二次函数[上学期]--华师大版(20200728030908)

初三数学 27.1二次函数；27.2二次函数的图象与性质知识精讲 华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§27.1二次函数§27.2二次函数的图象与性质二. 重点、难点：1. 重点：⑴理解并掌握二次函数的定义，会根据问题要求正确列出二次函数关系式；⑵会用描点法画出二次函数的图象，并探索、掌握其性质；2. 难点：⑴会利用图象或通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点的位置；⑵掌握二次函数关系式常见的三种形式，并能灵活运用解题.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念一般地，形如()20y ax bx c a =++≠，则y 叫做x 的二次函数，其中x 为自变量.说明：⑴函数关系式必须是整式，任何一个二次函数都可以化成()20y ax bx c a =++≠的形式，因此，把()20y ax bx c a =++≠叫做二次函数的一般形式；⑵化简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，二次项的系数（特别是用字母表示时）必须不为0.⑶一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x 有特殊的取值范围.2. 二次函数的图象及平移规律二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象是一条对称轴平行于y 轴的曲线，这条曲线叫做抛物线，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小（即形状）完全相同，只是位置不相同.抛物线()20y ax bx c a =++≠可由抛物线()20y ax a =≠平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况．因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式2()y a x h k =++来讨论．具体平移方法如下图所示：这里我们总结了一个口诀帮大家总结二次函数图像平移时的规律：a 倍系数定开口，a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下．加减常数上下走，加上常数，向上移动；减去常数，向下移动．常数若是进括号，加减左右对称轴．括号内加，向左移动；括号内减，向右移动．（注：这里加减的数指正数）3. 二次函数的图象特征通过配方c bx ax y ++=2可写成a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，它的图象是以直线a b x 2-=为对称轴，以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22为顶点的一条抛物线．5. 、、与图象的关系开口上下决定a 的正负；左同右异；（即对称轴在y 轴左侧与右侧分别判别a 、b 的符号的异同．）抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负．6. 二次函数解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法： ⑴设一般形式：c bx ax y ++=2（a ≠0）若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点形式：()k h x a y +-=2（a ≠0）若已知二次函数的顶点坐标（h ，k ），设所求二次函数为y ＝a （x －h ）2＋k ，将第二个点的坐标代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．⑶设交点式：()()21x x x x a y --=（a ≠0）若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1， 0），（x 2， 0），设所求的二次函数为()()21x x x x a y --=，将第三点的坐标代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．【典型例题】例1. 下列函数是二次函数的是（ ）A. y ＝8x 2＋1B. y ＝8x ＋1C. y ＝x 8D. y ＝28x＋1分析：形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的函数为二次函数．函数y ＝x 8、y ＝28x＋1右边的代数式x 8、28x 是关于自变量x 的分式，不是二次函数． 解：A 为二次函数，B 为一次函数，C 为反比例函数，故选A ．例2. 已知函数y ＝（m －1）x 12+m ＋5x －3是二次函数，求m 的值．分析：二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，二次项系数a ≠0，不少同学在解题时容易忘记．错解：∵函数y ＝（m －1）x12+m ＋5x －3是二次函数，∴m 2＋1＝2，m 2＝1． ∴m ＝±1．正确解法：∵y ＝（m －1）x12+m ＋5x －3是二次函数，∴m 2＋1＝2且m －1≠0．∴m ＝－1．例3. 底面半径为rcm ，高为2cm 的圆柱体的体积为Vcm 3．⑴求V 与r 的函数关系式；⑵画出函数图象．分析：因为圆柱体底面半径为rcm ，则底面面积为πr 2cm 2，所以容易得到V 关于r 的函数关系式．但在本题中，圆的半径为正值，所以自变量r 的取值范围是r ＞0，这点不能忽视．解：⑴依题意，得圆柱体底面面积为πr 2cm 2，所以有V ＝2πr 2（r ﹥0）．根据上表，描点、连线，画出函数图象，如下图所示：∵r 取大于0的数，∴其图象只在第一象限（原点O 是虚点）．说明：本题中因为自变量r 的取值范围是r ＞0，所以画出的图象只是抛物线在第一象限的一部分，应注意，原点处应为空心点．例4. 某商店将每件进价为10元的商品按每件12元出售时，一天可卖出150件，该商店经过调查发现，该商品每提价0.1元，其销售量下降5件，设该商品每件提高x 元时，每天的销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式．分析：在列实际问题的函数关系式中，应正确分析题意，找出各个数量之间的关系，不能在还未弄清题意时便贸然列函数关系式．错解1：y ＝（12－10＋x ）·（150－5x ）．错解2：y ＝（12＋x ）（150－50x ）．正确解法：y ＝（12－10＋x ）（150－x ÷0.1×5）＝（2＋x ）（150－50x ）．错解分析：解法1忽略了销售件数与提高价格的关系，误认为每提高1元销售量下降5件；解法2不明白利润应为销售收入与成本的差．例5. 二次函数y ＝21x 2＋3x ＋25的图象是由函数y ＝21x 2的图象先向 （左、右）平移 个单位，再向 （上、下）平移 个单位得到的．分析：在二次函数由一般式化成顶点式时，在配方过程中提公因式和去括号时容易出现错误．解：y ＝21x 2＋3x ＋25＝21（x 2＋6x ＋5）＝21（x 2＋6x ＋9－9＋5） ＝21（x ＋3）2－2． ∴抛物线y ＝21x 2＋3x ＋25是由y ＝21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．例6. 选择题：抛物线y ＝2x 2＋4x －3的顶点坐标是（ ）A. （1，－5）B. （－1，－5）C. （－1，－4）D. （－2，－7）分析：题中所给的二次函数的解析式是一般式，可以利用配方的方法，也可以记住对称轴x ＝ab 2-，顶点（a b ac a b 44,22--），把它们当作公式应用． 解法一：∵y ＝2x 2＋4x －3＝2（x 2＋2x ＋1）－5＝2（x ＋1）2－5，∴顶点坐标为（－1，－5）．解法二：∵a ＝2，b ＝4，c ＝－3，∴x ＝244)3(24a 4b ac 4y ,1224a 2b 22⨯--⨯⨯=-=-=⨯-=-＝－5 ∴顶点的坐标为（－1，－5）．答案：B例7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，下列结论中，正确的个数有（ ） ①abc >0 ②b ＝2a ③a ＋b ＋c <0 ④a －b ＋c >0A. 4B. 3C. 2D. 1分析：根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与a 、b 、c 的关系，可以判定出结果．解：∵抛物线的开口向下，∴a <0．又∵对称轴在y 轴左侧，∴a 、b 同号，又∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，∴c >0，∴abc >0． 又∵ab 2-＝－1，∴b ＝2a ． 令x ＝1，则y ＝a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c <0不正确．令x ＝－1，则y ＝a －b ＋c >0，∴a －b ＋c >0正确．答案：B例8. 已知一次函数y ＝ax ＋c ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）．分析：先由一次函数y ＝ax ＋c 确定a 与c 的正负情况，再与二次函数的图象比较． 解：可用排除法，设当a>0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，而一次函数y ＝•ax ＋c 应过一、三象限，故排除C ；当a<0时，用同样方法可排除A ；c 决定直线与y 轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点，本题中c 相同，则两函数图象在y 轴上有相同的交点，故排除B ．答案：D ．例9. 已知二次函数的图象的顶点是（1，－8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．分析：求二次函数关系式的方法，应根据具体问题灵活应用，选取最简方案．本题因为已知二次函数图象顶点及与x 轴的一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．解法1：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y ＝a （x －1）2－8． 把（3，0）代入上式，得0＝a （3－1）2－8．∴a ＝2．∴二次函数关系式为y ＝2（x －1）2－8＝2x 2－4x －6．解法2：∵抛物线对称轴为直线x ＝1，与x 轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x 2，0），则1＝232x +．∴x 2＝－1．∴设二次函数关系式为y ＝a （x ＋1）（x －3）． 把（l ，－8）代入上式，得－8＝a ·2·（－2）．∴a ＝2．∴二次函数关系式为y ＝2（x ＋1）（x －3）＝2（x 2－2x －3）＝2x 2－4x －6．例10. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB ＝5cm ，拱高OC ＝0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图①，在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系如图②．⑴求出图②上以这一部分抛物线为图象的函数关系式，写出函数定义域；⑵如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）分析：⑴由题意知，抛物线顶点为（0，0.9），且过A （－2.5，0），B （2.5，0）.⑵求DE 的长，可求出D 、E 的横坐标，D 、E 的纵坐标与M 点纵坐标相等，为0.45，将y ＝0.45代入⑴中函数关系式即可求出D 、E 的横坐标．解：⑴由题意知，抛物线顶点C 的坐标为（0，0.9），所以设抛物线关系式为y ＝ax 2＋0.9.把B （2.5，0）代入上式，得0＝6.25a ＋0.9.解得a ＝－12518. ∴函数关系式为y ＝－12518x 2＋109（－2.5≤x ≤2.5）． ⑵∵DE ∥AB ，∴D 、M 、E 的纵坐标相等，都为209．把y ＝209代入y ＝－12518x 2＋109，得x 1＝452．x 2＝－245．∴D 点坐标为（－245，209），E 点坐标为（209,245）． ∴DE ＝245245+＝225． ∴卢浦大桥拱内实际桥长为225×11000×0.01＝2752≈385（米）． 点拨：求DE 的长即求出D 、E 两点坐标．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 若函数－２－2m 2)x (m y =是二次函数，那么m 的值是（ ）A. 2B. －2C. 2或－2D. 2±2. 抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下面是小华同学对二次函数 2x 3y -=图象的描述，其中错误的是（ ）A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的对称轴为y 轴C. 抛物线的顶点是原点D. 抛物线经过点（－3，1）4. y＝（x－1）2＋2的对称轴是直线（）A. x＝－1B. x＝1C. y＝－1D. y＝15. 若抛物线y＝a1x2，y＝a2x2的形状、大小、开口方向均相同，那么（）A. a1＝a2B. a1＝－a2C. |a1|＝|a2|D. a1与a2的关系无法确定6. 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝－1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且－1＜x1＜x2，x3＜－1，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＜y2＜y3B. y3＜y1＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y1＜y3二、填空题1. 已知函数y＝（m2－1）x2＋（m2－2m－3）x－m－1，当m__________时，y是x的二次函数；当m_______时，y是x的一次函数。

课程解读：二次函数（华师大版）一、二、重点难点本章的重点是通过对二次函数图象的观察和分析，领会和运用数形结合的思想方法，归纳出函数的性质，揭示出自变量x 和函数y 的变化规律；待定系数法是确定二次函数的一种重要的思想和方法。

难点是通过二次函数的应用解决实际问题，它的关键是将实际问题中的文字语言转化为数学语言，构建二次函数模型，通过二次函数的图象及性质解决实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型和工具。

三、主要教学目标①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，掌握利用待定系数法确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义。

②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。

④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

⑤经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型，能应用二次函数的相关知识解决简单的实际问题。

四、知识精要知识点1：二次函数的定义一般地，如果c bx ax y ++=2)0,,≠a c b a 是常数，（，那么y 叫做x 的二次函数. [注意]⑴二次函数c bx ax y ++=2中，x ，y 都是变量，c b a ,,是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b ，c 可以是任意实数，但a 是不为0的实数；⑵若0=a ，则c bx ax y ++=2变成c bx y +=，当0≠b 时，是一次函数；当0=b 时，则为常数函数c y =；⑶判断一个函数是否是二次函数必须满足三个条件：①函数关系式必须是整式；②化简后自变量的最高次数必须为2；③化简后二次项的系数必须不为0； 知识点2：二次函数2ax y =的图象⑴二次函数2ax y =中隐藏了一个重要条件为0≠a .⑵二次函数2ax y =的图象是一条轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线，对称轴与抛物线的交点叫抛物线的顶点；2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.⑶若平行于x 轴的直线l 交抛物线于B A ,两点，由对称性可知，B A ,关于y 轴对称，线段AB 的垂直平分线就是y 轴.知识点3：描点法画二次函数2ax y =)0≠a （的图象的步骤⑴列表，一般以0为中心，选取自变量x 的值，为方便，x 一般取整数. ⑵描点，把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点.⑶连线，用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把各点连接起来.[注意]⑴描点法画出的只是整个函数图象的一部分，由于自变量x 可取一切实数，所以图象是向两方无限延伸的； ⑵点越多，图象越精确；⑶图象必须用平滑的曲线连接，不能产生尖点； ⑷二次函数2ax y =)0≠a （的图象记作抛物线2ax y =. 知识点4：二次函数2ax y =的性质⑴抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. ⑵函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔当0=x 时，0=最小y ⇔当0>x 时，y 随x 的增大而增大；当0<x 时，y 随x 的增大而减小；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔当0=x 时，0=最大y ⇔当0>x 时，y 随x 的增大而减小；当0<x 时，y 随x 的增大而增大；⑶顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 知识点5：二次函数c bx ax y ++=2的图象⑴二次函数c bx ax y ++=2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. ⑵二次函数k ax y +=2的图象是由2ax y =向上（或向下）平移得到的. 当0>k 时，二次函数2ax y =向上平移k 个单位得到k ax y +=2. 当0<k 时，二次函数2ax y =向下平移k 个单位得到k ax y +=2.⑶二次函数2)(h x a y -=的图象是由2ax y =向左（或向右）平移得到的. 当0>h 时，二次函数2ax y =向右平移h 个单位得到2)(h x a y -=. 当0<h 时，二次函数2ax y =向左平移h 个单位得到2)(h x a y -=.⑷二次函数k h x a y +-=2)(的图象是由2ax y =向左（或向右）平移h 个单位，然后向上（或向下）平移k 个单位得到的.对称轴为直线h x =，顶点坐标为).,(k h⑸二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以通过配方法转化为顶点式k h x a y +-=2)(：c bx ax y ++=2)(2a c x a b x a ++=])2()2()2(2[222ac a b a b x a b x a +-++=.44)2(22a b ac a b x a -++= 因此抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为abx 2-=； 顶点坐标为)4422ab ac a b --，（. [注意]①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②几个不同的二次函数，若a 相同，则开口方向、大小、形状完全相同，只是顶点的位置不同，顶点决定抛物线的位置，抛物线的移动主要就看顶点的移动，平移与上、下、左、右移动的先后顺序无关.③平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 知识点6：二次函数c bx ax y ++=2图象的画法 ⑴描点法，其步骤如下：① 把二次函数c bx ax y ++=2化为k h x a y +-=2)(的形式；② 确定开口方向、对称轴和顶点坐标；③ 在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。

第27章 二次函数要用长20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y =x (20-2x ).试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？§27.1 二次函数问题1 （本章导图中的问题）如图27.1.1，要用总长为20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1） 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB 的长为x m ，先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC 的长，进而得出矩形的面积y m 2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2） x 的值是否可以任意取？试指出它的取值范围.（3） 我们发现，当AB 的长（x ）确定后，矩形的面积（y ）也就随之确定，y 是x 的函数，试写出这个函数的关系式． 问题2图27.1.1某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 分 析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元 （0≤x ≤2），该商品每天的利润为y 元，y 是x 的函数． 我们可以得到：问题1中的函数关系式为y ＝x （20－2x ） （0＜x ＜10）即 y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）问题2中的函数关系式为y ＝（10－x －8）（100＋100x ） （0≤x ≤2），即 y ＝－100x 2＋100x ＋200 （0≤x ≤2）. 观 察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？ 概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）． 练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1） 当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S 关于x的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1） 分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式； （2） 这两个函数中，哪个是x 的二次函数？ 习题27.11. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3． （1） 分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； （2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1） 求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m 2）（第4题）§27.2 二次函数的图象与性质回顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y＝ax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数y＝ax2的图像与性质．例1画二次函数y＝x2的图象．解列表．在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图27.2.1所示．图27.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y ＝x 2、y ＝2x 2的图象，可以看出：当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a ＞0时，函数y ＝ax 2具有这样的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝0时，函数 y＝ax 2取得最小值，最小值y ＝0． 思 考观察函数y ＝－x 2、y ＝－2x 2的图象，试作出类似的概括，当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2有些什么特点？它反映了当a ＜0时，函数y ＝ax 2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2； （2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1） 抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2） 抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1） 当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）；（2） 画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象． 分 析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图像．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图27.2.2所示．图27.2.2观察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1．反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质：当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最____值，最____值y＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y＝2x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质． 思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？ 练 习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？3.试说出函数y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图27.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图27.2.3观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？ 概 括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______． 做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质． 思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质． 练 习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3） 分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1， 即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系．在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系． 试一试（1） 填写下表．（2） 从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1） 在图27.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y ＝2（x －1）2 的图象作比较．（2） 试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？3.你能说出函数y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象． 解 列表．画出的图象如图27.2.4．图27.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2． 做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思 考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？ 练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4； （2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2； （4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝2x 2＋4x ； （2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7； （4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4； （2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1； （4） y ＝x 2－4x ＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题． 问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图27.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x -＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-=1.5．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4； （2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ； （4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ； （6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图27.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图27.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图27.2.6分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图27.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）． （1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是y ＝－0.2x 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注 意求二次函数的关系式，常运用待定系数法.首先应根据已知条件，写出适当的形式． 练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2） 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3） 已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）． （1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？3.将抛物线3212+--=x x y 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 习题27.21. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1； （4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）y ＝x 2－3x －4； （2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1； （4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ； （6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标． （1）y ＝4x 2－4x ＋1； （2）y ＝－4x 2－9； （3）y ＝－4x 2＋3x ； （4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）； （2） 已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；（3） 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§27.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图27.3.1（1）所示．图27.3.1根据设计图纸已知：在图27.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图27.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？ 分 析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？ 问题3 画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1） 图象与x 轴交点的坐标是什么？（2） 当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3） 你能从中得到什么启发? 试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1） 当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？ （2） 能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？ 练 习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图27.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图27.3.2图27.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论． 做一做利用图27.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．（1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）；（2） 2x 2－3x －2＝0．习题27.31. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约1.6m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3.2 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？（精确到0.1米 ）2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1） 写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式； （2） 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0； （2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y图27.3.4 (第1题)小结一、知识结构二、概括1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值． （1） y ＝1－3x 2； （2） y ＝x 2－4x ＋5； （3） y ＝x 2－6x ； （4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝x 2－2x －4； （2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ； （4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2． （1） 画出函数的图象；（2） 观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 填空：（1） 抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____ ________；（2） 抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____ ________．6. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并写出这条抛物线的顶点坐标.7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式． （1） 抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点； （2） 抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1） 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象； （2） 观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 9. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ； （2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ； （4）y ＝3x 2－6x ． ．10. 观察下面的表格．（1） 求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2） 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ．12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：s ＝0.01x ＋0.002x 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1） 建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2） 若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1） 试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式 （2） 利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3） 利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）（4）(第15题)。