因式分解最全方法归纳

第八讲 因式分解思维导图重难点分析重点分析：1.因式分解的实质是多项式的恒等变形，是将多项式转化为几个整式的积的形式，和整式乘法是互逆关系.2.提取公因式法是因式分解的基本方法，关键在于找公因式.找公因式的方法是：一看系数，二看相同的字母或因式.3.平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式.4.因式分解的一般步骤：（1）若多项式有公因式，先提取公因式；（2）若多项式没有公因式，对于二项式，可以考虑应用平方差公式；对于三项式可以考虑应用完全平方公式或十字相乘法［x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）］；（3）当多项式不能应用公式或者项数多于三项时，也就是既没有公因式也不能用公式分解时，可以尝试用分组分解法，项数较少时可通过拆项或添项后再分组.难点分析：1.因式分解的对象是多项式.2.因式分解的两种常见错误：一是“提不净”，即有公因式没提干净；二是“分不清”，即分解不彻底，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止.3.十字相乘法和分组分解法虽然是课本上不作要求的方法，但对于整式的变形有很大的作用，建议学会这两种方法.4.配方法、换元法、待定系数法、求根法、拆（添）项法等都是因式分解的常用方法.例题精析例1、下列从左到右的变形：①15x 2y=3x·5xy；②（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；③a 2-2a+1=（a-1）2；④3x 3-6x 2+4=3x 2（x-2）+4；⑤a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)，其中是因式分解的个数是（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个思路点拨：因式分解就是把多项式分解成几个整式的积的形式，根据定义即可进行判断.①⑤分解的对象不是多项式，所以不是因式分解；②是整式的乘法；④没有完全分解成整式的乘积形式；只有③是因式分解.参考答案：B方法归纳：因式分解的几个特点：（1）“和差化积”，即等式右边是整式的乘积形式；（2）分解的对象是多项式；（3）恒等变形，即等式两边恒相等.易错误区：注意a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)虽然是利用平方差公式将代数式分解成乘积形式，但由于分解的对象不是多项式，所以不能称为因式分解.例2、分解因式：（1）-4+x2；（2）-4x2y+4xy2-y3；（3）9（a-b）2-4（a+b）2；（4）3a2+bc-3ac-ab；（5）16x4-8x2y2+y4.思路点拨：（1）交换两个加数的位置，即可运用平方差公式；（2）提取公因式-y，即可运用完全平方公式；（3）首先运用平方差公式，再对括号内的式子进行整理即可；（4）首先要合理分组，再运用提公因式法完成因式分解；（5）先运用完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解.解题过程：（1）原式=x2-4=（x+2）（x-2）.（2）原式=-y（4x2-4xy+y2）=-y（2x-y）2.（3）原式=（3a-3b+2a+2b）（3a-3b-2a-2b）=（5a-b）（a-5b）.（4）原式=（3a2-3ac）+（bc-ab）=3a（a-c）-b（a-c）=（3a-b）（a-c）.（5）原式=（4x2-y2）2=（2x+y）2（2x-y）2.方法归纳：本题考查了用公式法、分组分解法分解因式，熟练掌握公式结构是解答本题的关键，合理分组也很重要.易错误区：第（2）题要先提取公因式，第（4）题要合理分组，第（5）题要分解彻底.例3、分解因式：x2-120x+3456.分析：由于常数项数值较大，则采用将x2-120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：原式=x2-2×60x+3600-3600+3456=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.请按照上面的方法分解因式：x2+42x-3528.思路点拨：先把x2+42x-3528转化为x2+2×21x+441-441-3528，因为前三项符合完全平方公式，将x2+2×21x+441作为一组，然后进一步分解.解题过程：原式=x2+2×21x+441-441-3528=（x+21）2-3969=（x+21+63）（x+21-63）=（x+84）（x-42）.方法归纳：本题考查的是用分组分解法分解因式，关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解.解题时要求同学们要有构造意识和想象力.易错误区：本题主要方法是配方法，关键是将x2+42x配成完全平方式，配上的数应该是42的一半的平方，不要配成42的平方.例4、阅读下列材料并解答问题：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，即若有a，b两数满足a·b=q 且a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）.例如：分解因式x2+5x+6.解：∵2×3=6，2+3=5，∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）.再如:分解因式x2-5x-6.解：∵-6×1=-6，-6+1=-5，∴x2-5x-6=（x-6）（x+1）.同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.分解因式：（1）x2+7x+12；（2）x2-7x+12；（3）x2+4x-12；（4）x2-x-12.思路点拨：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）.解题过程：（1）∵3×4=12，3+4=7，∴原式=（x+3）（x+4）.（2）∵（-3）×(-4)=12,-3+(-4)=-7,∴原式=（x-3）（x-4）.（3）∵6×(-2)=-12，6+（-2）=4，∴原式=（x+6）（x-2）.（4）∵（-4）×3=-12，-4+3=-1，∴原式=（x-4）（x+3）.方法归纳：本题考查用十字相乘法分解因式，是x2+（a+b）x+ab型式子的因式分解的应用，应掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.易错误区：注意系数的符号，将常数项分解成两个数的积的时候要将符号考虑周全.例5、阅读下面的材料，解答下列问题：材料1：公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）.材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1.解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2.再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2.上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把c2-6c+8分解因式；（2）结合材料1和材料2完成下面各题：①分解因式：（a-b）2+2（a-b）+1；②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3.思路点拨：（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）①直接利用完全平方公式分解因式得出答案；②利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案.解题过程：（1）c2-6c+8=c2-6c+32-32+8=（c-3）2-1=（c-3+1）（c-3-1）=（c-2）（c-4）. （2）①（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2.②设m+n=t，则t（t-4）+3=t2-4t+3=t2-4t+22-22+3=（t-2）2-1=（t-1）（t-3），∴（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）.方法归纳：本题主要考查了用公式法分解因式以及整体换元思想，熟练应用公式是解题关键. 易错误区：完全平方公式是配方的基本公式，特别注意配方是根据a2+2ab+b2来配常数，即若二次项系数是1，则常数项配一次项系数一半的平方，不是一次项系数的平方.探究提升例、分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）x3+5x2+3x-9；（3）2a4-a3-6a2-a+2.思路点拨：（1）需把-31x拆项成-x-30x，再分组分解；（2）把x3+5x2+3x-9拆项成（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9），再提取公因式因式分解；（3）先分组分解因式，再用拆项法把因式分解彻底.解题过程：（1）原式=4x3-x-30x+15=x（2x+1）（2x-1）-15（2x-1）=（2x-1）（2x2+x-15）=（2x-1）（2x-5）（x+3）.（2）原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）=x2（x-1）+6x（x-1）+9（x-1）=(x-1)(x2+6x+9)=（x-1）（x+3）2.（3）原式=a3（2a-1）-（2a-1）（3a+2）=（2a-1）（a3-3a-2）=（2a-1）（a3+a2-a2-a-2a-2）=（2a-1）［a 2（a+1）-a （a+1）-2（a+1）］=（2a-1）（a+1）（a 2-a-2）=（a+1）2（a-2）（2a-1）.方法归纳：本题考查用公式法、分组分解法、十字相乘法、提取公因式法等方法进行因式分解，同时都应用了“拆项”、“添项”，所以难度较大.易错误区：本题是通过拆项法因式分解，拆项要围绕因式分解的基本方法进行，主要是为了出现公因式或可以应用公式，不能盲目去拆.走进重高1.【潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）. A.a 2-1 B.a 2+a C.a 2+a-2 D.（a+2）2-2（a+2）+12.【贺州】将m 3（x-2）+m （2-x ）分解因式的结果是 .3.【大庆】已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值.4.先阅读第（1）题的解答过程，再解答第（2）题.（1）已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值.解法一：设2x 3-x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则2x 3-x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧==+=+m,b 0,2b a -1,12a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.21m ,21b -1,a ∴m=21.解法二：设2x 3-x 2+m=A·（2x+1）（A 为整式）.由于上式为恒等式，为方便计算取x=-21，2×-(21)3-(-21)2+m=0，故m=21.（2）已知x 4+mx 3+nx-16有因式x-1和x-2，求m ，n 的值.高分夺冠1.分解因式：（1）x4-1-4x2-4x；（2）x5+x+1；（3）a2-b2+4a+2b+3.2.因为（x+2）（x-1）=x2+x-2，所以（x2+x-2）÷（x-1）=x+2，这说明x2+x-2能被x-1整除，同时也说明多项式x2+x-2有一个因式为x-1，另外当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.利用上述阅读材料求解：（1）已知x-2能整除x2+kx-16，求k的值；（2）已知（x+2）（x-1）能整除2x4-4x3+ax2+7x+b，试求a,b的值.无答案）4.已知x，y为正整数，并且xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求3x2+8xy+3y2的值.。

因式分解最全方法归纳因式分解是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

在解题过程中，因式分解可以帮助我们简化复杂的表达式，进而更好地理解和解决问题。

下面是因式分解的最全方法归纳。

一、因式分解的基础知识在开始讨论因式分解的方法之前，我们首先需要了解一些基础知识：1.质数：除了1和它自身外，没有其他因数的数称为质数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

2.因数：能整除一些数的数称为该数的因数。

例如，12的因数包括1、2、3、4、6和123.最大公因数（最大公约数）：能同时整除两个或多个数的最大整数称为这些数的最大公因数。

例如，12和18的最大公因数是64.最小公倍数：能被两个或多个数同时整除的最小正整数称为这些数的最小公倍数。

例如，12和18的最小公倍数是36二、因式分解方法归纳基于上述基础知识，我们可以归纳以下因式分解的方法。

1.常数因式分解常数因式分解是将一个数分解为两个或多个较小的数之积。

这种方法常用于解决质因数分解、最大公约数和最小公倍数等问题。

例如，我们可以将120分解为2×2×2×3×5、这里2、3和5都是120的质因数，是120的因数且没有其他非trivial（即1和它本身之外的因数）因数。

2.公式因式分解对一些特殊的表达式，我们可以使用公式因式分解方法。

这些公式因式分解的公式包含二次方差分公式、三次方差分公式、完全平方差公式等。

通过使用这些公式，我们可以将特定的表达式因式分解为两个或多个更简单的表达式。

例如，我们可以使用二次方差分公式将x²+2xy+y²分解为(x+y)²。

这里(x+y)是原始表达式的一个因式，利用公式因子分解可以使问题简化。

3.特殊因式分解对于一些特殊的表达式，我们可以使用特殊因式分解方法。

这些特殊因式分解方法包括差平方公式、和差立方公式、卡方差分公式等。

通过应用这些特殊因式分解方法，我们可以将特定的表达式因式分解为两个或多个更简单的表达式。

可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。

2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。

因式分解最全方法归纳在数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为较简单的乘法形式的方法。

它是解决多项式的基础步骤，也是高等数学和代数学中的重要概念。

本文将对因式分解的最全方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、因式分解的基本定义因式分解是一种将多项式表达式分解为乘法形式的方法。

通常，我们将一个多项式表示为包含常数项、一次项、二次项等的和的形式。

而因式分解的目的就是将这个多项式表示为一个或多个因子相乘的形式。

二、常见因式分解方法1. 因式分解公式法因式分解公式法是因式分解中常用的方法之一。

根据不同的多项式形式，我们可以利用一些常见的因式分解公式来进行因式分解。

例如：- 当多项式为二次差平方时，可以利用差平方公式进行因式分解。

例如，x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)。

- 当多项式为完全平方时，可以利用完全平方公式进行因式分解。

例如，x^2 + 2ab + b^2 = (x+a)^2。

- 当多项式为二次三项差积时，可以利用二次三项差积公式进行因式分解。

例如，x^2 - ax - b = (x-c)(x-d)，其中c、d为满足cd = b且c+d = a的两个数。

2. 提取公因式法提取公因式法是因式分解的一种常用方法。

当多项式的各项存在公因式时，我们可以将这些公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式分解后的多项式。

例如：对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x+2)。

3. 分组分解法分组分解法是一种将多项式进行分组，然后再进行因式分解的方法。

它通常适用于多项式中存在四项以上的情况，且多项式的各项无法直接提取公因式。

例如：对于多项式x^3 + x^2 + 3x + 3，我们可以按照如下方式进行分组分解：(x^3 + x^2) + (3x + 3)。

进一步因式分解得到：x^2(x + 1) + 3(x + 1)。

再进一步因式分解得到：(x^2 + 3)(x + 1)。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的14 种方式因式分解没有普遍的方式，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则：1 分解要完全2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技能：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技能掌握：①等式左侧必需是多项式；②分解因式的结果必需是以乘积的形式表示；③每一个因式必需是整式，且每一个因式的次数都必需低于原来多项式的次数；④分解因式必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在肯定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

大体方式：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

若是一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方式叫做提公因式法。

具体方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

若是多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法大体步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并肯定另一个因式：①第一步找公因式可依照肯定公因式的方式先肯定系数在肯定字母；②第二步提公因式并肯定另一个因式，注意要肯定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式别离除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

因式分解最全方法归纳因式分解是将一个多项式拆解成几个较简单的乘积的过程。

虽然因式分解的方法非常多，但其中一些方法被广泛使用。

在下面的讨论中，我们将介绍最常用的因式分解方法。

一、提取公因子法：这是最基本的因式分解方法之一、该方法基于一个重要的数学原理，即两个数的乘积可以分为这两个数的最大公因数和其余部分的乘积。

因此，当一个多项式中的各项具有公因子时，我们可以先将这个公因子提取出来，然后再进行因式分解。

下面是一个例子：多项式：6x^2+9x公因子：3x因式分解：3x(2x+3)二、公式法：很多特殊形式的多项式可以通过特定的公式因式分解。

下面是一些常见的公式和其对应的因式分解方法：1.平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^23. 完全立方公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)下面是几个例子：多项式：x^2-4因式分解：(x+2)(x-2)（平方差公式）多项式：x^2+4x+4因式分解：(x+2)^2（完全平方公式）三、配方法：当一个多项式中的各项无法提取公因子或使用特定的公式时，我们可以尝试使用配方法进行因式分解。

配方法的基本思想是将多项式中的各项分解为两个括号内的两个项的乘积，然后通过选择正确的括号内的两个项，使得相乘后可以得到原多项式。

下面是一个例子：多项式：x^2+5x+6因式分解：(x+3)(x+2)四、分组法：有时候，我们可以将多项式中的各项进行分组，然后再利用配方法进行因式分解。

这种方法主要适用于多项式中包含四项或更多项的情况。

下面是一个例子：多项式：x^3+2x^2+4x+8因式分解：x^2(x+2)+4(x+2)=(x^2+4)(x+2)总结：因式分解是将多项式拆解为较简单的乘积的过程。

提取公因子、使用公式、配方法和分组法是最常见的因式分解方法。

但需要注意的是，并不是每个多项式都可以被因式分解，有时候一个多项式可能已经是不可约的。

分解因式的方法与技巧
因式分解是一种重要的数学技巧，用于将一个多项式分解成更简单的因式乘积。

我们可以使用以下方法和技巧来进行因式分解：
1. 提取公因式：首先，我们可以检查多项式中是否有公因式，然后将其提取出来。

这可以通过找到多项式中的最大公因式来实现。

2. 分组：有时候，我们可以对多项式进行分组，然后利用分组因式分解的方法来分解多项式。

这通常发生在四项多项式中。

3. 使用因式公式：对于一些特定的多项式形式，例如二次多项式或立方多项式，我们可以利用因式公式来进行因式分解。

4. 试除法：对于一些多项式，我们可以使用试除法来找到因式分解的结果。

这通常适用于高次多项式。

以上是因式分解的一些常用方法和技巧。

通过灵活运用这些方法，我们可以更轻松地进行因式分解，从而简化复杂的多项式表达式。

人教版初二数学知识点归纳1.因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，常用的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。

公因式的确定可以通过系数的最大公约数和相同因式的最低次幂来确定。

同时，需要注意因式分解与乘法是相反的两个转化。

2.因式分解的公式包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式为a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式为a2+2ab+b2=(a+b)2和a2-2ab+b2=(a-b)2.3.在进行因式分解时，需要注意选择因式分解方法的一般次序是提取、公式、分组、十字。

同时，使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性。

最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止，每一个因式的首项符号为正，相同因式写成乘方的形式，并加以整理。

4.在解题时，可以采用换位整理、提负号、全变号、换元、配方、把相同的式子看作整体、灵活分组、提取分数系数、展开部分括号或全部括号、拆项或补项等因式分解的解题技巧。

5.完全平方式是能化为(m+n)2的多项式。

对于二次三项式x2+px+q，若能化为完全平方式，则x2+px+q是完全平方式。

6.分式是用A÷B表示的形式，其中A和B都是整式。

整式与分式统称为有理式。

在判断分式时，需要注意分母为零则分式无意义，分子为零而分母不为零则分式的值为零，分子和分母都为零则分式无意义。

7.分式的基本性质包括若分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，则分式的值不变。

同时，需要注意在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

1.繁分式化简可以采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，这种方法比较简单。

2.分式的约分指的是将分式的分子与分母的公因式约去，约分前需要先进行因式分解。

3.最简分式指的是分式的分子与分母没有公因式的情况，化简分式时需要将结果化为最简分式。

4.分式的乘除法法则和分式的乘方法则需要掌握。

5.负整指数的计算法则包括公式a^0=1(a≠0)和a^(-n)=1/(a^n)(a≠0)，同时正整指数的运算法则也可以用于负整指数的计算。

因式分解最全方法归纳因式分解是代数运算中的重要内容，它可以将一个复杂的多项式化为几个简单因式的乘积形式，有助于解决各种数学问题。

下面为大家归纳总结因式分解的常用方法。

一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。

例如，对于多项式$6x ＋ 9$，各项的公因式是 3，分解因式可得：＄6x ＋ 9 ＝ 3(2x ＋ 3)＄再比如，＄4x^2y 6xy^2$，公因式是$2xy$，分解因式为：＄4x^2y 6xy^2 ＝ 2xy(2x 3y)＄提公因式法是因式分解的基础，很多多项式都需要先通过提公因式来简化式子。

二、公式法常用的公式有平方差公式：＄a^2 b^2 ＝（a ＋ b)（a b)＄；完全平方公式：＄a^2 ± 2ab ＋ b^2 ＝（a ± b)＾2$例如，＄9 x^2$可以利用平方差公式分解为：＄（3 ＋ x)（3 x)＄而对于$x^2 ＋ 6x ＋ 9$，则可以使用完全平方公式分解为：＄（x＋ 3)＾2$三、十字相乘法对于二次三项式$ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$），如果能找到两个数$p$和$q$，使得$p ＋ q ＝ b$，＄pq ＝ ac$，那么就可以将式子分解为$（x ＋ p)（x ＋ q)＄例如，对于$x^2 ＋ 5x ＋ 6$，因为$2 ＋ 3 ＝ 5$，＄2×3 ＝ 6$，所以可以分解为：＄（x ＋ 2)（x ＋ 3)＄再看$2x^2 5x 3$，我们要找到两个数$m$和$n$，使得$m ＋ n ＝－5$，＄mn ＝－6$，可以得到$m ＝－6$，＄n ＝ 1$，分解因式为：＄（2x ＋ 1)（x 3)＄四、分组分解法当多项式不能直接运用上述方法分解时，可以将多项式适当分组，再分别对每一组进行分解，最后综合起来得到分解结果。

例如，＄am ＋ an ＋ bm ＋ bn$，可以分组为$（am ＋ an) ＋（bm＋ bn)＄，然后分别提公因式得到：＄a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ＝（m ＋n)（a ＋ b)＄又如，＄x^2 y^2 ＋ 2x ＋ 1$，可以分组为$（x^2 ＋ 2x ＋ 1) y^2$，先利用完全平方公式，再用平方差公式，分解为：＄（x ＋ 1)＾2 y^2＝（x ＋ 1 ＋ y)（x ＋ 1 y)＄五、拆项、添项法在多项式中添加或减去一项，使得式子可以运用上述方法进行分解。

因式分解最全方法归纳因式分解是代数学习中的重要内容，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决方程和不等式等问题。

下面就为大家归纳一下因式分解的各种方法。

一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如，对于多项式 6x ＋ 9，6 和 9 都有公因数 3，所以可以提出 3 得到：3(2x ＋ 3)。

提公因式法的关键在于准确找出多项式各项的公因式。

公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都含有的相同字母，字母的指数取次数最低的。

二、运用公式法（1）平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b)例如，分解 9x² 25，可写成（3x)² 5²，然后利用平方差公式得到：（3x ＋ 5)（3x 5)（2）完全平方公式：a² ± 2ab ＋ b²＝（a ± b)²比如，对于 x²＋ 6x ＋ 9，可以将其写成 x²＋ 2×3×x ＋ 3²，符合完全平方公式，分解为（x ＋ 3)²三、分组分解法将多项式分组后，组与组之间能提公因式或运用公式进行分解。

例如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn，可以将其分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn)，然后分别提公因式得到：a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n)，再提公因式（m ＋ n) 得到：（m ＋ n)（a ＋ b)四、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c，如果存在两个数 p、q，使得 a ＝p×q，c ＝ m×n，且 b ＝ p×n ＋ q×m，那么 ax²＋ bx ＋ c ＝（px ＋ m)（qx ＋ n)比如，分解 6x²＋ 5x 6，将 6 分解为 2×3，－6 分解为－2×3，交叉相乘 2×3 ＋ 3×（－2) ＝ 0，所以可以分解为（2x 1)（3x ＋ 6)五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开或加上互为相反数的两项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

第二章 分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。

②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。

③分解因式要分解到不能再分解为止。

2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。

3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。

（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。

（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。

②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。

4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。

【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--解析：（1）题先提一个“-”号，再提公因式2m ；（2）题的公因式为y z +；（3）题的公因式为()x x y +； （4）题的公因式为78a b -。

答案：（1）22(2813)m m m --+； （2）()(23)y z x +-；（3）2()xy x y -+； （4）22(78)a b -。

因式分解题型归纳总结知识梳理一、因式分解得定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．二、因式分解常见形式：三、因式分解基本方法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()2+4+6=2+2+3ma mb mc m a b c把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式：()()a b a b a b 22+-=-完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+；()a b a ab b 222-=-2+ 立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+ ；()a b a a b ab b 33223-=-3+3- 大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++--- n 次方差公式：1221()()nnn n n n a b a b aa b ab b -----=-++++（n 为正整数） n 次方差差公式：1221()()nnn n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇数）③分组分解法一般地，分组分解大致分为三步：i ．将原式的项适当分组；ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 四、十字相乘法五、双十字相乘法双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：对于形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 的多项式的因式分解，基本步骤是： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项Ey ，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项Dx ． 六、换元法如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式． （1）整体换元（2）和积换元 七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解． 八、拆项和添项法1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 九、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法． 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++++=+++++恒成立，那么n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 十、余数定理与因式定理法1、余数定理：多项式f （x ）除以x －c ，所得的余数为f （c ）．2、因式定理：若多项式f （x ）有一个因式x －c ，则f （c ）＝0；反之，若f （c ）＝0，则x－a 必为多项式f （x ）的一个因式．3、整数系数多项式f （x ）＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的两个性质：性质1：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ＝1，且它有因式x －p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数．例如x 2－2x －8的首项系数是1，它有因式x ＋2和x －1，－2和4都是常数项－8的约数． 性质2：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ≠1，且它有因式p x q -（pq为整数），那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数． 例如，6x 3＋x 2－1的首项系数a n ＝6不为1，它有因式12x -，不难看出分母2是a n ＝6的约数，分子1是常数项－1的约数．例如：分解因式：x x 3-3+2．观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．x x x x x x x x x x x x x x 2323222+-2-1+0⋅-3+2--3--2+2-2+2∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2．题型一 因式分解的定义例题1： 下列因式分解正确的是（ ） A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2 B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3解析：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。