基于分形几何的分形图绘制与分析
摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。
关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变
1 分形几何学
现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。
2 分形的定义
目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
（1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数
（2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
(ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。
(ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
(ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
(ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
(ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。
3 分形研究的对象
几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
次曲线与二次曲线；微分几何的研究对象是光滑的曲线与曲面；代数几何的研究对象则是复空间中的代数曲线，等等。
把凹凸不平的地球表面看成是绝对光滑的球面或椭球面。虽然在许多情况下，这样做并不妨碍我们得到非常符合实际的结论，但是，随着人类对客观世界的认识的逐步深入以及科学技术的不断进步，这种把不规则的物体形状加以规则化，然后进行处理的做法已经不另人满意了。在70年代中期，一门新型的几何学脱颖而出——分形几何学，就是用来深刻地描述大自然本身的几何学，它能深刻地刻划大千世界充满奇异而神秘的各种极不规则极不光滑的对象，这是数学发展史上的一个新世界。事实上，可以把分形看作是自然形态的几何抽象。
4 分形图绘制与分析
4.1 基于l系统的分形图绘制
l系统是生物学家lindenmayer于1968年从植物形态学角度提出的一套用以描述植物树木的方法，开始时只着重于植物的拓扑结构，即植物组件之间的相邻关系，后来才把几何解释加进描述过程，形成后来的l系统。这个系统的高度简洁性和多级结构，为描述植物树木生长和繁殖过程的形态和结构特征，提供了行之有效的理论和方法。l系统不但能描述植物，而且其构图方法也可用来绘制各类有规则分形曲线及其它形状。
l系统是基于符号重写系统。即用一个重写规则逐次地置换初始对象的各个部分来确定一个复杂的对象。分形l系统可以模拟各种植
物的形状。根据不同的改写规则，可以画出不同的植物形，用于模拟自然景观可达到形象、逼真的效果。如图1所示。
4.2 基于ifs迭代函数系统的分形图绘制
迭代函数系统（iteration function system，简称ifs）是分形几何学的重要分支，它也是分形图像中最富生命力并具有广阔应用前景的领域之一。ifs是m.f.barnsley于1985年发展的一个分形构形系统。ifs的理论包括以下几方面的内容：压缩映射、度量空间、不变紧缩集的存在以及测度理论等。迭代函数系统在一大类物体的建模问题中具有很大的优势，特别是对自然景物的计算机模拟生成优势更为明显。实际上，只需给出几个仿射变换的系数，就可基本确定一个物体的迭代函数系统。正因为如此，ifs在图形学中有着广泛的应用。其中，可视化技术的研究由2d分形对象拓广到3dfractal］；由ifs研究的自相似的分形图扩大了其应用范围，ifs 变换不必仅限于仿射变换］；在用ifs建摸的研究中，实现了对原图形的几何变换］，将ifs中的线形变换推广到非线形变换］；对自然景物计算机生成问题的探讨，其建摸方法亦由二维推广到三维。如图2基于ifs迭代函数系统所绘制的三维树叶分形图。
另外，由于ifs代码可以描述形态各异的对象，这就意味着可以用极少量的数据，就可描述复杂的图像图形，因而ifs具有很强的图形数据压缩能力。
4.3 基于ifs迭代参数渐变的分形图绘制与分析
用ifs(interated function systerm)产生分形图：
以表1中的参数为迭代码可以产生sirpinski三角形，见图3（a）所示。
（a）按表1参数绘制的sirpinki 三角形 (b) d4=0.3 时情况 (c) 按表1参数绘制的树叶
只改动参数d4=0.3，则可以生成图3（b）示sirpinski三角形。以表2中的参数为迭代码可以产生一个树叶，如图3（c）所示。把树叶迭代码与sirpinski三角形迭代码之间缩小差距，缩小比例为0.25、0.75，可以看到逐渐向三角形过渡，如图4所示。
4.4 基于复动力系统的分形图绘制
复动力系统的分形集合主要包括mandelbrot集和julia集。mandelbrot集是分形中最著名的分形集合，它是分形创始人mandelbrot在非线性领域中作出的杰出贡献。julia集是在本世纪初法国数学家g.julia和p.fatou分别研究过的一种多项式和有理函数的迭代，当时由于缺乏相应的图形工具而使研究中断，直到计算机图形学的出现才使其重获生机。mandelbrot集和julia集都是通过在复平面中g(z)=z2+c的反复迭代而得到的点的序列，其中c 和z均为复数。由julia集与mandelbrot集呈现在人们面前的美妙图象令艺术家们叹为观止，将这种艺术图形用于纺织印染、广告印刷、工业设计、邮票制作、服装设计及计算机教学等方面，其经济效益和社会效益均具有广阔的应用前景。
5结语
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。分形图
