．由题意可得，解得．答案：9. 高为的正四棱锥的侧面积为，则其体积为__________．【答案】【解析】设正四棱锥的底面边长为，斜高，则．由题意得，整理得，解得或（舍去）．∴．∴．答案：10. 设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是__________．..........................................【答案】【解析】∵是周期为的函数，，∴，∴，∴．∴，∴．答案：111. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴．又函数在上单调递减，∴在上恒成立，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是．答案：12. 如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同．．的两点，则的值为_________．【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以,所以．由与共线，所以，故．答案：0点睛：（1）根据题中的，添加辅助线是解题的突破口，得到是解题的关键，然后根据向量的共线可得，再根据向量的数量积运算求解。

南京师大附中初数学调研测试卷（四校联考）Ⅰ必做题部分棱锥的体积公式V棱锥13Sh =，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ． 答案：3解析：{3}{1,3}3A B A a =⇒=⇒= 点评：考查集合的运算，属于容易题. 2.已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 答案：12-解析： 1322z i =-+ 点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 答案：42解析： 先判断，后执行，易得S=42 点评：考查算法、伪代码，属于容易题.（第3题图）4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为 ▲ ． 答案：15解析：频率之和为0.5，则天数为300.515⨯= 点评：考查频率分布直方图，属于容易题.5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ ． 答案：14解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为41164= 点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题. 6.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos 3cos θθθ2-的值为 ▲ ． 答案：-2解析：222221sin cos 3cos tan 3tan ,sin cos 3cos 22sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ--=-===-++ 点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于tan θ的齐次式，属于容易题. 7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B = ▲ ． 答案：22n n +解析： 代入基本量运算，可得2211,2,,,2n n n S n na d S n n B n +===⇒=∴=点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22:104x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为 ▲ ．答案：16解析： 渐近线方程为：y =1()1162m -=-⇒= 点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题. 9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为 ▲ ．解析：设四棱锥斜高为',h底面边长为''2'21212,2,3334ah a a h V sh a h ⎧=⎪⎪⇒====⎨⎪+=⎪⎩点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题. 10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是 ▲ ．答案：1解析：(5)(5)(1)(1)1(2)1f f f f a f -=⇒-=⇒=⇒= 点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减，则a 的取值范围是 ▲ ．答案：33a a ≤-≥或解析： 易得'22()320f x x ax a =+-≤在[-1，1]上恒成立，所以''(1)0(1)033f f a a -≤≤⇒≤-≥且或点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题. 12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()PQ AB DC -的值为 ▲ ． 答案：0解析：1122MN MN MN λλ==⇒⋅=⋅-（AB+DC），PQ PQ （AB+DC ）（AB DC ）=0 点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.13.已知圆O ：225x y +=，,A B 为圆O 上的两个动点，且2AB =，M 为弦AB的中点，),2)C a D a +．当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 答案：0a >或2a <-解析： 由2,OM =M 点的轨迹方程为圆221:4C x y +=，要使得始终有CMD ∠为锐角，则以CD 为直径的圆2C 与圆221:4C x y +=3>点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.14.已知1,2a b >>2的最小值为 ▲ ．MAPQDCNB答案：6解析：令221a x-=，224b y-=，有ab2==22252(2)()96()6x y xy x y x yx y x y x y+++++++≥=≥=+++点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c．已知cos cos2cosa Bb Ac C+=．（1）求角C的大小；（2）若2,c ABC=∆ABC∆的周长．解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及cos cos2cosa Bb Ac C+=，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C，………2分因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，………4分所以cos C＝12，所以C＝π3. ………7分（2）1sin2ab C=又C＝π3，所以4ab=，………9分由已知及余弦定理得222cos4a b ab C+-=故228a b+=，从而2()16a b+=………12分所以ABC的周长为6. ………14分点评：本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理，属于基础题．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，90ABC∠=，PA PC=,平面PAC⊥平面ABC，,D E分别为,AC BC中点．（1）求证：DE∥平面PAB；（2）求证：平面PBC⊥平面PDE．解析：证明：（1）因为D，E分别为AC，BC中点．所以DE∥AB，………2分又DE⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以DE∥平面P AB.（2）因为P A＝PC，D为AC中点，所以PD⊥AC，又平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面P AC，故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ． ………9分 因为∠ABC ＝90°，DE ∥AB ，因此DE ⊥BC ． ………11分 因为PD ⊥BC ，DE ⊥BC ，PD ∩DE ＝D ，PD ，DE ⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ． ………14分点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题． 17.（本小题满分14分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD ，120AB =米 ，80AD =米，以BC AD ,为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形A B C D 内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE 、FB 修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点，//EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF =米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为 多少平方米？（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低． 解析：（1）如图，20ME =米，12O M =米，梯形12O O FE 的面积为1(1208020200032+⨯= 矩形12AO O B 的面积为4800平方米． 16AO E π∠=，扇形1O A E 和扇形2O F B 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，所以阴影部分面积为80048003π-平方米． ………5分答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为80048003π-平方米．………6分（2）设1,(0,)2AO E πθθ∠=∈，则40AE BF θ==， 120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-，修建费用()20080400(12080sin )16000(32sin )f θθθθθ=⨯+⨯-=+-………9分MN'()16000(12cos )f θθ=-，令'()0f θ=，则πθ=，所以，当3θ=时，即13AO E ∠=，修建费用最低． ………13分答：当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． ………14分 点评：本题考查扇形中的常见运算，利用导数求函数最值，本题较为基础，难度适中． 18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程:22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点1,0F （），A 为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C 的方程； （2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=且|2|5||AM MN =,求直线AM 的方程．解析：（1）,1,42==c c a3,422==∴b a 13422=+∴y x C ：椭圆， ………4分 （2）设()2:+=x k y AM ()()()()()42241321324134222222222x x x x k x k x yx x k y +-=-=+⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=2-≠p x ()()42322x x k -=+∴，64332211234222k k x k -=-=+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=∴34123486222k k y k k x M M………8分而k k MN 1-=，又,4=N x N M x x kMN -+=∴2113462413462411222222+++=+++=∴k k k k k k k MN………10分又3412134121122222++=++=-+=k k k k x x k AM A M………12分 MN AM 25= 346241234121522222+++=++∴k k k k k k 411或=∴k ………14分 21412+=+=∴x y x y 或………16分点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、方程思想、弦长公式，本题较为基础，运算量适中．19.（本小题满分16分）已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈，（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()|()|()[1,]H x f x g x x e =∈，，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围．解析：（1）设切点),(00y x P ，则00000,ln ex y ax x y =-=，00ln ()x a e x =+（*） 又,1)('a x x f -=e a x xf =-=∴001)('，e a x +=∴10代入（*） ⇒1ln 0=x ，e x =∴0ee a -=∴1………3分 （2）设)1()(ln )()()(≥+-=-=x xe a x x g xf x h ，当)(x h 单调递增时 则())(10)(1'e a x e a x x h +≥⇒≥+-=，又]1,0(1∈x，e a e a -≤∴≤+∴,0当)(x h 单调递减时())(10)(1'e a x e a x x h +≤⇒≤+-=ea e a -≥∴≥+∴1,1综上()h x 单调时，(,][1,)a e e ∈-∞-⋃-+∞ ………6分（3）a xxex ex ax x x H -=⋅-=ln ln )(2， 令],1[,ln )(e x a x xx t ∈-=，2ln 1)('x xx t -=，当],1[e x ∈时，0)('≥x t ，]1,[)(a ea x t --∈∴，1）当0≥-a ，即0≤a 时，0)(≥x t ，],1[),ln ()(2e x ax x x e x H ∈-=∴0)21(ln )('>-+=ax x e x H ，)(x H ∴在],1[e 上无极值点。

南师附中、天一、海门、淮阴四校联考2020届期初高三数学调研测试试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==，且{3}A B ⋂=，则实数a 的值是__________． 【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =． 答案：32.已知复数12i1iz +=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是__________． 【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-． 答案：12-3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值． 【详解】解：模拟程序的运行过程，得：1S =，1i =，满足条件5i …，执行循环112S =+=，3i =， 满足条件5i …，执行循环235S =+=，5i =， 满足条件5i …，执行循环5510S =+=，7i =， 此时不满足条件5i …，退出循环，输出10S =． 故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________．【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=， 所以300.515⨯=．故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15． 答案：155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==． 答案：146.已知tan()34πθ+=，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2- 【解析】 由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=．∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++． 答案：2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知3159,225,n S S B ==为数列{}nS n的前n 项和，则n B =__________．【答案】22n n+ 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得3115133915105225S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，即113715a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．∴2(1)22n n n S n n -=+⨯=， ∴nS n n=， ∴2(1)1222n n n n nB n ++=+++==L ． 答案：22n n+8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________． 【答案】16 【解析】令2204x y m -=，得y x =，故双曲线的渐近线方程为y x =．1()12-=-， 解得16m =． 答案：169.8，则其体积为__________．【解析】设正四棱锥的底面边长为a ，斜高d ，则d =．由题意得14()2282ad ad ⨯===，整理得4212640a a +-=， 解得24a =或216a =-（舍去）． ∴2a =．∴21233V =⨯=．10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是________．【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩，(5)(5)(1)(1)f f f f -=⇒-=，可得()101(2)21a a f a f -+=⇒=⇒==，故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v ．13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，),2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得2OM ==，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则1)N a +，且||2CD =． ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以1)N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>， 整理得2(1)1a +>， 解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞． 答案：()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛：解答本题时，要根据所给出的条件得到点M 的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M 在以CD 为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键． 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________．【答案】6 【解析】m n ==，则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++， 以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+，即1,2m n ==时同时成立． 所以所求的最小值为6． 答案：6第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC的周长． 【答案】（1）3A π=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=.∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V1sin 24bc A bc ==4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDE . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点， 所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点， 所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=， 因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ．17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低.【解析】 试题分析：（1）设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BFθ==，故12080sin EF θ=-，从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-，利用导数求解，可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,?O E O F ，则20ME =米，1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米， 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米， 故阴影部分面积为8004800200033π--平方米． （2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BF θ==， 所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-， 修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-，所以()()1600012cos f θθ=-'， 令()0f θ'=，得3πθ=，当θ变化时，()(),f f θθ'的变化情况如下表：θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有极小值，也为最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 18.已知椭圆C 的方程：22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ，求直线AM 的方程.【答案】（1）22:143x y C +=；（2）2y x =+或1142y x =+. 【解析】 试题分析：（1）由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==，由此可得椭圆方程．（2）由题意设AM 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标，由此可得MN ，AM ，然后由52AM MN=u u u u v u u u u v建立关于k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程． 试题解析：（1）由题意得24,1a c c ==，24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意得，直线AM 的斜率存在，设AM 的方程为()2y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222143k x x ++=， ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=，2p x ≠-Q ，()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=，22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-， 又4N x ，=M N MN x ∴=-==，又M A AM x =-==，52AM MN =Q ，=Q解得1k =或14k =． ∴直线AM 的方程为2y x =+或1142y x =+． 19.已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】【详解】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（*） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（*）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞． （3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=，当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '<，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e<，所以结论成立，即()0k x '<， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时，()H x 在[]1,e 上有极值点．点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20.设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设312232222n n na a a a T =++++L ，证明：3n T <．【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）由题意得11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减可得212n n a a ++=，在此基础上可得数列{}n a 为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）由数列{}n a 为“()2P 数列”，可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，于是可得312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ，然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，故得21,02n n n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <，即结论成立． 试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”， 则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， 又1n =时，121a a =-，所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即12n na a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-， 故有332n n k n k a a a +++++=-，同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-， 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立． 所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=， 即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-， 即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”． （3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”， 所以22n n S a +=-， 所以132n n S a ++=-， 故有，132n n n a a a +++=-， 又1n =时，132a a =-， 故33a =，满足321a a a =+，所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．故312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ， 所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++，两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-， 显然21,02nn n n a T T -+， 故131244n n T T <+， 即3n T <. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立． 附加题[选做题]在,,,A B C D 四个小题中只能选做2道，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区域内. A. 选修4-1：集合证明选讲21.如图，D 为ABC ∆的BC 边上的一点，1O e 经过点,B D ，交AB 于另一点E ，2O e 经过点,C D ，交AC于另一点F ，1O e 与2O e 交于点G . 求证：EAG EFG ∠=∠.【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析：连接GD 交AB 于H ，由,,,B D E G 四点共圆可得EGH B ∠=∠，同理FGH C ∠=∠，进而可证得,,,E G F A 四点共圆，故结论成立．试题解析连接GD 交AB 于H ，由,,,B D E G 四点共圆， 可得EGH B ∠=∠， 同理FGH C ∠=∠，故180BAC EGF BAC B C ∠+∠=∠+∠+∠=o ； 所以,,,E G F A 四点共圆， 故EAG EFG ∠=∠． B. 选修4-2：矩阵与变换22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值3λ=所对应的一个特征向量111e u r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2xy =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2632x xy +=. 【解析】 试题分析：（1）根据题意得到113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，利用矩阵的运算求得,a b 后可得矩阵M ．（2）设曲线C 上的点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到点(),P x y '''，则由2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'得到变换公式23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩，代入可得曲线C 的方程． 试题解析：（1）依题意得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得2a b ，=⎧⎨=⎩2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦．（2）设曲线C 上一点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2xy =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'， 即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩， 又点(),P x y '''在曲线2xy =上， ∴()()232x y x +=， 整理得2632x xy +=， 曲线C 的方程为2632x xy +=． C. 选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于两点,A B ，求两点,A B 的距离.. 【解析】 试题分析：把参数方程化为普通方程，解方程组可得两曲线的交点坐标，根据两点间的距离公式可得所求． 试题解析：曲线C 的普通方程为22143x y +=，曲线l 的普通方程为332y x =-+，由221 43332x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得112xy=⎧⎨=⎩或11132xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．∴()32,0,1,2A B⎛⎫⎪⎝⎭，∴23131()2AB=+=．即两点,A B的距离为13．D. 选修4-5：不等式选讲24.如图，已知长方体11111,2,1ABCD A B C D AB AA-==，直线BD与平面11AA B B所成角为30,AEo垂直BD于点,E F为11A B的中点.（1）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（2）线段11C D上是否存在点P，使得二面角F BD P--的余弦值为35？若存在，确定P点位置；若不存在，说明理由.【答案】（125；（2）存在点P，为11C D中点.【解析】试题分析：由题意可知11AD AA B B⊥平面，故得1130DBA BD AA B B DBA∠∠=o即为直线与面所成的角，即为，由此可得2313AD AE==．（1）结合条件建立空间直角坐标系，由条件可求得平面BDF的一个法向量为()n =r ，根据线面角的求法可得所求角的正弦值为5．（2）根据条件可得22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由此可得平面BDP的一个法向量为()122n λ=-u r ，再由所给出的条件可求得12λ=，从而存在点P 满足条件，且点P 为11C D 的中点． 试题解析：由题意得11AD AA B B ⊥平面，所以DBA ∠为直线BD 与面11AA B B 所成的角，故30,DBA ∠=o 又2AB =，AD AB tan DBA ∴=⋅∠=． 由1AE BD AE ⊥=，得．（1）以{}1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立平面直角坐标系，则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12AE u u u r ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r，因为(),1,0,1BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，由()200n BD x y n n BF x z u u u u r r r u u u u u u r r ，可得⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩， 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ=13cos ,5AE n +==u u u r r 所以直线AE 与面BDF（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u r u u u u r，则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以232,,13BPλ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r．设平面BDP的一个法向量为()1,,n x y zu r=由()123201,3,222320x ynx y zλλ⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪-++=⎪⎩u r，可得，由题意可得()()1223cos,55422511n nλλ===⋅+-⋅+-u rr，整理得2428130λλ-+=，解得12λ=或132λ=．又01λ<<，12λ∴=．所以存在点P满足条件，且点P为11C D的中点．点睛：解决与平行、垂直有关的探索性问题的基本策略通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．25.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D-的顶点A出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率n p．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值； （III ）求n p ．【答案】（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-． 【解析】 试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论． 试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=． （2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=； 当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -； ④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=， 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+， 即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 综上所述，1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩． 点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．。

苏北四市2018届高三第一次调研测试数学试题参考公式：1.柱体的体积公式：，其中是柱体的底面面积，是高．2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iiz +=（i 为虚数单位），则的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲3cm ．150 200250300350400 450 （第5题） （第17题） a 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ …（第4题）9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy中，曲线:C xy P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知3212A B A C B A C = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，，且3cos 5A =,1tan()3B A -=. ⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠= ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形B （第14题） A DC E （第16题） 1A 1BNM1C C B AABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k 值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．图1 图2（第17题）（第18题）20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R . ⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列；⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}-2．13．(0,1]4．135．750 67．598．54 9．410．1112．1]13．[2,2]-14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯…………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B == ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ，………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ，…………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面， 所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥， 连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<<（第16题）1A 1B NM1C C B AP则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x =所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ=== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y +=……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2 B --，此时直线BF 方程为3430x y --=，……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)7317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +，……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 222221ln 20(*)424a a x a x x -++--=………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e +=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=，……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ，③-②⨯q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ．……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+=所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+- ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分。