因式分解方法总结

因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-x(2003淮安市中考题)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2 (2003南通市中考题)解：3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m=4、十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-65、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=___，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是[] A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等[] A．(n－2)(m＋m2)B．(n－2)(m－m2)C．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1)3．在下列等式中，属于因式分解的是[] A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的[] A．a2＋b2 B．－a2＋b2。

因式分解是代数学中的基本概念，用于将一个多项式拆分为更简单的乘积形式。

以下是常见的因式分解方法的总结：
1. 公因式提取法：若多项式的各项有一个公因式，可以将其提取出来。

例如：2x^3 + 4x^2 = 2(x^3 + 2x^2)
2. 平方差公式：用于拆分差的平方的多项式。

例如：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
3. 完全平方公式：用于拆分平方的多项式。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
4. 一次因式提取法：用于因式中存在一次项的多项式。

例如：ax + bx = (a + b)x
5. 分组法：将多项式中的项进行分组，再进行公因式提取或其他方法进行因式分解。

例如：ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)
6. 差的平方差公式：用于拆分差的平方差的多项式。

例如：a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)
7. 和差立方公式：用于拆分和的立方的多项式。

例如：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
8. 其他特殊公式和技巧：像三项立方和公式、齐次多项式的因式分解等，需要根据具体情况进行分析和应用。

需要注意的是，因式分解的方法并不是唯一的，具体的方法选择取决于多项式的结构和特点。

在实际应用中，可以采用多种方法的组合来完成因式分解。

数学因式分解知识点总结一、定义：二、常用的数学因式分解方法：1.分解质因数法：将待分解的数分解为素数的乘积。

2.公式法：利用特定的公式，将数进行因式分解。

3.提公因式法：将多项式中的公因式提出来。

4.柯西分解法：将多项式按照柯西和将一个复数分解为实部和虚部的方式进行分解。

5.平方差公式法：根据平方差公式将平方差形式的多项式进行分解。

6.分解平方法：将平方形式的多项式进行分解。

三、分解质因数法：1.从最小的素数2开始，不断地用这个素数去试除待分解的数。

如果是约数，则继续试除，直到不能整除为止。

2.如果一个数不能被2整除，就试试下一个大于2的素数，一直到最接近待分解数的平方根为止。

3.如果一个数不能再被其他比它小的素数整除，那么它本身就是一个素数。

以分解36为例：36÷2=1818÷2=99÷3=33÷3=1最后得到36=2×2×3×3=2^2×3^2四、公式法：例如，将二次多项式x^2-5x+6进行因式分解。

1. 我们可以使用二次方程的求根公式，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，对其进行因式分解。

2.根据二次方程求根公式，x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。

3.因此，x^2-5x+6=(x-2)(x-3)。

五、提公因式法：例如，将多项式2x^2+3x进行因式分解。

1.首先找到多项式中的公因式，即2x是该多项式中的公因式。

2.提取公因式，得到2x(x+3)。

3.因此，2x^2+3x=2x(x+3)。

六、柯西分解法：例如，将多项式x^2+2x+1进行因式分解。

1.我们可以使用柯西分解法，将该多项式分解为两个复数的乘积，即(x+1)^22.因此，x^2+2x+1=(x+1)^2七、平方差公式法：例如，将多项式x^2-1进行因式分解。

1.根据平方差公式，即a^2-b^2=(a+b)(a-b)，我们可以将该多项式分解为(x+1)(x-1)。

因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。

对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。

例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。

例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。

例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。

例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。

例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。

因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。

因式分解最全方法归纳在数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为较简单的乘法形式的方法。

它是解决多项式的基础步骤，也是高等数学和代数学中的重要概念。

本文将对因式分解的最全方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、因式分解的基本定义因式分解是一种将多项式表达式分解为乘法形式的方法。

通常，我们将一个多项式表示为包含常数项、一次项、二次项等的和的形式。

而因式分解的目的就是将这个多项式表示为一个或多个因子相乘的形式。

二、常见因式分解方法1. 因式分解公式法因式分解公式法是因式分解中常用的方法之一。

根据不同的多项式形式，我们可以利用一些常见的因式分解公式来进行因式分解。

例如：- 当多项式为二次差平方时，可以利用差平方公式进行因式分解。

例如，x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)。

- 当多项式为完全平方时，可以利用完全平方公式进行因式分解。

例如，x^2 + 2ab + b^2 = (x+a)^2。

- 当多项式为二次三项差积时，可以利用二次三项差积公式进行因式分解。

例如，x^2 - ax - b = (x-c)(x-d)，其中c、d为满足cd = b且c+d = a的两个数。

2. 提取公因式法提取公因式法是因式分解的一种常用方法。

当多项式的各项存在公因式时，我们可以将这些公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式分解后的多项式。

例如：对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x+2)。

3. 分组分解法分组分解法是一种将多项式进行分组，然后再进行因式分解的方法。

它通常适用于多项式中存在四项以上的情况，且多项式的各项无法直接提取公因式。

例如：对于多项式x^3 + x^2 + 3x + 3，我们可以按照如下方式进行分组分解：(x^3 + x^2) + (3x + 3)。

进一步因式分解得到：x^2(x + 1) + 3(x + 1)。

再进一步因式分解得到：(x^2 + 3)(x + 1)。

1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。

注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。

因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。

，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

因式分解口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式，两项要用平方差，三项考虑完全式，三项以上要分组，分组分解要合理，要么能提公因式，要么能够用公式，以上方法反复试，结果必是连乘积。

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。

如： 方法一：提公因式法一看系数--------看系数的最大公约数二看字母---------看相同字母三看指数----------看最小指数注：首项是负常提负例1：练习1 将下列多项式因式分解方法二：公式法2963x xy x -+把因式分解.x x x 93323--)(2)(5y x y y x x -+-常见公式：平方差公式：a 2－b 2=(a+b)(a －b)步骤：一变，二分解 例22419-y x +235y x x -()()22916y x y x +--1162-x 32-x常见公式二、完全平方公式（两数和的平方公式）222)(2b a b ab a -=+-()2222b a b ab a +=++注：关键在于判断是否有乘积2倍 例：32232ab b a b a +-练习(2y －3x)2－2(2x －3y)＋1 3a 2-12ab+12b 2m 4-m 2+1 x 3+2x 2+x常见公式三例8x 3-27y 3方法三 十字相乘法“拆首尾、凑中间”步骤：竖分两头，交叉验；横写因式不能乱注：交叉项乘积绝对值大的与中间项符号相同例：432-+x x 25122--x x121752--x x m m m 25723-+一、练习1）0652=+-x x ； 2）030172=+-y y ； 3）16102-=x x ； 4）2406x x =-； 5）15)3)(1(=--p p ；6）15)3)(1(=++y y ；7）10)2)(1(=+-x x ； 8）04062=--x x 。

方法四：分组分解法（三项以上）四项：3-1；2-2 五项：3-2 六项：3-3；3-2-1 例1、ab ac bc a -+-22212y xy x +--例2、b b ab a a 22222-+-+例3、962622+--++m mn n n m 4422222-+-++xy y x xy y x练习：（3）4x 2－4xy －a 2＋y 2（4）1―m 2―n 2＋2mn xyx y x 21565)1(2--+b a ab a 3217)2(2--+方法四：换元法 （整体思想）将复杂的多项式用一个字母表示，最后再换回来例题：()()m n n m m -+-2 ()()22425y x y x --+()()b a n b a m ---2294 ()()2222y x y x +-+典型例题;一、a,b,c 是三角形的三边（1）若a,b,c 满足a 2+b 2-6a-16b+73=0求第三边c 的取值范围（2）如a,b,c 满足a 2+b 2-c 2-2ab 的符号。

因式分解的几种方法解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法因为分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，能够先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又能够提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的能够利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法能够把多项式拆成若干部分，再用实行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，能够选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后实行因式分解，最后再转换回来。