2-2平面与平面平行的判定与性质试题及答案

2.2 线面平行的判断和性质1．已知直线m l 、，平面αβ、，且,m l αβ⊥⊂，下列命题中正确命题的个数是 ①若//αβ，则 m l ⊥ ②若αβ⊥，则//m l ③若m l ⊥，则//αβ; ④若//m l ，则αβ⊥Ａ．1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】 试题分析：对于①由,m l αβ⊥⊂且//αβ，则β⊥m ，从而m l ⊥，所以正确；对于②由于,m l αβ⊥⊂且αβ⊥，则ββ⊂m or m ,,//,不能推出//m l ,所以不正确；对于③由于,m l αβ⊥⊂且m l ⊥，则不一正有//αβ，故不正确；对于④由于,m l αβ⊥⊂且//m l ，则α⊥l ，从而有αβ⊥，故正确；所以①④正确，故应选Ｂ． 考点：线面垂直和平行的关系．2．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若//,//,//;a b b c a c 则 ②若,,a b b c a c ⊥⊥⊥则； ③若//,//,a b γγ则a//b ； ④若,,//.a b a b γγ⊥⊥则其中真命题的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】 试题分析：①平行具有传递性，故正确；②垂直不具有传递性，a 与c 的方向任意，故错误；③平行于同一平面的直线位置也任意，故错误；④垂直与同一平面的两条直线平行，故正确.所以B 正确.考点：线面的位置关系.3．如图所示，正方体的棱长为a ，M 、N 分别为和AC 上的点，，则MN 与平面的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定【解析】又是平面的一个法向量， 且, ∴，又MN 面，∴MN ∥平面．选B ． 4．若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定【答案】D【解析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.考点：本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.5．在正三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中错误的结论个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】如图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正三角形ABC 的中心．①可证AC ⊥面PBO ，所以AC ⊥PB ；②AC ∥DE ，可得AC ∥平面PDE ;③AB 与DE 不垂直．选B ．6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则A ．若m//α，n//α，则m//nB ．若m//α，m//β，则α//βC ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：因为两直线与同一平面平行，两直线位置关系不定，所以选项A 错误.当直线平行于两相交平面的交线时，该直线与两平面皆平行，所以选项B 错误.同样理由可得：选项D 错误.当 m α⊥，则m α⊥内任一直线l ，因为m//n ，所以n α⊥内任一直线l ，即n α⊥，因此选项C 正确.考点：线面关系判定7．正四面体ABCD 的棱长为1，其中线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影11F E 长的范围是（ ）A.[0【答案】D 【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知可得GF //AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 旋转时，因为GF //平面α，GE与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值当CD 与平面α平行时，GE 在平面，11F E 取得最大值，所以射影11F E 长的取值范围是，故选D 考点：1线面平行；2线面垂直。

124两平面平行的判定及性质【课时目标】1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．符号表示为：________________a∥b．3．面面平行的其他性质：α∥β(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即aα________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a、b的位置关系是__________．2．下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．235．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝3d，则直线a与α所成的角等于________．6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．a∥ca∥γa∥b；②a∥b；①b∥cb∥γ③⑤α∥cβ∥cα∥ca∥cα∥β；④α∥a;⑥α∥γβ∥γα∥β；α∥γa∥γa∥α．8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．答案知识梳理1．两条相交直线aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥βα∥βα∥β2．那么所得的两条交线平行β∩γ＝bα∩γ＝a3．(1)另一个平面a∥β(2)相等(3)平行作业设计1．平行或异面2．23．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．4．④5．60°6．4∶25解析面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，A′B′2PA′24S△A′B′C′∶S△ABC＝()＝()＝．ABPA257．②③⑤⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a可以在α内．248．24或5解析当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面24β在点P同侧时可求得BD＝．59．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连结SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M 为平行四边形，11∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，22∴N为AC的中点．12．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，BEBGCFBG∴1＝1，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴1＝1，B1AB1BC1BB1B∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．13．(1)证明(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF平面ABC．BC平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β________．(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，aα，bβ，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，nα，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中结论正确的是________(填序号)．6．ππ如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、46B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2cm、3cm、6cm，则点P到O的距离为________cm．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．知识梳理1．垂直交线a⊥β2．(1)第一个平面内aα(2)a∥α作业设计1．a⊥β2．②④3．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．4．③5．①②③6．2∶1第3课时两平面垂直的性质答案解析如图：由已知得A A′⊥面β，π∠ABA′＝，6πBB′⊥面α，∠BAB′＝，432设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，221AB2在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝．2A′B′17．①③④解析由性质定理知②错误．8．7解析P到O的距离恰好为以2cm,3cm,6cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，。

专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ，平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

直线、平面平行的判定及其性质 测试题〔有详解〕A一、选择题1．以下条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是〔 〕A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则以下结论成立的是〔 〕A ．α的所有直线与m 异面B ．α不存在与m 平行的直线C ．α存在唯一的直线与m 平行D ．α的直线与m 都相交5．以下命题中，假命题的个数是〔 〕① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则以下判断正确的选项是〔 〕A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如以下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：〔1〕MN //B 1D 1；〔2〕AC 1//平面EB 1D 1；〔3〕平面EB 1D 1//平面BDG . B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在以下条件下，可判定α∥β的是〔 〕A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是〔 〕A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的选项是〔 〕A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线假设同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是〔 〕A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.以下四个命题中，正确的选项是〔 〕①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则以下结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题：其中正确的命题是________________.〔将正确的序号都填上〕8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，假设AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如以下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC . C1.平面两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；〔2〕假设AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE "假设存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.参考答案A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8.①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：〔1〕 M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1〔2〕〔法1〕连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1〔法2〕作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1 〔3〕因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，假设a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，假设A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，假设a∥b，则不能断定α∥β；D 正确.2．C【提示】假设直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α或a α3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5．A【提示】6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥8.68或368 【提示】如图〔1〕，由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68. 如图〔2〕，由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM =MB MB AB -=MB MB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交PA 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.〔1〕证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC.ME ⊄α，∴ME ∥α.同理可证，NE ∥BD.又α∥β，设CB 与DC 确定的平面BCD 与平面α交于直线CF ，则CF ∥BD ，∴NE ∥CF. 而NE ⊄平面α，CF ⊂α，∴NE ∥α.O F A B CD P E又ME ∩NE=E ，∴平面MNE ∥α，而MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面α.一、选择题1．以下条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是〔 〕A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则以下结论成立的是〔 〕A ．α的所有直线与m 异面B ．α不存在与m 平行的直线C ．α存在唯一的直线与m 平行D ．α的直线与m 都相交5．以下命题中，假命题的个数是〔 〕① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则以下判断正确的选项是〔 〕A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如以下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是．三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：〔1〕MN //B 1D 1；〔2〕AC 1//平面EB 1D 1；〔3〕平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在以下条件下，可判定α∥β的是〔 〕A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是〔 〕A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的选项是〔 〕A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线假设同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是〔 〕A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.以下四个命题中，正确的选项是〔 〕①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，则夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则以下结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题：其中正确的命题是________________.〔将正确的序号都填上〕8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，假设AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如以下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NP DN，求证：直线MN ∥平面PBC .C1.平面两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；〔2〕假设AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE "假设存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.参考答案A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】假设直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】此题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8.①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：〔1〕 M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1〔2〕〔法1〕连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1〔法2〕作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1 〔3〕因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，假设a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，假设A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，假设a∥b，则不能断定α∥β；D 正确.2．C【提示】假设直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α或a α3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5．A【提示】6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥8.68或368 【提示】如图〔1〕，由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68. 如图〔2〕，由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM =MB MB AB -=MB MB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交PA 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.〔1〕证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC.ME ⊄α，∴ME ∥α.同理可证，NE ∥BD.又α∥β，设CB 与DC 确定的平面BCD 与平面α交于直线CF ，则CF ∥BD ，∴NE ∥CF. 而NE ⊄平面α，CF ⊂α，∴NE ∥α.O F A B CD P E又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.。

平行的判定和性质专题平行的判断方法及性质汇总：一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面专题训练一．选择题：1．两直线a, b平行于平面α，那么a, b的位置关系是 D（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行、相交或异面2．两条直线a//b，b在平面α内，则a与α的位置关系是C（A）a//α（B）a与α相交（C）a//α或a在α内（D）a在α内3．直线l与平面α平行，在平面α内，与l平行的直线有 C（A）1条（B）2条（C）无数条（D）n条(n是一正整数)4．若一直线和一平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在的直线的位置关系是 D（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行、相交或异面5．若a, b是异面直线，a//平面α，那么b与α的位置关系是 D（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不确定6．若直线a//平面α，且点A∈α，则过点A且a与平行的直线 B（A）只有一条，但不一定在α内（B）只有一条，且在α内（C）有无数条，但都不在α内（D）有无数条，且都在α内7.能够保证直线a∥平面β的条件是…………………………………（C ）（A）β⊂b，a∥b （B）a∥b∥c，β⊂b，β⊂c（C）β⊄a，β⊂b，a∥b （D）β⊂b，BDACbDCaBA=∈∈,,,,8．如果l∥α，则l平行于α内的（ B ）（A）全部直线（B）过l的平面与α的交线（C）任一直线（D）唯一确定地直线9.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 C(A)平行(B)相交(C)平行或相交(D)无法确定10．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ D ）(A)α、β都垂直于平面γ(B)α内不共线的三个点到β的距离相等(C)l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β(D)l、m是两异面直线且l∥α，m∥α，且l∥β，m∥β11．若两条直线m, n分别在平面α、β内，且α//β，则m, n的关系一定是（D ）（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行或异面12．已知直线l和平面α：（1）若直线l与平面α内无数条直线平行，则l//α；（2）若直线l与平面α内任意一直线都不平行，则直线l与平面α相交；（3）若l⊄α，则直线l与平面α内某些直线平行；（4）若直线l∩平面α=A，则存在α内的直线b，使b⊥l. 其中正确命题的个数是 C（A）0 （B）1 （C）2 （D）313．能保证直线a与平面α平行的条件是 A（A）a⊄α, b⊂α, a//b （B）b⊂α, a//b（C）b⊂α, c//α, a//b, a//c （D）b⊂α, A∈a, B∈a, C∈b, D∈b, 且AC=BD14．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是 B（A）α内的所有直线与m异面（B）α内不存在与m平行的直线（C）α内存在惟一的直线与m平行（D）α内的直线与m都相交15．如果两条直线a//b，且直线a//平面α，则b与α的位置关系是 D（A）相交（B）b//α （C）b⊂α （D）b//α或b⊂α16．设直线a与平面M平行，则必有 D（A）在平面M内不存在与a垂直的直线（B）在平面M内存在与a垂直的惟一直线（C）在平面M内有且只有一条直线与a平行（D）在平面M内有无数条直线与a平行17．已知∠ABC=90°，BC//平面M，AB与平面M斜交，那么∠ABC在平面M内的射影是B（A）锐角（B）直角（C）锐角或直角（D）锐角或直角或钝角18．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是AA1与AB的中点，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则EF与BO1所成的角为 A（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°19．已知A, B, C, D是空间不共面的四点，它们到平面α的距离之比依次为1 : 1 : 1 : 2，则满足条件的平面α的个数是 C（A）3 （B）4 （C）7 （D）820．下列命题中正确的是 C（A）经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平面至少有一个（B）若两条直线在同一平面内的射影平行，则这两条直线也平行（C）若a, b是异面直线，则一定存在平面α与a, b所成的角相等（D）与两条异面直线都平行的平面只有一个二．填空题：1．过直线外一点且与这条直线平行的平面有无数个。

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b常用结论1．三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.()(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；(2)忽略线面平行、面面平行的条件．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D．因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D．2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形与线、面平行相关命题的判定(师生共研)(1)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是()①若a∥α，α∥β，则a∥β；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A．①③B．②③C．①②③D．②③④【解析】(1)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.(2)若a∥α，α∥β，则a可能平行于β，也可能在β内，故①不正确；若α∥β，β∥γ，则由面面平行的性质知α∥γ，故②正确；若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质知a∥b，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故④不正确．综上所述，②③正确，故选B．【答案】(1)D(2)B解决线、面平行关系应注意的问题(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D．A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B．对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D 选项，选B．线面平行的判定与性质(多维探究)角度一线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为在平面BCC 1B 1中，BM ∥＝FC 1， 所以四边形BMC 1F 为平行四边形， 所以MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1. (2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE ∥DC 且OE ＝12DC ，又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE ∥＝D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D .证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．角度二 线面平行性质定理的应用如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，过BC的平面交棱FD 于点P ，交棱F A 于点Q .证明：PQ ∥平面ABCD .【证明】 因为底面ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫AD ∥BCAD ⊂平面ADF BC ⊄平面ADF ⇒BC ∥平面ADF ，⎭⎪⎬⎪⎫BC ∥平面ADFBC ⊂平面BCPQ 平面BCPQ ∩平面ADF ＝PQ ⇒BC ∥PQ ，⎭⎪⎬⎪⎫PQ ∥BCPQ ⊄平面ABCD BC ⊂平面ABCD ⇒PQ ∥平面ABCD .应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．1．(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是P A ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .证明：方法一：如图，连接AF ，并延长交BC 于点G ，连接PG ，因为BC ∥AD ，所以FG F A ＝FBFD ， 又因为PE EA ＝BFFD ，所以PE EA ＝GFF A ，所以EF ∥PG .又因为PG ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC .方法二：如图，过点F 作FM ∥AD ，交AB 于点M ，连接EM ，因为FM ∥AD ，AD ∥BC ，所以FM ∥BC ，又因为FM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以FM ∥平面PBC . 由FM ∥AD 得BM MA ＝BFFD ，又因为PE EA ＝BF FD ，所以PE EA ＝BMMA ，所以EM ∥PB . 因为PB ⊂平面PBC ，EM ⊄平面PBC ， 所以EM ∥平面PBC ，因为EM ∩FM ＝M ，EM ，FM ⊂平面EFM ，所以平面EFM∥平面PBC，因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC.2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，又因为CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN，因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G∥＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥＝BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.1.如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为()A．65B．75C．85D．95解析：选C．由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF.即AC AE ＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.2．(一题多解)如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD.证明：平面ABF∥平面DCE.证明：方法一：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为AB⊄平面DCE，CD⊂平面DCE，所以AB∥平面DCE.因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.方法二：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.方法三：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC.又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[A级基础练]1．已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．3．(2021·合肥模拟)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c解析：选D．若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b ⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A．对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A．5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 27．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为12×(2＋22)×（5）2－⎝⎛⎭⎪⎫222＝92.答案：9 28.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD ＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P-ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，所以MN∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因为CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CN∥平面P AB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面P AB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，所以点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝3，所以三棱锥P-ABM的体积V＝V M­P AB＝V C­P AB＝V P­ABC＝13×12×1×3×2＝33.10.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .[B 级 综合练]11．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ＝BD C ．AC ∥截面PQMND ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：选B ．因为截面PQMN 是正方形， 所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD ，QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故C 正确； 由BD ∥PN ，所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45°，D 正确； 由上面可知：BD ∥PN ，MN ∥AC . 所以PN BD ＝AN AD ，MN AC ＝DN AD ，而AN 与DN 关系不确定，PN ＝MN ， 所以BD 与AC 关系不确定．B 错误．故选B ．12．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，P A ⊂平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .答案：Q 为CC 1的中点13．(2021·烟台模拟)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，则A 1T ＝1－x ，由面面平行的性质得，PO ∥SR ，TO ∥QR ，TS ∥PQ ， 所以△DOP ∽△B 1RS .因为DP ＝OD ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12， 所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1RC 1Q ，即1x ＝32C 1Q ，故C 1Q ＝3x2.由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1TA 1S ，即1－3x 21＝1－x 32，解得x ＝25.答案：2514．(2020·高考全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO ＝AB ＝6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN ＝π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积．解：(1)证明：因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN .因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N .又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ，所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN ＝AO ＝6，AP＝ON ＝13AM ＝3，PM ＝23AM ＝23，EF ＝13BC ＝2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B -EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离．如图，作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由(1)知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT ＝PM sin ∠MPN ＝3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1＋EF )·PN ＝12×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥B -EB 1C 1F 的体积为13×24×3＝24.[C 级 提升练]15．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝2AD ＝4，侧面P AB 是等腰直角三角形，P A ＝PB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 上的点，平面CEF ∥平面P AD .(1)确定点E ，F 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F -DCE 的体积．解：(1)因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面ABCD ＝CE ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CE ∥AD ，又AB ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以DC ＝AE ＝12AB ，即点E 是AB 的中点．因为平面CEF ∥平面P AD ，平面CEF ∩平面P AB ＝EF ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，所以EF ∥P A ，又点E 是AB 的中点，所以点F 是PB 的中点．综上，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(2)连接PE ，由题意及(1)知P A ＝PB ，AE ＝EB ，所以PE ⊥AB ，又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以V F ­DEC ＝12V P ­DEC ＝16S △DEC ×PE ＝16×12×2×2×2＝23.。

例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ． 求证：平面//11D AB 平面BD C 1． 证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，∴B C A D 11//， 又 ⊂B C 1平面BD C 1， 故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1． 又 1111D B D A D = ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α⊂a ．证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ，b =γβ ．∵βα// ∴b a //1又β//a∴b a //在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行∴a 与1a 重合，即α⊂a ． 说明：本题也可以用反证法进行证明．例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，βα//，A l =α ． 求证：l 与β相交．证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ．∴γ与α、β都相交． 设a =αγ ，b =γβ ． ∵βα// ∴b a //又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ． ∵l 与b 相交． 所以l 与β相交．典型例题四例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点． 求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ． ∵F CD AG =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγ ，DG =βγ ．∵βα//，所以 DG AC //， ∴ GDF ACF ∠=∠，又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =， ∴ △ACF ≌△DFG ． ∴ FG AF =． 又 BE AE =，∴ BG EF //，β⊂BG ． 故 β//EF ．同理α//EF说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．求证：四边形1111D C B A 是平行四边形． 证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD∴11//DD AA不妨设1AA 和1DD 确定平面β． 同理1BB 和1CC 确定平面γ． 又11//BB AA ，且γ⊂1BB ∴γ//1AA 同理γ//AD 又A AD AA = 1∴γβ//又11D A =βα ，11C B =γα ∴1111//C B D A ． 同理1111//D C B A ．∴四边形1111D C B A 是平行四边形．典型例题七例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交． 答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ． ∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ， ∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ， ∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ； (2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ． ∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //． ∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN = ，∴平面β//PMN ． ∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ． (2)分别连结MC 、MD ． ∵b BD AC ==，a BM AM 21==， 又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ， ∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =， ∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥． 在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=． 说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________． 分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究． 解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内； ∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行． 已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉． 点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ． 在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'， 故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ． 同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //， 又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．典型例题十二例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．证法1：连结CG 交DE 于点H ， ∵DE 是ABC ∆的中位线， ∴AB DE //．在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //， ∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //． 又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ， ∴//SG 平面DEF ．分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出．证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线， ∴SB EF //．∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ， ∴//EF 平面SAB ．同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ，∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ， ∴//SG 平面DEF ．典型例题十三例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．分析：求BDE ∆的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．解：∵平面AF QAF =α ，平面BE QAF =β ， 又∵βα//，∴BE AF //．同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ． 由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE ， ∴AF BE 21=由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC ，∴AC BD 37=． 又∵ACF ∆的面积为72，即72sin 21=∠⋅⋅FAC AC AF ． ∴EBD BD BE S DBE ∠⋅⋅=∆sin 21FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 372121 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 2167 847267=⨯=． ∴BDE ∆的面积为84平方单位．说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．典型例题十四例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．解：如图，根据正方体的性质，易证：1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭⎬⎫连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥ ∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB ∴平面BD A 1和平面11D CB 间的距离为线段MN 长度． 如图所示：在对角面1AC 中，1O 为11C A 的中点，O 为AC 的中点 ∴a AC NC MN AM 333111====． ∴BD 和C B 1的距离等于两平行平面BD A 1和11D CB 的距离为a 33． 说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距．设a 、b 是两条异面直线，作出经过b 而和a 平行的平面α，通过计算a 和α的距离，得出a 和b 距离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设a 、b 是两条异面直线，作出经过b 而和a 平行的平面α，再作出经过a 和b 平行的平面β，通过计算α、β之间的距离得出a 和b 之间的距离．典型例题十五例15 正方体1111D C B A ABCD -棱长为a ，求异面直线AC 与1BC 的距离． 解法1：（直接法）如图：取BC 的中点P ，连结PD 、1PB 分别交AC 、1BC 于M 、N 两点， 易证：MN DB //1，AC DB ⊥1，11BC DB ⊥． ∴MN 为异面直线AC 与1BC 的公垂线段，易证：a DB MN 33311==． 小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．解法2：（转化法）如图：∵//AC 平面B C A 11，∴AC 与1BC 的距离等于AC 与平面B C A 11的距离， 在1OBO Rt ∆中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离， ∵a OB 22=，a OO =1， ∴a B O 231=，∴a B O OB OO OE 3311=⋅=． 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．解法3：（转化法）如图：∵平面1ACD //平面B C A 11，∴AC 与1BC 的距离等于平面1ACD 与平面B C A 11的距离． ∵⊥1DB 平面1ACD ，且被平面1ACD 和平面B C A 11三等分；∴所求距离为a D B 33311=． 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．解法4：（构造函数法）如图：任取点1BC Q ∈，作BC QR ⊥于R 点，作AC PK ⊥于K 点，设x RC =， 则x a QR BR -==，KR CK =，且222CR CK KR =+∴2222121x CR KR ==． 则222)(21x a x QK -+=2223131)32(23a a a x ≥+-=， 故QK 的最小值，即AC 与1BC 的距离等于a 33． 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．解法5：（体积桥法）如图：当求AC 与1BC 的距离转化为求AC 与平面B C A 11的距离后，设C 点到平面B C A 11的距离为h ， 则1111BCC A B C A C V V --=． ∵222131)2(4331a a a h ⋅⋅=⋅， ∴a h33．即AC 与1BC 的距离等于a 33． 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．说明：求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解． 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．典型例题十六例16 如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为︒30，求线段AC 长的取值范围．解法1：如图所示：作β⊥AD 于D ，连结BD 、CD 、BC∵BD AB >，DC AC >，222BC AC AB =+，∴在BDC ∆中，由余弦定理，得：022cos 222222=⋅-+<⋅-+=∠CDBD BC AC AB CD BD BC CD BD BDC ．∵β⊥AD ，∴ABD ∠是AB 与β所在的角． 又∵βα//，∴ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即︒=∠30ABD ．∵2=AB ，∴1=AD ，3=BD ，12-=AC DC ，24AC BC +=，∴01324131222<-⋅---+≤-AC AC AC ，即：31102≤-<AC ．∴332≥AC ，即AC 长的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332． 解法2：如图：∵AC AB ⊥∴AC 必在过点A 且与直线AB 垂直的平面γ内设l =βγ ，则在γ内，当l AC ⊥时，AC 的长最短，且此时ABC AB AC ∠⋅=tan33230tan =︒⋅AB 而在γ内，C 点在l 上移动，远离垂足时，AC 的长将变大，从而332≥AC ， 即AC 长的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332．说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习．(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．(3)解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和l 上两点间的线段，所以AC 是AB 与l 的公垂线段时，其长最短．典型例题十七例17 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ． ∵γα//，γβ//， ∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。