分形维数算法

分形维数算法．

分形维数算法

分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，

如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近

似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。

对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数

D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）

如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维

D=ln4/ln3=1.262;

Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。

对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点

集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法

用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系

-D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为：

1-D（2-22）L=Nλ～λ

他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3．

）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比，

二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2

(2-23)

AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。作随测

量尺寸值（如取岛的最大直径为1），使因子1/2????图，从其中直线部分的斜率的

倒数，可以得到)log[P(])//]～log[A( D。分维体积法）。这个方法也可以推广到粗糙曲线（表面积-[28]计盒维数法（3）把的小盒子，这是一种常用的计算分形图形分维数的实用方法。取边长为r分形曲线覆盖起来。则有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了曲线的一部分。然后缩小盒子的尺寸，。（r）计数多少小盒子不是空的，所得的非空盒子数记为N 时，得到分形维数：）自然要增大，当r→0

所得N（r log N(r)lim?D?（2-25）log r0?r实际计算中只能取有限的r，通

常的做法与尺码法类似，求一系列r和N（r），然后在双对数坐标中用最小二乘法拟合直线，所得直线的斜率即所求分形维数。

[29]结构函数法（４）具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足：24?2D???C?)(?xz?S()[(?)zx]（2-26）

式中：

2?表示差方的算术平均值。)]xz[z(x?()??是数据间隔的任意选择值。??然后在对数坐对分形曲线的离散信号计算出相应的Ｓ（，针对若干尺度）?? )～log标中得logS(直线的斜率Ｗ，则分形维数：

W4?2-27）（?D2系统所采用的二种计算维数的方法2.2.4在原理上都是利用了它们的自以上介绍的各种测量不规则分形的分维方法，相似性和被测量是随测量尺度的改变而改变的特性。因此选择哪一种方法来测定和计算分维只能从实际问题出发，没有统一的标准。但在计算分维时存在的共同点是在计算原则上要求图形象素尽量多以及相似的层次尽量多。但实际图形往往达不到这样的要求，计算机模拟结果原则上可以有大得多的线性范围，个量级。因此我们在实际的3但限于计算时，一般双对数图上的线性范围是2～研究工作中，对研究对象使用分形或分维等概念时一定要注意它的适用范围。下面介绍在系

统中所使用的二种求分形的方法。半方差法、a半方差法用于复杂的分形曲线

的计算，适用于对随机过程数据的处理。该方法简单易行，适合于计算机处理，

是一种较实用的计算方法。，且随机变量的平均差）（t设在某一测量距离或测量时间序列上得到一族z 表示为：1?（2-28）)])z[(t)??t?t(?zam(n其中：m(a)为平均差；

z(t)为在t位置函数曲线的测量值；

z(t+Δt)为在t+Δt位置函数曲线的测量值；

Δt为一对数据的间据

n为数据对数。

方差表示为：

1?2 2-29）（)]t??t[z(t)?z?s(a)(n半方差表示为：11?2

（2-30）)]t?)?z(t?r(a)?(s(a)?[zt

n22连续测量某一距离的各点t式中数据的对数n的确定方法是：若以等间距Δ所示如图2-6数值时，得到一随机数据z(1),z(2),…,z(k), 所示。如图2-6 (a)=Δt时，数据的对数n=k-1,当一对数据的间距t1=k-2,nt时，计算相应的半方差时，数据的对数当一对数据的间距t=2Δ22所示。如图2-6 (b 当一对数据的间=时，计算相应的半方差时，数据的对=k-3如2-6 (c所示

t

=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k)

(a)

=t

=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k)

(b)

=t

=k-3z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)z(7)z(8)z(9)