2019北京汇文中学高三(上)期中数学

北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高三年级 数学学科本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分，共40分)1. 已知集合{}260A x x x =--≤，{}||1B y y x ==+，则AB =( )A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3] 2. 下列命题中，正确的是( )A ．12i -的虚部是2B ．|12|i -=C ．12i -的共轭复数是12i --D ．12i -在复平面内对应的点在第二象限3．已知点(6,8)P -是角α终边上一点，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35- C ．45 D ．45-4. 已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//l m ，m α⊂，则//l α B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D ． 若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥5.在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =.则CB =( ) A. 32m n - B. 23m n -+ C. 32m n + D. 23m n +6．函数2()22cos f x x x =-在区间[0,]2π上的最大值为( )A ．12B 1-C ．1D 7. 在数列{}n a 中，已知2n a n n λ=+，*N n ∈，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离为( )图1 图2 图3A.2B.2C.1D.10.设函数2(1)2,1()|2|,1x a x a x f x a x x ⎧-++<=⎨-≥⎩，给出下列四个结论：①当0a <时，函数()f x 有三个极值点； ②当01a <<时，函数()f x 有三个极值点； ③R,2a x ∀∈=是函数()f x 的极小值点； ④1R,2a a x +∀∈=不是函数()f x 的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题(每题5分，共25分)11．首项为1的等比数列{}n a 中，12342,,a a a 成等差数列，则公比q =_______．12.若函数1()2()2x x f x a =-⋅为偶函数，则a =________，()f x 的最小值为_______.13.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长为2 ，体积为3，则这个四棱锥的侧棱长为_______. 14．已知数列{}n a 满足122122111n n n n a a n a a a +-==+=+，，，*N n ∈.则集合{|20}m m a ≤中元素的个数为________.15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,R x y ∈，12010200()()1(,R)b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈，则00x y += ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）△ABC 中，222b c a +=+． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件， 并求△ABC 的面积．条件①：sin 2B =，b =；条件②：cos 3B =，a = 条件③：1a =，b =．注：条件选择错误，第（2）问得0分．在17. （14分）如图，已知PAB ⊥平面平面，四边形是矩形，PA AB =，点，分别是，的中点．（Ⅰ）若点为线段中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC .18. （15分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,]x e e∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围．ABCD ABCD E F BC PB M AD PMAEF19. （14分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F为棱CD 上一点．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11A A C E --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点F ，使1D F //平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由.20. （14分）已知函数()(2)ln x f x x e x x =--+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在区间[1,)+∞上为单调递增函数；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,1]4上的最大值在区间(,1)m m +内，求整数m 的值．21. （15分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.求证：i Ω是等差数列.【参考答案】一、选择题：BBADB CCBAD二、填空题11. 212. -1,214.2415.16.（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，又222b c a+=+，可得2cosbc A=，所以cos2A=，又因为()0,Aπ∈，所以6Aπ=（2）选择条件②由（1）知，6Aπ=，根据条件②中cos3B=，()0,Bπ∈，所以B∠也是唯一确定的，从而可得C∠也是唯一确定的，再由a=,b c也是唯一确定的，故选择条件②.因为cos3B=，()0,Bπ∈，所以1sin3B=．由正弦定理sin sina bA B=，可得1sin31sin32Bb aA===，所以()11sin sin sin cos cos sin23236C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=所以三角形面积1sin29S ab C+==17.（Ⅰ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，A 的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为M 是PB 的中点，所以PM ∥FN ，因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . （Ⅱ）证明：,ABCD BC AB ⊥在矩形中BC AB PAB ABCD PAB ABCD AB BC ABCD ⊥⎧⎪⊥⎪⎨⋂=⎪⎪⊂⎩面面面面面 BC PAB ∴⊥面因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． 因为PA AB =，点M 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BCPB B =，所以AF ⊥平面PBC ．18.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ， 所以f ′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1， f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(e ,+∞)，减区间为(0,1e )．(Ⅲ)当1e⩽x ⩽e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x”恒成立， 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e,e]．当x ∈[1e ,1)时，gˈ(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减．当x ∈(1,e]时，gˈ(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g (e )=1+1e <1.5， 所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e)=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e,e]，都有f(x)≤ax −1． 19.(1) 以 A 为原点， AB,AD,AA 1分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A 1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， C 1(2,2,2)， D 1(0,2,2)，E(2,1,0)1111(2,2,2),(2,2,0),(0,1,2)AC AC EC ===设平面11A C E 的一个法向量为(,,)m x y z =1110m A C m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 不妨设y =2，则x =−2，z =−1, (2,2,1)m =--设直线 AC 1与平面 A 1EC 1所成角为 θ，则111sin |cos ,|3,m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯． (2)由正方体可得，平面 AA 1C 1的一个法向量为 DB →=(2,−2,0)， 则cos ,33DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ . 因为二面角 A −A 1C 1−E 为锐二面角，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2 ⟨DB →,m →⟩=13．（3）存在，设F 点的坐标为(t,2,0),所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,0,2) 平面 A 1EC 1的一个法向量为 m →=(−2,2,−1)， 因为FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m →，所以m ⃗⃗ ∙FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，t =1因为 D 1F ⊄平面 A 1EC 1，所以 D 1F//平面 A 1EC 1．此时DF =120.解：(1)x ∈[1,+∞),f ′(x )=e x +(x −2)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x ) 当x ≥1时x −1≥0,e x ≥e,1x ≤1,e x >1x ∴f ′(x )≥0，f (x )单调递增 (2)f′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x). 令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0，所以ℎ(x)在[14,1]上单调递增，因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ(1)=e −1>0，所以存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，故当x ∈[14,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,1]时，ℎ(x)>0， 又当x ∈[14,1]时，x −1≤0(等号仅在x =1时成立)，所以当x ∈[14,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,1]时，f′(x)≤0(等号仅在x =1时成立)， 所以f(x)在[14,x 0)上单调递增，在(x 0,1]上单调递减， 则f(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)⋅1x 0−x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令G(x)=1−2x −2x ，x ∈(12,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x 2)x2>0(x ∈(12,1))，所以G(x)在(12,1)上单调递增，则G(x)>G(12)=−4，G(x)<G(1)=−3， 所以−4<f(x)max <−3，所以m =−4．21.（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =.由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()iii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列， 所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-. 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2019.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。

2019年海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。

北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．因为集合合，所以，故选：B．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选 C.3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．向量，，，∴故选 A.4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用指函数的单调性得出结论．A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理 C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选 D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，。

2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ={x|x 2−2x ＞0}，B ={x|−√5＜x ＜√5}，则（ ） A ．A ∪B ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（5分）化简AB →+BC →−AD →等于（ ） A ．CD →B ．DC →C ．AD →D ．CB →3．（5分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f （x ）＝（ ） A ．e x +1B ．e x ﹣1C ．e﹣x +1D ．e﹣x ﹣14．（5分）“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣2，S m ＝0，S m +1＝3，则m ＝（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（5分）函数y ＝f （x ）的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的取值范围是（ ）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．（5分）已知函数f （x ）=sinxx，下列四个命题正确的序号是（ ） ①y ＝f （x ）是偶函数；②f （x ）＜1；③当x =3π2时，y ＝f （x ）取得极小值 ④满足f （nπ6）＜f （n+16π）的正整数n 的最小值为9A ．①②③B ．①③④C ．①②D ．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f （x ）＝sin (π2x −π4)，在区间[0，1]上的最小值是 ． 10．（5分）若等比数列{a n }，满足a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60，则公比q ＝ ．11．（5分）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，则点Q 的坐标是 ．12．（5分）已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为 ．13．（5分）已知函数f （x ）={x 2−2x(x ≤0)e x −1(x ＞0)，若对∀x ∈R ，不等式f （x ）≥ax 成立，则a的取值范围是 ．14．（5分）设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x （Q ），点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y （Q ）．若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （Q ）的最大值为√2②x （Q ）+y （Q ）的取值范围是[2，√2] ③x （Q ）﹣y （Q ）恒等于0． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤）15．（13分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cos A =13． （1）求sin 2B+C 2+cos2A 的值；（2）若a =√3，求△ABC 面积的最大值．16．（13分）已知等比数列{a n }满足：a 3﹣a 2＝10，a 1a 2a 3＝125． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得1a 1+1a 2+⋯+1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．17．（13分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以原点O 为起点，再丛A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，（如图）这8个点中任取（两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望．18．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ，M ，N 分别为PB ，PC 中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AM ﹣C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？若存在，求BE BC的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f （x ）＝a （x −1x ）﹣2lnx ，其中a ≥0． （Ⅰ）若a ＝2，求曲线f （x ）在x ＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数g （x ）=−ax若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．20．（13分）将所有平面向量组成的集合记作R 2，f 是从R 2到R 2的映射，记作y →=f （x →）或（y 1，y 2）＝f （x 1，x 2），其中x 1，x 2，y 1，y 2都是实数．定义映射f 的模为：在|x |＝1的条件下|y →|的最大值记做∥f ∥．若存在非零向量x →∈R ，及实数λ使得f （x →）＝λx →，则称λ为f 的一个特征值．（Ⅰ）若f （x 1，x 2）＝（12x 1，x 2）求∥f ∥；（Ⅱ）如果f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2），计算f 的特征值，并求相应的x →；（Ⅲ）试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ，②||f ∥＝|λ|．（不需证明）2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由A 中不等式变形得：x （x ﹣2）＞0， 解得：x ＜0或x ＞2，即A ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∵B ＝{x |−√5＜x ＜√5}，∴A ∩B ＝{x |−√5＜x ＜0或2＜x ＜√5}，A ∪B ＝R ， 故选：A ．2．【解答】解：AB →+BC →−AD →=AC →−AD →=DC →． 故选：B ．3．【解答】解：函数y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y ＝e ﹣x ，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 的图象关于y 轴对称， 所以函数f （x ）的解析式为y ＝e ﹣（x +1）＝e﹣x ﹣1．即f （x ）＝e﹣x ﹣1．故选：D ．4．【解答】解：若存在λ∈R ，使得a →=λb →”，则向量a →与向量b →共线，即必要性成立， 当b →为零向量时，a →为非零向量时，满足向量a →与向量b →共线”但不存在λ∈R ，使得a →=λb →”成立，即充分性不成立，故“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的必要不充分条件， 故选：B ．5．【解答】解：对于函数f （x ）＝（1x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝（−1x +x ）cos x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A 、B ．当x ＝π，f （x ）＜0，故排除C ， 但是当x 趋向于0时，f （x ）＜0，故选：D ．6．【解答】解：a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝2，a m +1＝S m +1﹣S m ＝3， 所以公差d ＝a m +1﹣a m ＝1， S m =m(a 1+a m )2=0， m ﹣1＞0，m ＞1，因此m 不能为0， 得a 1＝﹣2，所以a m ＝﹣2+（m ﹣1）•1＝2，解得m ＝5， 另解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即有数列{S n n}成等差数列，则S m−1m−1，S m m，S m+1m+1成等差数列，可得2•S m m=S m−1m−1+S m+1m+1，即有0=−2m−1+3m+1， 解得m ＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得12（m ﹣1）（a 1+a m ﹣1）＝﹣2，12m （a 1+a m ）＝0，12（m +1）（a 1+a m +1）＝3，可得a 1＝﹣a m ，﹣2a m +a m +1+a m +1=6m+1+−4m−1=0， 解得m ＝5． 故选：C ．7．【解答】解：令y ＝f （x ），y ＝kx ， 作直线y ＝kx ，可以得出2，3，4个交点， 故k =f(x)x （x ＞0）可分别有2，3，4个解． 故n 的取值范围为2，3，4． 故选：B ．8．【解答】解：由定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，①对， 当x ＞0时，sin x ＜x ，所以f （x ）＜1，因为偶函数，所以当x 不等于0时，f （x ）＜1故②成立， f '（x ）=xcosx−sinx x 2，f '（3π2）不等于0，故③错，函数y ＝sin π6x ，上的横坐标为正数的整点分别为x ＝1，2，3，4，…对应的点为（1，12），（2，√32），（3，1），（4，√32），（5，12），（6，0），（7，−12），（8，−√32），（9，﹣1）…f （x ）=sinxx =sinx−0x−0，即表示点（x ，sin x ）与原点（0，0）的斜率， f （nπ6）＜f （n+16π）正整数n 的最小值，表示斜率变小时最小的n ，观察图象，红色的直线表示（10，−√32），（0，0）连线，斜率开始变大，而前面n ＝1到9，斜率由大变小，故满足条件的最小的n ＝9，④成立．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：∵x ∈[0，1]，∴π2x ∈[0，π2]，∴π2x −π4∈[−π4，π4]，∴sin (π2x −π4)∈[−√22，√22]，∴函数f （x ）＝sin (π2x −π4)在区间[0，1]上的最小值是−√22， 故答案为：−√22．10．【解答】解：由a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60， ∴20q 2＝60，解得q =±√3．故答案为：±√3．11．【解答】解：∵平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），则|OP |＝2． 将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，设OP →=（1，√3）＝（2cos θ，2sin θ），故 cos θ=12，sin θ=√32．设点Q 的坐标为（ x ，y ），则x ＝2cos （θ+π2）＝2sin θ=√3，y ＝2sin （θ+π2）＝2cos θ＝1，故点Q 的坐标为（ √3，1）， 故答案为：（ √3，1）．12．【解答】解：∵已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1→•e 2→=1×1×cos60°=12． 设向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为θ，θ∈[0，π]．∵（2e 1→+e 2→）•（2e 2→−3e 1→）=e 1→⋅e 2→−6e 1→2+2e 2→2=12−6+2=−72， |2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4+4×12+1=√7，|2e 2→−3e 1→|=√(2e 2→−3e 1→)2=√4−12×12+9=√7，故cos θ=(2e 1→+e 2→)⋅(2e 2→−3e 1→)|2e 1→+e 2→|⋅|2e 2→−3e 1→|=−727⋅7=−12，∴θ=2π3， 故答案为：2π3．13．【解答】解：当x ≤0，f （x ）＝x 2﹣2x ≥ax ，得x 2﹣x （a +2）＝x [x ﹣（a +2）]≥0， x ≤a +2，即a ≥x ﹣2，a ≥﹣2，当x ＞0时，f （x ）＝e x ﹣1，f '（x ）＝e x ，f '（0）＝1，所以过（0，0）的切线为y ＝x ，f （x ）≥ax ，则a ≤1， 故a ∈[﹣2，1]， 故答案为：[﹣2，1]．14．【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线√2，故x （Ω）的最大值√2，故①正确； 如图：当正方形的对角线在x 轴上时， 此时x （Ω）=√2，y （Ω）=√2，此时x （Ω）+y （Ω）＝2√2最大，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图， 此时x （Ω）＝1，y （Ω）＝1， 此时x （Ω）+y （Ω）＝2为最小值．故x （Ω）+y （Ω）的取值范围是[2，2√2]，故②错误；由于x （Ω）＝y （Ω）恒成立，故x （Ω）﹣y （Ω）恒等于0，故③正确； 故所有正确结论的序号是①③ 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤） 15．【解答】解：（1）sin 2B+C 2+cos2A ＝sin 2π−A 2+2cos 2A ﹣1＝cos 2A2+2cos 2A ﹣1=1+cosA2+2cos 2A ﹣1 =1+132+2×19−1=−19；（2）cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2−23bc ≥2bc −−23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b ＝c =32，取得等号． 则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b＝c=32时，△ABC的面积取得最大值3√24．16．【解答】解：（I）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3−a2=a1q2−a1q=10⋯⋯①，则a1a2a3=a1⋅a1q⋅a1q2=(a1q)3=125⋯⋯②，解①②得：q＝3，从而a1=5 3．∴数列{a n}的通项公式a n=a1q n−1=53×3n−1=5×3n−2．（II）假设存在正整数m，使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1．∵a n=5×3n−2，∴1a n =15×(13)n−2，从而数列{1a n}是首项为35，公比为13的等比数列，从而得1a1+1a2+⋯+1a m=35[1−(13)m]1−13=910(1−13m)≥1，从而解得32﹣m≤﹣1，显然不成立，因此不存在这样的整数m使得使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1成立．17．【解答】解：（Ⅰ）从8个点中任意取两点为向量的终点的不同取法共有C82=28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P（X＝0）=828=27；（Ⅱ）两向量数量积X的所有可能取值为﹣2，﹣1，0，1．X＝﹣2时有两种情形，X＝1时有8种情形，X＝﹣1时有10种情形，X＝0时有8种情形，所以X的分布列为X﹣2﹣101P 1145142727∴E（X）＝（﹣2）×114+（﹣1）×514+0×27+1×27=−314．18．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD所以MN ∥平面P AD ．…．（4分）解：（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB ，交AB 于点O ，因为平面P AB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则A （﹣1，0，0），C （1，1，0），M （12，0，√32）， B （1，0，0），N （12，12，√32）， 则AC →=(2，1，0)，AM →=(32，0，√32)设平面CAM 法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅AC →=0n 1→⋅AM →=0，得{2x 1+y 1=032x 1+√32z 1=0， 令x 1＝1，则y 1=−2，z 1=−√3，即n 1→=(1，−2，−√3)平面ABM 法向量n 2→=(0，1，0)所以，二面角B ﹣AM ﹣C 的余弦值|cosθ|=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22 因为二面角B ﹣AM ﹣C 是锐二面角，所以二面角B ﹣AM ﹣C 等于45°…．（10分）（Ⅲ）存在点E ，使得EN ⊥平面AMN …．（11分）设E （1，λ，0），则EN →=(−12，12−λ，√32)，由{EN →⋅AM →=0EN →⋅MN →=0可得λ=12， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ，此时BE BC =12．…．（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)=2(x−1x−lnx)，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2−1x)，∴f′（1）＝2，即切线斜率为2，故由点斜式方程可得切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）原问题等价于至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣2lnx，x∈[1，e]，则ℎ′(x)=a−2x=ax−2x，①当a＝0时，ℎ′(x)=−2x＜0，则函数h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）min＝h （e）＝﹣2＜0，符合题意；②当a＞0时，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2a，则函数h（x）在(0，2a)上单调递减，令h′（x）＞0，解得x＞2a，则函数h（x）在(2a，+∞)单调递增，（i）当2a≤1，即a≥2时，h（x）min＝h（1）＝a＜0，此时无解；（ii）当1＜2a＜e，即2e＜a＜2时，ℎ(x)min=ℎ(2a)=2−2ln2a＜0，解得0＜a＜2e，此时无解；（iii）当2a≥e，即0＜a≤2e时，h（x）min＝h（e）＝ae﹣2＜0，解得0＜a＜2e，此时0＜a＜2 e．综上，实数a的取值范围为[0，2e )．20．【解答】解：（Ⅰ）由于此时y12+y22=14x12+x22，又因为是在x12+x22=1的条件下y12+y22=14x12+x22═14+34x22≤1（x2＝±1时取最大值），所以此时有||f ||＝1；（Ⅱ）由f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2）＝λ（x 1，x 2），可得{x 1+x 2=λx 1x 1−x 2=λx 2：， 解此方程组可得：（λ﹣1）（λ+1）＝1，从而λ＝±√2． 当λ=√2时，解方程组{x 1+x 2=√2x 1x 1−x 2=√2x 2，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为x →=m(√2+1，1)，其中m ∈R 且m ≠0．当λ=−√2时，同理可得相应的x →=m(1−√2，1)，其中m ∈R 且m ≠0．（Ⅲ）由方程组{a 1x 1+a 2x 2=λx 1b 1x 1+b 2x 2=λx 2，可得x 1（a 1﹣λ，b 1）+x 2（a 2，﹣b 1﹣λ）＝0 从而向量（a 1﹣λ，b 1）与（a 2，﹣b 1﹣λ）平行， 从而有a 1，a 2，b 1，b 2应满足：(a 1−b 1)2+4a 2b 1=0； 当f （λ→ ）＝λx → 时，f 有唯一的特征值，且||f ||＝|λ|， 故f(λ→)=λx →．。

北京汇文中学 2015-2016 学年度 第一学期期中考试 高三（理科）数学一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 复数i (3 + 4i ) 的虚部为（ ）（A ）3（B ） 3i （C ）4（D ） 4i2 已知命题 p : ∀x ∈ R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是（）A ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ 2B ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < 2C ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ -2D ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < -23．下列函数中，对于任意 x ∈ R ，同时满足条件 f (x ) = f (-x ) 和 f (x - π) = （ ）f (x ) 的函数（A ） f (x ) = sin x（C ） f (x ) = cos x（B ） f (x ) = sin x cos x（D ） f (x ) = cos 2x - sin 2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入 a = 2, b = 2，那么输出的 a 值为（ ）（A ） 4 （B ）16 （C ） 256（D ） log 3 165.满 足 a , b ∈{-1, 0,1, 2} ,且 关 于 x 的 方 程ax 2 + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a , b ) 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．102 32115俯⎨ 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ） 2（C ） 44（B ）3（D ） 5正(主)视图侧(左)视图视图7． 已知 a , b ∈ R ．下列四个条件中，使 a > b 成立的必要而不充分的条件是（）（A ） a > b -1（C ）| a | >| b |8.点 P (x , y ) 是曲线 C : y =（B ） a > b +1（D ） 2a> 2b1(x > 0) 上的一个动点，曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 xA ,B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② ∆OAB 的周长有最小值 4 + 2 ；③曲线 C 上存在两点 M , N ，使得 ∆OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 若向量a ,b 满足 | a |=| b |=| a + b |= 1 ,则 a ⋅ b 的值为 .a = 3,b = 2, A = π10．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a , b , c .6 ，则tan B = .11.若数列{a n }的前 n 项和 S n = n -10n (n = 1，2，3， ) ，则此数列的通项公式为 .12. 已知为锐角， cos =5 ，则 tan( π+) = 5 4⎧ x ≥ 1,⎪x + y - 4 ≤ 0,⎪kx - y ≤ 0 13. 不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域，则 的值为.⎩ k14．设某商品的需求函数为 Q = 100 -EQQ '5P ，其中 Q , P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 EQEP大于 1（其中 = - EP QP ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的取值范围是 .2 2北京汇文中学2015-2016 学年度第一学期期中考试答题纸高三（理科）数学班级姓名学号成绩一、选择题：题号１２３４５６７８选项二、填空题：9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题,共6 小题，共80 分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知∆ABC 的三个内角分别为A,B,C,且2sin2 (B + C) = （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若BC = 7, AC = 5, 求∆ABC 的面积S.sin 2 A. 316. 如图，PA ⊥ 平面ABC ，AB ⊥ BC ，AB = PA = 2BC = 2 ，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥ 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A - PC - B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥ AC ，并求PD的值．PCCBP17.设函数f (x) = (x + 1)2 - 2k ln x ．（Ⅰ）k=2 时，求函数f(x)的增区间；（Ⅱ）当k<0 时，求函数g(x)= f '(x) 在区间（0，2]上的最小值．* 18.设数列{a n}的前n 项和为S n，且2a n=S n+2n+1(n∈N).（Ⅰ）求a1 ，a2 ，a3 ；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n ⋅ a n }的前n 项和T n .19．已知函数f (x) = ln x - a，其中a ∈ R ．x（Ⅰ）当a = 2 时，求函数f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x ∈ (1, +∞) ，都有f (x) > -x + 2 ，求a 的取值范围．20. 设满足以下两个条件的有穷数列a1 , a2 ,⋅⋅⋅, a n 为n（n =2, 3, 4, … ,）阶“期待数列”：① a1 + a2 + a3 + + a n = 0 ；②a1+a2+a3+ + a n= 1.（1）分别写出一个单调递增的3 阶和4 阶“期待数列”；（2）若某2015 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为S k (k = 1, 2, 3, , n) ，试证：S k≤ 1 .22题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBCAC-1 9.2 ；10. ； 11. 2n-11；41213.114 (10, 20)15． 解: （Ⅰ） 2sin 2(B + C ) =sin 2 A .∴ 2 s in 2 A = 2 sin A c os A ,……………………….2 分sin A ≠ 0,∴sin A = cos A ,∴tan A = ,……………………….4 分0 < A < ,∴ A = 60 °.…………………….6 分（Ⅱ）在 ∆ABC 中, BC 2= AB 2+ AC 2- 2 A B ⨯ AC ⨯ cos 60, BC = 7, AC = 5,∴ 49 = AB 2 + 25 - 5AB , ∴ AB 2 - 5AB - 24 = 0,∴ AB = 8 或 AB = -3 (舍),………….10 分∴ S= 1 AB ⨯ AC ⨯ sin 60 = 1 ⨯ 5 ⨯ 8 ⨯ 3= 10 . …………………….13 分∆ABC2 2 216. 解：（Ⅰ）因为 PA ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 PA ⊥ BC ．因为 BC ⊥ AB ， PA AB = A ，所以 BC ⊥ 平面 PAB ．又 AM ⊂ 平面 PAB ， 所以 AM ⊥ BC ．因为 PA = AB ， M 为 PB 的中点， 所以 AM ⊥ PB ． 又 PB BC = B ，所以 AM ⊥ 平面 PBC ．……………………………5 分3 3 3 3 3xyz ．zCDAByMP （Ⅱ）如图，在平面 ABC 内，作 AZ ∥ BC ，则 AP , AB , AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系 A -x则 A (0, 0, 0), P (2, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 2,1) ， M (1,1, 0) ．AP = (2, 0, 0) ， AC = (0, 2,1) ， AM = (1,1, 0) ．设平面 APC 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n ⋅ AP = 0, ⎧x = 0,⎨ 即 ⎨⎪⎩n ⋅ AC = 0, ⎩2 y + z = 0.令 y = 1，则 z= -2 ． 所以 n = (0,1, -2) ．由（Ⅰ）可知 AM = (1,1, 0) 为平面 BPC 的法向量，设 n , AM 的夹角为，则 c os =因为二面角 A - PC - B 为锐角，所以二面角 A - PC - B 的余弦值为10 ．1010 ．…………………………10 分10（Ⅲ）设 D (u , v , w ) 是线段 PC 上一点，且 PD = PC (0≤ ≤ 1) ． 即 (u - 2, v , w ) = (-2, 2,1) ．所以 u = 2 - 2, v = 2, w = ．所以 BD = (2 - 2, 2- 2,) ． 由 BD ⋅ AC = 0 ，得= 4． 5因为 4∈[0,1] ，所以在线段 PC 上存在点 D ，使得 BD ⊥ AC ．5-k -k -k -k nPD 此时，PC= =4 ． ………………………………14 分517. 解：（1）k =2， f (x ) = (x + 1)2 - 4 l n x ．则 f '(x ) = 2x + 2 - 4．x= 2(x -1)(x + 2) ＞0，（此处用“≥”同样给分） x注意到 x ＞0，故 x ＞1，于是函数的增区间为 (1, +∞) ．（写为 [1, +∞) 同样给分）6 分（2）当 k ＜0 时，g (x )= f '(x ) = 2x + 2 -2k ．g (x )= 2(x +-k) + 2 ≥ 4 + 2 9 分 xx当且仅当 x = 时，上述“≥”中取“=”．①若 ∈ (0, 2]，即当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；…②若 k ＜-4，则 g '(x ) = 2(1 +k) 在 (0, 2] 上为负恒成立，x 2故 g (x )在区间 (0, 2] 上为减函数，于是 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 g (2)=6-k ． ………………………13 分综上所述，当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；当 k ＜-4 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k ． ………………………15 分18.（Ⅲ）由(Ⅱ) 得： a n + 2 = 5⨯ 2n -1 ，即 a = 5⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N * ) . -knn -1*则 na n = 5n ⋅ 2 - 2n (n ∈ N ) .……………8 分设数列{5n ⋅ 2n -1} 的前 n 项和为 P ,12n -2n -1则 P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5⨯(n -1) ⋅ 2+ 5⨯ n ⋅ 2 ，123n -1n所以 2P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5(n -1) ⋅ 2 + 5n ⋅ 2 ，12n -1n所以 -P n = 5(1+ 2 + 2 +... + 2 ) - 5n ⋅ 2 ，即 P n = (5n - 5) ⋅ 2n + 5 (n ∈ N * ) .……………11 分nn (n +1)所以数列{n ⋅ a n }的前 n 项和 T n = (5n - 5) ⋅ 2 + 5 - 2 ⨯ ， 2n 2 *整理得， T n = (5n - 5) ⋅ 2 - n - n + 5 (n ∈ N ) .……………13 分19． （Ⅰ）解：由 f (x ) = ln x - 2 12 ，得 f '(x ) = + x x x 2，……………… 2 分所以 f '(1) = 3 ，又因为 f (1) = -2 ，所以函数 f (x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x - y - 5 = 0 .……………… 4 分（Ⅱ）解：由f (x ) > -x + 2 ，得 ln x - a > -x + 2 ， x即 a < x ln x + x 2 - 2x .……………… 6 分设函数g (x ) = x ln x + x 2 - 2x ，则 g '(x ) = ln x + 2x - 1 ， ……………… 8 分因为 x ∈ (1, +∞) ，所以 ln x > 0 ， 2x -1 > 0 ，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g '(x ) = ln x + 2x - 1 > 0 ， ……………… 10 分故函数 g (x ) 在 x ∈ (1, +∞) 上单调递增，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) > g (1) = -1.……………… 11 分因为对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有 f (x ) > -x + 2 成立，所以对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有a < g (x ) 成立.所以 a ≤-1.……………… 13 分- 1 , 0, 120. 解：（Ⅰ）数列- 3 , - 1 , 1 , 3为三阶期待数列 …………………………………………1 分22数列88 8 8为四阶期待数列, ………………………………………2 分（Ⅱ）设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d ，2013(a + a) 因为a 1 + a 2 + a 3 + + a 2013 = 0 ，∴12013= 0,2∴ a 1 + a 2013 = 0 ，即a 1007 ∴ a 1008 = d ,= 0 ， …………………………………………3 分当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾，a+ a+ + a= 1, 当 d>0 时，据期待数列的条件①②可得 1008100920132∴ 1006d + 1006 ⨯1005 d = 1 ,即d = 1,2 2 1006 ⨯1007 ∴ a n = a 1007 + (n -1007)d =n -1007. 1006 ⨯1007(n ∈ N *且n ≤ 2013) ，当 d<0 时，同理可得a n = -n +10071006 ⨯1007. (n ∈ N *且n ≤ 2013) .…………………………………8 分【注】只写一种的扣一分; n 的范围未写的扣一分S = 0 ≤ 1（Ⅲ）当 k=n 时，显然n成立； …………………………………………………………10 分2当 k<n 时，根据条件①得S k = a 1 + a 2 + + a k = -(a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ) ，即 S k = a 1 + a 2 + + a k = a k +1 + a k +2 + + a n ，∴ 2 S k = a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n ≤ a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n = 1,S ≤ 1(k = 1, 2, 3, , n).k2………………………………………………………………………14分。

2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年高三上学期期中联考数学（文）试题含答案命题校：北京市六十五中学 xx11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1. 设,}1x=xBxA, 则= （）x>{|},{>|=A. B. C. D.2. 已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A . B. C. D.4. 已知，则等于（）A. B. C. D.5. 若,则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若x c x b a x 3223log ,,)32(===，当时，的大小关系为（ ） A. B. C. D.7. 已知正方形的边长为,为的中点,则 （ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，满足，且在上的导数满足，则不等式的解为 （） A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

）9．若曲线在原点处的切线方程是，则实数 。

10．若向量a ＝，，b ＝(－，)，则 a·bab ＝ 。

11．设是周期为2的奇函数，当时，，则。

12．已知是公比为的等比数列，若，则 ；______________。

13．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,log 1,)21()(2x x x f xx的值域为______________。

14. 关于函数，给出下列四个命题：①，时，只有一个实数根；②时，是奇函数；③的图象关于点，对称；④函数至多有两个零点。

其中正确的命题序号为______________。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2018.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合|0Ax x a，若2A ，则a 的取值范围为A.(,4] B.(,2] C. [2,) D.[4,)2. 下列函数中，是奇函数且在(0,)上存在最小值的是A. 2()f x xx B.()ln f x xＣ. 3()f x xD.()sin f x x3. 函数()sin()f x x满足()13f ，则5()6f 的值是A. 0B.12C.32D. 14. 已知向量(1,2)a ，(3,1)b，则向量a ，b 夹角的大小为A.6 B.4C.2D.235.已知函数()log a f x x ，()xg x b ，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为A. 1B. 2C. 4D. 86.在ABC 中，“2C”是“sin cos A B ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 数列n a 的通项公式为na a nn，若数列n a 单调递增，则a 的取值范围为A.(,0]B.[0,)C.(,2) D.[1,)8.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222a bc ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是A. a bB. b cC. c aD. 不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 角的终边经过点(4,3)P ，则nta 。

10. 等差数列n a 中，1=5a ，25=0a a ，则n a 中为整数的项的个数为。

11.已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE12ACAB ，则AE AC。

12. 函数()sin22x f x 在区间[0,]上的最大值为。