分形曲线与面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下： （1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。

原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。

近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。

1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。

例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。

然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。

同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。

对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。

于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。

整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。

但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。

此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。

1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。

自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。

简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。

形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。

正三角形的两种分形的面积和周长四川省德阳中学（618000） 刘桂林在华师大版数学八年级(下)第85页上有正三角形的两种分形。

学生在阅读这部分材料时，对图形的自相似现象发生了浓厚的兴趣，提出了较多问题。

尤其希望知道等边三角形的外部相似图形（最后得雪花曲线）和内部自相似图形的周长和面积。

下面就此问题作出探讨。

1、将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形。

然后以其两腰代替底边。

再将六角形的每边三等分，重复上述作法。

如此继续下去，就得到雪花曲线（如下图所示）。

下面求雪花曲线所围图形的面积和雪花曲线的周长。

图1解：①设正三角形的边长为a，原正三角形的面积为2213224S a a a ==，第一次分形后的总面积为1S ，第二次分形后的总面积为2S ，…，第n 次分形后的总面积为n S ，则有： 214221126332212111343()34913443()()34913443()()34913443()()349n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ---=+=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯因为 …… 2334444[()()()]49999n n S S S =+++++所以　…2244[1()]399441934[1()]593343[1()]55948343[()]559n n n n S S S S a a ⨯-=+-=+-=+-=-所以雪花曲线所围图形的面积为 228lim 5n n S →∞== ．②设正三角形的边长为a ，原正三角形的周长为3a ，第一次分形后的周长为1C ，第二次分形后的周长为2C ，…，第n 次分形后的周长为n C ，则有：1222123332111114333331443()()3331443()()333144443()()3()()33333n n n n n n n C a a a C C a a C C a a C C a a a a ----=+==+⨯==+⨯==+⨯=+=……由分形后的周长通项公式4()33n n C a =可知，数列{}n C 为一个无穷递增数列，所以雪花曲线的周长为无穷大。

第3章 英国的海岸线有多长海岸线的长度问题，按传统科学方法来考虑是极其简单的．可是美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L 1；如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略, 此时得出的长度L 2＞L 1；同样的，用厘米作单位，所得长度L 3＞L 2＞L 1,…．采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大（图19）．可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量．图19海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学家理查逊（L ．F ．richardson ）的一篇鲜为人知的文章中遇到的．这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究．他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的边界长度的经验公式 L (r)= Kr 1-a 中的a 就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”，这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．例 A 、B 两国有一段共同的陆地边界线，并向B 国呈弧形弯曲（图20）. 横跨边界线有一战略高地原属两国所共有. 20世纪80年代，A 国对边界重新进行测量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A 国境内. 于是A 国向B国提出，要求将高地全部归属A 国，引起两国争端. 为维护该地区和平，联合国派员往A 、B 两国斡旋，请你为联合国特使设计一调解方案.方案：向两国指出，国境线是一种分形曲线，用传统测量方法无法得到确定的长度，随着测量单位的减小，测得的长度会增大. A 国新测得的长度比原记载长度大，正是她测量时采用了较原测量单位更小的码尺. 所以一方面可用分形几何理论向两国解释，另一方面还可同两国到边界进行测量演示. 习题三1.为什么长度已不是海岸线的特征量？2.为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？图20研究性课题：科赫雪花曲线的周长与面积1.台湾1995年联考试题：在如下的雪花曲线T 1，T 2,…，T n ，…中（图21），求第n 条雪花曲线的长度.为本课题研究的需要，增加一个问题：并求面积，且可设原三角形T 1的周长为L ，面积为S.（周长序列：L ，34L ，(34)2 L ，…，(34)ｎ－1L ，…. 面积序列：S ，（1+43×94） S ，（1+43×94+43×94×94）S ，…， {1+43[94+(94)2 + … + (94)n －1]}S ，….) 2.考察科赫雪花曲线的周长与面积的关系：⑴取L =3cm ，用CZ 1206型计算器计算n = 5，9，17时L n 和S n 的值.(L 5=9.48cm ，L 9=29.97cm ，L 17=299.32cm ；S 5=0.6827cm2,S 9=0.6924cm2,S 17=0.6928cm2.显然，随n 的无限增大，(34)n －1×3也无穷大， {1+43[94+(94)2+…+(94)n －1]} 43×12 =（1+43×94194-）①×43×12=0.6928(cm 2 ) ) （2）从以上计算得出的数值或数值变化的趋势你发现什么结论？（科赫雪花曲线周长趋于无穷大而面积为定值.）3.设正三角形与圆的周长分别为L 和C ，探索各自的面积S 与周长的关系并叙述出来.（S 正三角形=363L 2 ，S 圆 =241πC 2，它们的面积与周长是一种正比例关系，随周长的增大面积也增大.） 将2、3中的结论相比较，体会曼德尔布罗特为什么把科赫雪花曲线作为海岸线的数学模型.4.撰写研究小论文：课题：科赫雪花曲线的周长与面积.提纲：⑴问题的提出：科赫雪花曲线周长与面积的探求，发现它周长趋于无穷大而面积为定值.⑵问题的研究：寻求正三角形与圆的周长与面积关系的结论，将结论与⑴中结论比较，发现科赫雪花曲线与欧氏几何图形不同的性质.⑶研究结论的应用：谈谈对用科赫雪花曲线作为海岸线模型的认识.(说明：建议用小组合作的形式撰写. )① 等比数列求和公式S n =q q a n --1)1(1，当n 为无穷大，│q │＜1时S =q a -11图21。

不规则图形的面积怎么算
面积计算方法：1、曲线拟合法，这个方法是大学学的一个比较高级的方法，用曲线拟合边界，然后用积分求面积；2、蒙特卡洛法，将物体放在规则图形上，随机撒点，计算落在目标物体上的概率，然后乘规则图形的已知面积；3、分割法，对于不规则的形状，我们可以把物体分割成若干规则图形，不规则区域用规则图形近似。

常见面积定理
1.一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2.两个全等图形的面积相等；
3.等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4.等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5.相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6.等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比。

高中数学积分应用于曲线与曲面的面积计算在高中数学中，积分是一个非常重要的概念和工具，它不仅可以用来求解函数的定积分和不定积分，还可以应用于曲线与曲面的面积计算。

本文将通过具体的例题，详细讲解积分在曲线与曲面面积计算中的应用，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、曲线的面积计算1. 计算曲线与x轴之间的面积考虑曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中f(x)在[a, b]上连续且非负。

我们可以将曲线下方的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线下方的面积。

设曲线与x轴的交点为x=a和x=b，将[a, b]区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，则第i个小区间的宽度为Δx，高度为f(xi)，其中xi为该小区间的任意一点。

因此，第i个小矩形的面积为ΔS=f(xi)Δx，将所有小矩形的面积相加即可得到曲线与x轴之间的面积的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值趋向于曲线与x轴之间的面积。

举例：计算曲线y=x^2与x轴之间的面积。

解：首先，我们需要确定曲线与x轴的交点。

当y=0时，得到x=0。

因此，曲线与x轴的交点为x=0。

我们可以将曲线下方的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线下方的面积。

假设我们将区间[0, 2]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=2/n。

第i个小区间的宽度为Δx，高度为f(xi)=xi^2，其中xi为该小区间的任意一点。

因此，第i个小矩形的面积为ΔS=(xi^2)(2/n)。

将所有小矩形的面积相加，即可得到曲线与x轴之间的面积的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值趋向于曲线与x轴之间的面积。

2. 计算曲线与y轴之间的面积类似地，我们也可以计算曲线与y轴之间的面积。

考虑曲线x=f(y)与y轴之间的面积，其中f(y)在[c, d]上连续且非负。

我们可以将曲线左侧的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线左侧的面积。

设曲线与y轴的交点为y=c和y=d，将[c, d]区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δy=(d-c)/n，则第i个小区间的宽度为Δy，高度为f(yi)，其中yi为该小区间的任意一点。

不规则面积计算公式摘要：1.引言2.不规则面积计算的基本原理3.不同形状的不规则面积计算公式4.应用实例5.结论正文：【引言】计算不规则面积是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛，例如建筑、工程、地理、物理等领域。

由于不规则形状的复杂性，计算其面积需要用到一些特殊的公式和方法。

本文将为大家介绍不规则面积计算的基本原理以及不同形状的不规则面积计算公式。

【不规则面积计算的基本原理】不规则面积计算的基本原理是将不规则形状分解成若干个简单的几何形状，然后分别计算这些几何形状的面积，最后将这些面积相加得到总面积。

这个过程需要运用到数学中的分割、平移、旋转等技巧。

【不同形状的不规则面积计算公式】1.梯形：梯形的面积计算公式为：(上底+ 下底) × 高÷ 2。

2.矩形：矩形的面积计算公式为：长× 宽。

3.圆形：圆形的面积计算公式为：π × 半径。

4.梯形和圆形的组合：可以先将梯形和圆形分别计算面积，然后按照一定的比例进行缩放，最后将两个面积相加得到总面积。

5.其他不规则形状：对于其他复杂的不规则形状，可以通过将其分割成简单的几何形状，然后分别计算面积，最后相加得到总面积。

【应用实例】假设有一个不规则的房间，其形状为梯形，上底长为4 米，下底长为6 米，高为3 米。

此外，房间内部还有一个半径为1 米的圆形区域。

我们可以使用上述公式计算出房间的总面积：(4 + 6) × 3 ÷ 2 + π × 1 = 21 + 3.14 ≈ 24.14 平方米。

【结论】不规则面积计算是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛。

通过将不规则形状分解成简单的几何形状，并运用相应的面积计算公式，可以方便地计算出不规则形状的面积。