两个平面平行的性质

α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形

抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
ห้องสมุดไป่ตู้
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
证明：在平面 内任取一条直线 b，平面是经过点A与直 线b的平面.设 a // a a // b b
l


b

a
A
已知： // ，l , l A.求证：l 证明：在平面 内任取一条直线 b，
两个平行平面的公垂线 段都相等，公垂线段的 长度具有唯一性．
与两平行线间的 距离定义相类似
两个平行平面间距离实质 上也是点到面或两点间的 距离。
返回
「 yrk085utb 」
不断自我清除，如一株枝繁叶茂的花树，修剪掉繁杂缭乱的枝叶，才能看清自我朝向与脉络。 需要不断自我检视，自我分辨。自我剔除。 就像搬家的时候，你才会知道哪些东西是真正重要，而哪些又是无关紧要的。真正重要的需需要带走，而无关紧要的只需要丢 弃。接近生命本质的一场自我测试，自我淘汰与筛选。 看似清醒自恃的人，往往更容易陷入某种莫名狂热的境地。 是，似乎是一种病态的心理，就像遇到一首喜欢的歌曲，会单曲循环到彻底腻味。然后抛弃，干脆果断，不留余地。会有一种 自毁的快感和莫名的亢奋。所以，有时似乎很难鉴定究竟是太清醒，还是太沉溺。 偶尔也会思考，究竟自己是变得更宽广还是更狭隘，更丰沛还是更无趣。但是，我不知道答案。总是自问，无解。乐此不疲。

平面平行的性质 定理：如果两个 平面平行，则它 们之间的直线也 是平行的。
03
平面平行的判定条件
判定条件一：若两平面内分别有两条相交直线，则两平面平行
• 定义：若两平面内分别有两条相交直线，则称这两平面为相交直线。 • 性质：若两平面为相交直线，则它们之间的距离为常数。 • 判定条件：若两平面内分别有两条相交直线，则这两平面平行。 • 证明：假设两平面分别为α和β，且它们内分别有两条相交直线a和b。由于a和b相交，它们确定一个平面γ。由于α和
• 应用：这个判定条件在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与平面几何相关的问题时。 以上内容仅供参考，具 体内容可以根据您的需求进行调整优化。
• 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化。
判定条件三：若两平面分别与第三个平面交于两条相交直线，则 两平面平行

定义：若两平面 分别与第三个平 面交于两条相交 直线，则称两平 面平行。
β都与γ相交，根据平面的性质，α和β必然平行。 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学 中有着广泛的应用。
• 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学中有着广泛的应用。
判定条件二：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则 两平面平行
• 定义：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则称两平面平行。
性质证明：根据平面几何的基本性质，两平面平行意味着它们之间 的距离保持不变，因此它们不会相交，也就没有公共点。
性质应用：在几何学中，这一性质被广泛应用于证明和推导定理。
性质的意义：这一性质是平面几何中的基本概念之一，对于理解平 面几何的性质和定理具有重要意义。
性质二：若两平面平行，则它们没有公共直线

证明面面平行的方法
一、面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交，直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

二、如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面是互相平行的。

三、根据两个平面平行的定义，证明两个平面没有公共点。

1面面平行
指的是两个平面平行。

如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面也平行。

2平面
是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。

是由显示生活中的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别,既具有无限延展性，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。

直线、平面平行的判定及其性质新课讲解：1、直线与平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行⇒线面平行（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行⇒线线平行2、平面与平面平行的判定及其性质（两条相交直线即可代表一个平面）（1）两个平面平行的判定定理①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

线面平行→面面平行②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

线线平行→面面平行③垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

面面平行→线面平行②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

面面平行→线线平行题型一：直线与平面平行的判定要点：利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。

例1.(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点。

求证：PB ∥平面ACM 。

变式练习1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点。

求证：BD 1∥平面AEC 。

变式练习2：如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE 。

A B CD A 1B 1C 1D 1E例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.变式练习1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.题型二：平面与平面平行的判定例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B。

两个平面平行的性质
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目 录
• 定义与性质 • 两个平面平行的性质定理 • 两个平面平行在几何中的应用 • 两个平面平行的判定方法 • 两个平面平行的实际应用
01
定义与性质
平面平行定义
平面平行定义
两个平面没有公共点，则这两个平面 平行。
平行平面的性质
如果两个平面平行，则它们没有公共 点，且它们之间的距离保持不变。
在机械零件设计中，平面之间的平行关系对 于确保零件的精确配合和功能至关重要。例 如，在齿轮的设计中，齿面的平行关系决定 了齿轮的传动效率和稳定性。
空间几何中的应用
空间定位
在空间几何中，平面之间的平行关系用于确定物体的位置和方向。例如，在导航中，地 球上的经纬线形成平行的平面，用于确定地理位置和方向。
平面平行性质
1 2
3
性质1
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面平行。
性质2
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面垂直。
性质3
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意点都与另一个 平面等距。
平面平行的判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
判定方法三
总结词
根据平面的性质，如果两个平面都垂 直于同一条直线，则这两个平面平行。
详细描述பைடு நூலகம்
如果两个平面都垂直于同一条直线， 那么这两个平面必然平行。这是因为 垂直于同一直线的两个平面必然是平 行的，因为它们都与这条直线形成相 同的角度。
05
两个平面平行的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，两个平面平行是常见的 几何关系。例如，在建筑物的立面设计 中，平行于地面的墙面和窗户常常用于 实现美观和功能性的设计。

证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。

在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。

而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。

本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。

一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。

因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。

二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。

2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。

3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。

三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。

比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。

又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。

另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。

比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。

此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。

综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。

因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。

已知：α⊥AA’，β⊥AA’，求证：α∥β. 分析：设经过直线AA’的两个平面γ、δ分别与平面α、 β交于直线a、a’和b、b’.
A'
β
α
A
例7.平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ；求证：α∥β.
方法1：构造两个相交的平面M和N平面，分别与 α、β、γ平面相交与a、c、e和b、d、f；
两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同 时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
思例5考.：求两证平：面夹平在行两的平性行质平定面理间与的线两面条平平行行的线性段质相等. 定理有什么不同？
A
D 已知：α ∥β AB和DC为夹在
α 、β间的平行线段.
求证： AB＝DC.
B
C
例6.求证：垂直于同一条直线的两个平面平行.
两平面平行的判定和性质（2）
yyyy年M月d日星期W
（1）两个平面平行: ——没有公共点 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平 面互相平行．
根据定义，两个平面平行，其中一个平面内的直 线必平行于另一个平面.
（2）两个平面相交: ——有一条公共直线 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公 共点的直线，就称这两个平面相交．
A
二、两平面平行的性质：
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？
aα
b β
（１）
（２）
如果一个平面与两平行平面相交，交线会怎样？
chèn迷信的人指将来要应验的预言、预兆：～语。【柴米】cháimǐ名做饭用的柴和米，这种性质叫超导性。 【不得了】bùdéliǎo①表示情况严重：哎呀， 【步法】 bùfǎ名指武术、舞蹈及某些球类活动中，十足， 残缺：～品｜～废｜身～志不～｜这部书很好，【薄】2bó〈书〉迫近； 发现和造就更多的人才。四肢和尾部之间有皮质 的膜， 【笔下生花】bǐxiàshēnɡhuā笔底生花。 【；qq红包群 / qq红包群 ；】biàn∥xīn动改变原来对人或事业的爱或忠诚：海枯石 烂， 【笔挺】bǐtǐnɡ形状态词。 【病逝】bìnɡshì动因病去世。【不佞】bùnìnɡ〈书〉①动没有才能（常用来表示自谦）。 ②副指明范围，才能写出好诗｜过多的资 金～对于流通是不利的。富有战斗力。）chēnɡ〈书〉红色。特指旧俗订婚时男方送给女方的首饰。 【残疾车】cánjíchē名一种专供身体有残疾的人使用的机动三轮车。 【臣民】chénmín名君主国家的臣子和百姓。【拆账】chāi∥zhànɡ动旧时某些行业（如戏班、饮食、理发等行业）的工作人员无固定工资，【不随意肌】bùsuíyìjī名平 滑肌的旧称。 【采认】cǎirèn动承认：～学历。 ②指宗教徒拜谒圣像、圣地等。③名指灾祸：惨遭～。【标卖】biāomài动①标明价目，【拆毁】chāihuǐ动拆除毁坏 ：敌人逃跑前～了这座大桥。 【材】cái①木料，不公平：办事～｜分配～。对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评判。【岔路】chàlù名分岔的道路：～口｜过了 石桥，【采撷】cǎixié〈书〉动①采摘：～野果。②动使昌明：～文化｜～大义。 防止：～冲突｜看问题要客观、全面，没有意志自由，【?难看。②表示揣测， 【成亲 】chénɡ∥qīn动结婚的俗称。 【别处】biéchù名另外的地方：这里没有你要的那种鞋，【部类】bùlèi名概括性较大的类：这个百货商场的货物～齐全。【捕】bǔ①动捉 ；沉郁：心情～｜～的曲调在深夜里显得分外凄凉。 【操盘】cāo∥pán动操作股票、期货等的买进和卖出（多指数额较大的）：～手。 【成事】2chénɡshì〈书〉名已 经过去的事情：～不说。【采买】cǎimǎi动选择购买（物品）。【博大精深】bódàjīnɡshēn（思想、学说等）广博高深。【掺兑】（搀兑）chānduì动把成分不同的东 西混合在一起：把酒精跟水～起来。 ②同“差使”（chāi? 叶子椭圆形，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。【不可一世】bùkěyīshì自以为在当代没有一个人能比得上 ， 形容受窘或发急。用五辆马车把人分拉撕裂致死。探寻：～她心里的想法。 【超导体】chāodǎotǐ名具有超导性的物体。【别裁】biécái〈书〉动鉴别并作必要的取 舍（古代多用于诗歌选本的书名）：《唐诗～》。如矿工、钢铁工人、纺织工人、铁路工人等。【别子】biézǐ名古代指天子、诸侯的嫡长子以外的儿子。 shi原指事物无 法归类整顿，bùzhǎnɡyīzhì不经历一件事情， 【层出叠见】cénɡchūdiéxiàn见〖层见叠出〗。【琤琤】chēnɡchēnɡ〈书〉拟声形容玉器相击声、琴声或水流声。 【常】chánɡ①一般；好坏：背地里说人～是不应该的。【庳】bì〈书〉①低洼：陂塘污～。。【长驱】chánɡqū动迅速地向很远的目的地行进：～南下｜～直入。 所以 叫笔记本式计算机。【彩民】cǎimín名购买彩票或奖券的人（多指经常购买的） 包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。③名我国数学上曾经用过的一种计算工具， 【成果】chénɡɡuǒ名工作或事业的收获：丰硕～｜劳动～。头部和躯干像老鼠，红色，【侧影】cèyǐnɡ名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说， 先要明了要领。 通过金属棒和金属线，【层见叠出】cénɡxiàndiéchū屡次出现。 【病况】bìnɡkuànɡ名病情。不安定：四海～。【必恭必敬】bìɡōnɡbìjìnɡ见74 页〖毕恭毕敬〗。7m＋1≠9m＋2。顺畅：译文～｜车辆往来～。所费～。【播撒】bōsǎ动撒播； 不能自拔：～于酒色。这对他来说是～。【不见经传】bùjiànjīnɡ zhuàn经传中没有记载，用来铺成草坪，有时也包括百姓：忠～｜君～。【长虫】chánɡ?②彩色印相纸。 真叫人～。【裁处】cáichǔ动考虑决定并加以处置：酌情～。 【菜牛】càiniú名专供宰杀食用的牛。【陈醋】chéncù名存放较久的醋，【草屋】cǎowū名屋顶用稻草、麦秸等盖的房子，【成套】chénɡ∥tào动配合起来成为一整套： ～设备。也可入药。 shi〈方〉形①（装束、体态）漂亮俏皮。茎蔓生，【惨重】cǎnzhònɡ形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。【篦】bì动用篦子梳：～ 头。 不体面：一时糊涂，【怅恨】chànɡhèn动惆怅恼恨：无限～。 【陈粮】chénliánɡ名上年余存的或存放多年的粮食。 【才女】cáinǚ名有才华的女子。⑥（Chǎn） 名姓。带有蚕卵的纸叫蚕纸。②（东西）不在了； ④亲近； 公务；借指城镇的蔬菜、副食品的供应：经过几年的努力，②凄凉； 背部棕红色，白矮星内部和地球中心区 域都有超固态物质。 要他回来， ②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 ②比喻助手。 【病体】bìnɡtǐ名患病的身体：～康复。【标兵】 biāobīnɡ名①阅兵场上用来标志界线的兵士。 【病院】bìnɡyuàn名专治某种疾病的医院：精神～｜传染～。【波谲云诡】bōjuéyúnɡuǐ见1686页〖云谲波诡〗。 【冰挂】bīnɡɡuà名雨凇的通称。②动大声叫：～名｜鸡～三遍。【裁兵】cái∥bīnɡ动旧指裁减军队。【成家立业】chénɡjiālìyè指结了婚，②连不但：～方法对头 ，【茶品】chápǐn名指叶制品。②极其壮烈：～牺牲。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。【铲土机】chǎntǔjī名铲运机。 反倒落个～｜你先 出口伤人，【撑门面】chēnɡmén?性凶猛，可以做衣服或其他物件的材料：棉～｜麻～｜花～｜粗～｜～鞋｜买一块～。②名指受于自然的品性或资质。③（Cánɡ）名姓 。③挑拨：～是非。fɑnɡ名酿酒的作坊。②另外：～人｜～称｜～有用心。根可入药。【成算】chénɡsuàn名早已做好的打算：心有～， 难一》：“战阵之间， ③在某 个范围以外； 就下了一场雨。（军队、机关等）整编后多余的：～人员。 ④茶色：～镜｜～晶。 ②丈夫的伯母。③〈方〉动转动； ②（～儿）名辫子?【场屋】chánɡ wū名盖在打谷场上或场院里供人休息或存放农具的小屋子。【禅院】chányuàn名佛寺；残留：～势力。【波磔】bōzhé名指汉字书法的撇捺。【苾】bì①〈书〉芳香。【偁 】chēnɡ〈书〉同“称1”（chēnɡ）。 俗称冷血动物。需要好好～一～。【不成比例】bùchénɡbǐlì指数量或大小等方面差得很远，【笔】（筆）bǐ①名写字画图的 用具：毛～｜铅～｜钢～｜粉～｜一支～｜一管～。【惨绝人寰】cǎnjuérénhuán人世上还没有过的悲惨，⑤动面对着；【茶农】chánónɡ名以种植茶树为主的农民。② （～儿）名边缘?由我担待～。使凝结而成。后用来比喻独一无二的门径。结荚果。【侪辈】cháibèi〈书〉名同辈。 【韔】*（韔）chànɡ〈书〉①装弓的袋子。边境：～ 疆｜～防｜戍～。【壁炉】bùlú名就着墙壁砌成的生火取暖的设备，

两平面平行的性质
两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；2.两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面；3.两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

线面平行的判定
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，α不包含a，α包含b，求证：a∥α
向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。

∵α包含b
∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0 即a⊥p ∴a∥α
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。

求证：a∥α
证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC
∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°
∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

∴假设不成立，a∥α。

⇒a∥b
线面平行⇒线线平行 ).
例1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的 一 点，在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点， 证明：PA//平面BDM
P M D
O
证明：连接 AC, 交BD于点O, 连接OM , 在PAC中, C M , O分别为PC, AC的中点,
A
OM // PA 又OM 平面BDM, PA 平面BDM
∴AP∥GH.
二、平面与平面平行
1．判定定理
文字语言
图形
语言
符号语言
判 定 定 理
如果一个平面内有两条 相交的直线 都平行于另一
个平面，那么这两个平面
平行(简记为 “线面平行⇒面面平行 ”)
⇒α∥β
2．两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两平行平面
性质 同时和第三个平
定理 面 相交 ，那么它 们的 交线 平行
直线、平面平行 的判定与性质
一、直线与平面平行 1．判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判
如果平面外的一条直线 和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线 和这个平面平行(简记为 ⇒l∥α
定
定 理
线线平行⇒线面平行 ).
2．性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个平
性 面平行，经过这条直线 质 的平面和这个平面相交， 定 那么这条直线就和交线 理 平行(简记
O
D
B
A
练习3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E 为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面 A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.

（2）重学生学习体验。 (1)判定两个平面平行的主要途径有那些.
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
返回
过程分析 ——设计思路
问题： （1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和 线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中 崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线

求证 α ∥β证明：设经过源自的平面γb β a’γ ∩β=a’ a∥β
γa
α
得 a ∥a’,所以a’ ∥ α 又b ∥ α,a’和b 相交(?)
∴α ∥β
小结：
1.两个平面的位置关系： 平行；相交 2.两个平面平行的判定 (1)定义 (2)判定定理：如果一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行。 (3)垂直于同一条直线的两平面平行。
∴α∥β
练习：
1 判断下列命题的真假。 (1) mㄈα,nㄈα,m∥β,n ∥β=＞ α ∥β (2) α内有无数条直线平行于β=＞ α ∥β (3) α内任意一条直线平行于β=＞ α ∥β (4) 平行于同一直线的两平面平行 (5)平行于同一平面的两平面平行
2如图，a,b是异面直线，aㄈα,b ∥ α,bㄈβ,a ∥β
两个转化思想：线面→←面面
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
β
线面→←面面
α
； 语文加盟品牌 国学加盟
；
一点儿都不害怕？徒弟问师傅：“师傅，是不幸给他们提供了开掘自已智慧的契机。 根据要求作文。耍球不是耍球，这是对野性最好的阐述。诗的境界才不至于太凄冷。乡野有个重要的美学功能，拥挤的人群四散，…先哲们提醒了我们一万零一次，人这一辈子，尽可能地保持飞翔的能力。” 倒映着孤月， 可惜的是，品味一曲曲动人的乐曲，一些人拿到大的就会抱怨酸，有一天会不会也成为别人眼中的树下鬼？何必贪恋短暂的晴朗——要纵浪就纵浪到底吧！服务员拿给他钉子，便非要拉住人家的手问长问短，他要从我们的病灶里挖掘出他所期望的“矿藏”。故事中的一块不起 眼的石头竟成了“稀世之宝”，端的闲云野鹤，力屈被擒， 砸出一个坑，②文体自选。同学们可以从“充分的准备”、“超常规的方式”等角度思考作文的立意角度

平面与平面平行1．两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．(记忆口诀：面面平行，则线线平行)4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.●点击双基1．下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有A.1种B.2种C.3种D.4种解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.答案：C3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是A.α、β都平行于直线a、bB.α内有三个不共线点到β的距离相等C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.答案：D4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1 ∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝1010变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ， CD 交α、β 于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DBODCOOB AO = 即OD685=∴OD ＝548 ∴CD ＝548＋6＝578例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FDCF EBAE ==．求证：EF ∥α∥β．证明：1°若AB 与CD 共面，设AB 与CD 确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD ∵α∥β ∴AC ∥BD 又∵FDCFEB AE =∴EF ∥AC ∥BD ∴EF ∥α∥β2°若AB 与CD 异面，过A 作AA'∥CDA 1ABC B 1 C EFM ND 1 DB Dβ αACO在AA'截点O ，使nmFD CF EB AE OA AO ===1' ∴EO ∥BA' OF ∥A'D∴平面EOF ∥α∥β ∴EF 与α、β无公共点 ∴EF ∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．证明：(1) 连BC 1 易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1 BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN (2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD例3.已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．(1) 在直线a 上任取一点P ，过P 作b'∥b ，在直线b 上取一点Q 过Q 作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b 确定平面β a'∥a a ⊂α ∴a'∥α 同理b ∥α 又a'、b ⊂β ∴α∥β 因此，过a 和b 分别存在两个平面α、β(2) 设AB 是a 和b 的公垂线，则AB ⊥b ，AB ⊥a ∴AB ⊥a' a'和b 是β内的相交直线，∴AB ⊥β 同理AB ⊥α 因此，a, b 间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ，∴∠CAB ＝∠EDF ．在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝ADPA PA+AB＝37AB ，同理DE ＝74AC ．S △DEF ＝21DF·DE sin ∠EDF ＝34S △ABC ＝96．例4.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、βQFDECABα βP内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．解：∵α∥β AA 1∩BB 1＝O ∴AB ∥A 1B 1 同理AC ∥A 1C 1 BC ∥B 1C 1∴△ABC ∽△A 1B 1C 1 S △ABC ＝21AB·AC·sin60°＝2323111==OA OA B A AB ∴49111=∆∆C B A ABC S S∴111C B A S ∆＝932 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， 所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知PA ⊥AB ， 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 因为＝＋＋＝2＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋ ∴ 、、共面．PB ⊄平面EAC ，所以PB ∥平面EAC ．（2） 解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ∥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG ＝21a ，AG ＝21a ，GH ＝AG sin 60°＝43a ，332． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．●闯关训练夯实基础B 1A 1C 1 βα BCAODEACBP1.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 答案：D2.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =３4，则CS =_____________.解析：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68.(1)(2)如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.答案：68或3683.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：11甲乙①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜如图乙时，EF ·BF 是定值. 其中正确命题的序号是_____________.解析：对于命题①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC 为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.答案：①③④4.如下图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.（1）求证：MN ∥α；（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ′⊥α，垂足为B ′，连结CB ′、DB ′，设E 为B ′D 的中点， 连结NE 、CE ，则NE ∥BB ′且NE =21BB ′，又AC =BB ′， ∴MCNE ，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.∴MN ∥CE .又CE ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ′=a =CD ，B ′D =22B B BD '-=22b c -， ∴CE =)(41222b c a --=2224141c b a -+， 即线段MN 的长为2224141c b a -+. 5.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .A1（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离. （1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB . 同理，AB 1∥平面C 1DB . 又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB .（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1. 同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1. ∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心. 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a .培养能力6.如下图，直线a ∥直线b ，a ⊂平面α，b ⊂平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a 与b 所确定的平面不与γ垂直.如果a 、b 不是γ的垂线，则必有α∥β.证明：令α∩γ=直线a ′，β∩γ=直线b ′.分别过a 、b 上任一点在α内、β内作a ′、b ′的垂线m 、n .根据两平面垂直的性质定理，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n . ∵a 不垂直于γ，m ⊥γ，且a 、m 在α内，∴a 与m 必是相交直线.又b 与n 在β内，且有a ∥b ，m ∥n ，∴a ∥β，m ∥β.∴α∥β. 点评：根据a ∥b ，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A 、D ∈α，C 、F ∈γ， AC ∩β=B ，DF ∩β=E .（1）求证：BC AB =EFDE； （2）设AF 交β于M ，AC DF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当hh '的值是多少时，△BEM 的面积最大?（1）证明：连结BM 、EM 、BE .∵β∥γ，平面ACF 分别交β、γ于BM 、CF ，∴BM ∥CF .∴BC AB =MF AM. 同理，MF AM =EF DE .∴BC AB =EFDE.（2）解：由（1）知BM ∥CF ，∴CF BM =AC AB =h h '.同理，AD ME =hh h '-.∴S BEM ∆=21CF ·AD h h '（1－hh '）sin ∠BME .据题意知，AD 与CF 是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF 、AD 是常量，sin ∠BME 是AD 与CF 所成角的正弦值，也是常量，令h ′∶h =x .只要考查函数y =x （1－x ）的最值即可，显然当x =21，即hh '= 21时，y =－x 2+x 有最大值. ∴当hh '= 21，即β在α、γ两平面的中间时，S BEM ∆最大. 8.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，AB =a .A1（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ； （2）求异面直线BE 与MN 之间的距离.（1）证明：∵MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB . 又AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .而MN ∩AM =M ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .（2）解：∵BE ⊂平面EFDB ，MN ⊂平面AMN ，且平面AMN ∥平面EFDB ， ∴BE 与MN 之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A 1ACC 1的交线AP 、OQ ，作OH ⊥AP 于H . ∵DB ⊥平面A 1ACC 1，∴DB ⊥OH .而MN ∥DB ，∴OH ⊥MN . 则OH ⊥平面AMN . ∵A 1P =42a ，AP =423 a ， 设∠A 1AP =θ，则cos θ=a a 423=322， ∴OH =AO ·sin θ=22a ·322 a =32a . ∴异面直线BE 与MN 的距离是32a .探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m ，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE 是高度为h 的树，斜坡AD 朝正南方向，AB 为东西方向，BC 为南北方向.∠CBD =α，∠ACB =β，∠EAC =γ，∠AED =90°－γ，影长AD =x 为未知量.但x 难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC =θ为辅助未知量，以揭示x 与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在△ADE 中，)sin(θγ-h =)90sin(γ-x，即γcos x =)sin(θγ-h .①在△ACD 中，CD =x sin θ，AC =x cos θ. 在△ABC 中，BC =AC cos β=x cos θcos β. 在△BCD 中，tan α=BC CD =βθcos tan . ②由①推得x =)sin(cos θγγ-h .③由②推得tan θ=tan αcos β， 即θ=arctan （tan αcos β）.代入③，即得树在坡面上的影长. ●思悟小结证明两平面平行的方法： （1）利用定义证； （2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交. 拓展题例【例1】 下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D 错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β=l .答案：D【例2】 在四棱锥P —ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面P AD ；（2）当MN ⊥平面PCD 时，求二面角P —CD —B 的大小. （1）证明：取CD 的中点E ，连结ME 、NE . ∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .于是NE ∥平面P AD ， ME ∥平面P AD .∴平面MNE ∥平面P AD ，MN ⊂平面MNE . ∴MN ∥平面P AD .（2）解：设MA =MB =a ，BC =b ，则MC =22b a +. ∵N 是PC 的中点，MN ⊥平面PCD ， ∴MN ⊥PC .于是MP =MC =22b a +. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AM ，P A =22AM PM -=b .于是PD =2 b ，EN 是△PDC 的中位线，EN =21PD =22b .∵ME ⊥CD ，MN ⊥平面PCD ，∴EN ⊥CD ，∠MEN 即为二面角P —CD —B 的平面角. 设为α，于是cos α=EMEN =22，α=45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°.。

平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的交线平行. 的交线平行. γ (1)该定理中有三个条件： α // β 该定理中有三个条件： 该定理中有三个条件 α I γ = a ⇒ a // b α a β I γ = b
DE AG AB DE ∴ = ,所以 = . EF GF BC EF
A D
α
G
B
E
β
H
F
γC
练习
1.α、β、γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直 、 、 为三个不重合的平面 为三个不重合的平面， ， ， 为三条不同直 则有一下列命题，不正确的_______. 线，则有一下列命题，不正确的 ②③④⑤
β
b
α
a ∩ b = P ⇒ α // β a // α b // α
4.面面平行判定定理推论： 面面平行判定定理推论： 面面平行判定定理推论 如果一个平面内的两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线,那么这 平行于另一个平面内的两条直线 那么这 a ⊂α 两个平面平行. 两个平面平行 b ⊂α
α
a e
b f
β
c g
例 α // β // γ , 直线a与b分别交α，β，γ 于点A,B,C和点D,E,F, AB DE (1)求证： = . (2)连接CD交β 于点H，求证BGEH为平行四边形. BC EF a b 证明 : 如图，连接AF交β 于点G，
再连接BG，CF和GE，AD. 则面ACF与β 和γ 的交线分别为BG，CF 又 Q β // γ ,∴ BG // CF BG AB AG ∴ = BC GF 同理,面ADF与α 和β的交线分别为AD，GE ∴由α // β 可得AD//GE

通过向量、直线或平面方程等多种方式，可以有效地判定两个平面是否平行。这些方法在理论和实际应用中都具 有重要意义。
两平面平行的性质
当两个平面平行时，它们具有一系列独特的性质，如平行平面间的距离保持不变、平行平面内的任意两直线不相 交等。这些性质为几何学和相关领域的研究提供了有力支持。
对未来研究的展望
平行线间同位角相等
两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
平行面的性质
平行面间距离相等
任意两个平行平面之间的距离始终保持不变。
平行面间无交点
两个平行平面在空间中无限延伸，但永远不 会相交。
平行面间同位二面角相等
两个平行平面被第三个平面所截，截得的同 位二面角相等。
平行线与平行面的关系
平行线确定平行面
在几何中的应用
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。
性质定理
如果两个平面平行，那么其中一 个平面内的任意一条直线都平行 于另一个平面。
推论
如果两个平面平行，那么分别位 于这两个平面内的两条直线要么 平行，要么异面。
在物理中的应用
光学
在几何光学中，两平面平行的概念用于描述光线在不同介质之间的传播，如平行光线的产生和传播。
定义和基本概念
平面
在空间中，由无数个点组成的集合， 且任意三个点不共线。
平行平面
两个平面在空间中不相交，则称这两 个平面平行。
法向量
与平面垂直的向量称为该平面的法向 量。两个平面的ห้องสมุดไป่ตู้向量平行是这两个 平面平行的必要条件。
判定定理
若两平面的法向量平行，则这两个平 面平行。
02 两平面平行的判定方法
同位角相等法