2020学年浙江高二上数学开学考

2015-2016学年某某省某某市扶沟高中高二（上）开学数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．354．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数6．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）7．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．8．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．10．已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量等于（）A．B．C．D．11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1 B．C．D．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．求值cos600°=．14．阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于．15．在△ABC中，AB=2，AC=4．若P为△ABC的外心，则的值为．16．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015春•某某期末）已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12分）（2014秋•隆化县校级期中）某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．19．（12分）（2013•淄川区校级模拟）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．20．（12分）（2015秋•某某月考）如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．21．（12分）（2013•某某一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值X围．22．（12分）（2015春•某某校级期末）已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣sin2x+1 （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值X围．2015-2016学年某某省某某市扶沟高中高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算求得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．点评：本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．35考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样知识求解．解答：解：设样本容量为n，由题意知：，解得n=15．故选：B．点评：本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要注意分层抽样知识的合理运用．4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．解答：解：①y=﹣|x﹣1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题．5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．6．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，进而求出f（x﹣2）＞0的解集．解答：解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出当x＜0时，f（x）＞0的解集，是解决本题的关键．7．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①利用异面直线的定义即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不一定平行，即可判断出正误；④利用面面平行的判定定理可得：α∥β，即可判断出正误．解答：解：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、异面直线的定义，考查了推理能力，属于中档题．9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．解答：解：所有的基本事件构成的区间长度为∵解得或∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为由几何概型概率公式得cos x的值介于0到之间的概率为P=故选A．点评：本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式．易错题．10．已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量等于（）A．B．C．D．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：根据向量平行垂直的坐标公式X1Y2﹣X2Y1=0和X1X2+Y1Y2=0运算即可．解答：解：设C（x，y），∵，，联立解得．故选D．点评：本题考查两个向量的位置关系①平行②垂直，此种题型是高考考查的方向．11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1 B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求出答案．解答：解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品从中取出两件产品共有：C62==15种其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P==故选C点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=令g（x）=0，当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．求值cos600°=﹣．考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：由诱导公式知cos600°=cos240°，进一步简化为﹣cos60°，由此能求出结果．解答：解：cos600°=cos240°=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14．阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于﹣3 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．解答：解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，第2次判断循环，s=0，k=3，第3次判断循环，s=﹣3，k=4，不满足判断框的条件，退出循环，输出S．故答案为：﹣3．点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力．15．在△ABC中，AB=2，AC=4．若P为△ABC的外心，则的值为 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：作出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用和表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积，即可求得的值．解答：解：若P为△ABC的外心，过P作PS⊥AB，PT⊥AC垂足分别为S，T，则S，T分别是AB，AC的中点，AS=1，AT=2．∴=•（﹣）=﹣=AT•AC﹣AS•AB=2×4﹣1×2=6，故答案为：6．点评：本题考查两个向量的运算法则及其几何意义、两个向量数量积的几何意义，属于中档题．16．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．解答：解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015春•某某期末）已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正切公式，求出tanα的值．（2）利用二倍角公式展开，利用tanα求出cosα即可得到结果．解答：解：（1）由tan（α+）=﹣，得，解之得tanα=﹣3（5分）（2）==2cosα（9分）因为＜α＜π且tanα=﹣3，所以cosα=﹣（11分）∴原式=﹣（12分）．点评：本题是基础题，考查两角和的正切函数公式的应用，同角三角函数的基本关系的应用，考查计算能力．18．（12分）（2014秋•隆化县校级期中）某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）求出频率，用频率估计概率；（2）列出所有的基本事件，求概率．解答：解：（1）由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为（0.02+0.03+0.025+0.005）×10=0.80，所以，估计这次考试的及格率为80%；=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+8×0.25+95×0.05=72，则估计这次考试的平均分是72分．（2）从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数共有=15个基本事件，而[90，100]的人数有3人，则共有基本事件C=3．则这2个数恰好是两个学生的成绩的概率P==．点评：本题考查了学生在频率分布直方图中读取数据的能力，同时考查了古典概型的概率求法，属于基础题．19．（12分）（2013•淄川区校级模拟）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=﹣1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．解答：解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．20．（12分）（2015秋•某某月考）如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．解答：（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE∴AE⊥BC，∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．由已知及（Ⅰ）得EH=AB=，S△ADC=2．故V D﹣ABC=V E﹣ADC=×2×=．点评：本题主要考查垂直关系，利用线面垂直的定义和判定定理，进行线线垂直与线面垂直的转化；求三棱锥体积常用的方法：换底法．21．（12分）（2013•某某一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值X围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象可求得A=1，由=可求得ω，f（x）过（，1）点可求得φ，从而可求得函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，可求得x+的X围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的取值X围．解答：解：（1）由图象得A=1，=﹣=，∴T=2π，则ω=1；将（，1）代入得1=sin（+φ），而﹣＜φ＜，所以φ=，因此函数f（x）=sin（x+）；（6分）（2）由于x∈[﹣π，﹣]，﹣≤x+≤，所以﹣1≤sin（x+）≤，所以f（x）的取值X围是[﹣1，]．（ 12分）点评：本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图象与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识，属于中档题．22．（12分）（2015春•某某校级期末）已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣sin2x+1 （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值X围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+）+2，由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，可得，解得1≤cos（2x+）+2，求得f（x），f（x）min=1，由题意log2t≤1，从而解得t的取值X围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣）﹣sin2x+2=cos2x﹣sin2x+2=cos（2x+）+2，…（3分）由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，得k≤x≤k，k∈Z，…（5分）∴f（x）的单调递增区间为[k，k]，k∈Z，．…（6分）（或者：f（x）=﹣+2=cos2x﹣+2=﹣+2，…（3分）令+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z．则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．…（5分）∴f（x）的单调递增区间为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．…6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴﹣1≤cos（）≤﹣，1≤cos（2x+）+2，…（8分）（或者：∵，∴…（7分）∴≤≤1∴1≤﹣+2≤…8分）∴f（x），f（x）min=1．…（9分）若f（x）≥log2t恒成立，∴则log2t≤1，∴0＜t≤2，…（11分）即t的取值X围为（0，2]．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．。

2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|33},{|A x Z x B x y ∈−<<，则A B ∩=( ) A.{1,0,1,2}− B.(1,3)− C.{0,1,2}D.(1,)−+∞2.复数312i z i =−在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若(2,1,1)A ，(1,2,2)B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.(2,1,2)B.(2,2,3)− C.(1,1,1)− D.(1,0,0)4.设双曲线2212:1(0)x C y a a −=>，椭圆222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若12e =，则a =()A.B.D.5.已知圆221:()4O x y m +−=上动弦AB 的长为，若圆222:9O x y +=上存在点P 恰为线段AB 的中点，则实数m 的取值范围是( ) A.[2,4]B.[1,3]C. [4,2][2,4]−−∪D. [3,1][1,3]−−∪6.已知函数()f x 及其导数()f x ′的定义域为R ，记()()g x f x =′，且()f x ，(1)g x +都为奇函数.若(5)2f −=，则(2023)f =( )A.0B. 12−C. 2D.2−7.已知sin()2sin()36ππαα−=−+，则sin(2)3πα+=( ) A. 34−B.34C. 45−D.458.已知棱长相等的正三棱锥P ABC −底面的三个顶点A ，B ，C 均在以O 为球心的球面上(其中O 为ABC 的中心)，球面与棱PA ，PB ，PC 分别交于点1A ，1B ，1.C 若球O 的表面积为12π，则多面体111A B C ABC −的体积为( )A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．向量()1,2a =，()2,b λ=，且a b ⊥，则实数λ的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．3 D ．7【答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数λ的等式，即可解得λ的值. 【详解】由已知可得220a b λ⋅=+=，解得1λ=-. 故选：B. 2．12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A 2B ．42C ．8D ．82【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以22O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，242OB O B =''=；所以原图形的面积为24282⨯=． 故选：D4．设m ，n 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误．．的是（ ） A ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥ B ．若m α∥且m β⊥，则αβ⊥ C ．若m α∥且n α∥，则m n ∥ D ．若αβ∥且m α⊥，则m β⊥【答案】C【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.【详解】对于A ，当m α⊥且n α⊥时，m n ∥，所以A 正确，对于B ，当m α∥且m β⊥时，过m 作平面γ，交α于直线n ，则m ∥n ，因为m β⊥，所以n β⊥，因为n ⊂α，所以αβ⊥，所以B 正确，对于C ，当m α∥且n α∥时，m ，n 可能平行，可能异面，可能相交，故C 错误， 对于D ，当αβ∥且m α⊥时，则m β⊥，所以D 正确， 故选：C5．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.【详解】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭定义域为{}|0x x ≠，则()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A ；又()11ππcos ππ0ππf ⎛⎫=+=--< ⎪⎝⎭，故排除C ；ππ6π()()cos 066π6f =+>，故排除B;故选：D6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3AB BC CA AB ⋅=⋅，则A B -的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】A【分析】根据数量积可知三角形中AB BD ⊥，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.【详解】由3AB BC CA AB ⋅=⋅得，(3)0AB BC CA ⋅-=，令3CD AC = 则上式等价于AB BD ⊥，取AD 中点E ，连接BE ，如图，而CBE A B ∠=-，故只需求∠CBE 的最大值，设CE x =，则2,BE x =固定CE , 由平面几何知识，π6A B -≤ 故选：A7．如图，各棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 为棱1AA 的中点，点N 为棱1CC 的三等分点（靠近1C ），点P 为棱1BB 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1B MNP -体积为定值 B ．三棱锥11A NPB -体积为定值C ．当1B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等D ．当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等 【答案】D【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB 选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.【详解】A 项，M 到平面1B NP 距离为定值， 但1B NP S △不为定值，故1B MNP V -,不为定值， 故错误；B 项， 1A 到平面1NB P 距离为定值， 但1B NP S △ 不为定值，故11A NB P V -不为定值，故错误；C 、D 项：由于12CN C N =，由对称性知当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等，故C 错误，D 正确. 故选：D8．已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21a >B ．1a ≥C ．12a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B二、多选题9．在平面直角坐标系中，角α以x 正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点1,2n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则符合条件的角α可以是（ ） A ．π3- B ．2π3C ．4π3D ．7π3【答案】BC【分析】根据题意知角α的余弦为12-，据此求解即可.【详解】对A ，当π3α=-时，π11cos 322⎛⎫-=≠- ⎪⎝⎭，故错误；对B ，当2π3α=时，2π1cos 32=-，故正确；对C ，当4π3α=时，4ππ1cos cos 332=-=-，故正确； 对D ，当7π3α=时，7ππ1cos cos(2π+)332==，故错误. 故选：BC10．已知非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bc < B ．2b ac >C ．11a c<D ．()()220c b a c ++>【答案】AD【分析】根据题意知0c >故可判断A ，取特殊值判断BC ，由不等式的性质判断D. 【详解】A 选项，由于,0a b c a b c <<++>，故0c >，所以ac bc <，正确； B 选项，取10,2,1c b a === 知不成立，错误； C 选项，取10,2,1c b a ===知不成立，错误;D 选项，由于2c a b b >-->-得20c b +>， 而20a c a b c +>++>， 故(2)(2)0c b a c ++>，正确. 故选：AD11．已知0x >时，2log x x >，则关于函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，下列说法正确的是（ ）A ．方程()f x x =的解只有一个B ．方程()()1f f x =的解有五个C ．方程()()()01f f x t t =<<的解有五个D ．方程()()()1f f x t t =>的解有五个【答案】ACD【分析】作出函数()f x 的图象，换元后从外到内研究，先求y t =与()y f x =图象交点的个数，转化为内层函数()t x 或()u x 的取值范围，据此再结合()f x 的图象即可判断()()f f x t =的根的个数.【详解】作出()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图象，如图，A 项，因为2log x x >，显然y x =与()f x 有唯一交点，故正确；B 项，令()f x t =，则()10f t t =⇒=或12t =或2()0t f x =⇒=或1()2f x =或()26f x =⇒个解，故错误；C 项，令()u f x =，则123()(0,1)0,(0,1),(1,2)f u t u u u =∈⇒<∈∈ 12312()0,()(0,1),()(1,2),x f x f x x x f ⇒<∈∈⇒∈∅有3个解，3x 有2个解，共有5个解，故正确；D 项，令()u f x =，则12()(1,)(0,1),(2,)f u t u u =∈+∞⇒∈∈+∞121()(0,1),()(2,)x f x f x ⇒∈∈+∞⇒有3个解，2x 有2个解，共有5个解，故正确.故选择：ACD【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析()()f f x ，根据方程的根的个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.12．如图三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，M 、N 为棱AD 、BC 上（包括端点）的动点，直线MN 与平面ABC 、平面BCD 所成的角分别为α、β，则下列判断正确的是（ ）A ．sin sin αβ-正负与点M 、点N 位置都有关B ．sin sin αβ-正负由点M 确定，与点N 位置无关C ．sin sin αβ+23D ．sin sin αβ+6【答案】BCD【分析】取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ，利用线面角的定义可判断AB 选项；求出MN 的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD 选项. 【详解】解：取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ， 如下图所示：在三棱锥A BCD -中，ABC 、BCD △均为等边三角形， 因为1O 为BC 的中点，则1AO BC ⊥，1DO BC ⊥， 111AO DO O =，1AO 、1DO ⊂平面1ADO ，BC ∴⊥平面1ADO ，0MM ⊂平面1ADO ，0MM BC ∴⊥， 01MM AO ⊥，11AO BC O =，1AO 、BC ⊂平面ABC ，0MM ∴⊥平面ABC ，所以，直线MN 与平面ABC 所成角为0MNM ∠，即0MNM α=∠，同理1MNM β=∠， 所以，0sin MM MN α=，1sin MM MN β=，所以，01sin sin MM MM MNαβ--=， 所以，sin sin αβ-的正负只与点M 的位置有关，A 错B 对； 设1AB =，则1132AO DO ==，且01sin sin MM MM MN αβ++=，在1ADO △中，222111113cos cos 23O D AD O A O AD O DA O D AD +-∠=∠==⋅，所以，21116sin sin 1cos 3O AD O DA O DA ∠=∠=-∠=， 则()016633MM MM AM DM +=+=，所以，6sin sin 3MNαβ+=， 将正四面体ABCD 补成正方体AEDF GBHC -，如下图所示：连接GH ，在线段GH 上取点P ，使得GP AM =，因为//AG DH 且AG DH =，故四边形ADHG 为平行四边形，AG ⊥平面GBHC ，GH ⊂平面GBHC ，AG GH ∴⊥，所以，四边形ADHG 为矩形，且//AD GH ，因为//AM GP 且AM GP =，故四边形AGPM 为矩形，则//PM AG且PM AG == PN ⊂平面GBHC ，则AG PN ⊥，故MP PN ⊥，设BC GH O =，因为四边形GBHC 为正方形，则BC GH ⊥，所以，222PN OP ON =+，且OP 、10,2ON ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22210,2PN OP ON ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故MN ⎤⎥⎣⎦， 则()max sin sin αβ+=()min sin sin αβ+=CD 都对. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.三、填空题13．已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．【分析】根据圆锥的高为1，圆锥的轴截面为等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求得答案.【详解】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形. 则圆锥的底面直径为2，故该圆锥的侧面积为rl π= ，14．函数()120,1xy aa a -=+>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为_________． 【答案】423+【分析】由指数函数的性质，可得()1,3A ，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】∵函数1(01)2x y a a a -+=>≠，的图象恒过定点()1,3A ，则31m n +=，∴()1111113313442423n m n m m n m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当3m n =，即336n -=，312-=时取等号. 故答案为：423+. 15．已知3a b =，log a bb a=，则3a b +=_________． 【答案】63【分析】根据对数性质判断0,0a b >>，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案. 【详解】由题意可知0,0a b >>， 由3a b =，log a b b a =可得3log 3,3a b a b a a==∴=， 则33,3a a a =∴=，则33b =， 故363a b +=, 故答案为: 6316．如图，正ABC 的外接圆O 半径为59，点M 是劣弧AB 上的一动点，则MA MB MO MC MA MB ⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为_________．【答案】12-0.5- 【分析】由圆的性质可知MC 是AMB ∠的角平分线，故可知MA MB MAMB+与MC →同向共线，再由平方可得MA MBMAMB +的模为1，原式可化为换求21||||2MC MC →→-的最小值.【详解】由圆的性质可知，60,60AMC ABC BMC BAC ∠∠∠∠==︒==︒，2112cos1201MA MB MA MB ⎛⎫ ⎪+=++︒= ⎪⎝⎭，MA MB MA MB ∴+是与MC →同向的单位向量， 设MA MBe MAMB→+=，原式可化为2211()||||||22MO e MC MC MC MC MC →→→→→→→-⋅=-=-,由外接圆半径59R =可知，2sin 60AC BC AB R ===︒=10||9MC →≤≤,∴当||1MC →=时，21||||2MC MC →→-有最小值12-，即MA MB MO MC MA MB ⎛⎫ ⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为12-. 故答案为：12-四、解答题17．设a 是实数，复数112z i =+，()()2i 1i z a =+-（i 是虚数单位）． (1)2z 在复平面内对应的点在第一象限，求a 的取值范围； (2)求12z z +的最小值． 【答案】(1)11a -<< 【分析】（1）化简复数2z ，由已知列不等式组，解出a 的取值范围； （2）求出12z z +，利用二次函数的性质可得最小值．【详解】(1)()()()2i 1i 11i z a a a =+-=++-，则1010a a +>⎧⎨->⎩，解得11a -<<；(2)112z i =+，则112i z =-，()1221i a a z z =+-++，12z z ∴+=，当32a =-时，12z z +．18．已知集合{}24M x x =-<≤，集合{}44N x x m =-<-<．(1)若MN R，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1){|6m m ≤-或8}m ≥； (2)存在，[]0,2m ∈.【分析】（1）化简集合N ，求出其补集，由M N R列出不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件转化为MN ，列出不等式组求解即可.【详解】(1)由题意，{}|44N x m x m =-<<+，所以{|4N x x m =≤-R或}4x m ≥+，因为MN R，所以42m +≤-或44m -≥，解得6m ≤-或8m ≥，所以实数m 的取值范围是{|6m m ≤-或8}m ≥.(2)假设存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件， 则NM RR，即M N ，则4244m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得02m ≤≤，故存在实数[]0,2,m ∈使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件.19．已知函数()sin 2263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若()f x 在(]0,t 上存在最小值，求实数t 的取值范围．【答案】(1),(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)3t π≥. 【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+计算得解. （2）由题知2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，()f x 在(]0,t 上存在最小值，只需5266t ππ+≥，继而得解. 【详解】(1)()sin 23sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos cos 2sin3sincos 23cossin 26633x x x x ππππ=-++3133sin 2cos 2cos 2sin 22222x x x x =-++ 3sin 2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36(Z)k k x k ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)当(]0,x t ∈时，2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 因为()f x 在(]0,t 上存在最小值，所以5266t ππ+≥， 所以3t π≥. 20．已知梯形木板ABCD ，//AB CD ，2AD BC ==米，33AB CD ==米，现要把木板沿线段MN 锯成面积相等的两部分，其中点M 在线段AB 上，N 在另外的三条边上．(1)当N 在线段BC 上，设BM m =米，BN n =米，求mn 的值； (2)求锯痕MN 的最小值． 【答案】(1)4mn = (2)3米【分析】（1）过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，计算出CE 的长，可求得梯形ABCD 的面积，再利用三角形的面积公式可求得mn 的值； （2）对点N 所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得MN 在不同情况下的最小值，综合可得结果.【详解】(1)解：过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，因为//AB CD ，2AD BC ==，33AB CD ==，故四边形ABCD 为等腰梯形，所以，DAF CBE ∠=∠，又因为π2AFD BEC ∠=∠=，则Rt Rt ADF BCE △≌△， AF BE ∴=，因为CE AB ⊥、DF AB ⊥，则//CE DF ，且//CD EF ，所以，四边形CDFE 为平行四边形，则1EF CD ==，12AB EFAF BE -∴===， 所以，12BE BC =，则π6BCE ∠=，故π3CBE ∠=，223CE BC BE =-=，故()232ABCD AB CD CE S +⋅==梯形，12BMN ABCD S S =△梯形，即1πsin 323mn =，故4mn =.(2)解：当点N 在BC 上时，(]0,2n ∈，22222π2cos42443MN m n mn m n mn =+-=+-≥-=， 当且仅当2m n ==时，等号成立，即2MN ≥；当点N 在CD 上（不包括端点C ）时，四边形BCNM 为梯形， 因为12BCNM ABCD S S =梯形梯形，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时， 则min 3MN CE ==，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时取最小值； 当点N 在AD 上时，由题意可知12AMN ABCDS S =△梯形，由对称性可知，min 2MN =. 综上所述，MN 长度的最小值为3米.21．用文具盒中的两块直角三角板（45︒直角三角形和30直角三角形）绕着公共斜边翻折成30的二面角，如图Rt ABC 和Rt DBC ，AB AC =，22BC BD ==，90A ∠=︒，90D ∠=︒，将Rt ABC 翻折到A BC '，使二面角A BC D '--成30，E 为边CD 上的点，且2CE ED =．(1)证明：BC A E '⊥；(2)求直线A D '与平面A BC '所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）取BC 中点F ，连接,A F EF '，可证明BC ⊥平面A EF '，再由线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【详解】(1)取BC 中点F ，连接,A F EF '，如图，由已知A B AC ''=知A F BC '⊥；又2BC =，则233,1CD CE CF ===， 22212cos303CE CF C F E CF E ︒∴=+-⋅=，22214133CF CE EF ∴+=+==，EF CF ∴⊥，即EF BC ⊥，又EFA F F '=，BC ∴⊥平面A EF '，A E '⊂平面A EF '，BC A E '∴⊥.(2)以F 为坐标原点建系如图，则()()3113,1,0,0,1,0,0,22A B C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭， 故(2,0,0)BC =-，31(1,)2A B '=-，11(,0,)22A D '=-，设平面A BC '的法向量n (x,y,z)→=，则20031002x n BC n A B x y z -=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪'⎩令1y =，则0,3x z ==-(0,1,3)n →=-，设直线A D '与平面A BC '所成角为α，则362sin |cos ,|22n A D α→'=<>==⨯所以直线A D '与平面A BC '622．已知函数()(),R f x x x a bx a b =⋅-+∈．(1)0a b 时，①求不等式()4f x <的解集；②若对任意的0x ≥，()()20f x m m f x +-<，求实数m 取值范围；(2)若存在实数a ，对任意的[]0,x m ∈都有()()14f x b x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)①(,2)-∞，②(,1)-∞-，(2)(0,1【分析】（1）①分0x ≥和0x <两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分0m =，0m >和0m <三种情况求解，（2）当0x =时，04≤恒成立，所以当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则410m-≥，得04m <≤，由41x a x -≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-，然后分02m <≤和24m <≤求出max 41x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，使max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】(1)当0a b 时，()f x x x =⋅， ①由()4f x <，得4x x ⋅<， 当0x ≥时，24x <，解得02x ≤<， 当0x <时，4x x ⋅<恒成立，得0x <， 综上2x <，所以不等式()4f x <的解集为(,2)-∞，②因为()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥=⋅=⎨-<⎩，所以()f x 在R 上为增函数， 当0m =时，()0f x <不恒成立，当0m >时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=，所以x m mx +<，所以(1)0m x m -->恒成立，所以100m m ->⎧⎨->⎩，此时m 不存在，当0m <时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=-，所以x m mx +<-，所以(1)0m x m ++<恒成立，所以100m m +<⎧⎨<⎩，得1m <-，综上，1m <-，即实数m 取值范围为(,1)-∞-， (2)由()()14f x b x ≤-+，得4x x a x -≤-， 当0x =时，04≤恒成立， 当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，所以410x-≥， 所以410m-≥，得04m <≤， 由41x a x -≤-，得4411x a x x -≤-≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-， 当02m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4411x m x m ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭， 所以4411m a m m m-+≤≤+-， 所以存在a 满足以上不等式，则4411m m m m -+≤+-，得4m ≤，此时02m <≤， 当24m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4412132x x ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭，所以413m a m-+≤≤有解， 所以413m m-+≤，解得21m <≤综上可得01m <≤m的取值范围为(0,1【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则4411x a x x x-+≤≤+-，然后转化为求max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≥，{}22530B x x x =--<，则A B =U （ ）A ．{}1x x ≥B ．12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ?2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=， 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n r r 满足：2m n ==r r ，且m r 在n r 上的投影向量为12n r ，则向量m r与向量n m-r r 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（ ）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，σ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量1~7,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数f ′ x 的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（ ）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,N ,n n n n n n a a a a a a a n ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++L ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110i i a =>∑三、填空题12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次．．不减小且右下角数字依次．．构成等差数列的概率为．四、解答题15．已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos A B C B C ++=-； (1)求角C 的值；(2)若ABC V 的面积为14，求ABC V 的周长.16．已知三棱锥P ABC -满足,,AB AC AB PB AC PC ⊥⊥⊥，且3,AP BP BC ==(1)求证：⊥AP BC ；(2)求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值，17．已知函数()()224,2ln 25f x x x g x x x =++=++．(1)判断函数()g x 的零点个数，并说明理由； (2)求曲线y =f x 与y =g x 的所有公切线方程.18．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点()1,2P -作一条不经过F 的直线l ，若直线l 与抛物线交于异于原点的,A B 两 点，点B 在x 轴下方，且A 在线段PB 上．(1)试判断：直线,FA FB 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．(2)过点B 作PF 的垂线交直线AF 于点C ，若FBC V 的面积为4，求点B 的坐标， 19．对于一个四元整数集{},,,A a b c d =，如果它能划分成两个不相交的二元子集{},a b 和{},c d ，满足1ab cd -=，则称这个四元整数集为“有趣的”．(1)写出集合{}1,2,3,4,5,6,7,8的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合{}1,2,3,4,5,6,7,8不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数()2n n ≥， 集合{}1,2,3,,4n L 不能划分成n 个两两不相交的“有趣的”四元子集．。

2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷（考试时间：120分钟卷面满分：150分）2024.08一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分），考生需在答题纸的相应位置填写结果．1．直线l 上存在两点在平面α上，则l α（填一符号）．2．函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率是．3．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是．4．两条异面直线所成角的取值范围是5．已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=．6．函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是．7．三个互不重合的平面能把空间分成．8．数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2024a =．9．在ABC V 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是．10．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m .已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min 时他距离地面的高度为m .11．已知ABC V 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点，设,(0,0)==>>AM xAB AN y AC x y ，则4x y +的最小值为.12．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是.二、选择题（本大理共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分，每题有且仅有一个正确选项），考生需在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定14．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项之和等于（）A ．13B ．512C ．12D ．71216．如图所示，角π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点P ，()1,0A ，PM x ⊥轴，AQ x ⊥轴，M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值分别等于线段,MP AQ 的长，且OAP OAQ OAP S S S << 扇形，则下列结论不正确的是（）A ．函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点B ．函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C ．函数sin y x x =-有3个零点D ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点三、解答题（本大题共5题，满分78分），考生需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，求()cos αβ+18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，P 为线段11B D 上一点．（1）求证：AC BP ⊥；（2）当P 为线段11B D 的中点时，求点A 到平面PBC 的距离．19．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.(1)若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.20．如图，正方体的棱长为1，B C BC O ''= ，求：(1)AO 与A C ''所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值：(3)B OA C --的度数．21．若有穷数列{}n a 满足：10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为“n 阶01-数列”.(1)若“6阶01-数列”为等比数列，写出该数列的各项；(2)若某“21k +阶01-数列”为等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,n k 表示）；(3)记“n 阶01-数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n = ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n = 能否为“n 阶01-数列”？若能，求出所有这样的数列{}n a ；若不能，请说明理由.【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论.【详解】直线l 上存在两点在平面α上，则l ⊂α.故答案为：⊂.2．1π##1π-【分析】利用正弦型函数频率的定义可得结果.【详解】由题意可知，函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率212ππf ==.故答案为：1π.3．3【分析】利用等差数列的性质可求9a 的值.【详解】因为597+2a a a =，故5590+3a a a --=，所以9 3.a =故答案为：3.4．(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．5【分析】根据题意，得到1i z =--，结合复数模的运算法则，即可求解.【详解】由复数i z a =-的实部与虚部相等，可得1a =-，即1i z =--，则i 12i z -=--，所以i z -==6．ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【分析】根据正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，整体代换即可得所求函数的对称中心.【详解】因为正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以令ππ2,32k x k -=∈Z ，则ππ,46k x k =+∈Z ，所以函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .7．4或6或7或8【分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；四种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】若三个平面两两平行，则将空间分成4个部分，如图1，若二个平面平行，都和第三个平面相交，或三个平面交于同一条直线时，则将空间分成6个部分，如图2，若三个平面两两相交且交线互相平行，则将空间分成7个部分，如图3，若三个平面两两相交且交点共点，则将空间分成8个部分，如图4，故答案为：4或6或7或8．8．2【分析】由题意求出234,,a a a ，则数列{}n a 是周期为3的数列，即可求解.【详解】由题意知，23412311112,1,1112a a a a a a ====-==---，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以20246743222a a a ⨯+===.故答案为：29．499【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解.【详解】设ABC V 外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，内切圆的圆心为O ，因为sin :sin :sin 5:7:8A B C =，所以由正弦定理可得，::5:7:8a b c =，不妨设5,7,8a b c ===，有余弦定理可得，2228811cos 211214b c a A bc +-===，因为()0,πA ∈，所以sin A =由正弦定理2sin aR A =得，3R =,又因为ABC ABO ACO BCO S S S S =++ ,1sin 2△==ABC S bc A所以()11112222a rb rc r a b c r ⋅+⋅+⋅=++=所以r =所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为222π49π9R R r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:499.10．85【分析】设在min t 时，距离地面的高度为()6050sin h t ωϕ=++，其中ππϕ-<<，根据题中条件求出ω、ϕ的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后将5t =代入函数解析式，即可得解.【详解】因为摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m ，设在min t 时，距离地面的高度为()()sin 0h A t b A ωϕ=++>，其中ππϕ-<<，则11060A b b +=⎧⎨=⎩，可得5060A b =⎧⎨=⎩，则()6050sin h t ωϕ=++，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈，可得2π15ω=，所以2π15ω=，即2π6050sin 15h t ϕ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，当0t =时，可得6050sin 10ϕ+=，即sin 1ϕ=-，因为ππϕ-<<，解得2πϕ=-，所以2ππ2π6050sin 6050cos 15215h t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5t =，可得2π6050cos 560258515h ⎛⎫=-⨯=+= ⎪⎝⎭.所以，游客进舱5min 时他距离地面的高度为85m .故答案为：85.11．94##2.25【分析】由已知和平面向量基本定理可得1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线得111(0,0)44x y x y+=>>，利用基本不等式求解最值．【详解】因为()12AD AB AC =+且E 为AD 的中点，所以()1124==+ AE AD AB AC ，又因为(),0,0==>>AM xAB AN y AC x y ，所以11,AB AM AC AN x y== ，所以1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线，所以111(0,0)44x y x y +=>>，于是()114444⎛⎫+=++⎪⎝⎭x y x y xy 1191144444y x x y =+++≥++=，当且仅当44=y x x y 即12x y ==等号成立.故答案为：94.12．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭【解析】根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0ω>，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T ，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0ω>时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当22,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈ ，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意；③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由Z k ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想.13．C【分析】利用211,,222l r S r rl L r l αα====+，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.【详解】因为211,,222l r S r rl L r l αα====+，对于选项A ，若α，r 确定，则,L S 唯一确定，所以选项A 正确，对于选项B ，若α，l 确定，由l r α=知，r 确定，则L ，S 唯一确定，所以选项B 正确，对于选项C ，若,S L 确定，由1,22S rl L r l ==+，消l 得到2102r Lr S -+=，又2144L S ∆=-，当0∆>时，r 有两个值，当0∆=时，r 有1个值，当0∆<时，r 无解，所以选项C 错误，对于选项D ，若,S l 确定，由12S rl =知，r 确定，又l r α=，所以α确定，故选项D 正确，故选：C.14．D【详解】如图：由于平面11AA D D ，平面ABCD ，平面11ABB A 上不存在满足条件的直线l ，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线l 的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知l 在平面ABCD 内的射影为BAD ∠的角平分线,在平面11AA D D 内的射影为1A AD ∠的角平分线，则l 在正方体内部的情况为体对角线1AC ；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另2条棱夹角度数相等，有3条.所以共有4条满足条件的直线,故选D.15．B【分析】利用裂项相消法求和.【详解】∵1n n a b ⋅=,∴()()21111321212n b n n n n n n ===-++++++，∴101111111111523341011111221212S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:B ．16．C【分析】利用当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，可得各个函数在π(0,)2上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在π(,0)2-上零点的个数，且各个函数都有零点0x =，由此可判断A CD ；再结合函数tan y x =和y x =的图象，可判断B.【详解】由已知条件，当π(0,)2x ∈时，211111sin ,,tan 22222OAP OAQ OAP S OA MP x S OA x S OA AQ x =⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅= 扇形，所以当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，对于A ，当π(0,)2x ∈时，0sin tan x x x <<<，tan sin 0y x x x =++>，又tan sin y x x x =++为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0y x x x =++<，当0x =时，tan sin 0y x x x =++=，所以函数tan sin y x x x =++在ππ(,22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，故A 正确；对于B ，当π(0,)2x ∈时，因为tan x x <，即tan 0y x x =->，由tan y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan 0y x x =-<，当0x =时，tan 0y x x =-=，所以函数tan y x x =-在ππ(,)22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，作出函数tan ,y x y x ==的图象，如图所示，由图可知，当π3π(,)22x ∈时，函数tan y x =和y x =的图象只有一个交点，所以函数tan y x x =-在π3π(,)22x ∈内有且仅有1个零点，所以函数tan y x x =-在πππ3π(,)(,)2222- 内有2个零点，故B 正确；对于C ，当π2x ≥时，sin 1x x ≤<，所以sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当π02x <<时，由sin x x <，即sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当0x =时，sin 0y x x =-=，此时函数的零点为0x =，又sin y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，所以0x <时函数无零点，综上所述，函数sin y x x =-有且仅有1个零点，故C 错误；对于D ，当π(0,)2x ∈时，因为tan sin 0x x ->，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2sin 0y x x x x x x x x x =+--=+-+=>，又tan sin y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0x x -<，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2tan 0y x x x x x x x x x =+--=++-=<，当0x =时，tan sin |tan sin |0y x x x x =+--=，所以函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在ππ(,22x ∈-内有1个零点，故D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由OAP OAQ OAP S S S << 扇形得sin tan <<x x x ，并结合三角函数图象求解.17．(2)1-【分析】（1）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；（2）根据角β的终边与角α的终边关于y 轴对称求出sin ,cos ββ，然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】（1）因为3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，27cos212sin 25αα=-=，所以πππ2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225ααα⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭（2）因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，所以3sin sin 5βα==，4cos cos 5βα=-=-，所以()4433cos cos cos sin sin 15555αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18．（1）证明见解析；（2）17．【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可（2）利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而求解即可【详解】（1）证明：连接BD ，因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为BP ⊂平面11BB D D ，所以AC BP ⊥．（2）点P 到平面ABC 的距离24AA =，ABC V 的面积122ABC S AB BC =⋅⋅=△，所以111824333P ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯=△，在1Rt BB P △中，B 1=4，1B P =BP =，同理CP =．又2BC =，所以的面积122PBC S =⨯=△．设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以1833PBC S h ⋅=△，83=，解得h =A PBC -．所以点A 到平面A PBC -【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而得出11133P ABC ABC A PBC PBC V S AA V S h --=⋅=⋅=△△，进而求出三棱锥A PBC -的高h19．(1)112-；(2)1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD 为基底表示出EF 得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅ 的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【详解】（1）如下图所示：由2DE EC = 可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+ ，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；（2）法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈ ，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=- ，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G ，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD ⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--=显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM ，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦20．(1)30o 90【分析】（1）先由已知条件求出,AC OC 和AO OC ⊥，从而求出30OAC ∠= ，接着由正方体性质求出//AC A C ''，再结合异面直线所成角定义即可得OAC ∠是AO 与A C ''所成角，从而得解；（2）在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE ，求证OE ⊥平面ABCD 即可得OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，再依据已知条件求出OE 和AE 即可由tan OE OAE AE ∠=求出AO 与平面ABCD 所成角的正切值.（3）求证OC ⊥平面ABO 即可得证平面ABO ⊥平面AOC ，从而即可得B OA C --的度数.【详解】（1）连接AB '，则由正方体性质得AB AC B C ''====O 为B C '的中点，所以1222OC B C '==且AO OC ⊥，所以1sin 2OC OAC AC ∠==，故30OAC ∠= ，又由正方体性质可知//AA CC ''且AA CC ''=，所以四边形AA C C ''是平行四边形，所以//AC A C ''，所以OAC ∠是AO 与A C ''所成角，故AO 与A C ''所成角的度数为30o .（2）如图，在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE，由正方体性质可知平面BCC B ''⊥平面ABCD ，又平面BCC B '' 平面ABCD BC =，所以OE ⊥平面ABCD ，所以E 为BC 中点，AE 为AO 在平面ABCD 上的射影，所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，由题意，在Rt OAE 中，12OE BE ==，AE ===所以152tan 552OE OAE AE ∠===，所以AO 与平面ABCD（3）由（1）知AO OC ⊥，又由正方体性质可知AB ⊥平面BB C C ''，而OC ⊂平面BB C C ''，所以AB OC ⊥，又AO AB A = ，AO AB ⊂、平面ABO ，所以OC ⊥平面ABO ，又OC ⊂平面AOC ，所以平面ABO ⊥平面AOC ，所以B OA C --的度数为90 .21．(1)111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---(2)答案见解析(3)不是，理由见解析【分析】（1）根“n 阶01-数列”的定义求解即可；（2）结合“n 阶01-数列”的定义，首先得120,k k a a d ++==，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及“n 阶01-数列”的定义得出矛盾即可求解.【详解】（1）设123456,,,,,a a a a a a 成公比为q 的等比数列，显然1q ≠，则有1234560a a a a a a +++++=，得()61101aq q -=-，解得1q =-，由1234561a a a a a a +++++=，得161a =，解得116a =±，所以数列111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---为所求；（2）设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +≥ 的公差为d ，123210k a a a a +++++= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴+++=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，矛盾，当0d >时，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N ，当0d <时，同理可得()1122k k kd -+=-，即()11d k k =-+，由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n na n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N ，综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N ；（3）记12,,,n a a a 中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤= ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，可知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ ，且1212m m n a a a +++++=- ，1k m ∴≤≤时，0,0;1k k a S m k n ≥≥+≤≤时，0,0k k n a S S <≥=123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ ，又1230n S S S S ++++= 与1231n S S S S ++++= 不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n = 不为“n 阶01-数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。

绝密★启用前2023学年第二学期浙江省杭州二中2月开学考高三数学试题卷考生须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2A =,{}2,3B =，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的真子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．82．等比数列{}n a 满足11a =，()35441a a a ⋅=-，则7a 等于（）A ．2B ．4C ．92D ．63．函数cos ln y x x =-的图象大致是（）4．设,a b ∈R ，则1b a <<是11a b ->-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知0.75a =，52log 2b =，πsin 5c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．a c b <<D ．c6．在621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（）A ．60B ．60-C ．120D ．120-7．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（）A ．2B ．3C ．12D ．138．若π5π3sin cos 4124αα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12+C ．122-D ．122+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设α，β，γ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）A ．若αγ∥，βγ∥，则αβ∥B ．若m αβ= ，m γ⊥，则αγ⊥，βγ⊥C ．若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥10．有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x ．若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则（）A ．新数据的极差可能等于原数据的极差B ．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C ．若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D ．若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数11．记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，且()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（）A ．()01f =B ．ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线332y x =是曲线()y f x =的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设函数(),1ln ,1x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()1f =______；若()1f a =，则实数a =______．13．设1z ，2z 是复数，已知11z =，23z =，125z z -=12z z +=______．14．如图，已知3BC =，D ，E 为ABC △边BC 上的两点，且满足BAD CAE ∠=∠，14BD BE CD CE ⋅=⋅，则当ACB ∠取最大值时，ABC △的面积等于______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

2019-2020学年第二学期高二开学考测试卷学科：数学（文）测试时间：120分钟满分：150分第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分1.双曲线的焦距长为（）B. C.D2.下列各式正确的是（）A. B. C. D.3.在点（1,0）处的切线方程为（）A. x + y —1 = 0B. x + 2y -1 = 0C. x — y — \ = 0D. x —2y+ 1 = 04.己知抛物线则焦点坐标为( )A.()B.C.D.5.下列判断错误的是（）A.是为函数y=f(x)的极值点的必要不充分条件B.命题 “”的否定是C.命题“若-1<x<1,则”的逆否命题是“若x²>1,则x>1或x<-1”D.若m>0.则方程x²+x-m = 0有实数根的逆命题是假命题6.若抛物线y² = 2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则P的值为（）A. -2B.2C.-4D. 47. 函数,x∈[0,1]的最大值是( )A.1B.C.0D.-18.焦点为（0,6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是( )A. B. C. D.9.已知椭圆的焦点分别为F₁F₂,，点P在椭圆上，若|PF₁| =4则三角形F₁PF₂的面枳为（）A. B. C. D.10.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的函数图像如图1所示，则导函数y=f(x)的图像可能为( )11.设ΔABC是等腰三角形，∠ABC=120⁰，则以A,B为交点,且过点C的双曲线的离心率为( )A. B.C D.12.设f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函敏：当x<0时.,B.= 0.则不等式f(x)<0的解集是( )A.(-3,0)∪(3,+∞)B. (-3,0)∪(0,3)C. (-∞,-3)∪(3,+∞)D. (-∞,-3)∪(0,3)第Ⅱ卷二、填空题，本大题共4小题，毎小题5分.13.己知的一个焦点为（0,1）,则m的值为14.已知函数f(x)=x³+ax在R上単调递増，则实数a的取值范围是15.双曲线上一点P到点F₁(-5,0）的距离为9,则点P到点F₂（5,0）的距离16.己知椭圆,则以点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为三、解答題:本大題共6小題，共70分17.（本小题满分10分〉已知命题P：实数x满足-a<x<3a （其中a>0）,命题q：实数x满足1 <x<4（1）若a=1.且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.（本小題满分12分）己知曲线：9x²+y²=81（1）求其长轴长，焦点坐标，髙心率；（2）求与己知曲线共焦点且簡心率为的双曲线方程.19.（本小題满分12分）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 ：1；问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？20.(本小题满分12分)已知函数f(x) = x3+ac2+bx+ c,曲线y =f(x)在点P(l,f(1))处的切线方程为y = 3x+1, 且y=f(x)在x = -2处有极值.(1)求f(x)的解析式：(2)求y = f(x)[3,1］上的最大值.21.(本小題满分12分)己知抛物线 C： y2 = 2px(p>0)过点M(1,-)(1)求抛物线C的方程：(2)设F为抛物线C的焦点，直线l:y=2x-8与抛物线C交于A,B两点，求△FAB的面积.22.(本小题満分12分)已知柚圆的焦点坐标是F₁(-1,0),F₂(1,0),过点F2垂直于长轴的直线交椭圆与P,Q两点, 且|PQ| = 3.(1)求椭圆方程：(2)过坐标原点O做两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于M,N两点.求证：点O到直线MN的距离为定值。

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知集合{}24A x x =<，{}41B x x =−<≤，则A B = （ ） A. {}2x x < B. {}21x x −<≤ C. {}41x x −<≤ D. {}42x x −<< 【答案】B【解析】 【分析】先借助不等式求出集合A ，再运用交集的运算求A B ∩. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=−<<， 则{}{}{}224121A B x x x x x x ∩=−<<∩−<≤=−<≤， 故选：B .2. 记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由z z =可得. 【详解】由()2i 24i z +=−得()()()()22224i 2i 24i i 2i 4i 41i i 2i 2i 802225i 1z −−−−−−+=++−====−+， 所以2zz ==，故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件A ， 乙中靶为事件B ，()0.6,()0.7,P A P B ==则两人都中靶的概率为()()0.70.60.42P A P B ×=×=，两人都不中靶的概率为()()1()1()0.30.40.12P A P B −×−×，恰有一人中靶的概率为()()1()()()1()0.30.60.70.40.46P A P B P A P B −×+−=×+×=，至少一人中靶的概率为10.30.40.88−×=.故选：C4.已知向量1,2a b = ，若()()a b a b λµ++ ∥，则（）A. 1λµ=B. 1λµ=−C. 1λµ+=−D. 1λµ+=【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】1122a b λλ+=+=+，1122a b µµµ+=+++由()()a b a b λµ++ ∥，则1122µµ+，化简得1λµ=.故选：A.5. 已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= ，则“//n m ”是“//n α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，平面ABCD ⊥平面11D C CD ，令平面ABCD 为α，平面11D C CD 为β，则平面ABCD 平面11,D C CDDC m DC αβ=== ， ①令AB n =，//AB CD ，即//n m ，但AB ⊂平面ABCD ，n ⊂α，故AB 不与平面ABCD 平行，即//n α不成立故//n m ⇒//n α，所以“//n m ”是“//n α”的不充分条件；②令11n B C =，11//B C 平面ABCD ，即//n α，但11B C DC ⊥，11B C 不与DC 平行，即//n m 不成立.故//n α⇒//n m ，所以“//n m ”是“//n α”的不必要条件；综上所述“//n m ”是“//n α”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ）A. 1,2727B. 10,27C. ()0,27D. ()27,+∞【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为RR 上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为332log log 3x x <−，化简求解可得..【详解】()f x x x =，xx ∈RR ，则22,0(),0x x f x x x ≥= −<， 作出函数()f x 的图象，可知()f x 是RR 上的增函数.又()()f x x x x x f x −=−−=−=−，()f x ∴是奇函数. 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<可化为()()332log 3log f x f x <−−，所以()()332log log 3f x f x <−，则332log log 3x x <−，即3log 3x <−，解得1027x <<， 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是10,27. 故选：B.7. 已知函数()π4f x x =+ 的定义域为[],a b ，值域为 ，则b a −的取值范围是（ ） A. π24π,3B. π5π,23C. 5π5π,63D. 2433ππ, 【答案】D【解析】【分析】根据π4x ≤+≤5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由此可得b a −的最大、最小值.【详解】由函数()π4f x x =+ 的值域为 ，得π4x ≤+≤，得1πsin 124x −≤+≤ ， 6π24π7ππ2π6k k x −≤≤++()k ∈Z ，得5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由()f x 定义域为[],a b ， 所以max 11π5π4π()2π2π12123b a k k −=+−−= ()k ∈Z ， min 11π5π2π2π2π1212()23k k b a +−− −==()k ∈Z ， 所以b a −的取值范围是2π4π,33. 故选：D.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ）①二面角1F AD E −−的大小为常数②二面角1F D E A −−的大小为常数③二面角1F AE D −−的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a， 又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =−− ，设平面1AD E 的法向量为nn 1����⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，又()1,0,AD a a =− ，,,02a AE a =−， 则11100AD n AE n ⋅= ⋅= ，即1111002ax az a x ay −+= −+= ，令11x =，则112y =，11z =， 即111,,12n =， 又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅=， 则0002a x a z a −++−=，解得0032a x z =−， 因此可得003,,2a F z a z − ，100,,2a A F z a z a =−− ， 设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则21200AF n AD n ⋅= ⋅= ，即022*******a z x ay z z ax az −++= −+=，令21x =，则212y =−，21z =， 即211,,12n =−， 的又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E −−的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a =− ，()00,0,EF a z z =− ，则31300EF n D E n ⋅= ⋅= ，即()0303333002a z x z z a x ay az −+= +−= ，令31x =，则3012a y z =−，301a z z =−， 即30011,,12a a n z z =−− ， 因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A −−的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则4400AE n AF n ⋅= ⋅= ，即44044040202a x ay a z x ay z z −+= −++= ，令42x =，则41y =，3022a z z =−， 即4022,1,2a n z =−， 因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D −−的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ）A. 极差变大B. 中位数不变C. 平均数变小D. 方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定， 故不妨设129103x x x x x ≤≤≤≤≤ ，由题意不妨取1105,10x x ==， A 项， 原极差为1011055x x −=−=，去掉最高与最低分后，极差为921015x x x x −≤−=， 所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A 项错误；B 项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B 项正确；C 项，由题意原平均数99110221571010i i i i x x x x x ==+++==∑∑， 则9255i i x==∑，则去掉最高与最低分后， 平均数变为9255788ii x==<∑，平均数变小，故C 正确； D 项， 去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D 项错误.故选：BC.10. 已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，则下列命题中正确的是（ ）A. 若A B >，则cos cos A B <B.若π,1,6B b c ===，则π4C = C. 若O 是ABC 所在平面内的一点，且2−=+− OB OC OB OC OA ，则ABC 是直角三角形D. 若π,16B b ==，则AB AC ⋅ 的最大值是32【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A ；利用正弦定理解三角形求角C 判断B ；由已知可得CB AB AC =+ ，由其几何意义可知CB 边上的中线长等于CB 的一半，即可判断C ；由余弦定理和基本不等式求出2≤+ac ，再由数量积的定义将AB AC ⋅ 的最大值转化为求ac 的最大值，由求解可判断D .【详解】对于A ，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以A B >，则cos cos A B <，故A 正确对于B ，由121sin sin 2c b C B ===，则sin C =， 而5π06C <<，故π4C =或3π4，因为b c <，所以B C <， 所以π4C =或3π4，故B 错误； 对于C ，由OB OC CB −= 、OB OA AB −=，OC OA AC −= ， 故CBAB AC =+ ，所以在ABC 中CB 边上的中线长等于CB 的一半， 即ABC 是A 为直角的直角三角形，故C 正确.对于D，由余弦定理可得：222222cos 2b a c ac B a c ac =+−=+−≥−所以2ac ≤+，当且仅当a c =时取等， 由已知cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅= ， 由正弦定理可得：121sin sin 2a b A B ===，所以sin 2a A =， 所以要求AB AC ⋅ 的最大值，则π0,2A∈，此时cos 0A >，所以cos A ，所以3cos 22bc A =≤+.故则AB AC ⋅ 32+，故D 错误. 故选：AC.11. 四面体ABCD 中，3,5,4AC BC AB BD CD =====，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（ ）A. 当3AD =时，324π11S =B. 当四面体ABCD 体积最大时，28πS =C. S 可以是16πD. S 可以是100π【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，构造直角三角形求外接球的半径；B 选项，平面ABC ⊥平面BCD 时，构造直角三角形求外接球的半径；C 选项，由外接球半径的范围进行判断；D 选项，验证外接球的半径5R =是否成立.【详解】设四面体ABCD O ，半径为R ， 当3AD =时，AC AD AB ==，则A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，由222BD BC CD =+，BCD △为直角三角形，外心1O 是BD 边的中点，1AO ⊥平面BCD ，1OO ⊥平面BCD ，1,,A O O 三点共线，1Rt ADO 中，1AO ，1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得22252R R + ，解得R =此时23244ππ11SR =，A 选项正确； 当四面体ABCD 体积最大时，有平面ABC ⊥平面BCD ，设平面ABC 的外心为2O ，E 为BC 中点，连接21,,OO AE O E ，则2OO ⊥平面ABC ，由3AC BC AB ===，则=AE ，2AO =2EO =， 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，又1OO ⊥平面BCD ，则有1//OO AE ，Rt BCD △中，CD BC ⊥，又1//CD O E ，则1O E BC ⊥， 同理可得1O E ⊥平面ABC ，12//O E OO ，所以四边形12O EO O 为矩形，12OO EO ==1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得R =，此时24π28πSR =，B 选项正确；若16πS =，则外接球的半径为2R =，而BCD △的外接圆半径12.52r BD R ==>， 所以这种情况不成立，C 选项错误；当5OB OC OD ===时，2222211575524OO OD O D =−=−=，2222117591244OE OO O E =+=+=，则22222222222291254OA OO AO OE EO AO =+=−+=−+=，即5OA =，四面体ABCD 外接球的半径5R =成立，此时100πS =，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()257m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2 【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值. 【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m −+=，解得2m =，或3m =， 当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =， 故答案为：2.13. 已知1x >，1y >且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为______． 【答案】81 【解析】【分析】根据对数的运算性质可得33log log 4x y ⋅=，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由1x >，1y >，则3log 0x >，log 30y >，3log 0y >，又3log 4log 3y x =，则3log 4log 3y x=，即33log log 4x y ⋅=，又33331log =log log 4lo 8g xy x y +==≥， 当且仅当332log log x y ==，即9xy ==时，等号成立， 所以可得81xy ≥， 因此xy 的最小值为81. 故答案为：81.14. 在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 【答案】135【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.详解】取23CH CD =,由23AG AD =可得//,//GH AC EF AC ,故//HG EF ，故得截面为四边形EFHG ，14A EFHG A EFG A FHG G AEF F AGH G ABC F AGH V V V V V V V −−−−−−−=+=+=+12124333D ABC F ACD V V −−=×+×， 11215633218D ABC B ACD D ABC V V V −−−+××=, 121233A FHC A BCD D ABC V V V −−−=×=, 故1118A FHC A EFHG D ABC V V V −−−+=， 故体积较大部分与体积较小部分的体积之比1111187718=，故答案为：117【四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知a ∈R ，()(){}20A x a x a x =++>，102x B xx−=≤ −． （1）当0a <时求集合A ； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}2x x a −<<− （2）{2a a ≤−或}0a > 【解析】【分析】（1）当0a <时，解不等式()()20a x a x ++>，从而求出集合A ；（2）对a 进行分类讨论，求a 取不同值时的集合A ，再根据B A ⊆，即可求实数a 的取值范围. 【小问1详解】 当0a <时，则0a −>，由不等式()()20a x a x ++>，解得2x a −<<−，即{}2Ax x a =−<<−；【小问2详解】 由不等式102x x −≤−，则12x ≤<，即{}12B x x =≤<，当0a <时，由（1）知，{}2Ax x a =−<<−，又B A ⊆，则2−≥a ，即2a ≤−符合题意；当0a =时，A 为空集，又B A ⊆，显然不成立；当02a <<时，{2=<−A x x 或}x a >−，又B A ⊆，则<1a −，即1>−a ，故02a <<符合题意；当2a =时，{2=<−A x x 或}2x >−，显然B A ⊆，故2a =符合题意；当2a >时，{A x x a =<−或}2x >−，显然B A ⊆，故2a >符合题意；综上知，{2a a ≤−或}0a >.16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1）0.68 （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+×=， 10.320.68−=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68. 【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++×=，解得0.07a =， 估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32×+×+×+×+××=；【【【小问3详解】(0.020.060.075)40.62++×= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++×=， 由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86. 17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=−，且π5π,612α∈−，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k∈Z（2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α−=−，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα−+角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x=+−−+11cos cos cos 22x x x x x =+−+ πcos 2sin 6x x x=+=+.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ， 解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k∈∈Z 时，函数单调递减， 所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k∈Z ； 【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）， 则得到函数π(2)2sin 26f x x=+的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象， 所以πππ()2sin 22sin 2666gx x x=−+=−. 若()65g α=−，则π6()2sin 265g αα =−=− ， π3sin 265α −=−. 由π5π,612α ∈−，得ππ2π2,623α −∈− ，又πsin 206α−< ，所以ππ2,062α −∈− ，则π4cos 265α −=， 故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα=−+=−−−431552 =−−×=.故cos2α 18. 如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD °∠=∠=，且PB PD ⊥，（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接,AO PO ，证PO BD ⊥，AO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理得BD ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质即可证得BD PA ⊥；（2）由（1）知BD ⊥平面APO ，利用面面垂直的判断定理可得平面APO ⊥平面ABCD ，则PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，再利用题中条件求,AO PO 的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，再利用题中条件求出四边形ABCD 的面积和四棱锥P ABCD −的高PM ，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】取BD 中点O ，连接,AO PO ，由60PB PD APB APD PA PA °=∠=∠= =，则APB APD ≅△△， 因此可得AB AD =，又O 为BD 中点，则在等腰ABD △和等腰BPD △中，可得PO BD ⊥，AO BD ⊥， 又AO PO O = ，,AO PO ⊂平面APO ，BD ∴⊥平面APO ，又PA ⊂平面APO ，BD PA ∴⊥.【小问2详解】过P 作PM 垂直AO 的延长线于一点M ， 由（1）知BD ⊥平面APO ，BD ⊂平面ABCD , 则平面APO ⊥平面ABCD ，又平面APO 平面ABCD AO =，PM ⊂平面APO ，PM AO ⊥,PM ∴⊥平面ABCD ，故PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，又在等腰直角BPD △中，4PB PD ==，则BD =，12BODO PO BD ==== 又在APB △中，2222212cos 64264282AB PA PB PA PB APB +−⋅∠+−×××，则AB AD ==在Rt AOB 中，AO ，则在APO △中，222cos 2PA AO PO PAO PA AO +−∠==⋅，因此可得sin PAO ∠即直线PA 与平面ABCD【小问3详解】由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ， 则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，在Rt PAM 中，sin 6PM AP PAO =⋅∠=cos 6AM AP PAO =⋅∠，在Rt PMC △中，CM又AC AM CM =+=+=, 又四边形ABCD 的面积()111222ABD CBD S S S BD AO BD CO BD AO CO =+=⋅+⋅=+ 1122BD AC =⋅=×, 又（2）知PM ⊥平面ABCD ，故PM 为四棱锥P ABCD −的高，所以四棱锥P ABCD −的体积1133V S PM =⋅=× 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明BD ⊥平面APO ，再利用面面垂直的判定定理证平面APO ⊥平面ABCD ，最后根据平面PAC 与平面ABCD 垂直，确定,,,A O M C 四点共线，考查了线面垂直， 面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()()281616log log ,f x x g x ax m x ax==+−． （1）判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；（3）当1a >时，设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在()0,∞+上有两个零点12,x x ，证明：1216<x x ．【答案】（1）()f x 是“反比例对称函数”，理由见解析；（2）443m = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可；（2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可.（3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k 时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可.【小问1详解】()2816log ?log f x x x=是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知()282216116log ?log log ?log 3f x x x x x ==， 可知2216116log ?log 3f x x x =所以()16f x f x =， 故()f x 是“反比例对称函数”.【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+−， 因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x −=有一个解， 得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x−−+=⇒=+− ， 令()2216116log ?log 3H x x x x x =+−，得()m H x =仅有一个解， 显然()221616116log ?log 3H x x H x x xx +− ，因为()m H x =，则有16m H x =， 要使()m H x =仅有一个解， 只需164xx x⇒，或4x =−（舍） 所以()4443m H ==. 【小问3详解】不妨先设1a =，由题可知()2211616log ?log 3h x x x m x x =−−+， 显然()221616116log ?log 3h x x m h x x xx +−+ ， 已知ℎ(xx )有两个零点，12,x x ，则两个零点满足1216x x =， 此时1216x x =， 即，函数()2816log ?log f x x x =与函数()16g x x m x=+−，的两个交点横坐标满足1216x x =； 可知()()228221641log ?log log log 33f x x x x x ==−利用复合函数单调性可知， 当()0,4x ∈时，()f x 单调递增；()4,x ∞∈+时，()f x 单调递减；由对勾函数性质可知()16g x x m x=+− ， 在()0,4x ∈时，此时()g x 单调递减；在()4,x ∞∈+时，此时()x 单调递増；得两函数示意图当1a >，此时()16g x ax m ax =+−， 相当于函数()()1616g x x m g ax ax m x ax=+−⇒=+−， 故所有的横坐标缩小为原来的1a 倍；故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故1216<x x .层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系.。