经典的分形算法 (1)

分形的计算方法
分形有多种计算方法，以下为您介绍Hurst指数法和箱计数法：
Hurst指数法是最早用于计算分形维数的方法之一，其基本思想是通过计算时间序列的长程相关性来反映其分形特性。

具体步骤如下：
1. 对原始时间序列进行标准化处理。

2. 将序列分解成多个子序列，每个子序列的长度为N。

3. 计算每个子序列的标准差与平均值之间的关系，即计算序列的自相关函数。

4. 对自相关函数进行拟合，得到一个幂律关系，其幂指数就是Hurst指数，即分形维数D=2-H。

箱计数法是一种较为简单的计算分形维数的方法，其基本思想是将时间序列分为多个箱子，然后计算每个箱子内的数据点数与箱子尺寸之间的关系。

具体步骤如下：
1. 将原始时间序列分为多个子段，每个子段的长度为k。

2. 对于每个子段，将其分为多个等长的小区间，将每个小区间的数据点分配到对应的箱子中。

3. 计算每个箱子中数据点的个数，记作N(l)。

4. 对于不同的箱子尺寸l，计算N(l)与l的关系，即N(l)∝l-D，其中D即为分形维数。

此外，还有如Cantor三分集的递归算法等分形计算方法，每种方法有其特点和适用范围。

如果需要更多关于分形计算的信息，可以阅读分形相关的专业书籍或文献，以获得更全面的理解和认识。

牛顿迭代分形牛顿迭代分形，也被称为牛顿分形或牛顿法则，是一种基于数学原理的图像生成算法。

它利用牛顿迭代的思想和复数运算，通过不断迭代计算，可以生成一幅幅美丽而神奇的分形图形。

牛顿迭代分形的生成过程可以简单描述如下：首先，选择一个复数作为初始值，然后通过不断迭代计算来寻找该复数的根。

根据牛顿迭代法的原理，我们可以得到下一个近似根的值，然后再将该值作为新的初始值进行迭代计算，直到达到预设的迭代次数或者满足停止条件。

最终，我们可以将迭代过程中的所有值映射到一个二维平面上，从而生成一张牛顿迭代分形图。

牛顿迭代分形的生成过程中，不同的初始值会产生不同的分形图形。

在分形图中，我们可以看到许多迭代过程中的轨迹，这些轨迹形成了分形的结构。

分形通常具有自相似性，即无论观察整个图像还是它的一部分，都会发现相似的形态或图案。

牛顿迭代分形在数学研究、计算机图形学、艺术创作等领域都有广泛的应用。

它不仅可以帮助我们理解复数和迭代的概念，还可以产生出许多美丽而复杂的图像。

这些图像不仅能够为我们提供视觉上的享受，还可以激发我们对数学和艺术的兴趣。

通过牛顿迭代分形的创作过程，我们可以感受到数学的魅力和无穷的可能性。

每一次的迭代计算，都是在数学的世界中进行探索和发现。

而每一张生成的分形图像，都是对数学美的一次呈现和诠释。

当我们深入探索牛顿迭代分形时，我们会发现其中隐藏着无限的奥秘和惊喜。

这些分形图像不仅令人惊叹，还能够启发我们对数学和艺术的思考。

通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的美妙和艺术的魅力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。

牛顿迭代分形是一种令人着迷的图像生成算法。

它不仅展示了数学的美丽和复杂性，还激发了我们对数学和艺术的兴趣。

通过创作和欣赏牛顿迭代分形，我们可以感受到数学的魅力和艺术的魔力，同时也能够培养我们的创造力和思维能力。

让我们一起沉浸在牛顿迭代分形的世界中，探索数学与艺术的交汇之处！。

分形维数计算分形维数是一种衡量不规则形状复杂度的数学工具，它可以用来描述分形图像的复杂程度。

分形维数通常使用数学方法来计算，这种方法称为维数计算。

维数计算的基本思路是：对于分形图像中的每个区域，测量它周围区域内像素的数量。

随着区域的大小减小，周围像素的数量也会随之减小。

如果这种减小是按照某种规律发生的，那么这个分形图像就具有规律性，并且可以使用维数来描述它的复杂程度。

具体来说，分形维数可以通过如下公式计算：D = log(N) / log(1/r)其中，D是分形维数，N是每个区域周围像素的数量，r是区域的相对大小。

通常情况下，r 是一个小于1的常数，表示区域的相对大小减小的速率。

分形维数的值可以在0和无限大之间取值。

数值越大，分形图像的复杂程度就越高。

例如，一个线段的分形维数为1，而一个平面的分形维数为2。

分形维数的应用非常广泛，它可以用来描述各种不规则形分维数的应用非常广泛，它可以用来描述各种不规则形状的复杂程度，如自然景观、生物形态、社会网络等。

它也可以用来研究物理系统中的结构和动态变化，如气流、地震波传播、经济趋势等。

分形维数还可以用来衡量数据集的复杂程度，这在数据挖掘和机器学习中非常有用。

例如，在文本分类任务中，分形维数可以用来评估不同文本数据集的复杂程度，从而选择合适的分类算法。

维数计算的具体实现方式有很多种，其中常用的方法包括扩展的分维数计算法、信息熵算法、盒子数算法、结构函数算法等。

这些方法在不同的应用场景下各有优劣，需要根据具体情况进行选择。

总之，分形维数是一种非常有用的工具，可以用来描述各种不规则形状的复杂程度，并且在数据挖掘和机器学习中有着广泛的应用。

分形公式大全分形公式是一种表示分形特征的数学公式，它可以描述自相似、无限细节和复杂的结构。

下面是一些常见的分形公式及其相关参考内容。

1. Mandelbrot集公式:Mandelbrot集是分形几何中最著名的一个例子，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)是一个复数，C是一个常数。

这个公式对于不同的C值会产生不同的形状，形成了Mandelbrot集的分形特征。

关于Mandelbrot集的更多内容，可以参考书籍《The Fractal Geometry of Nature》 by Benoit B. Mandelbrot。

2. Julia集公式:Julia集是类似于Mandelbrot集的分形图形，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)和C都是复数。

当给定不同的C值时，Julia集的形状也会有所不同。

关于Julia集的更多内容，可以参考书籍《The Science of Fractal Images》by Heinz-Otto Peitgen和Dietmar Saupe。

3. 分岔图公式:分岔图是描述非线性动力系统中稳定性变化的一种分形图形。

它由下面的公式定义：f(x) = r * x * (1-x)其中，r是参数，x是状态变量。

当r的值在一定范围内变化时，分岔图会展现出分形的特征。

关于分岔图的更多内容，可以参考书籍《Chaos: Making a New Science》by James Gleick。

4. 树形分形公式:树形分形是一种描述树状结构的分形图形，它由下面的公式定义：x(n+1) = r * x(n) * cos(theta) - y(n) * sin(theta)y(n+1) = r * x(n) * sin(theta) + y(n) * cos(theta)其中，x(n)和y(n)是当前点的坐标，x(n+1)和y(n+1)是下一个点的坐标，r是缩放参数，theta是旋转角度。

分形维数算法范文分形维数是一种用来描述分形结构复杂度的数学工具。

它可以帮助我们理解分形的形状和特征，以及它们的生成规律。

在计算机图形学、图像处理和自然科学等领域，分形维数的应用非常广泛。

分形维数的计算方法有多种，包括几何维数、信息维数和相关维数等。

在下面，我将介绍其中两种常见的计算方法：盒维数和分块法。

1.盒维数：盒维数是最常见的一种分形维数计算方法。

它基于分形对象的尺度空间分解原理，通过计算不同尺度下覆盖分形对象的盒子数量来估计分形维数。

具体的计算步骤如下：1)将分形对象包围在一个边长为L的正方形中；2)将正方形等分为N*N个小正方形盒子，其中N是一个正整数；3)通过改变盒子边长L，计算覆盖分形对象的盒子数量N(L)，并记录下N(L)与L的关系；4)根据记录的数据点，使用线性回归等方法拟合出N(L)与L的函数关系y=a*L^D，其中D就是分形维数。

2.分块法：分块法是用于计算自相似分形的分形维数的一种方法。

自相似分形是指分形对象的各个部分具有相似的形状和结构特征。

分块法通过将分形对象划分为不同尺度的子块，并计算不同尺度下子块的数量来估计分形维数。

具体的计算步骤如下：1)将分形对象划分为M*M个相等尺寸的子块，其中M是一个正整数；2)计算不同尺度下子块的数量N(M)，并记录下N(M)与M的关系；3)根据记录的数据点，使用线性回归等方法拟合出N(M)与M的函数关系y=a*M^D，其中D就是分形维数。

以上是两种常见的分形维数计算方法，在实际应用中可以根据具体的问题选择适合的方法。

分形维数的计算对于理解分形结构的特征、模拟自然界的形态和生成分形图像等都具有重要的意义。

经典的分形算法分形（Fractal）是一种数学概念，也是一种美丽而神秘的几何图形。

分形的核心思想是通过不断重复某个基本形状或规则，形成一个无限细节的自相似图案。

分形广泛应用于数学、物理、生物学、计算机图形等领域。

以下是几个经典的分形算法。

1. Mandelbrot集合算法：曼德勃罗集合是分形中的一个重要例子，其图像通常被称为“自由自似的”或“奇异的”。

该算法通过对复平面上的每个点进行迭代计算，并判断其是否属于Mandelbrot集合。

最终根据计算结果着色绘制出Mandelbrot集合的图像。

2. Julia集合算法：类似于Mandelbrot集合，Julia集合也是通过对复平面上的点进行迭代计算得到的，但不同的是，在计算过程中使用了一个常数参数c。

不同的c值可以得到不同形状的Julia集合，因此可以通过改变c值来生成不同的图像。

3. Barnsley蕨叶算法：Barnsley蕨叶算法是一种基于概率的分形生成算法，其原理是通过对基本形状进行变换和重复应用来生成蕨叶形状。

该算法通过设置一组变换矩阵和对应的概率权重来控制生成过程，不断的迭代应用这些变换，最终得到类似于蕨叶的图像。

4. L系统算法：L系统（L-system）是一种用于描述植物生长、细胞自动机和分形树等自然系统的形式语言。

L系统在分形生成中起到了重要的作用，通过迭代地应用规则替代字符，可以生成各种自然形态的图像，如树枝、蕨叶等。

5. Lorenz吸引子算法：Lorenz吸引子是混沌力学中的经典模型，描述了一个三维空间中的非线性动力学系统。

通过模拟Lorenz方程的演化过程，可以绘制出Lorenz吸引子的图像，该图像呈现出分形的特点。

这些分形算法不仅仅是数学上的抽象概念，也可以通过计算机图形来实现。

通过使用适当的迭代计算方法和图像渲染技术，可以生成出令人印象深刻的分形图像。

这些分形图像不仅具有美学价值，还具有哲学、科学和工程等领域的应用价值，例如在数据压缩、图像压缩、信号处理和模拟等方面。

分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。

3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。

通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。

5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。

这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。

这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。

Wobble分形算法简介Wobble分形算法是一种基于几何变换的分形生成方法，它通过迭代不同尺度的抖动变换来生成具有自相似性的分形图形。

Wobble分形算法源自于数学家Michael Barnsley在1988年提出的分形理论。

通过对图形进行随机的微小扰动，Wobble分形能够生成富有变化和细节的分形图案，具有极高的艺术美感和视觉冲击力。

基本原理Wobble分形算法的基本原理是通过对一幅原始图形进行多次几何变换，每次变换时都对图形进行随机的抖动。

具体步骤如下：1.绘制初始图形：首先绘制一个基本形状的图形，可以是简单的几何图形如矩形、三角形，也可以是复杂的曲线图形。

2.随机抖动：对初始图形进行随机的微小扰动，使每个点的坐标发生细微的变化。

这种扰动可以是平移、旋转、缩放等任意变换，也可以结合多种变换方式。

3.迭代变换：对抖动后的图形再次进行几何变换，重复步骤2，得到一组新的图形。

4.终止条件：迭代变换的次数根据需要设定，在达到指定次数后停止变换，得到最终的分形图案。

算法流程下面是Wobble分形算法的基本流程：1.初始化：选择初始图形和设定迭代次数。

2.迭代变换：1.对初始图形进行随机抖动，得到一组新的图形。

2.对新的图形进行进一步的变换，重复步骤2.1。

3.记录每次变换后的图形，存储为一组分形图案。

4.如果迭代次数达到指定次数，转到步骤3；否则转到步骤2.1。

3.输出分形图案。

算法优化Wobble分形算法可以进行多种优化，以提高生成的分形图案质量和效率。

以下是一些常见的优化技巧：1.随机性控制：通过控制抖动时的随机性，可以调整生成的分形图案的复杂度和形态。

可以使用特定的随机数生成方法，如分布均匀的伪随机数生成器。

2.变换参数控制：调整几何变换的参数，如平移、旋转、缩放的幅度和比例，可以改变生成的分形图案的形态。

通过细致调整变换参数，可以得到更加丰富多样的分形图案。

3.增量绘制：在生成分形图案时，可以采用增量绘制的方式，即每次变换只绘制部分图形，避免重复绘制已经生成的图形。

三维形状分形公式
三维形状是指具有长度、宽度和高度的物体，它们可以通过数学公式来描述。

而分形是一种具有自相似性的几何图形，其特点是无论在何种尺度上观察，其形状都是相似的。

在三维空间中，分形可以通过一些复杂的数学公式来描述。

其中，一个常见的三维分形公式是“分形几何”的公式，其中包括一些基本的几何变换，如平移、旋转和缩放。

通过这些几何变换的组合，可以生成出各种各样具有分形特征的三维形状。

另外，一些著名的三维分形如Mandelbulb和Menger sponge也可以通过特定的迭代公式来生成。

另外，还有一些基于分形理论的三维形状生成算法，比如分形树（Fractal Tree）算法，它通过递归地将树枝分叉来生成树的结构，从而形成具有分形特征的三维树形状。

除了以上提到的方法，还有许多其他的三维分形生成方法，比如基于L系统（L-system）、分形噪声等。

这些方法都可以用来生成具有分形特征的三维形状。

总之，三维形状和分形公式之间的关系是一个复杂且深奥的话题，需要结合数学、计算机图形学等多个
领域的知识来进行深入探讨。

希望这些信息能够帮助到你对这个问题的理解。

自仿射分形,自反演分形和自平方分形自仿射分形、自反演分形和自平方分形分形（Fractal）是指在任意缩放下都能保持自相似性的几何形状。

在数学上，分形是一种具有非整数维度的特殊几何体。

自仿射分形、自反演分形和自平方分形是三种常见的分形类型。

本文将对这三种分形进行介绍和探讨。

一、自仿射分形自仿射分形是指通过平移、旋转、缩放等仿射变换产生的分形。

其中最经典的自仿射分形是科赫曲线（Koch Curve）。

科赫曲线是通过迭代地将线段分成三等分，并以等边三角形代替中间的一段线段而生成的。

科赫曲线具有无穷细节和边长无限增长的特点，即使只是一条有限长度的线段，也能产生复杂的形态。

自仿射分形还包括谢尔宾斯基三角形、棉花糖曲线等。

二、自反演分形自反演分形是指通过对自身进行反演操作而生成的分形。

最著名的自反演分形是谢尔宾斯基地毯（Sierpinski Carpet）。

谢尔宾斯基地毯是通过在一个正方形中去除中央的正方形并以余下部分的8个缩小副本填充而生成的。

经过无限次反演操作后，谢尔宾斯基地毯逐渐呈现出结构复杂、形状不规则的特点。

此外，自反演分形还包括谢尔宾斯基三角形、迭代函数系统等。

三、自平方分形自平方分形是指通过自身的平方操作而生成的分形。

其中最典型的自平方分形是曼德勃罗集（Mandelbrot Set）。

曼德勃罗集是以数学家本尼迪克特·曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）命名的，它是复平面上一组逃逸时间无限的点的集合。

曼德勃罗集的图像呈现出规则的几何结构和复杂的边界特征，具有无限细节和自相似性。

此外，自平方分形还包括朱利亚集、维诺亚图等。

总结：自仿射分形、自反演分形和自平方分形是分形中的三种重要类型。

它们分别以自我仿射、自我反演和自我平方的方式生成具有非整数维度的几何形状。

这些分形呈现出丰富的细节和复杂的结构，具有独特的美学价值和数学属性。

通过研究分形，我们不仅可以欣赏到自然界和数学世界中的奇妙形态，还可以深入探索细节世界中的规律和普遍性。

分形——谢尔宾斯基三角形普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。

比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。

在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。

这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。

根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。

——摘自百度百科对于初学Java的同学来说，做分形，的确是一个锻炼思维，熟悉递归算法的好方法，而在众多分形图案中，谢尔宾斯基三角形可以说是比较容易入手的，因为它不管是公式还是图案都比较简单，学会如何用java画歇尔滨斯基三角形后，再画其他图案都会简单很多；今天我们就从歇尔滨斯基三角形入手，进入分形的世界.1、用Java绘制歇尔滨斯基三角形首先要知道如何建立窗体，调取画布对象，如何画线，有一定的数学基础（了解正三角形的性质），还有——数学思维。

2、打开eslips，建立一个Java的工程命名自己命吧，这个随便的哈；（这是我建立的工程）//3、这个程序需要引入的包：import java.awt.Color;import java.awt.Graphics;import javax.swing.JFrame;//4、主类继承JFrame，因此Retangerate拥有所有JFrame的方法public class Retangerate extends JFrame{/*** @param args*/public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubRetangerate a = new Retangerate();a.Draw();}////5、需要创建的方法一：（绘制三角形）//在这个方法里绘出窗体，并生成画布对象public void Draw() {this.setSize(1000,700);this.setLocationRelativeTo(null);this.setDefaultCloseOperation(3);this.setVisible(true);Graphics g = this.getGraphics();//6、定义重绘方法，拖动窗口，改变窗口大小后，绘制的图片仍然留在窗体上}public void paint(Graphics g){super.paint(g);this.Show(100,600,900,600,500,30,200,235,235,10,g);//调用递归函数Show(),所涉及的参数：x1的位置，y1的位置，x2的位置，y2的位置，x3的位置，y3的位置，（以下三个属性是颜色控制，如果需要渐变色彩的话）}public void show(double x,double y,double x2,double y2,doublex3,double y3,int a,int b,int c,int count,Graphics g){int tempx = (int)x;int tempy = (int)y;int tempx2 = (int)x2;int tempy2 = (int)y2;int tempx3 = (int)x3;int tempy3 = (int)y3;if(a<0||b<0||c<0){a=355;b=155;c=35;}//计算出三点的位置g.setColor(new Color(a,b,c));g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);if(count>=2){//判断是否进行递归int xm = tempx;int ym = tempy;int xm2 = tempx2;int ym2 = tempy2;int xm3 = tempx3;int ym3 = tempy3;tempx = (xm+xm2)/2;tempy = (ym+ym2)/2;tempx2 = (xm+xm3)/2;tempy2 = (ym+ym3)/2;tempx3 = (xm3+xm2)/2;tempy3 = (ym3+ym2)/2;this.Show(xm,ym,tempx,tempy,tempx2,tempy2,a-10,b-16,c-10,count-1, g);this.Show(tempx,tempy,xm2,ym2,tempx3,tempy3,a-14,b-16,c-18,count-1,g);this.Show(xm3,ym3,tempx2,tempy2,tempx3,tempy3,a-17,b-14,c-0,count -1,g);//由于下次分形要分成三个所以要在一次Show调用自己三次g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);}else{return ;}}}。

经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。

这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。

分形公式大全在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。

它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。

分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。

为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。

以下是一些常见的分形公式和它们的特点：1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。

曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。

通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。

2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。

朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。

朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。

3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。

希尔伯特曲线是通过递归地将二维空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。

4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。

科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。

除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。

这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。

总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。

通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。

神奇的分形艺术神奇的分形艺术（一）：无限长的曲线可能围住一块有限的面积Brain Storm | 2007-07-05 9:45| 21 Comments | 本文内容遵从CC版权协议转载请注明出自很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。

上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。

上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。

你或许会觉得这个图形很好看。

看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。

在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。

看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。

这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。

用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。

然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。

下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。

这样的图形可以用Logo语言很轻松地画出来。

你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的4/3。

如果最初的线段长为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了4/3，第二次操作后总长增加到16/9，第n次操作后长度为(4/3)^n。

毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。

难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。

当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。

这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。

换句话说，无限长的曲线围住了一块有限的面积。

有人可能会问为什么面积是有限的。

虽然从上面的图上看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。

三条曲线中每一条的第n次迭代前有4^(n-1)个长为(1/3)^(n-1)的线段，迭代后多出的面积为4^(n-1)个边长为(1/3)^n的等边三角形。

分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。

规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。

这些分形图形具有严格的自相似性。

无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。

这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。

对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。

不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。

因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。

分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。

对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。

不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。

（1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。

不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。

如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系N～λ-D（2-21）上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。

Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。

海岸线绝对长度L被表示为：L=Nλ～λ1-D（2-22）他得到挪威东南部海岸线的分维D ≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D ≈1.3。

分形算法与程序设计分形算法与程序设计引言什么是分形算法分形是一种自相似的形状，即整体的结构与其部分的结构非常相似。

分形算法是用来和处理分形的一种方法，通过迭代运算来逐渐构建出具有分形特征的图像或形状。

分形算法在图像处理、计算机图形学、自然科学等领域都有广泛的应用。

分形算法的基本原理分形算法的基本原理是通过递归和迭代运算来自相似的图像或形状。

它通常由以下步骤组成：1. 定义初始形状：选择一个基本的形状作为初始形状。

2. 分割形状：将初始形状分割成若干个小块。

3. 变形形状：对每个小块进行形状变换，可以缩放、旋转、平移等。

4. 重复步骤2和3：对每个小块进行递归操作，重复步骤2和3，直到达到预设的终止条件。

通过不断重复上述步骤，可以逐渐构建出具有分形特征的图像或形状。

分形程序设计分形程序设计是指利用计算机编程语言来实现分形算法的过程。

程序设计者可以根据自己的需求和创造力，设计出各种有趣的分形效果。

在分形程序设计中，常用的编程语言有C、C++、等。

以下以语言为例，介绍一个简单的分形程序：import turtledef draw_fractal(length, angle, depth):if depth == 0:turtle.forward(length)else:turtle.forward(length)turtle.left(angle)draw_fractal(length 0.6, angle, depth 1)turtle.right(angle 2)draw_fractal(length 0.6, angle, depth 1)turtle.left(angle)turtle.backward(length) turtle.speed(0)turtle.penup()turtle.goto(-150, 150)turtle.pendown()turtle.color(\。

彩票各期数字之间的某些位有很强的相关性，通过分形分析，可以从中发现一定的规律，以下是用分形方法的验证过程。

分形验证可用如下公式：F = Cr D+E （公式1）式中：ｒ为特定位置的数值；F 为与ｒ有关的，经过计算出来的数值；Ｃ为待定常数，Ｄ为维数，E为能量修正值，一般状态下取值1/15。

在本文中r取为不同期数中不同位置的数值，如设定2002058期中的第一位为r1，2002057期中的第二位的为r2，依次类推。

F为要预测的数值。

在我们应用的分形验证方法中，Ｄ为常数，它在双对数坐标上是一条直线。

根据该直线上的任意两个数据点（F i，r i）和（F j，r j），可以确定该段直线的分形参数，亦即分维数D 和常数C 。

求出这两个值后，代入方程式便可以根据r值求出需要的F值。

在这里我们要把上面的函数经过一系列的变化转化成分形的形式。

我们使用一种施行累计积的系列变换，可以将数据进行一系列变换，使变换后的数据符合分形的要求，亦即使变换后的数据能用分形分布来处理。

以下是该方法的简介：（1）将一定分布形式的彩票历史数据点(F i, r i)(i=1~n)绘于双对数坐标上。

｛F i｝= ｛F1, F2 , F3......｝（i=1,2......n）（2）构造其他积序列。

例如构造一阶累计积序列K1，其中K11 =F1，K12 =F1*F2，K13 =F1*F2*F3等等，依类推可构造二阶、三阶累计和等等，即有：｛K1i｝= ｛F1, F1*F2, F1*F2*F3 ......｝（i=1,2......n）｛K2i｝= ｛K11, K11*K12, K11*K12*K13 ......｝（i=1,2......n）｛K3i｝= ｛K21, K21*K22, K21*K22*K23 ......｝（i=1,2......n）｛K4i｝= ｛K31, K31*K32, K31*K32*K33 ......｝（i=1,2......n）（3）建立累计积的分形模型。