福建省高二上学期数学开学考试试卷

福建省厦门2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷（答案在最后）2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I 卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x ++=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π62.已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则椭圆C 的离心率为（）A.13 B.12C.2D.13.已知双曲线2221(0)4x y b b-=>0y ±=，则b =A. B.C.2D.124.若直线10x y -+=与圆22210x y x a +-+-=相切，则a 等于（）A.2B.1C.D.45.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则4a =（）A.16B.8C.4D.26.已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.4B.9C.10D.187.椭圆2212516x y +=的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是.A.3B.3C. D.8.已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A.102B.53C.173D.94二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9.圆心在直线:230l x y --=上，且经过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的方程为________．10.已知点(2,2)A ，(1,1)B -，若直线:0l kx y k --=与线段AB （含端点）相交，则k 的取值范围为________．三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0nS <，求n 的最小值.12.圆C 的圆心为()2,0C ，且过点3,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程；（2）直线:10l kx y ++=与圆C 交,M N 两点，且MN =k .13.已知ABC 顶点()3,0A 、()1,3B --、()1,1C ．（1）求直线BC 的方程及其在y 轴上的截距；（2）求边BC 的垂直平分线l 的方程（3）求ABC 的面积．14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与.CD 当直线AB 斜率为0时，弦AB 长4．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线AB 的方程．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.已知(2,1)a =，(,1)b x = ，且a b + 与2a b - 平行，则x 等于（）A.10B.10- C.2D.2-16.已知向量(cos120,sin120)a =︒︒ ，(1,0)b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.2bB.12b- C.12b D.217.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠= .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（）A.π2B.π2C.πD.218.已知O 为ABC 的外心，4AB =，6AC =，1469AO AB AC =+，则ABC 的面积为（）A.12B.C.6D.五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．20.在三棱锥P AOB -中，24PB OA ==，PA ⊥平面AOB ，OA OB ⊥，45POA ∠= ，则OA 与BP 所成的角为__________.六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是AB 的中点，F 是BC 边上的三等分点（靠近点B ），AF 与DE 交于点M .（1）设AB a =，AD b =，请用a ，b 表示AF 和DE ；（2）求ME与MF u u u u r夹角的余弦值.22.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A B =，O 为1A B 的中点，E 、F 在1AC 上，1233EF AE FC ==.（1）试在直线1A B 上确定点P ，使得对于1FC 上任一点D ，恒有//PD 平面AOE ；（用文字描述点P 位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q 在直线1A A 上，满足对于1FC 上任一点D ，恒有//QD 平面AOE ，P 为（1）中确定的点，试求当1A PQ △的面积最大时，二面角1P A C Q --的余弦值.福建省厦门2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I 卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x ++=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为33k =-，设直线的倾斜角为()0παα≤<，即35πtan 36αα=-⇒=.故选：D.2.已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则椭圆C 的离心率为（）A.13 B.12C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程可知b 值，根据焦点坐标得到c 值，即可求出a 代入离心率公式求解.【详解】由已知可得24b =，2c =，则2228a b c =+=，所以a =则离心率22c e a ==．故选：C .3.已知双曲线2221(0)4x y b b-=>0y ±=，则b =A. B.C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】由双曲线2221(0)4x y b b-=>的渐近线方程为2b y x =±，结合渐近线方程为y =，从而可得结果.【详解】因为双曲线2221(0)4x y b b-=>的渐近线方程为2b y x =±，又渐近线方程为y =，所以2bb ==，故选A ．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题.若双曲线方程为22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a =±.4.若直线10x y -+=与圆22210x y x a +-+-=相切，则a 等于（）A.2B.1C.D.4【答案】A 【解析】【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求a 的值.【详解】圆22210x y x a +-+-=化成标准方程为()221x y a -+=，则0a >且圆心坐标为()1,0，半径直线10x y -+=与圆22210x y x a +-+-=相切，则圆心到直线距离等于半径，即：d ===，解得2a =.故选：A5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则4a =（）A.16B.8C.4D.2【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质，设出基本量1a 和q ，列出方程，可求解.【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩（负值舍去），3418a a q ∴==.故选：B.6.已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.4B.9C.10D.18【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义可得10p =，即可得结果.【详解】由题意可得：22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2px =-，设抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点为()04,A y ，则492pAF =+=，解得10p =，故该抛物线的焦点到准线的距离为10p =.故选：C.7.椭圆2212516x y +=的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是.A.3B.3C. D.【答案】A 【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为2tan2S b θ=，直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为2tan2S b θ=，故所求面积为16tan 303=，故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为2tan 2S b θ=，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.8.已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A.2B.53C.3D.94【答案】A 【解析】【分析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为F'，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m =，'2AF a m =+，'23CF a m =+，'2FF c =，因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ，所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =，将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++，化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即102e =，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9.圆心在直线:230l x y --=上，且经过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的方程为________．【答案】()()221210x y +++=【解析】【分析】直线l 和线段AB 的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A 点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点3(2,)A -和(2,5)B --，12AB k =，AB 中点为()0,4-，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y x =--24．联立方程组23024x y y x --=⎧⎨=--⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩．所以，圆心坐标为()1,2C --，半径r CA ===所以，此圆的标准方程是()()221210x y +++=．故答案为：()()221210x y +++=10.已知点(2,2)A ，(1,1)B -，若直线:0l kx y k --=与线段AB （含端点）相交，则k 的取值范围为________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k 的取值范围．【详解】由kx y k 0--=可得()1y k x =-，可知直线l 为过定点()1,0P ，斜率为k 的直线，可得201012,21112PA PB k k --====----，若直线:0l kx y k --=与线段AB （含端点）相交，则2k ≥或12k ≤-，所以k 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0nS <，求n 的最小值.【答案】（1）318n a n =-+（2）12【解析】【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出n S ，得到不等式，求出11n >，结合*n ∈N ，得到n 的最小值.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为60a =，所以()()3766326a a a d a d d +=-++=-=.解得3d =-.所以()66318n a a n d n =+-=-+.【小问2详解】131815a =-+=，所以()215318333222n n n S n n +-+⋅⎡⎤⎣⎦==-+.令0nS <，得2333022n n -+<，解得：11n >（0n <舍去）.因为*n ∈N ，所以n 的最小值是12.12.圆C 的圆心为()2,0C ，且过点3,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程；（2）直线:10l kx y ++=与圆C 交,M N 两点，且MN =k .【答案】（1）()2221x y -+=（2）1k =-或17-【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心()2,0C 到直线:10l kx y ++=的距离，利用垂径定领列出方程，求出k .【小问1详解】设圆的半径为r，则1r ==，故圆的标准方程为：()2221x y -+=；【小问2详解】设圆心()2,0C 到直线:10l kx y ++=的距离为d ，则d =，由垂径定理得：2222MN d r ⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，即2212⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：1k =-或17-.13.已知ABC 顶点()3,0A 、()1,3B --、()1,1C ．（1）求直线BC 的方程及其在y 轴上的截距；（2）求边BC 的垂直平分线l 的方程（3）求ABC 的面积．【答案】（1）210x y --=；1-；（2）220x y ++=；（3）5.【解析】【分析】（1）由题可得直线BC 的斜率，然后根据点斜式即得；（2）由题可知BC 的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得；（3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得.【小问1详解】因为()1,3B --、()1,1C ，所以直线BC 的斜率为13211k +==+，所以直线BC 的方程为()121y x -=-，即210x y --=，令0x =，得1y =-，即直线BC 的方程在y 轴上的截距为1-；【小问2详解】由题可知BC 的中点为()0,1-，直线BC 的斜率为2k =，线段BC 的垂直平分线l 的斜率为12-，所以线段BC 的垂直平分线l 的方程为112y x +=-，即220x y ++=；【小问3详解】因为直线BC 的方程为210x y --=，又()3,0A ，所以A 到BC 的距离为d ==又BC ==所以ABC的面积为11522BC d =⨯=.14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与.CD当直线AB 斜率为0时，弦AB 长4．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线AB 的方程．【答案】（1）221.43x y +=（2）10x y --=或10.x y +-=【解析】【分析】()c 11e a 2==，2a 4=，又222a b c =+，解得：a 2,b ==()2分类讨论，将直线AB，CD 方程代入椭圆方程中，求出AB ，CD ，利用48AB CD 7+=，求出k，即可求直线AB 的方程．【详解】() 1由题意知c 1e a 2==，2a 4=，又222a b c =+，解得：a 2,b ==22x y 1.43+=()2①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB CD 7+=，不满足条件；②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为()y k x 1=-，则直线CD 的方程为()1y x 1k=--．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得()222234kx8k x 4k 120+-+-=，则221212228k 4k 12x x ,x x 34k 34k -+=⋅=++，所以()212212k 1AB x 34k+=-=+．同理，()2222112112k 1k CD 43k 43k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++．所以()()()()2222222212k 112k184(k 1)48AB CD 34k 3k 4734k 3k4++++=+==++++解得k 1=±，所以直线AB 方程为x y 10--=或x y 10.+-=【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，熟练计算弦长公式是关键，属于中档题．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.已知(2,1)a =，(,1)b x = ，且a b + 与2a b - 平行，则x 等于（）A.10B.10- C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】先求出向量a b + 与2a b -的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为(2,1)a =，(,1)b x = ，所以()2,2a b x +=+ ，()24,1a b x -=- ，若a b + 与2a b -平行，则()212(4)x x +⨯=⨯-，得x ＝2.故选：C.16.已知向量(cos120,sin120)a =︒︒ ，(1,0)b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.32bB.12b- C.12b D.32【答案】B 【解析】【分析】解法1：根据向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.【详解】解法1：因为()1cos120,sin120,,122a a b ⎛⎫=︒︒=-== ⎪ ⎪⎝⎭r r r，,120a b =︒ ，则a 在b 上的投影向量为()1cos1202a b b ︒=-r r r.解法2：因为1a b ==，由图可得，a 在x 轴上的投影数量为12-，则a 在b 上的投影向量12b - .故选：B.17.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠= .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（）A.π2B.π2C.πD.2【答案】B 【解析】【分析】先找出平面11BCC B 截球面的截面圆的圆心是11B C 的中点O ，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图所示：由已知，连接11,BD B D ，则112,BD B D ==因为直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，60BAD ∠= ，所以111B C D △为等边三角形.且1BB ⊥平面111B C D ，取11B C 的中点O ，连接1D O ,则111DO BC ⊥,又1D O ⊂平面111B C D ，所以1BB ⊥1D O ，又11B C ⋂11BB B =，所以1D O ⊥平面11BCC B ，故平面11BCC B 截球面的截面圆的圆心是点O ，取1BB 和1CC 的中点E F 、，连接11,,EF D E D F ,则11D E D F ==故E F 、在球面上，OE OF ==,2EF =，所以OEF 为直角三角形，EOF ∠90= ,球面与侧面11BCC B 的交线是侧面上以O 为圆心，为半径的圆弧 1π42EF=⨯=.故选：B.18.已知O 为ABC 的外心，4AB =，6AC =，1469AO AB AC =+，则ABC 的面积为（）A.12B.C.6D.【答案】D 【解析】【分析】根据外心求出AO AC ⋅ ，利用条件得出sin 2BAC ∠=，结合面积公式可得答案.【详解】设AC 的中点为D ，由O 为ABC 的外心可得，OD AC ⊥，()3618AO AC AD AC AD AC DO ⋅+==⋅=⋅⨯=，又14()69AO AC AB AC AC ⋅=+⋅ 214116696AB AC AC AB AC =⋅+=⋅+，所以12AB AC ⋅=，又cos 46cos 12AB AC AB AC BAC BAC ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯∠= ，可得1cos 2BAC ∠=，故3sin 2BAC ∠=，则ABC 的面积为113sin 46222AB AC BAC ⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，故选：D.五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．【答案】【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式，梯形的面积公式，即可求解【详解】设该正四棱台的的高为h ,则根据题意可得：()2212424283h ⨯++⨯⨯=，∴3h =，又易知对角面为上下底分别为3h =的等腰梯形，∴该棱台的对角面面积为(132⨯⨯=．故答案为：.20.在三棱锥P AOB -中，24PB OA ==，PA ⊥平面AOB ，OA OB ⊥，45POA ∠= ，则OA 与BP 所成的角为__________.【答案】60 ##π3【解析】【分析】如图，以OA ，OB 为邻边将AOB 补成矩形OACB ，连接CP ，则PBC ∠（或其补角）为OA 与BP 所成的角，由线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥，所以cos BCPBC PB∠=，代入求解即可得出答案.【详解】如图，以OA ，OB 为邻边将AOB 补成矩形OACB ，连接CP ，则PBC ∠（或其补角）为OA 与BP 所成的角.由PA ⊥平面AOB ，BC ⊂平面AOB ，得PA BC ⊥，又ACBC ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.又21cos 42BC PBC PB ∠===，所以60PBC ∠= .故OA 与BP 所成的角为60 .故答案为：60 .六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是AB 的中点，F 是BC 边上的三等分点（靠近点B ），AF 与DE 交于点M .（1）设AB a =，AD b =，请用a ，b 表示AF 和DE ；（2）求ME与MF u u u u r夹角的余弦值.【答案】（1）13AF a b =+ ，12DE a b=-（2）210-【解析】【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可得解；（2）法一：利用平角向量的数量积运算求得DE ，AF ，AF DE ⋅，从而得解；法二：建立直角坐标系，得到各点坐标，从而求得DE ，AF ，AF DE ⋅，由此得解.【小问1详解】依题意，作出图形如下，因为E 是AB 的中点，F 是BC 边上的三等分点（靠近点B ），所以111333AF AB BF AB BC AB AD a b =+=+=+=+ ，1122DE DA AE AD AB a b =+=-+=- .【小问2详解】法一：依题意得，3,2,AD AB AD AB ==⊥，1,1AE BF ==，则0a b ⋅=，2,3a b == ，所以DE ==AF ==2211151132263AF DE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由于ME 与MF u u u u r 的夹角等于DE 与AF的夹角，所以DE 与AF夹角的余弦值为210DE AF DE AF⋅==- ，即ME与MF u u u u r夹角的余弦值为10-.法二：建立直角坐标系，如图，则(0,0)A ，(2,0)B ，(2,3)C ，(0,3)D ，(1,0)E ，(2,1)F，故(2,1)AF =，AF = ，(1,3)DE =-，DE = 则231AF DE ⋅=-=-，由于ME 与MF u u u u r 的夹角等于DE 与AF的夹角所以DE 与AF夹角的余弦值为210DE AF DE AF⋅==- ，即ME与MF u u u u r夹角的余弦值为10-.22.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A B =，O 为1A B 的中点，E 、F 在1AC 上，1233EF AE FC ==.（1）试在直线1A B 上确定点P ，使得对于1FC 上任一点D ，恒有//PD 平面AOE ；（用文字描述点P 位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q 在直线1A A 上，满足对于1FC 上任一点D ，恒有//QD 平面AOE ，P 为（1）中确定的点，试求当1A PQ △的面积最大时，二面角1P A C Q --的余弦值.【答案】（1）答案见解析（2）7【解析】【分析】（1）延长OB 至点P ，使12BP OB =，点P 即所求的点，然后证明出平面1//PC F 平面AOE ，利用面面平行的性质可得出结论；（2）分别延长1C F 、1A A ，所得交点即点Q ，连接PQ ，则二面角1P A C Q --即二面角1B A C A --，推导出11258A PQ A BA S S =△△，可知，当1A BA S △最大时，1A PQ S △最大，利用基本不等式求出1A BA S △的最大值，及其等号成立的条件，分析可知1AA C △为等腰直角三角形，取AC 的中点M ，则BM AC ⊥，在平面11AA C A 内过点M 作1MN AC ⊥，垂足为N ，连接BN ，分析可知BNM ∠为二面角1B AC A --的平面角，计算出BNM 三边边长，即可求得BNM ∠的余弦值，即为所求.【小问1详解】解：延长OB 至点P ，使12BP OB =，点P 即所求的点，图形如下：证明如下：连接PF 、1PC ，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，所以，11AA E C CF ∠=∠，又因为1AE CF =，所以，11AA E C CF △≌△，所以，11AEA C FC ∠=∠，则11AEC C FA ∠=∠，故1//C F AE ，因为1C F Ë平面AOE ，AE ⊂平面AOE ，所以，1//C F 平面AOE ，因为1233EF A E FC ==，则123A E EF =，因为O 为1A B 的中点，12BP OB =，则13322OP OB OA ==，故123OA OP =，所以，1123A E OA EF OP ==，所以，//PF OE ，因为PF ⊄平面AOE ，OE ⊂平面AOE ，所以，//PF 平面AOE ，又因为1C F PF F = ，1C F 、PF ⊂平面1PC F ，所以，平面1//PC F 平面AOE ，当点D 在线段1FC 上运动时，PD ⊂平面1PC F ，故//PD 平面AOE .【小问2详解】解：分别延长1C F 、1A A ，所得交点即点Q ，连接PQ ，则二面角1P A C Q --即二面角1B A C A --.因为Q 、D ∈直线1C F ，且1//C F AE ，则//QD AE ，因为QD ⊄平面AOE ，AE ⊂平面AOE ，所以，//QD 平面AOE，合乎题意，因为1111125A A C C CF A Q A Q A F ===，且1125AO A P =，所以1111A A AO AQ A P =，所以11A PQ A OA △∽△.所以111252548A PQ A OA A BA S S S ==△△△，所以当1A BA S △最大时，1A PQ S △最大.由基本不等式可得1222111111122222A BAAB AA A B S AB AA +=⋅≤⋅==△，当且仅当1AB AA ==.此时AC =，且1A AC △为等腰直角三角形.取AC 的中点M ，则BM AC ⊥，在平面11AA C A 内过点M 作1MN AC ⊥，垂足为N ，连接BN .因为1A A ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1BM A A ⊥，又1AC A A A ⋂=，AC ⊂平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ，所以BM ⊥平面11A ACC .因为1AC ⊂平面11A ACC ，所以1BM A C ⊥，又MN BM M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，BM ⊂平面BMN ，所以1A C ⊥平面BMN .因为BN ⊂平面BMN ，所以1AC BN ⊥.所以BNM ∠为二面角1B A C A --的平面角.因为1222CM AC ==，所以36sin 6022BM BC === ，1sin 45222MN CM === ，因为BM ⊥平面11A ACC ，MN ⊂平面11A ACC ，则BM MN ⊥，所以2BN =，所以1cos 2MN BNM BN ∠==⨯即二面角1P A C Q --的余弦值为7.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.。

2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。

一、单选题1．已知集合，，则“”是“”的（ ） {}012M =,,{}1,0,1,2N =-a M ∈a N ∈A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为,所以“” “”，但“”推不出“”， M N ⊆a M ∈⇒a N ∈a N ∈a M ∈所以“”是“”的充分不必要条件. a M ∈a N ∈故选：A.2．已知，，则的值为（ ）πsin 2sin 2αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan αA B C ．D ．【答案】B【分析】利用倍角的正弦公式和诱导公式化简可得，再求． 1sin 2α=tan α【详解】∵，则πsin 22sin cos ,sin cos 2ααααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2sin cos cos ααα=又∵，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α≠∴，即，则1sin 2α=π6α=tan α=故选：B ．3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复()2i i z a =+数”，则实数的值为（ ） a A ． B ．C ．2D ．1-0-2【答案】D【分析】化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.【详解】化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等， ()2i i=2i z a a =+-复数为“等部复数”，所以，所以. z 2a -=2a =-故选：D.4．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则（ ） 8,5,8,7,8,6,97,7,5A ．该组数据的平均数为7，众数为 7.5B ．该组数据的第60百分位数为6C ．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小D ．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 【答案】C【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得； 【详解】解：这组数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 5567778889故平均数为，众数为和，中位数为，故A 错误； ()152673839710⨯++⨯+⨯+=787方差为， ()()()()2222157******** 1.610⎡⎤-⨯+-+-⨯+-=⎣⎦因为，所以第60百分位数为，故B 错误； 1060%6⨯=787.52+=如果再增加一位评委给该班也打分，则平均分不变也为， 77此时的方差为，故C 正确； ()()()()22221165726787397 1.61111⎡⎤-⨯+-+-⨯+-=<⎣⎦对于D ：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故D 错误； 故选：C5．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，//EF） 12,2EF AB AE ===A B ． C D ．32π【答案】A【分析】根据给定条件，求出点E 到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结ABCD 合球面的性质求解作答.【详解】取AD ，BC 中点N ，M ，正方形中心O ，EF 中点，连接，如ABCD 2O 2,,,EN MN FM OO 图，依题意，平面，，点O 是MN 的中点，， 2OO ⊥ABCD ////EF AB MN 4MN AB ==等腰中，，，同理AED △AD EN⊥EN ==FM =因此，等腰梯形的高 EFMN 2OO =刍甍的外接球球心在直线上，连，正方形外接圆半径1O 2OO 11,,O E O A OA ABCD OA =则有，而， 222112221221O A OA OO O E O E O O ⎧=+⎨=+⎩1121,12O A O E O E EF ===当点在线段的延长线（含点O ）时，视为非负数，若点在线段（不含点O ）1O 2O O 1OO 1O 2O O 上，视为负数，1OO 即有，即，解得，21211O O O O OO OO =+=222111)OO OO +=+10OO =因此刍甍的外接球球心为O ，半径为 OA =所以刍甍的外接球的体积为. 34π3⨯=故选：A【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.6．在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对应边，设A ＝2C ，则的取值范围是2cc b+（ ）A ．B ．C ．D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解【详解】由正弦定理可得()22sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin c C C Cc b C B C B C A C ===+++++()2sin 2sin sin sin 2sin sin 2cos cos 2sin C CC C C C C C C C ==++++()222sin sin 2sin cos 2cos 1sin CC C C C C=++-()22222214cos 2cos 12cos 2cos 1C CC C ===++-又因为三角形是锐角三角形，所以，即，也即, π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩()π022π0π2π02C A C C ⎧<<⎪⎪⎪<-+<⎨⎪⎪<<⎪⎩π04ππ63π02C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩所以， ππ64C <<，， cos C <213cos 24C <<2312cos 2C <<， 221132cos C <<所以的取值范围是， 2c c b +2,13⎛⎫⎪⎝⎭故选：A7．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，()cos 2(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭2π()f x 6π再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是()g x （ ） A ．B ．的图象关于点对称(0)0g =()g x ,02π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象关于对称D ．在上的最大值是1 ()g x 4x π=-()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到，再依次判断选项即可. ()sin 2g x x =-【详解】因为，所以，.222T ππω==2ω=()cos 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度，得到， ()f x 6πcos 4sin 466y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. ()sin 2g x x =-对选项A ，，故A 正确.()0sin 00g =-=对选项B ，，所以的图象关于点对称，故B 正确.sin 02g ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()g x ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对选项C ，，所以的图象关于对称.故C 正确.sin 142g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()g x 4x π=-对选项D ，，，所以， ,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦1sin 212x -≤≤所以，故在上的最大值是，故D 错误.()112g x -≤≤()g x ,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12故选：D8．如图，在平面四边形ABCD ，，，，．若点E 为AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒1AB AD ==边上的动点，则的取值范围为（ ）CD AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22116⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由已知条件可得，则，由BC DC ==DE x =(0CE x x =≤≤，展开后，利用二次函数性质求解即可. ()()AE BE AD DE BC CE ⋅=+⋅+【详解】∵()()AE BE AD DE BC CE ⋅=+⋅+,AD BC AD CE DE BC DE CE =⋅+⋅+⋅+⋅ 因为，，， AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒所以，60BCD ∠=︒连接，因为，AC 1AB AD ==所以≌， Rt ADC A Rt ABC △所以， 30ACB ACD ∠=∠=︒所以，则 2AC =BC DC ==设，则，DE x =(0CE x x =≤∴，，，312AD BC ⋅=︒= 0AD CE ⋅=60DE BC x ⋅=︒=，2)(1)DE CE x x x ⋅=-=所以，22233212216AE BE x x x ⎛⋅=+=+=+ ⎝因为， 0x ≤≤所以.21316AE BE ≤⋅≤故选：A.二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列选项正确的是（ ） 0b a <<A ． B ． C ．D ．22a b >a b ab +<a b <2ab b >【答案】BC【分析】根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A,由得:，故错误； 0b a <<22a b <对于B ，因为，所以，故正确； 0b a <<00a b ab +<>，对于C;由得:，故正确；0b a <<a b <对于D,由于，故，故错误；()20ab b b a b -=-<2ab b <故选：BC10．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） 123,,z z z 30z ≠A ．若，则 B ．若，则 12=z z 12=±z z 1323z z z z =12z z =C ．若，则 D ．若，则2313z z z =13z z =21z z =1323z z z z =【答案】BD【分析】由反例可知AC 错误；由可得，得到，知B 正确；设1323z z z z =()3120z z z -=12z z =，，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得，知D 正确.1i z a b =+3i z c d =+1323z z z z =【详解】对于A ，若，，则，此时，A 错误；11i z =+21i z =-12=z z 12z z ≠±对于B ，，，又，，即，B 正确； 1323z z z z = ()3120z z z ∴-=30z ≠120z z ∴-=12z z =对于C ，若，则，若为虚数，则，C 错误； 13z z =213333z z z z z ==13,z z 13z z ≠对于D ，设，，则，1i z a b =+3i z c d =+21i z z a b ==-，，()()()()13i i i z z a b c d ac bd ad bc ∴=++=-++()()()()23i i i z z a b c d ac bd ad bc =-+=++-，==，D 正确. 1323z z z z ∴=故选：BD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ） ()sin lg sin f x x x =+A ．的最大值为1B ．2π是的周期()f x ()f x C ．关于，对称 D ．在上单调递增()f x (π,0)k Z k ∈()f x π(0,)2【答案】ABD【分析】求得的最大值判断选项A ；依据周期定义判断选项B ；举反例否定选项C ；依据复合()f x 函数单调性判定规则判断选项D.【详解】定义域为，()sin lg sin f x x x =+(2π,2ππ)k k +Z k ∈选项A ：的单调递增区间为，()sin lg sin f x x x =+π(2π,2π)2k k +Z k ∈单调递减区间为，π(2π,2ππ)2k k ++Z k ∈则在，时取得最大值.判断正确；()f x π2π2x k =+Z k ∈π(2π)1lg112f k +=+=选项B ：由 (2π)sin(2π)lg sin(2π)sin lg sin ()f x x x x x f x +=+++=+=可得2π是的周期.判断正确；()f x 选项C ：由定义域为 ()sin lg sin f x x x =+(2π,2ππ)k k +Z k ∈可得点在图象上，π(,1)2P ()f x 但关于的对称点不在图象上，π(,1)2P (0,0)π(,1)2P '--()f x 则不关于，对称.判断错误；()f x (π,0)k Z k ∈选项D ：当时，单调递增，且，则单调递增，π(0,)2x ∈sin x sin (0,1)x ∈lg sin x 则当时，单调递增.判断正确.π(0,2x ∈()f x12．下列命题正确的是（ ）A ．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件m n λλ= m n 0m n ⋅<u r rB ．点是边的中点，若在的投影向量是 D ABC A BC AB AC AB AC += BA BC BD C ．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最D ABC A BC P AD BP BA BC λμ=+λμ大值为18D ．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底1e 2e 12e e + 12e e -【答案】ABC【分析】对A ，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B ，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C ，根据、、ABC A CAB ∠A P 三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t 表示，根D (1),01BP tBA t BD t =+- ……BD 12BC λμ据二次函数性质即可判断；对D ，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可【详解】对A ，若存在负数，使得，则成立；λλ= m n 20m n n λ⋅=< 当时，可能夹角为钝角，不满足，故A 正确；0m n ⋅<u r r,m n λ= m n对B ，由同向的单位向量和与同向的AB AC AB AC += AB 1e AC 单位向量，1e和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.AD 3e 2CAB π∠=AD CAB ∠又是边的中点，D ABC A BC 由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.ABC A CAB ∠BA BC BD对C ，如图所示：∵在上，即、、三点共线， P AD A P D 则可设，(1),01BP tBA t BD t =+-……又∵，∴， 12BD BC =(1)2t BP tBA BC -=+∵，则，，BP BA BC λμ=+ 12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩01t ……令， 21111(2228t y t t l m -==´=--+时，取得最大值为，故C 正确 12t =λμ18对D ，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对1e 2e 12e e + 12e e -1e 2e 角线，故，一定不共线，故能作为一组基底，故D 错误； 12e e + 12e e -故选：ABC三、填空题13．已知非零向量，的夹角为，则______．a bπ3()a ab ⊥- b =【答案】【分析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量，的夹角为得：，即a b π3()a ab ⊥-()0⋅-= a a b 20a ab -⋅= ，于是得，所以2π3||||cos |3aa b a b b ==⋅==||b = 故答案为：14．圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________． 【答案】28π【分析】求出圆台的高，结合圆台的体积公式即得解.【详解】解：设这个圆台的高为h ，画出圆锥圆台的轴截面，可得，解得h =3， 2646h -=所以这个圆台的体积是.2213(24)283πππ⨯⨯⨯+⨯=故答案为：28π15．甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平60kg 均数为，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为，那么甲､乙两队全部队员的方64kg 1:3差等于___________. 【答案】178【分析】先求出甲、乙两队队员所有队员中人数所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【详解】解：由题意可知甲队的平均数为，乙队体重的平均数为， 60kg 64kg 甲队队员在所有队员中人数所占权重为， 11134=+乙队队员在所有队员中人数所占权重为， 33134=+则甲、乙两队全部队员的平均体重为，4136064634x kg =⨯+⨯=甲、乙两队全部队员体重的方差为．22213[100(6063)][200(6463)]17844s =+-++-=故答案为178．16．如图，在中，角、、的对边分别为、、，若，，，若ABC A A B C a b c 3cos 4A =2B A =3b =点在边上，且平分，则的面积为____________.M BC AM BAC ∠ABM A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用二倍角公式可求得、，进而sin A sin B cos B 可求得的值，利用正弦定理可求出、的值，利用角平分线的性质可求得、的长，sin C a c BM CM 再利用三角形的面积公式可求得的面积.ABM A 【详解】因为，，，则为锐角，且3cos 4A =2B A =3b =A sinA ===所以，， 3sin sin 22sin cos 24B A A A====由得， sin sin a b A B =sin 2sin b A a B ===， 2231coscos 22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭所以，()13sin sin sin cos cos sin 84C A B A B A B =+=+=+=由正弦定理得. sin sin b c B C =sin 5sin 2b C c B ===又平分，则，AM BAC ∠36552ACM BAM S CM CA S BM BA ====A A又，所以，，， 2CMBM BC +==1211CM =1011BM =所以，. 11510sin 22211ABM S BA BM B=⋅=⨯⨯=△四、解答题17．在中，.ABC A 222a a c b =+-=(1)若，求；b =sin C (2)若存在且唯一确定，求的取值范围.ABC A b 【答案】(1)答案见解析(2)或2b =b ≥【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然222a c b +-=B c 后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一确定，则，或，从而求得的范sin C ABC A sin b a B =b a ≥b 围.【详解】（1）因为，222a c b +-=所以. 222cos 2a c b B ac +-===因为，0B π<<所以.4B π=由余弦定理知2222cos .b c a ca B =+-.2224c c π=+-⨯得.2430c c -+=所以，或.1c =3c =由正弦定理知. sin sin c b C B=所以，当时，1c =sin C当时，3c =sin C =（2）由（1）得，存在且唯一确定，则，或 4B π=ABC A sin 2b a B ===b a ≥=综上，当或时，存在且唯一确定.2b =b ≥ABC A18．已知函数．()22cos cos sin f x x x x x =+-(1)若，求的单调递增区间；()0,x π∈()f x (2)若，且，求的值． ()65f θ=263θππ<<sin 2θ【答案】(1)单调递增区间为， 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先化简函数，再求函数的单调递增区间； ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由（1）的结果求得，再利用角的变换，结合两角3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2sin 266θππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=差的正弦公式，即可求解.【详解】（1）， ()cos 22=+f x x x 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，，则，，222262k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 因，所以的单调递增区间为，. ()0,x π∈()f x 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以．因为，所以， ()65f θ=3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭263θππ<<32262πππθ<+<所以，所以 4cos 265πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin 2sin 266θππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 2cos cos 2sin 6666ππππθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341552=⨯=19．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，2πCD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ，在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ，可得二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角∠DHG ，计算∠DHG 的余弦值即可.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，因为，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，2ABC BAD π∠=∠=因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE ∩BE ＝E ，故EF ⊥平面ABE ．（2）解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF ＝EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG ∩DH ＝D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF ＝（BC +AD ）＝3，12故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG ＝AE ＝2，GF ＝1，在Rt △BEF 中，， 2tan 3BFE ∠=因为∠BFE 为三角形的内角，故sin BFE ∠=1sinGH BFE =⨯∠=故，tan DHG ∠==因为∠DHG 为三角形的内角，故cos DHG ∠=所以二面角D ﹣BF ﹣E． 20．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，AB O P O O C 2AC BC =点是的中点，与交与点，点是上的一个动点.D PA PO BDEF PC（1）若平面，求的值； //EF ABC PC FC（2）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.F PC 2PC AB ==P BEF -【答案】（1）3；（2）. 445【分析】（1）先证明，再证明点为的重心，即得解； PF PE FC EO =E PAB A （2）分析得到，再求出即得解. 13P BEF P BOC V V --=14,315P BOC BOC V S PC -=⨯=A 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面//EF ABC EF ⊂ABC POC ⋂ABC OC =所以，所以． //EF OC PF PE FC EO=因为，分别为，的中点，D O PA AB 所以点为的重心，E PAB A 所以，即，所以. 2PE EO=2PF FC =3PC FC =（2）点为的重心，所以, E PAB A 23PE EO =又点为的中点，所以, F PC 12PF PC =所以, 211323PEF POC S S =⨯=A A 所以. 13P BEF B PEF PEF P BOC B POC POC V V S V V S ----===A A 在直角中，, ABC A 122,2,25BOC ABC AB AC BC S S ==∴==A A所以 11242,33515P BOC BOC V S PC -=⨯=⨯⨯=A 所以. 1144331545P BEF P BOC V --==⨯=A 所以三棱锥的体积为. P BEF -44521．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：123 344 423 114 423 453 354 332 125 342534 443 541 512 152 432 334 151 314 525(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；(2)计算甲获胜的概率.【答案】(1)0.65(2)0.648【分析】（1）由频率可得到概率估计值；（2）事件“甲获胜”可分类为：第一次和第二次比赛胜利；第一次比赛失败，第二、三次比赛胜利；第一、三次比赛胜利，第二次比赛失败.【详解】（1）设事件为 “甲获胜”，A 计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了13次：A 对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314， 用频率估计事件的概率近似值为； A ()130.6520P A ==（2）设事件为第局“甲获胜”，则，i A i ()0.6i P A =12123123A A A A A A A A A =++根据概率的加法公式和事件独立性定义，得∴.()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯=22．为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）（1）试估计该地区居民的户月均用电量平均值；（2）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使用户在第一档（最低一档），用户在第二75%20%档，用户在第三档（最高一档）.5%①试估计第一档与第二档的临界值，第二档与第三档的临界值；αβ②市政府给出的阶梯电价标准是：第一档元/千瓦时，第二档元/千瓦时，第三档元/千瓦0.40.550.8时，即：设用户的用电量是千瓦时，电费是元，则x ()f x ，试估计该地区居民的户月均电费平均值.()()()()0.4,0.40.55,0.40.550.8,x x f x x x x x ααααβαβαββ⎧≤⎪=+-<≤⎨⎪+-+->⎩【答案】(1)；(2) ①,；②.6776α==90β27.14【分析】（1）根据同一组中的数据用该组区间的中点值作代表进行求解即可；（2）①利用频率分布直方图中的频率分别列式求解即可；②利用平均数的计算方法求解即可.【详解】（1）设户月均用电量的平均值为，x 则；450.1550.2650.375x =⨯+⨯+⨯+0.25850.1950.0567⨯+⨯+⨯=（2）①因为前三组的频率为，()0.010.020.03100.6++⨯=第四组的频率为，所以在，则有0.025100.25⨯=α[70,80)，解得，()0.025700.750.6α⨯-=-76α=区间的频率为，区间的频率为，[40,80)0.60.250.085+=[80,90)0.1所以；=90β②设该地区居民户月均电费的平均值为，依题意得w0.4(450.1550.2650.3750.25)w =⨯⨯+⨯+⨯+⨯0.4760.10.5590.10.4760.05+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 0.55140.050.850.0527.14+⨯⨯+⨯⨯=。

宁德一中2023-2024学年度第一学期期初高二阶段检测数 学 试 题(考试时间：120分钟 试卷总分：150分 考试范围：第一章数列等比求和前)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和2n n S c q =+⋅，*n ∈N ，且314S =，则4a =（）A ．48B ．32C ．16D ．82．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知342a a =，则一定成立的是（ ） A ．25a a >B ．1n n a a +<C ．90S =D ．数列{}n S 有最大项3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（ ）6．已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则数列{}n a （ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递增后递减D ．是常数列7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ A ．63B ．45C ．43D ．27部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）10．在数列{}n a 中，221n n a a p −−=（*2,,n n p ≥∈N 为非零常数），则称{}n a 为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）11．下列说法中，正确的有（ ）A ．数列{}n a 的最大项为6aB ．数列{}n a 的最大项为5aC ．数列{}n a 的最小项为5aD ．数列{}n a 的最小项为4a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买。

福建省高二上学期开学数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知 F1、F2 是两定点，， 动点 M 满足,则动点 M 的轨迹是（ ）A . 椭圆B . 直线C.圆D . 线段2. （2 分） (2018 高二下·辽宁期中) 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其 短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2020 高二上·辽源期末) 已知双曲线 线的距离为 ，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C.的离心率为，且它的一个焦点到渐近第 1 页 共 15 页D. 4. （2 分） (2018 高二上·牡丹江期中) 如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点为 物线的方程是（ ） A. B. C. D.，那么抛5. （2 分） 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2)，则关系式 于（ ）的值一定等A.4B . -4C . 4pD . -4p6. （2 分） 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0），过其点 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，若|AF|：|BF|=3：1， 则直线 l 的斜率等于（ ）A. B . ±1 C. D.7. （2 分） (2018 高二上·榆林期末) 椭圆的长轴端点坐标为（ ）A.第 2 页 共 15 页B.C. D.8. （2 分） (2018·河北模拟) 椭圆与抛物线相交于点 M，N，过点的直线与抛物线 E 相切于 M，N 点，设椭圆的右顶点为 A，若四边形 PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D. 9. （2 分） (2016·花垣模拟) 下列说法正确的是（m，a，b∈R）（ ） A . am＞bm，则 a＞b B . a＞b，则 am＞bm C . am2＞bm2 ， 则 a＞b D . a＞b，则 am2＞bm210. （2 分） (2018 高二下·赤峰期末) 过点且斜率为 的直线与抛物线 ：交于 ， 两点，若 的焦点为 ，则（）A.B.第 3 页 共 15 页C. D.11. （2 分） (2019 高二上·龙江月考) 椭圆 别是（ ）A . 8，2 B . 5，4 C . 5，1 D . 9，1上的点 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分12. （2 分） (2019 高三上·柳州月考) 已知抛物线的焦点与双曲线焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为 6，那么该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.的一个D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2016 高二上·吉林期中) 抛物线 x2=3y 上一点 A 的纵坐标为 离为________．，则点 A 到此抛物线焦点的距14. （2 分） (2018 高二上·浙江月考) 若椭圆 的方程是________，若点 是直线 上一点，则到椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的两个焦点的距离之和的最小值等于________.15. （1 分） 平面上两点 F1 ， F2 满足|F1F2|=4，设 d 为实数，令 D 表示平面上满足||PF1|﹣|PF2||=d 的所 有 P 点组成的图形，又令 C 为平面上以 F1 为圆心、6 为半径的圆．则下列结论中，其中正确的有________ （写出 所有正确结论的编号）．第 4 页 共 15 页①当 d=0 时，D 为直线； ②当 d=1 时，D 为双曲线； ③当 d=2 时，D 与圆 C 交于两点； ④当 d=4 时，D 与圆 C 交于四点； ⑤当 d＞4 时，D 不存在． 16. （1 分） (2018 高二上·潮州期末) 命题若三、 解答题 (共 4 题；共 30 分),则 都为零的逆否命题是________．17. （5 分） (2018·佛山模拟) 已知直线 过点 轴交于点 ，其中点 在第四象限， 为坐标原点.(Ⅰ)当 是 中点时，求直线 的方程；，且与抛物线相交于两点，与(Ⅱ)以 为直径的圆交直线 于点 ，求的值.18. （5 分） 若双曲线与椭圆有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．19. （10 分） (2018 高二上·潍坊月考) 已知点 ．（1） 求抛物线 C 的方程；在抛物线 C：上，F 为其焦点，且（2） 过点的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，求的值．20. （10 分） (2019 高二上·田东期中) 已知 它到直线 的距离小 ，（1） 求动点 的轨迹方程 ；，直线 ：（2） 直线 过点 且与曲线 相交不同的两点 、 ，若，若动点 到点 的距离比 ，求直线 的直线方程.第 5 页 共 15 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点： 解析： 答案：2-1、 考点：参考答案解析： 答案：3-1、 考点：第 6 页 共 15 页解析： 答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：第 7 页 共 15 页解析： 答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、第 8 页 共 15 页考点：解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点：第 9 页 共 15 页解析： 答案：10-1、 考点：解析： 答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、第 10 页 共 15 页考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共30分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

福建高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则或B．若，则C．若或，则D．若或，则2.如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．3.双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．4.圆与圆的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条5.抛物线上一点到焦点的距离是10，则（）A．2或8B．1或9C．1或8D．2或96.已知命题若，则；命题若，则，在命题①②③④中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点P的坐标是（）A（2，2） B （2，－2） C （3，） D（3，－）8.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1,2）B．（1,2]C．D．9.直线与圆相交于P、Q两点。

若| PQ |,则的取值范围是（）A．B．C．D．10.双曲线3my2－mx2＝3的一个焦点是（0,2），则m的值为（）A．－1B．1C．－2D．211.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知平面上两点（），若圆上存在点P,使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知直线.则直线恒经过的定点2.下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号___________．（写出所有真命题的序号）。

①设为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线； ②设为两个定点，若动点满足，且，则的最大值为8；③方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点3.“”，“”，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．4.如图，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左右两支分别交于点A 、B.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．三、解答题1.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：点在圆内．若为真命题，为假命题，试求实数的取值范围．2.已知平面内一动点Q 到点F （4,0）的距离与点Q 到直线的距离的差等于1. （1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）设点B （2,5），P （1,3），点Q 为轨迹C 的一个动点，求的取值范围． 3.设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，的周长为16．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标．4.如图，已知抛物线:，其上一点到其焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于左、右两点．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．5.已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？6.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．福建高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则或B．若，则C．若或，则D．若或，则【答案】D【解析】命题的逆否命题需将条件和结论加以否定并交换，因此逆否命题为：若或，则【考点】四种命题2.如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知需满足【考点】椭圆方程及性质3.双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线方程可知，渐近线为【考点】双曲线性质4.圆与圆的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】圆的圆心为，圆的圆心为圆心距，两圆外切，有三条公切线【考点】两圆的位置关系5.抛物线上一点到焦点的距离是10，则（）A．2或8B．1或9C．1或8D．2或9【答案】A【解析】抛物线焦点为，解方程组可得2或8【考点】抛物线方程及性质6.已知命题若，则；命题若，则，在命题①②③④中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】命题是真命题，命题是假命题，所以是假命题，是真命题，是真命题，是假命题【考点】复合命题7.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点P的坐标是（）A（2，2） B （2，－2） C （3，） D（3，－）【答案】A【解析】设点P在其准线上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标，设其横坐标为，∵P（，2）为抛物线上的点，∴，∴点P的坐标为P（2，2）．【考点】抛物线方程及性质8.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1,2）B．（1,2]C．D．【答案】C【解析】已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率【考点】双曲线的简单性质9.直线与圆相交于P、Q两点。

福建省三明市2021-2022学年 高二数学上学期开学考试试题（时间：120分钟，满分150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1．以下函数最小正周期不是π的是（） A ．()cos2f x x =B ．()sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()tan f x x =D ．()1sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．设OABC 是四面体，若D 为BC 的中点，AD xOA yOB zOC =++，则（x ，y ，z ）为（） A ．111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B ．111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫⎪⎝⎭3．三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，90BAD ∠=︒，60BAC ∠=︒，则AB CD ⋅等于（）A ．2B ．2-C ．-D ．4．已知()2,1,4a =-，()1,1,2b =--，()7,5,c m =，若a ，b ，c 共面，则实数m 的值为（） A ．607B ．14C ．12D ．6275．已知角A 、B 、C 分别是ABC 的三个内角5sin cos 13A A +=，则ABC 为（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数2sin 2xy x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②a b a b -=+是a ，b 共线的充要条件； ③若AB ，CD 共线，则ABCD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若币OP xOA yOB zOC =++（其中x ，y ，z R ∈），则P ，A ，B ，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知定义在闭区间[]1,16的函数()2log 1f x x =-，如果函数()()()222g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦的图像恒在x 轴上方，那么实数a 的取值范围为（）A ．[)1,3B ．(]1,1-C ．()3,1--D ．()1,3-二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，选全对得5分，漏选得2分，错选不得分） 9．下列命题正确的是（） A ．x R ∃∈，2log 1x =- B ．21x =是1x =的充分不必要条件 C ．x N ∀∈，20x ≥ D ．若a b >，则22a b >10．己知点P 是ABC 所在的平面外一点，若()2,1,4AB =-，()1,2,1AP =-，()4,2,0AC =，则以下结论正确的是（）A ．AP AB ⊥B ．AP BP ⊥C ．53BC =D ．AP BC11．下列结论正确的是（）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．在ABC 中，若4C π=，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3312．以下说法中，正确的是（ ）A ．三棱锥O ABC -，若OA BC ⊥，OB AC ⊥，则OC AB ⊥ B ．直线a ⊂平面α，b 在平面α内的射影为c ，若a c ⊥，则b c ⊥C ．G 为OAB 的重心，过G 做直线与OA ，OB 分别交于点M ，N ，若OM sOA =，ON tOB =则113s t+= D ．若点G 为ABC 所在平面上的一点，若()OG OA AB AC λ=++，则直线AG 过ABC 的外心三、填空题（本大题共4小题，共20.0分，15题第一空2分，第二空3分） 13．己知复数31i 22z =+，z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=________． 14．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--．若αβ，则实数m =________．15．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，己测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1■，■，设前后两个污损的数字分别为a ，b ，则a b +=________，当这组数据的方差最大时，a =________． 16．如图，在扇形OAB 中，π3AOB ∠=，C 为弧AB 上的一个动点，若OC xOA yOB =+，则4x y +的取值范围是________．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17．（本题10分）己知空间向量()2,4,2a =-，()1,0,2b =-，(),2,1c x =-． （1）若ac ，求c ；（2）若b c ⊥，求()()2a c b c -⋅+的值． 18．（本题12分）己知集合303x M x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}2220,0x x mx m m >≤=--<其中．（1）当2m =时，求MN ；（2）若x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．（本题12分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a =，AC b =，1AA c=．（1）试用a ，b ，c 表示向量MN ；（2）若90BAC ∠=︒，1160BAA CAA ∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长． 20．（本题12分）在正方体中1111ABCD A B C D -，已知O 为11A C 中点，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．（1）求平面1ODC 的法向量n ，并证明1B C 平面1ODC ；（2）求异面直线1B C 与OD 夹角的余弦值．21．（本题12分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行．因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．己知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与药熏时间t （小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与时间t （小时）的函数关系式为132t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数）．己知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）关于时间t （小时）的变化曲线如图所示．（Ⅰ）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 22．（本题12分）己知()1,cos a x =，(sin 3b x = （1）若a b ⊥，求2sin 2cos x x +的值；（2）设()f a a b =⋅，将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到曲线C ，保持C 上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的12倍得到()g x 的图象，且关于x 的方程()0g x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围．数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1-5：DBBBC 6-8：DCD二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9．AC 10．AC 11．ABC 12．ABC三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13．1 14．4 15．10，9 16．[]1,4 四、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17．【答案】解：（1）∵a c ，∴21242x -==-， ∴解得：1x =，∴()1,2,1c =-，故14c =++= （2）∵b c ⊥， ∴20120x -+⨯-⨯=， 解得：2x =-， ∴()2,2,1c =--，∴()4,2,1a c -=-，()24,2,3b c +=-， ∴()()2164315a c b c -⋅+=-+-=-．【解析】本题考查空间向量的线性运算，考查空间向量的坐标运算，考查求空间向量的模长及数量积，属于基础题． （1）由ac 得21242x -==-，解出x ，从而求得c 的坐标，根据模长公式求解即可； （2）由b c ⊥得20120x -+⨯-⨯=，解出x ，从而求得c 的坐标，再计算a c -，2b c +的坐标，根据空间向量数量积的坐标运算公式计算即可． 18．【答案】解：（1）由303x x +<-，得33x -<<，所以{}33M x x =-<<， 当2m =时，由2280x x --<，得24x -<<，所以{}24N x x =-<<， 所以{}23MN x x =-<<．（2）由2220x mx m --<及0m >，得2m x m -<<， 因为x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，说明NM ，所以323m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不能同时成立，解得32m ≤，又0m >， 所以实数m 的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【解析】本题考查了集合的运算，一元二次不等式的解法，必要不充分条件的应用，属于中档题．（1）先求集合M ，N ，再进行集合交集运算即可求得答案；（2）x M ∈是x N ∈的必要不充分条件，所以323m m -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不能同时成立，即可求得m 的取值范围．19．【答案】解：（1）∵12BM A M =，112C N B N =， ∴1113MA BA =，1111133B N BC BC ==， ∴1111MN MA A B B N=++ 11133BA AB BC =++ ()()11133AA AB AB AC AB =-++- ()()1133c a a b a =-++- 111333a b c =++； （2）()2a b c++222222a b c a b b c a c =+++⋅+⋅+⋅111110211211522=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴5a b c ++=，1533MN a b c =++=． 【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用． （1）由已知条件可得1113MA BA =，11113B N BC =，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出111333MN a b c =++即可： （2）求MN 的长，即求13a b c ++利用求向量模的方法，求出a b c ++，即可求得MN 的长．20．【答案】（1）证明：11,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,1,1C ， 故11,,122CO ⎛⎫=⎪⎝⎭，()10,1,1DC =，设平面1ODC 的一个法向量为(),,n x y z =，由100n DO n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得110220x y z y z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令1y =，则1z =-，1x =，所以()1,1,1n =-． 又()11,0,1B C =--，从而10n B C ⋅=． ∵1B C 在平面1ODC 外，所以1B C平面1ODC ．（2）解：设1B C 、DO 分别为直线1B C 与OD 的方向向量． 则由()11,0,1B C =--，11,,122DO ⎛⎫=⎪⎝⎭得()13cos ,B C DO =-． 所以两异面直线1B C 与OD 的夹角θ的余弦值为3cos θ=． 【解析】本题主要考查了线面平行以及异面直线的夹角求解，属于中等题．根据题意建立空间直角坐标系．（1）写出各点坐标，求解平面1ODC 的一个法向量即可得证；（2）写出1B C ，OD 的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解． 21．【答案】解：（Ⅰ）依题意，当00.2t ≤≤时，可设y kt =， 因为y kt =过点（0.2，1）， 所以10.2k =，解得5k =，又由0.21132a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.2a =，所以0.25,00.21,0.232t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（Ⅱ）令0.210.12532t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即5131122t -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则513t -≥，解得0.8t ≥，即至少需要经过0.8小时后，学生才能回到教室．【解析】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题的关键是确定两变量的函数关系，同时考查了学生的数学建模的能力，属于中档题．（Ⅰ）根据教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与药熏时间t （小时）成正比，设出函数，求出比例系数，再结合最高的坐标可求出a 的值，从而得到函数关系式； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中函数解析式建立不等式，进一步求解即可得到答案．22．【答案】解：（1）∵a b ⊥，∴0a b ⋅=即sin 0x x =，tan x =∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos sin cos tan 1x x x x x x x x x +++===++（2）()πsin 2sin 3f x a b x x x ⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到曲线π:2sin 6C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得到()π2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，且关于x 的方程()0g x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即π2sin 26m x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴[]π2sin 21,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 故m 的取值范围为[]1,2-．。

福建高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题已知命题，，那么下列结论正确的是（）A．命题B．命题C．命题D．命题2.计算的结果为（）A．1B．C．D．3.方程的两个根可分别作为（）A．一椭圆和一双曲线的离心率B．两抛物线的离心率C．一椭圆和一抛物线的离心率D．两椭圆的离心率4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．5.如图，在正方体，若，则的值为（）A．3B．1C．－1D．－36.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．7.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）.A．－2B．1C．2D．1或－2 8.已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）A．B．C．D．9.抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A．B．C．D．10.从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097B．1553C．1517D．211111.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A．B．C．D．12.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点．当静止的小球从点开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点时，此时小球经过的路程可能是（）A．32或4或B．或28或C．28或4或D．32或28或4二、填空题1.当时，函数取到极大值，则等于2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则3.已知=4.设（其中），且当或时，方程只有一个实根；当时，方程有三个相异实根．现给出下列四个命题：①的任一实根大于的任一实根．②的任一实根大于的任一实根．③和有一个相同的实根．④和有一个相同的实根．其中正确的命题有．（请写出所有正确命题的序号）三、解答题1.已知椭圆的焦点为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标．2.如图，长方体中，，，是中点，是中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．3.已知函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）求函数区间上的最值．4.四棱锥中，侧棱，底面是直角梯形，，且，是的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5.已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）证明：无论取何实数时，，都是定值；（Ⅲ）记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．6.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；（Ⅲ）已知且，求证：．福建高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.已知命题已知命题，，那么下列结论正确的是（）A．命题B．命题C．命题D．命题【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题【考点】全称命题与特称命题2.计算的结果为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】【考点】定义分计算3.方程的两个根可分别作为（）A．一椭圆和一双曲线的离心率B．两抛物线的离心率C．一椭圆和一抛物线的离心率D．两椭圆的离心率【答案】C【解析】方程的两个根分别为，所以可作为一椭圆和一抛物线的离心率【考点】圆锥曲线离心率4.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】时，直线方程为【考点】导数的几何意义及直线方程5.如图，在正方体，若，则的值为（）A．3B．1C．－1D．－3【答案】B【解析】【考点】平面向量基本定理6.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由题意可知【考点】双曲线方程及性质7.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（）.A．－2B．1C．2D．1或－2【答案】A【解析】由题意得【考点】复数相关概念8.已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点【考点】平面向量数量积的运算9.抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，代入得，所以与平行的直线与抛物线相切于，所以最小距离为【考点】点到直线的距离10.从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097B．1553C．1517D．2111【答案】C【解析】根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由求出的a一定要在每行的第3，4，5，6个数，9a+104=1517，得a=157，是自然数．【考点】简单的合情推理11.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除A；对于，f′（x）=−2，f″（x）=，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除D；对于，f′（x）=，f″（x）=-6x，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除C；【考点】利用导数研究函数的单调性12.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点．当静止的小球从点开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点时，此时小球经过的路程可能是（）A．32或4或B．或28或C．28或4或D．32或28或4【答案】D【解析】由方程可知沿着长轴反射时经过的路程为或，不延长轴时经过的路程为，小球经过的路程可能是32或28或4【考点】椭圆方程及性质二、填空题1.当时，函数取到极大值，则等于【答案】【解析】，此时【考点】函数导数与极值2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则【答案】【解析】【考点】双曲线方程及性质3.已知=【答案】－2【解析】【考点】函数求导数4.设（其中），且当或时，方程只有一个实根；当时，方程有三个相异实根．现给出下列四个命题：①的任一实根大于的任一实根．②的任一实根大于的任一实根．③和有一个相同的实根．④和有一个相同的实根．其中正确的命题有．（请写出所有正确命题的序号）【答案】②③【解析】由题意可知函数的极小值为，极大值为4，设极小值点为，极大值点为，所以函数在递减，在递增，在递减，结合函数图像可知的根，的根，所以①错误，同理可知②正确；的根为，的一个根为，所以③正确，同理可知④错误【考点】函数图像及极值三、解答题1.已知椭圆的焦点为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（-,）【解析】（1）设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；（2）联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A，B，由韦达定理可求的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标试题解析：（Ⅰ）由已知条件得椭圆的焦点在轴上,其中，,从而,所以椭圆的标准方程是.（Ⅱ）联立方程组消去得.设, ，则,所以=，=+2=.即线段的中点坐标为（-,）.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程2.如图，长方体中，，，是中点，是中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出，可得，即可证明；（Ⅱ）证明，即可证明⊥平面，从而平面⊥平面试题解析：以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.（Ⅰ） .（Ⅱ）证法一：.，，又，⊥平面，又平面，平面⊥平面.证法二：.设平面的法向量为，，取设平面的法向量为,，取，，平面⊥平面.【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系3.已知函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）求函数区间上的最值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为【解析】（Ⅰ）由函数式求得其导函数，利用导数的几何意义可得到切线斜率，从而求得直线方程；（Ⅱ）由导数确定函数单调区间，进而得到函数的极值，与函数定义域端点处的函数值比较即可求得函数最值试题解析：（Ⅰ）时，切点 ..则直线：，即为所求.（Ⅱ）令，则.当变化时，的变化情况如下表：故函数区间上的最大值为，最小值为.【考点】函数导数的几何意义；函数导数与函数最值4.四棱锥中，侧棱，底面是直角梯形，，且，是的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】由已知条件建立空间坐标系，利用空间向量求解，由异面直线所成角首先求得两直线的方向向量所成角，从而得到异面直线所成角，首先由线面垂直关系得到直线的方向向量平行于平面的法向量，从而得到点Q坐标，求得的比值试题解析：以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.（Ⅰ）.则，即异面直线与所成的角为．（Ⅱ）假设线段上存在一点，使，设.设，则，即，..，，，即.即线段上存在一点，使得，且.【考点】异面直线所成角；线面垂直的判定5.已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）证明：无论取何实数时，，都是定值；（Ⅲ）记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）成立【解析】（Ⅰ）由直线与x轴交点得到抛物线焦点，进而求得抛物线方程；（Ⅱ）将直线与抛物线联立方程，利用二次方程根与系数的关系即可证明；（Ⅲ）结合抛物线定理，利用三角形面积公式可求得的值，从而判定是否成立试题解析：（Ⅰ）解：由条件知在直线上，即，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）由得.则.则，即有定值，（Ⅲ）根据条件有．由抛物线的定义得，于是，，.，则有．【考点】抛物线方程及性质；直线与抛物线相交的相关问题6.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；（Ⅲ）已知且，求证：．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）由原函数求得其导函数，利用导数的正负可求得单调区间；（Ⅱ）函数无极值即函数的极值点不在区间上，由导数求得极值点，得到关于的不等式；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中函数的最值得到，通过换元转化为，借助于对数运算法则可证明不等式试题解析：（Ⅰ）当时，，定义域为.令，则.则当时，当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）令若，则在区间上恒成立，则在区间上无极值；若，令，则.当变化时，的变化情况如下表：综上所述，的取值范围是.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在处取得最大值0，即（当时等号成立）.令（且），则，即，故．【考点】函数导数与单调性极值；不等式与函数的转化。

福建省福州市高二上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共30题；共60分)1. （2分）函数单调增区间为（）A .B .C .D .2. （2分）若，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·荆州期末) 计算sin46°•cos16°﹣cos314°•sin16°=（）A .B .C .D .4. （2分）已知，，则的值等于（）A .B .C . 7D .5. （2分） (2016高一下·衡水期末) 若sin（π+α）= ，α是第三象限的角，则 =（）A .B .C . 2D . ﹣26. （2分）已知向量若，则的最小值为（）A . 2B . 4C .D .7. （2分）(2020·汨罗模拟) 若向量与的夹角为，，，则＝（）A .B . 1C . 48. （2分） (2016高三上·厦门期中) 将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A . 4B . 6C . 8D . 129. （2分） (2017高三下·成都期中) 若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（ + ）• =（）A . ﹣32B . ﹣16C . 16D . 3210. （2分） (2016高一下·揭阳开学考) 在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 变量与具有线性相关关系，当取值16,14,12,8时，通过观测得到的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，的预报最大取值是10，则的最大取值不能超过（）C . 15D . 1212. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点的（）A . 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B . 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C . 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D . 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变13. （2分） (2017高一上·六安期末) =（）A . 1B .C .D .14. （2分）(2018·银川模拟) 函数的部分图象如图所示，则（）C .D .15. （2分） (2016高一上·武汉期末) △ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A .B .C .D . 116. （2分）求值：tan210°=（）A .B .C .D .17. （2分）点O在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为的（）A . 内心、外心、重心、垂心B . 重心、外心、内心、垂心C . 重心、垂心、内心、外心D . 外心、内心、垂心、重心18. （2分） (2017高二下·汪清期末) 已知向量 ),若，则实数x的值为（）A . -2B . 2C . -1D . 119. （2分）已知||=||=1，|﹣|=，则||=||=1，|﹣|=（）A . 1B .C .D . 220. （2分）已知a=（1，-1），b=（-1,2），则（2a+b）a=（）A . -1B . 0C . 1D . 221. （2分） (2018高一上·台州月考) 已知函数的值域是，则（）A .B .C .D .22. （2分） (2017高二下·故城期末) 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的取值范围为（）A .B .C .D .23. （2分）右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个24. （2分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A . （， 0）B . （， 0）C . （， 0）D . （， 0）25. （2分）函数的图象向左平移个单位后，所得图象的一条对称轴是（）A .B .C .D .26. （2分）阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A . S＜8？B . S＜12？C . S＜14？D . S＜16？27. （2分）下列四个式子中，计算结果可能为负数的是（）A . sin（arccosx）B . cos（arcsinx）C . sin（arctanx）D . cos（arctanx）28. （2分）已知a=cos1，b=cos2，c=sin2，则a、b、c的大小关系为（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . a＞c＞bD . b＞a＞c29. （2分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A . 0＜g（a）＜f（b）B . f（b）＜g（a）＜0C . f（b）＜0＜g（a）D . g（a）＜0＜f（b）30. （2分） (2018高二上·凌源期末) 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度参考答案一、选择题： (共30题；共60分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、。