因式分解常用方法总结
【知识回顾】
分式方程的解法及注意（增根问题）
例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1
12无解，试求a 的值（提示：先把x 求出来，即用a 来表示x ）
【新知识讲解】
一、分解因式与整式乘法的关系.
因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
例： 由（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；
由a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这
两个过 程正好相反.
二、分解因式常用的方法.
1、找公因式的一般步骤.
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除?
2、公式法：
(1）平方差：a 2—b 2=（a +b ）（a —b ）
例3：1）25－16x 2; 2）9a 2－4
1b 2. 3）9（m +n ）2－（m －n ）2 4）2x 3
－8x .
（2）完全平方和：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2
（3）完全平方差：（a —b ）2=a 2—2ab +b 2
三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
例4、在多项式232++x x 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ⋅，常数项2分解12⨯，把它们用交叉线来表示：
所以)2)(1(232++=++x x x x
同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示： 其中ab q =，b a p += 例5：用十字相乘法分解因式： （1）1272+-x x （2）1242--x x
（3）1282++x x （4）12112--x x
四、用分组分解法分解因式
（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利
用分式法分解，
但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例6 把下列各式分解因式
（1）bc ac ab a -+-2
（2）bx by ay ax -+-5102
（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++
x x +2 +1 x x
+a
+b
（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-
例7 把下列各式分解因式
（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102
（3）n mn m m 552
+-- （4）bx ay by ax 3443+++
（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-
例8、已知a ＋b ＝－4，ab ＝2，求多项式4a 2b ＋4ab 2
－4a －4b 的值。
例9、已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边长，且b 2+2ab=c 2+2ac ，试判断△ABC 的形状
同步测试：
1、已知))(5(42n x x m x x --=--，则m 、n 的值是（ ）
（A ）1,5==n m ； （B ）1,5=-=n m ；
（C ）1,5-==n m ； （D ）1,5-=-=n m .
2、多项式222y x xy --分解因式的正确结果是（ ）
（A ）))((2y x y x xy -+-； （B ）2)(y x -；
（C ）2)(y x +-； （D ）2)(y x --.
3.分解因式－4x 2y +2xy 2－xy 的结果是
A.－4（x 2+2xy 2－xy ）
B.－xy （－4x +2y －1）
C.－xy （4x －2y +1）
D.－xy （4x －2y ）
4、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）
（A ）－15 （B ）－2 （C ）8 （D ）2
5分解因式：
（1）62--x x （2）652++x x
（3）62-+x x （4）432-+x x
6、分解因式：
（1）、922
2+--a b ab （2）、x 3＋3x 2－4x －12
（3）、x 2－b x －a 2＋a b （4）、m －m 3－mn 2＋2m 2n
7、已知：a=2999，b=2995，求655222-+-+-b a b ab a 的值。
课后作业：
1.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）
A.2
B.4
C.2y 2
D.4y 2
2.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）
A.11
B.22
C.11或22
D.11的倍数.
