《4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线》教案

问题探索——求作抛物线的切线学习要求：了解过曲线上一点的切线与曲线割线之间的辩证关系，能够求解过曲线上一点切线的斜率。

重点：（1）曲线的切线的概念；（2）过曲线上一点切线的斜率的计算方法。

难点：（1）用数学语言准确描述曲线的切线的概念；（2）正确使用极限的思想方法求解过曲线上一点的切线的斜率。

复习回顾问题1 什么是圆的切线？如何作圆的切线？问题2 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？新课内容1、过曲线上一点P处的切线的定义：2、求过曲线上一点P(x0,f(x))的切线的方法具体步骤：例1、已知f(x)=x2，求曲线y=f(x)在点P（2，4）处的切线的斜率。

解：练习：曲线y=2x2在点（1，2）处的切线的斜率为_________例2、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.解：练习：判断曲线y=2x2在点P（1，2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程。

例3.求二次函数y=f(x)=ax2+bx+c图像曲线上点P（u,f(u)）处切线的斜率。

总结：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤1、先利用直线斜率的定义求出割线的斜率；2、求出当△x趋近于0时切线的斜率3、然后利用点斜式y-y0=k(x-x)求切线方程.1、求曲线y=2x2-1在点P（1，1）处的切线的斜率。

2、已知A（1，4）是曲线y=2x2+2上一点，求（1）过点A的切线的斜率；（2）过点A的切线的方程。

提高题：求曲线f(x)=3-x2上在x=1处的切线的方程。

抛物线教案完整篇引言本教案旨在帮助学生理解和掌握抛物线的基本概念和性质。

通过本教案的研究，学生将能够解决与抛物线相关的问题，并应用抛物线的知识进行实际推理和分析。

教学目标- 理解抛物线的定义和特点- 掌握抛物线的标准方程和顶点形式- 能够绘制给定抛物线的图像- 了解抛物线在实际生活中的应用，并能够应用抛物线解决相关问题教学内容1. 抛物线的定义和特点- 抛物线的定义- 抛物线的焦点和准线- 抛物线的对称性和轴线2. 抛物线的表示形式- 抛物线的标准方程- 抛物线的顶点形式3. 绘制抛物线的图像- 根据给定的方程绘制抛物线的图像- 理解抛物线图像的特点和形状4. 抛物线的应用- 抛物线在物体运动中的应用- 抛物线在桥梁和建筑设计中的应用- 解决与抛物线相关的实际问题教学方法- 讲解：通过课堂讲解介绍抛物线的定义、特点和相关概念。

- 案例分析：通过分析实际案例，引导学生理解抛物线的应用场景。

- 问题解答：提供一系列与抛物线相关的问题，让学生进行思考和解答。

- 实践操作：通过绘制抛物线的图像和解决实际问题，加深学生对抛物线的理解和掌握。

教学评估- 完成课堂练：检查学生对抛物线定义、特点和方程的掌握情况。

- 解决实际问题：要求学生应用抛物线知识解决一些实际问题。

- 课堂讨论：鼓励学生在课堂上主动参与讨论，分享自己的思考和理解。

教学资源- 抛物线的相关课件和教学PPT- 抛物线的绘图工具和实际应用案例教学扩展- 进一步探索抛物线的性质和变形，如离心率和焦点运动轨迹等。

- 探究其他曲线的性质和应用，如椭圆、双曲线等。

总结通过本节课的学习，学生将能够全面理解抛物线的定义、特点和表示形式，掌握绘制和解决抛物线相关问题的方法，并了解抛物线在实际生活中的应用。

这将为他们进一步学习数学和应用数学打下坚实的基础。

抛物线优秀课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解抛物线的定义，掌握其标准方程及基本性质。

2. 学生能运用抛物线知识解决相关问题，如计算焦点、准线、对称轴等。

3. 学生了解抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。

技能目标：1. 学生通过观察、分析、总结，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 学生能够熟练运用抛物线相关公式，解决实际问题。

3. 学生在小组合作中，提高沟通协调能力和团队协作能力。

情感态度价值观目标：1. 学生对抛物线知识产生兴趣，激发学习数学的热情。

2. 学生在学习过程中，培养勇于探索、克服困难的精神。

3. 学生通过抛物线知识的学习，认识到数学与生活的紧密联系，增强学以致用的意识。

分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标具体、可衡量，旨在帮助学生掌握抛物线知识，提高解决问题的能力，培养空间想象力和逻辑思维，同时注重培养学生的情感态度价值观，使学生在学习过程中获得全面、和谐的发展。

后续教学设计和评估将围绕这些具体学习成果展开。

二、教学内容本章节教学内容围绕抛物线的相关知识展开，包括以下方面：1. 抛物线的定义及标准方程- 引导学生理解抛物线的概念，掌握其标准方程y²=4ax和x²=4ay。

- 分析抛物线的焦点、准线、对称轴等基本性质。

2. 抛物线的图形及性质- 通过图形展示，让学生直观了解抛物线的图形特点，如开口方向、对称性等。

- 探讨抛物线与x轴、y轴的交点、顶点、对称轴等性质。

3. 抛物线的应用- 介绍抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。

- 分析具体问题，让学生学会运用抛物线知识解决实际问题。

4. 综合练习与拓展- 设计不同难度的练习题，巩固学生对抛物线知识的掌握。

- 拓展抛物线相关的高级性质和复杂问题，提高学生的思维深度。

教学内容按照以下进度安排：1. 第1课时：抛物线的定义及标准方程2. 第2课时：抛物线的图形及性质3. 第3课时：抛物线的应用4. 第4课时：综合练习与拓展教学内容与教材章节关联，以人教版数学九年级下册教材为例，涉及第十七章“圆锥曲线与方程”中的抛物线相关内容。

作切线一、教学目标：1、理解曲线在一点的切线的概念；2、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解切线的几何意义教学难点：求函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程：（一）、复习：圆的切线和割线。

（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为x y ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。

这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。

如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。

直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。

例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。

（1）分别对Δx =2，1，求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的切线。

解：（1）Δx =2，1，时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，]。

2x y =在这些区间上的平均变化率分别为22)2(02)2()0(22-=--=--f f ， 31)2()1(1)2()1(22-=---=---f f ， 5.35.0)2()5.1(5.0)2()5.1(22-=---=---f f . 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l 2，过点（-2，4）和点（，）的直线l 3.（2）2x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为x xx x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(222. 令Δx 趋于0，知函数2x y =在x 0＝－2处的斜率为-4。

《4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线》教案一、教学目标、重点、难点知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程（一）引入在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力.（二）典型例题例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.（3）先写出逆命题，再利用斜率相等. 解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，将该方程代入2y x =得02=--c kx x .令A ),(211x x ,B),(222x x ，则c x x -=21. 22222121=+-=+=⋅c c x x x x OB OA ,.2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或(2)由题意知),2(21c x x Q -+，直线AQ 的斜率为121212121121222x x x x x x x x x c x k AQ=--=+-+=又2y x =的导函数为x y 2='，所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设),(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则12x k AQ =.又直线AQ 的斜率为0121210121x x x x x x x c x k AQ--=-+=，1121212x x x x x x =--∴2121012x x x x x +=∴)0(21210≠+=∴x x x x所以点P 的横坐标为221x x +，即逆命题成立. 评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C1：2x y =，椭圆2C ：1422=+y x .（1）设21,l l 是C1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21 ，证明：点M 的纵坐标为定值；（2）在C1上是否存在点P ，使得C1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.分析：（1）设出切点坐标),(211x x ,),(222x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，)(22222x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.解：(1)设切点分别为),(211x x ,),(222x x ，由x y 2='可得)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ①的方程2l 2222x x x y -= ②联立①②并解之，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=21212x x y x x x即为点M 的坐标),2(2121x x x x +21l l ⊥ 12221-=∴x x ，所以4121-==x x y M即点M 的纵坐标为定值41-.（2）设),(200x x P ，则C1在点P 处的切线方程为2002x x x y -=，代入2C 方程04422=-+y x ，得044)44(4030220=-+-+x x x x x ， 设),(),,(4433y x B y x A ，则2040432********,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164020>-+=∆x x 由（1）知41-=M y ，从而41243-=+y y ，即41)(20430-=-+x x x x ，进而得411202040-=-+x x x ，解得3120=x 经检验3120=x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为)31,33(± 评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错.（三）练习（2006全国II ，21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明⋅为定值；（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

求抛物线在点处的切线方程好吧，今天我们来聊聊抛物线和它的切线方程。

听起来有点严肃，但别担心，我会让它变得轻松有趣。

抛物线，这个名字听起来是不是就有点高大上？它就是一种数学图形，形状像个大碗，或者像我们常说的“放飞自我”的感觉，哈哈。

想象一下，抛物线就像一个在空中优雅飞舞的小鸟，曲线优美，婉转动人。

什么是切线呢？切线就像是一根温柔的手，轻轻触碰抛物线的某个点，就那么一瞬间，它和抛物线有了亲密接触。

就像你跟朋友一起喝茶，随便聊聊，瞬间的默契，就是切线的感觉。

要找切线方程，首先得知道我们想要在哪个点上“握手”。

这点就叫做“切点”，听起来是不是很浪漫？好啦，我们要切线的点一般是给定的，比如（x₀, y₀）。

这时候，我们得先确定抛物线的方程。

假设这条抛物线的方程是y = ax² + bx + c。

哇哦，听起来像是开车上路的那种感觉。

a、b、c就像是车子的发动机、轮胎和车身，缺一不可。

每个参数都对我们的抛物线有影响，真是太神奇了。

我们得求导。

别担心，这不是高深的数学，这就像是给我们的车子加油，让它更有动力。

我们求导的结果是y' = 2ax + b。

这个y'代表的是切线的斜率，斜率就像是车子的坡度，爬坡的时候会累，但能让你欣赏到美丽的风景，对吧？好，我们要把切点（x₀, y₀）代入导数，得到切线的斜率。

就是y' = 2ax₀ + b。

就这么简单！想象一下，这个斜率像是一杯热咖啡的温度，让你感觉到温暖。

然后，切线的方程就可以用点斜式公式来表示，公式是y y₀ = m(x x₀)，其中m就是我们刚刚求出的斜率。

这就像是在给你的切线加个标记，告诉它你从哪儿出发，往哪儿去。

一旦代入这些值，你会得到一个具体的切线方程。

这样一来，抛物线和切线就像是好朋友一样，互相依偎，完美地结合在一起。

你看，数学有时候就像人生一样，虽然有些复杂，但只要慢慢来，总能找到方向。

再说说，这个切线方程的意义。

切线就像是一个指引，告诉你在这个点上抛物线的走势。

切线的判定和性质数学教案设计第一章：导言1.1 课程背景本节课我们将学习一种特殊的直线——切线。

在初中阶段，我们已经学习了直线、射线、线段等基本概念。

通过学习切线，我们将对函数图像有更深入的了解，并掌握一种新的解决问题的方法。

1.2 教学目标（1）了解切线的定义及其特点；（2）掌握切线的判定方法；（3）能运用切线的性质解决实际问题。

第二章：切线的定义及特点2.1 教学内容本节课我们将学习切线的定义及特点。

我们通过具体例子观察函数图像上的切线，引导学生发现切线的特点。

给出切线的定义，并从几何角度分析切线的性质。

2.2 教学活动（1）展示几个函数图像，引导学生观察并描述切线的外观特点；（2）给出切线的定义，让学生理解切线与函数图像的关系；（3）通过几何图形，引导学生分析切线的性质，如切线与函数图像的交点为切点，切线与函数图像的切点处的导数为切线的斜率等。

第三章：切线的判定方法3.1 教学内容本节课我们将学习切线的判定方法。

我们回顾一下导数的定义，引入切线的判定方法。

通过实例讲解如何运用切线的判定方法。

3.2 教学活动（1）回顾导数的定义，让学生理解导数与切线的关系；（2）给出切线的判定方法，让学生掌握如何判断一条直线是否为切线；第四章：切线的性质4.1 教学内容本节课我们将学习切线的性质。

我们通过几何图形引导学生理解切线的性质。

给出切线的性质定理，并解释其含义。

通过实例讲解如何运用切线的性质。

4.2 教学活动（1）通过几何图形，引导学生理解切线的性质，如切线与函数图像的切点处的导数为切线的斜率，切线与函数图像的交点为切点等；（2）给出切线的性质定理，让学生掌握切线的性质；第五章：运用切线解决实际问题5.1 教学内容本节课我们将学习如何运用切线解决实际问题。

我们通过具体例子引导学生理解切线在实际问题中的应用。

给出运用切线解决实际问题的方法，并解释其原理。

通过实例讲解如何运用切线解决实际问题。

5.2 教学活动（1）展示几个实际问题，引导学生观察并发现其中涉及到的切线；（2）给出运用切线解决实际问题的方法，让学生理解切线在实际问题中的作用；第六章：切线方程的求法6.1 教学内容本节课我们将学习如何求解切线的方程。

抛物线教案完整范文一、教学目标1.知识与能力目标：a.掌握抛物线的定义和性质；b.掌握抛物线的标准方程及相关公式；c.能够利用抛物线的性质解决相关问题。

2.过程与方法目标：a.通过引导学生观察、探索，培养学生的观察和发现能力；b.通过多种问题的解决，培养学生的分析和解决问题的能力；c.通过讨论和合作，培养学生的合作和沟通能力。

3.情感态度与价值观目标：a.通过实例引导学生体会物理学在日常生活中的应用；b.培养学生对科学的兴趣和好奇心；c.培养学生的创新思维和问题解决能力。

二、教学准备1.教学内容：a.抛物线的定义和性质；b.抛物线的标准方程及相关公式；c.抛物线的应用。

2.教学资源：a.教材、课件；b.抛物线实物模型；c.尺子、直尺、图形工具等。

三、教学过程1.导入（10分钟）a.引入：通过一段视频或图片展示抛物线的实例，激发学生对抛物线的兴趣。

b.提问：请举出你所知道的抛物线的实例，并描述其特点。

2.概念定义（15分钟）a.讲解：通过教师讲解和图示，介绍抛物线的定义和性质，如对称性、焦点、准线等。

b.实例引导：给出多个实例，要求学生找出其中的抛物线，并描述其特点。

3.抛物线的标准方程和相关公式（20分钟）a.讲解：通过教师讲解和示例演算，介绍抛物线的标准方程及相关公式，如焦点坐标、准线方程等。

b.实例演练：给出多个抛物线的实例，要求学生求出其标准方程和相关参数。

4.抛物线的应用（25分钟）a.讲解：通过教师讲解和实例分析，介绍抛物线在现实生活中的应用，如抛物线喷泉、抛物线拱桥等。

b.探究：让学生组成小组，探究一个抛物线应用的问题，并给出解决方案。

c.展示与讨论：学生小组分别展示和讨论自己的解决方案，并从中学习和借鉴。

5.综合运用（20分钟）a.综合实例：给出一个综合性问题，要求学生运用所学知识解决。

b.分组合作：学生分组合作，讨论并解决综合实例问题。

c.展示与评价：学生小组轮流展示自己的解决方案，并进行评价和互动。

《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。

《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。

例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。

到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。

拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。

（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。