2.2.4平面与平面平行的性质

M、N分别为A1B和AC上的点， A1M=NA= 2 a ， （1）求证：MN // 平面BB1C1C；
（2）求 MN 的长
3
如图，线段AB、CD所在直线是异面直线，E、 F、G、H分别是线段AC、CB、BD、DA的中 点，（1）求证： E、F、G、H共面并且所在平 面平行于直线AB和CD； （2）设P、Q分别是AB和CD上任意一点， 求证：PQ被平面EFGH平分。
面面平行性质2
a
a // b
β
α
b
两平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交 线相互平行。
面面平行，线线平行
例1 求证：夹在两个平行平面间的两条 平行线段必相等.
问：夹在两个平行平面间的两条相等线段 必平行吗？
例2如图 // , A, C , B, D
且E，F分别是线段AB，CD的中点， 求证： EF //
空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°角，且 AD=BC=a，平行于AD和BC的截面分别交AB、 AC、CD、BD于E、F、G、H， （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）E 在AB的何处时截面EFGH的面积最大？ 最大面积是多少？
A
39 50
M
F N E B
C
D
a, b为异面直线， a, b在平面 的两侧 且a // , b // ,端点分别在a , b上的线段
例5：
于E、F、G、H。 AD,AC,CB,DB分别交平面 求证：四边形EFGH为平行四边形。 A B
a
H F G D
E
C
b
在正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a
A F N B E C k
D
M

第三课时 2.2.4 平面与平面平行的性质【学习目标】：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化. 【教学重点】：掌握面面平行的性质定理 【教学难点】：掌握平行之间的转化 【教学过程】：一、复习准备：1．提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？2. 讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？二、讲授新课：1.面面平行性质定理：① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？②性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③ 用符号语言表示性质定理：}a bαβαγβγ⇒ ∥＝，＝④ 讨论性质定理的证明思路.⑤例：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等. →首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =.DCBAβα2. 教学例题：①例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交. 讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？② 练习：若//αβ，//βγ，求证：//αγ． （试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）3. 小结：面面平行的性质定理及其它性质（//,//a a αβαβ⊂⇒）；转化思想.三、巩固练习：1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应成比例.2. 已知,l m 是两条异面直线，//l 平面α，//l 平面β，//m 面α，//m 平面β，求证：//αβ．*3. 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 的中心， 如图：（1）证明：//PQ 平面11AA B B ； （2）求线段PQ 的长。

（1）：平面和平面的位置关系有哪些？
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，那么这两 b
α
d
如果两个平 行平面同时与第三 个平面相交，那么 它们的交线平行。
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一 点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，

平面与平面平行的性质定理
展馆上下两层所在的平面与侧墙 所在的平面分别相交,它们的交线的位置关系 如何? (平行)
(1)文字语言:如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号语言:α ∥β ,α a∥b. (3)图形语言:如图所示. γ =a,β γ =b
【质疑探究】 (1)如何理解平面与平面平行的性质 定理?需要注意什么? (①该性质定理可以简述为:“面面平行,则线线平 行”,必须注意这里的“线线”是指同一平面与已 知两平行平面的交线.②关于两个平面平行的性质 还有如下的结论:两个平面平行,其中一个平面内 的直线必平行于另一个平面,即 “面面平行,则线面 平行”,此处的线是平面内的任一条直线)
跟踪训练 1 1:已知 a、b 表示直线,α 、β 、γ 表示平面,下列推理正确的是( (A)α β =a,b α )
a∥b (B)α β =a,a∥b b∥α 且 b∥β (C)a∥β ,b∥β ,a α ,b α α ∥β (D)α ∥β ,α γ =a,β γ =b a∥b
利用面面平行的性质定理证明线线 平行的技巧是什么? (利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键 是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造 三个面是其应用中的主要工作:即二个平行面,一 个包含讨论直线的面,有时需要添加辅助面)
跟踪训练 2 1:已知如图所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中, 点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点.
(3)你能总结一下线线平行与线面平行、面面平 行之间的转化关系吗? (三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系 如图所示:
)
如图所示,AB α ,CD β , 且α ∥β ,若 AC∥BD,求证:AC=BD.

2.2.4平面与平面平行的性质学习目标 1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.知识点两平面平行的性质定理思考(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？答案(1)不是；(2)是的.1.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(×)2.若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.(√)3.已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行.(√)4.夹在两平行平面的平行线段相等.(√)题型一面面平行性质的应用例1如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b.求证：a∥b.证明∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴a∥A′D′，又∵平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，平面ADC′∩平面ABC＝AD，∴b∥AD，又AA′∥B′B∥DD′且AA′＝B′B＝DD′，∴四边形ADD′A′是平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.反思感悟利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论.跟踪训练1如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB 上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.题型二 平行关系的综合应用例2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点.(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求证：EF ∥平面BB 1D 1D . 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 证明 (1)如图，连接AC ，CD 1.因为ABCD 是正方形，且Q 是BD 的中点，所以Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点， 所以PQ ∥CD 1. 又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， 所以PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)方法一 取B 1D 1的中点O 1， 连接FO 1，BO 1，则有FO 1∥B 1C 1且FO 1＝12B 1C 1.又BE ∥B 1C 1且BE ＝12B 1C 1，所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形， 所以EF ∥BO 1，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.反思感悟(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法.跟踪训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面P AB.证明取AD的中点O，连接OC，OE.∵E为侧棱PD的中点，∴OE∥P A，OE⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴OE∥平面P AB.∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，∴四边形ABCO为平行四边形，∴OC∥AB，又OC⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴OC∥平面P AB.∵OC∩OE＝O，OC，OE⊂平面OCE，∴平面OCE∥平面P AB.∵CE ⊂平面OCE ，∴CE ∥平面P AB .几何中的计算问题典例 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a ，b 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AC ＝15 cm ，DE ＝5 cm ，AB ∶BC ＝1∶3，求AB ，BC ，EF 的长.考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 解 如图所示.连接AF ，交β于点G ，连接BG ，EG ， 则点A ，B ，C ，G 共面.∵β∥γ，平面ACF ∩β＝BG ，平面ACF ∩γ＝CF ， ∴BG ∥CF ， ∴△ABG ∽△ACF ， ∴AB BC ＝AG GF， 同理，有AD ∥GE ，AG GF ＝DE EF ，∴AB BC ＝DEEF .又AB BC ＝13， ∴AB ＝14AC ＝154 cm ，BC ＝34AC ＝454 cm.∴EF ＝3DE ＝3×5＝15 cm.[素养评析] (1)利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养. (2)理解运算对象，借助三角形相似求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析由面面平行的性质定理易得.2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 D解析由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.3.设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C()A.不共面B.不论点A，B如何移动，都共面C.当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面D.当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面答案 B解析由平面与平面平行的性质，不论A，B如何移动，动点C均在过C且与平面α，β都平行的平面上.4.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 B解析 由面面平行的性质定理，得AC ∥A ′C ′， 则四边形ACC ′A ′为平行四边形， ∴AC ＝A ′C ′.同理BC ＝B ′C ′，AB ＝A ′B ′， ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.5.如图所示，平面四边形ABCD 所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD 在平面α内的平行投影A 1B 1C 1D 1是一个平行四边形，则四边形ABCD 的形状一定是________.考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 平行四边形解析 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得.6.空间四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过点E ，F ，G 的平面交AD 于H ，连接EH .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH ，FG ，BD 三线共点. (1)解 ∵AE EB ＝CFFB ＝2，∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴EF ∥平面ACD .∵EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH .又EF∥AC，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3，即AH∶HD＝3∶1.(2)证明∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴EH，FG，BD三线共点.1.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB 的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能答案 B解析因为A1B1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.2.平面α∥平面β，直线l∥α，则()A.l∥βB.l⊂βC.l∥β或l⊂βD.l，β相交答案 C3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为()A.1B.1.5C.2D.3答案 A4.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是()A.两两相互平行B.两两相交于同一点C.两两相交但不一定交于同一点D.两两相互平行或交于同一点考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析可以想象四棱柱.由面面平行的性质定理可得.5.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.0考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 D解析 显然平面D 1EF 与平面ADD 1A 1相交，则在平面ADD 1A 1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面D 1EF 平行.7.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′， S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425.8.α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③ 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 C解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内.二、填空题9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过BB 1的中点E 作一个与平面ACB 1平行的平面交AB 于M ，交BC 于N ，则MN AC ＝________.考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算答案 12解析 ∵平面MNE ∥平面ACB 1，由面面平行的性质定理可得EN ∥B 1C ，EM ∥B 1A ，又∵E 为BB 1的中点，∴M ，N 分别为BA ，BC 的中点，∴MN ＝12AC ，即MN AC ＝12. 10.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线.若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且α∥γ，则a 与b 的位置关系是________.答案 a ∥b解析 由平面与平面平行的性质定理可判定a ∥b .11.已知l ，m ，n 是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中所有真命题的序号为________.答案 ③解析 ①中α可能与β相交；②中直线l 与m 可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m ∥n .三、解答题12.如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝3，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长.考点 平面与平面平行的性质题点 与面面平行性质有关的计算解 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β，所以AC ∥BD ，所以△SAC ∽△SBD ，所以SC SC ＋CD ＝SA SB， 即SC SC ＋34＝39，所以SC ＝17. 13.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，平面A 1DCE 与B 1B 交于点E .求证：EC ∥A 1D .考点 平面与平面平行的性质题点 利用性质证明平行问题证明 因为BE ∥AA 1，AA 1⊂平面AA 1D ，BE ⊄平面AA 1D ，所以BE ∥平面AA 1D .因为BC ∥AD ，AD ⊂平面AA 1D ，BC ⊄平面AA 1D ，所以BC ∥平面AA 1D .又BE ∩BC ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ∥平面AA 1D .又平面A 1DCE ∩平面BCE ＝EC ，平面A 1DCE ∩平面AA 1D ＝A 1D ，所以EC ∥A 1D .14.如图，在多面体ABC －DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ∥BE ，AC ∥DG ∥EF ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则下列说法中正确的是________.(填序号)①BF ∥平面ACGD ；②CF ∥平面ABED ；③BC ∥FG ；④平面ABED ∥平面CGF .考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 ①解析 ∵EF ∥DG ，BE ∥AD ，BE ∩EF ＝E ，AD ∩DG ＝D ，BE ，EF ⊂平面BEF ，AD ，DG ⊂平面ADGC ，∴平面BEF ∥平面ADGC .∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面ACGD ，故①正确；由于DG ＝2EF ，则四边形EFGD 是梯形，GF 的延长线必与直线DE 相交，故④不正确；选项②③不能推出.15.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB，求证：MN ∥平面SBC .证明 在AB 上取一点P ，使AP BP ＝AM SM，连接MP ，NP ，则MP ∥SB . ∵SB ⊂平面SBC ，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，MP，NP⊂平面MNP，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.。

B C Da
α E FG
A
练：A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B 且与直线l平行的平面的个数是 （ D ）
A．0个
B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
小结与归纳
1、若两个平面互相平行，则其中一个 平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
如图，平面α，β，γ满足α∥β，
α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b
证明：∵α∩γ=a,
β∩γ=b
∴aα，bβ
a
α
∵α∥β ∴a，b没有公共点，
又∵ a，b同在平面γ内，
b
β
∴ a∥b
面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行.
2.2.4 平面与平面 平行的性质
复习回顾：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
异面直线
平行直线
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？
用符号语言表示性质定理：
/ /
a,
b
a//b
想一想：这个定理的作用是什么?
由平面与平面平行得出直线与直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α∥β

自主预习阅读教材P60～61，回答下面问题．平面与平面平行的性质定理文字语言假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒作用证明两直线[破疑点]平面与平面平行的性质：①假如两个平面平行，那么它们没有公共点；②假如两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(实质上是直线与平面平行的判定定理．命题方向用平面与平面平行的性质定理证明线线平行[例1] 如下图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′相互平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．变1、已知：如图，α∥β，点P是平面α，β外的一点，直线PAB、PCD分别与α、β相交于点A、B 和C、D：(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．命题方向面面平行的性质的应用[例2] 如下图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．变2、如下图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD 上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.[例3] 已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b 与这三个平面依次交于点E、F、G.求证：ABBC＝EFFG.2．2.4 平面与平面平行的性质（第1课时，共1 课时）变3、如右图，已知平面α∥β，直线AB 分别交α，β于A 、B ，直线CD 交α、β于C 、D ，M 、N 分别在线段AB 、CD 上，且AM MB ＝CNND.求证：MN ∥平面β.例4、如图，平面α∥平面β，线段GH 与α、β分别交于A 、B ，线段HF 与α、β分别交于F 、E ，线段GD 与α、β分别交于C 、D ，且GA ＝9，AB ＝12，BH＝16，S △ACF ＝72.则△BDE 的面积为________．[例1] 分析] 可利用平面与平面平行的性质定理证明线线平行．[证明] 由AA ′、BB ′、CC ′、DD ′相互平行知C ′D ′与CD 共面，A ′B ′与AB 共面， 在▱A ′B ′C ′D ′中，A ′B ′∥C ′D ′，∵A ′B ′⊄平面C ′D ′DC ，C ′D ′⊂平面C ′D ′DC ， ∴A ′B ′∥平面C ′D ′DC . 同理A ′A ∥平面C ′D ′DC . 又A ′A ∩A ′B ′＝A ′，∴平面A ′B ′BA ∥平面C ′D ′DC . ∵平面ABCD ∩平面A ′B ′BA ＝AB ， 平面ABCD ∩平面C ′D ′DC ＝CD ，∴AB ∥CD . 同理AD ∥BC .∴四边形ABCD 是平行四边形．变1、[解析] (1)证明：∵α∥β，平面PAC ∩α＝AC ，平面PAC ∩β＝BD ，∴AC ∥BD . (2)解：∵AC ∥BD ，∴△PAC ∽△PBD ，∴PA AB ＝PC CD ，∴CD ＝AB ·PC PA ＝154， ∴PD ＝PC ＋CD ＝3＋154＝274(cm).[例2]∵P 、Q 分别是AD 1、AC 的中点， ∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)证明：取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1、FE 1， 则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1. ∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，∴EF ∥平面BB 1D 1D .变2、[证明] 证法一：连接AF 并延长交BC 于点M ，连接B ′M .如图所示 ∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△MFB .∴AF MF ＝DFBF. 又∵BD ＝B ′A ，B ′E ＝BF ， ∴DF ＝AE .∴AF FM ＝AE EB ′. ∴EF ∥B ′M .又EF ⊄平面BB ′C ′C ，B ′M ⊂平面BB ′C ′C ， ∴EF ∥平面BB ′C ′C.[例3] ∵β∥γ，平面ACG ∩β＝BH .平面ACG ∩γ＝CG ， ∴BH ∥CG .同理AE ∥HF ， ∴AB BC ＝AH HG ＝EF FG. 变3、 [证明] (1)当AB 、CD 共面时，平面ABDC ∩α＝AC ，平面ABDC ∩β＝BD ，又α∥β，所以AC ∥BD .在平面ABCD 内，∵AM MB ＝CNND.又AC ∥BD ，∴AC ∥MN∥BD ，∵BD ⊂β，MN ⊄β，∴MN ∥β.(2)当AB 、CD 异面时，过点A 作AD ′∥CD 交β于D ′，再在平面ABD ′内作ME ∥BD ′，则AE ED ′＝AM MB，又AM MB ＝CN ND .所以AE ED ′＝CN ND ，∴AE AD ′＝CN CD，连接EN ，设AD ′、CD 确定平面γ， 则γ∩α＝AC ，γ∩β＝DD ′，又α∥β，所以AC ∥DD ′，∴AD ′DC 为平行四边形，∴AD ′＝CD ，∴AE ＝CN ，即AENC 为平行四边形，所以AC ∥EN ∥D ′D ，由于ME∥BD ′，BD ′⊂β，ME ⊄β，所以ME ∥β，同理：EN ∥β，所以平面MEN ∥平面β，所以MN ∥β.例4、 [答案] 96[解析] 由于α∥β，所以AC ∥BD ，AF ∥BE .所以∠FAC 与∠EBD 相等或互补．由于AC ∥BD ，故△GAC ∽△GBD ， 从而有AC BD ＝GA GB ＝37， 同理△HEB ∽△HFA ， 有AF BE ＝AH BH ＝74，所以S △AFC S △BED ＝12AC ·AF sin ∠FAC12BE ·BD sin ∠EBD ＝AC ·AF BE ·BD 即72S △BED ＝37·74，所以S △BED ＝96.2．2.4 平面与平面平行的性质（第1课时，共 1 课时）。

平面与平面平行的性质定理的内容是 D1 ________________________________________________________ A1 B1 C1
C D 用符号表示为___________________________________________ 借助长方体模型(如右图)，回答下列问题： A B 1、两个平面的位置关系有： 和 2、如果两个平面平行，则其中一个平面中的任意一条直线与另一个平面都 ， 。 若有两条直线分别在两个平行平面中，则这两条直线的位置关系是 3、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_________________ 4、思考：面 AC 中有多少条直线与 B1D1 平行的直线？如何找到这些直线？
A
例 1、已知平面 α , β , γ ，满足 α // β , α ∩ γ = a, β ∩ γ = b ，求证： a // b 。
例 2、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。
达标练习： 达标练习：
一：判断正误： （1）如果 a, b 是两条直线，且 a // b ，那么 a 平行于经过 b 的任何平面。 （2）如果 a // α , a // β ，则 α // β 。 （3）如果 a // α , α // β ，则 a // β （4）如果一个平面内有无数条直线和另一个面平行，则两个平面平行。 （5）若 a // α , b // β , α // β ，则 a // b 。 （6）若 α // β , a ⊂ α ，所以 a // β 。
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人:李水尧 审阅人: 高一数学组 时间：09年12月10日
§2.2.4 平面与平面平行的性质学案
学习目标： 学习目标：

直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、
D∈β. 求证：MN∥α.
A
证明：连接BC，取BC的中点E，
C
分别连接ME、NE，
则ME∥AC，
∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β，
M
N
E
又ME∩NE=E，
∴平面MEN∥平面α，
D
∵ MN在平面MEN，
B
∴MN∥α.
例3 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
2.2.4 平面与平面平行 的性质
一、复 习
1.直线与平面平行的判定定理：
线线平行，则线面平行
a
a
b
即
b
a
//
a // b
2.平面与平面平行的判定定理：
线面平行，则面面平行
a⊂α， b⊂α， a∩ b＝ P， 且
α
a∥β，b∥β⇒ α∥β
a
Pb
β
3.直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行。
C′
B′
D′ MC
A′ B
D
A
练习：
已知：如下图，四棱锥S-ABCD底面为平行 四边形，E、F分别为边AD、SB中点 求证：EF∥平面SDC。 证明：方法一
课堂小结
直线与直线平行
直Байду номын сангаас与平面平行
平面与平面平行
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面
中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个

b a
α // β,α ∩γ = a, β ∩γ = b ⇒ a // b
4 平面与平面平行的性质定理 平面与平面平行的性质定理: （1）如果两个平面平行，那么其中一个 ）如果两个平面平行， 平面内的任意直线均平行于另一个平面. 平面内的任意直线均平行于另一个平面 若α//β，a ， α， ， ⊂ 则a//β.
l
C N
α
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
理论迁移 求证： 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行 线段相等. 线段相等.
A β C
α
γ B
D
在正方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， CD′上 试判断直线B′M B′M与平面 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系 并说明理由. 的位置关系， A′BD的位置关系，并说明理由.
（2）如果两个平行平面同时和第三个平 ） 面相交，那么它们的交线平行. 面相交，那么它们的交线平行 α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b. ， ， ，
思考3:上述定理通常称为平面与平面平 思考3:上述定理通常称为平面与平面平 3:上述定理通常称为 行的性质定理， 行的性质定理，该定理在实际应用中有 何功能作用？ 何功能作用？
C′ D′ M D C A A′ B B′
如图，已知AB CD是夹在两个平 AB、 例3 如图，已知AB、CD是夹在两个平 行平面α 之间的线段， 行平面α、β之间的线段，M、N分别为 AB、CD的中点 求证：MN∥平面 的中点， 平面β. AB、CD的中点，求证：MN∥平面β.
A M β B E D
α // β,α ∩γ = a, β ∩γ = b ⇒ a // b

平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的交线平行. 的交线平行. γ (1)该定理中有三个条件： α // β 该定理中有三个条件： 该定理中有三个条件 α I γ = a ⇒ a // b α a β I γ = b
DE AG AB DE ∴ = ,所以 = . EF GF BC EF
A D
α
G
B
E
β
H
F
γC
练习
1.α、β、γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直 、 、 为三个不重合的平面 为三个不重合的平面， ， ， 为三条不同直 则有一下列命题，不正确的_______. 线，则有一下列命题，不正确的 ②③④⑤
β
b
α
a ∩ b = P ⇒ α // β a // α b // α
4.面面平行判定定理推论： 面面平行判定定理推论： 面面平行判定定理推论 如果一个平面内的两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线,那么这 平行于另一个平面内的两条直线 那么这 a ⊂α 两个平面平行. 两个平面平行 b ⊂α
α
a e
b f
β
c g
例 α // β // γ , 直线a与b分别交α，β，γ 于点A,B,C和点D,E,F, AB DE (1)求证： = . (2)连接CD交β 于点H，求证BGEH为平行四边形. BC EF a b 证明 : 如图，连接AF交β 于点G，
再连接BG，CF和GE，AD. 则面ACF与β 和γ 的交线分别为BG，CF 又 Q β // γ ,∴ BG // CF BG AB AG ∴ = BC GF 同理,面ADF与α 和β的交线分别为AD，GE ∴由α // β 可得AD//GE

(3)符号语言： α∥β α ∩ γ ＝ a _________ ⇒a∥b β∩γ＝b __________ (4)作用：面面平行⇒线线平行．
[化解疑难] 对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个： ①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三个条件缺一不可． (2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构 造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用 来证明线线平行． (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理： / / a//b a, b

想一想：这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
[导入新知]
面面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面 平行 ． 相交 ，那么它们的交线_______ ______ (2)图形语言：
又∵M，P分别为AB，AE的中点， ∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P， ∴平面MPN∥α. 又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥α.
[类题通法] 1．把握面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平
面均相交． (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思 想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间 的相互转化．
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？ 答:两条交线平行.
α
a
β
b
下面我们来证明这个结论

2.2.4平面与平面平行的性质1. 下列命题错误的是（ ）. A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两条直线相交 C.平行于同一条直线的两个平面相交 D.平行于同一个平面的两个平面平行2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面： ①m α⊂，n ∥α，则m ∥n 或m 、n 异面 ②m α⊂，m ∥β，则α与β平行或相交 ③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β. 上面结论正确的有（ ）.A.0个B.1个C.2个D.3个 3. 3个平面把空间分成6个部分，则（ ）. A.三平面共线 B.三平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面相交D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交4. 直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_______________.5. 一个平面上有不在同一直线上的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面_______.6.P 为ABC △所在平面外一点，平面α//平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于AB C '''，23PA AA =∶∶''，则ABC ABC S S =△△∶''' ．7. 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 的中心，如图所示 证明：⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .-中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的8. 如图，在四棱锥P ABCD中点．求证：MN//平面PAD．Array9. 已知平面α//平面β，AB，CD是夹在两平行平面间的两条线段，A，C在α内，B，C在β内，点E，F分别在AB，CD上，且AE EB CF FD m n==∶∶∶．求证：EF//平面α．参考答案1. 答案：D2. 答案：C3. 答案：D4. 答案：平行或在这个平面内5. 答案：平行或相交6. 答案：425∶7.略8. 答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME ∵M，N分别是AB，PC的中点，NE PD∴//，ME AD//，可证明NE//平面PAD，ME//平面PAD．=，又NE ME E∴平面MNE//平面PAD，又MN⊂平面MNE，∴MN//平面PAD．9. 答案：证明：分AB，CD是异面、共面两种情况讨论．（１） 当AB ，CD 共面时，如图（a ）αβ∵//，AC BD ∴//，连接E ，F ．AE EB CF FD =∶∶∵，EF AC BD ∴////且EF α⊄，AC α⊂，∴EF //平面α．（２） 当AB ，CD 异面时，如图（b ），过点A 作AH CD // 交β于点H ．在H 上取点G ，使AG GH mn =∶∶，连接EF ，由（１）证明可得GF HD //，又AG GH AE EB =∶∶得EG BH //．∴平面EFG //平面β//平面α．又EF ⊂面EFG ，∴EF //平面α．。

编号
姓名
第 课
课时积分
课题：2.2.4平面与平面平行的性质
知识呈现：
A组（35分）：
1.平面 平面 ，两个 和 ，分别在平面 和平面 内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形．
2..如图所示，在棱长为 的正方体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．（1）求证： 平面 ．（2）求证： 平面 ．
①若m平行于面α，则m平行面α内的所有直线；
②若m//面α，n//面β，且面α//面β，则m//n；
③若面α∩面γ＝m，面β∩面γ＝n，且面α//面β，则m//n；
④若m与面α相交，且面α//面β，则m与面β必相交；
⑤若面α//面β，m//n且m∩面α＝A，m∩面β＝C，n∩面α＝B，n∩面β＝D，则AB//CD。
班级
姓名
编号
次数
积分
课题：2.2.4平面与平面平行的性质
固定命题区（Ａ组20分）：
自创题区
命题者：
1.已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β间的两条线段，AB＝AC，且A、C在平面α内，B、D在平面β内，则直线AB与CD的位置关系是 ( )
A、平行 B、பைடு நூலகம்交C、异面
D、 以上三各情况都有可能
2.已知m、n是直线，面α、β、γ是平面，给出下列五个命题
其中正确的命题序号是_____________。
3.两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．
A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个
是否愿被采用：
题目：
自创题解答区（５分）
答题评价区
固定命题区（Ｂ组5分）：
4.如图，平面 平面 ，点A,C ，点B,D ，点E,F分别在线段AB,CD上，且

①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交.其中可能出现的情形有（ ）
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
解析 因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，
所以直线a与直线b无公共点.
当直线a与直线b共面时，a∥b；
当直线a与直线b异面时，
a与b所成的角大小可以是90°.
综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形.
【训练1】 如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面 交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1. 证明 ∵BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1，CC1⊂平面CDD1C1， ∴BB1∥平面CDD1C1. 又BB1⊂平面BEE1B1，且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1.
法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1， 则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1， 所以平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF⊂平面EE1F， 所以EF∥平面BB1D1D. 规律方法 直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理、性质定理，提示了线线 平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体应用时，注意灵活转化.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
知识梳理 知识点1 直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 文字语言
面的_交__线___与该直线平行
a∥α
符号语言
α∩β＝b
@《创新设计》
图形语言
3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【预习评价】
1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ） A.只和这个平面内的一条直线平行 B.只和这个平面内两条相交直线不相交 C.和这个平面内的任何一条直线都平行 D.和这个平面内的任何一条直线都不相交 答案 D

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

2.2.4平面与平面平行的性质[目标] 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题．[重点] 平面与平面平行的性质定理及应用．[难点] 线线平行、线面平行、面面平行关系的转化．知识点平面与平面平行的性质[填一填][答一答]1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．2．如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.3．若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是(B)①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β.A．①②B．②④C．②③D．①③④类型一证明两条直线平行[例1]如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.因为平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，所以AB∥CD.同理AD∥BC.所以四边形ABCD 是平行四边形．面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.[变式训练1] 如右图，已知α∥β，点P 是平面α，β外的一点(不在α与β之间)．直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D .(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知P A ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长．解：(1)证明：∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD .(2)由(1)得AC ∥BD ，∴P A AB ＝PC CD .∴45＝3CD .∴CD ＝154.∴PD ＝PC ＋CD ＝274 cm.类型二 证明线面平行[例2] 如图所示，两条异面直线BA ，DC 与两平行平面α，β分别交于B ，A 点和D ，C 点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．求证：MN ∥平面α.[分析]利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．[证明]如图，过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE.PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α.∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行.[变式训练2]如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，M，N分别为BB′，A′C′的中点．求证：MN∥平面ABC′.证明：取B′C′的中点P，连接MP，NP，则MP∥BC′，NP∥A′B′.因为A′B′∥AB，所以NP∥AB.又因为AB⊂平面ABC′，NP⊄平面ABC′，所以NP∥平面ABC′.同理，MP∥平面ABC′.又因为NP∩MP＝P，所以平面MNP∥平面ABC′.因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面ABC′.类型三平行关系的综合应用[例3]已知：如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1；(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．[分析] 由(1)的条件可知，应由线线平行判定线面平行；由(2)的条件可知，应用面面平行的性质定理推导线线平行．[解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B ，设交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1. 又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1.所以BC 1∥平面AB 1D 1，所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)因为平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝OD 1，所以若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，则BC 1∥OD 1.所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ＝1.又因为平面A 1ACC 1∩平面BC 1D ＝DC 1，平面A 1ACC 1∩平面AB 1D 1＝AD 1，所以AD 1∥DC 1.又因为A 1C 1∥AC ，所以四边形ADC 1D 1为平行四边形，所以AD ＝D 1C 1.所以A 1D 1＝DC .所以A 1D 1D 1C 1＝DC AD .又因为A 1D 1D 1C 1＝1，所以DC AD ＝1，即AD DC ＝1.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.[变式训练3] 如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解：(1)证明：如图所示．连接AC ，CD 1，∵P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明：取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .1．已知a ，b 表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是( D )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b2．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( D )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行C ．存在无数多条直线与a 平行D ．存在唯一一条直线与a 平行3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a ，α∩δ＝b ，β∩γ＝c ，β∩δ＝d ，则交线a ，b ，c ，d 的位置关系是( A )A ．互相平行B ．交于一点C ．相互异面D ．不能确定解析：根据面面平行的性质定理知：a ∥b ，a ∥c ，b ∥d ，c ∥d ，所以a ∥b ∥c ∥d ，故选A.4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为24或245.解析：当点P 在α，β的同一侧时，BD ＝245，当点P 在α，β之间时，BD＝24.5．已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，A，B，C，D四点共面，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.证明：平面ABDC与α，β的交线为AC，BD.因为α∥β，所以AC ∥BD.又M，N分别为AB，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN∥AC.又AC⊂平面α，MN⊄平面α，所以MN∥平面α.——本课须掌握的两大问题1．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．2．线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：。