齐次线性方程组解的结构讲课教案

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７齐次线性方程组解的结构问题的教学设计齐次线性方程组解的结构问题的教学设计Һ裴慧敏㊀（江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了齐次线性方程组解的结构问题的教学设计．首先，从具体例子出发，引出基础解系的定义．接着给出结构式通解的概念．最后，从秩的角度出发给出了基础解系的求解方法，进而得到了齐次线性方程组的结构式通解．而且在课堂教学中融入课堂思政，真正做到教书育人．ʌ关键词ɔ齐次线性方程组；解的结构；基础解系；教学设计ʌ基金项目ɔ江苏师范大学博士学位教师科研基金项目（１８ＸＬＲＸ０１９）；江苏省高等学校自然科学研究面上项目（２０ＫＪＢ１１００２６）；江苏省高等教育教学改革课题（２０２１ＪＳＪＧ２３５）．１㊀引㊀言在中学数学中，对于给定的线性方程组，一般只需要求出它的解即可，这对于线性方程组的研究是远远不够的．对于给定的线性方程组，它可能无解㊁有唯一解或者有无穷多解．当线性方程组无解或者有唯一解的时候，都很容易表示出来．但是，当线性方程组有无穷多解的时候，不可能将所有的解都一一表示出来．那么，如何将这无穷多解以一种比较简洁的形式表示出来呢？本文主要是关于齐次线性方程组解的结构问题的教学设计．首先，通过问题引入，引出齐次线性方程组的解的结构问题．再通过不断引导学生，给出基础解系㊁结构式通解的相关概念．最后，给出求结构式通解的方法．本文结尾，也结合本节课知识点，融合课堂思政，做到教书育人相结合．２㊀教学过程２．１㊀问题引入首先，我们来回顾一下，对于给定的齐次线性方程组，如何求出它的解．例２．１㊀解齐次线性方程组２ｘ１＋４ｘ２＋ｘ３＋ｘ５＝０，３ｘ１＋６ｘ２＋２ｘ３＋ｘ４＝０，４ｘ１＋８ｘ２＋３ｘ３＋２ｘ４－ｘ５＝０．ìîíïïï（２．１）解析㊀记Ａ＝２４１０１３６２１０４８３２－１æèççöø÷÷，ｘ＝ｘ１︙ｘ５æèççöø÷÷，则齐次线性方程组（２．１）可以表示成矩阵形式Ａｘ＝０．（２．２）其中，ｘ就是要求的齐次线性方程组的解．通过前面的学习我们知道，要求ｘ，首先就要对方程组的系数矩阵Ａ施行初等行变换将其化为行最简形矩阵：Ａ＝２４１０１３６２１０４８３２－１æèççöø÷÷ｒ３＋（－２）ｒ１ｒ１－ｒ２ｒ２＋３ｒ１ң－１－２－１－１１００－１－２３００１２－３æèççöø÷÷ｒ３＋ｒ２ｒ１－ｒ２（－１）ｒ２ң－１－２０１－２００１２－３０００００æèççöø÷÷（－１）ｒ１ң１２０－１２００１２－３０００００æèççöø÷÷，显然，Ｒ（Ａ）＝２＜５，所以，原齐次线性方程组有无穷多个解，其通解为ｘ１＝－２ｘ２＋ｘ４－２ｘ５，ｘ３＝－２ｘ４＋３ｘ５，{（２．３）其中ｘ２，ｘ４，ｘ５是自由未知量．把自由未知量ｘ２，ｘ４，ｘ５依次取为任意常数ｋ１，ｋ２，ｋ３，则方程组Ａｘ＝０的通解还可表示为ｘ１＝－２ｋ１＋ｋ２－２ｋ３，ｘ２＝ｋ１，ｘ３＝－２ｋ２＋３ｋ３，ｘ４＝ｋ２，ｘ５＝ｋ３，ìîíïïïïïï即ｘ＝－２ｋ１＋ｋ２－２ｋ３ｋ１－２ｋ２＋３ｋ３ｋ２ｋ３æèçççççöø÷÷÷÷÷（２．４）显然，当未知量的个数比较多且自由未知量的个数比较少时，如果继续用（２．４）式来表示齐次线性方程组Ａｘ＝０的解，就会比较烦琐．对于一般的齐次线性方程组Ａｘ＝０，当它有无穷多解时，如何以一种比较简洁的形式将这无穷多解表示出来呢？这一问题值得我们去研究，这就是齐次线性方程组解的结构问题．２．２㊀研究问题给定ｎ元齐次线性方程组ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋ ＋ａ１ｎｘｎ＝０，ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋ ＋ａ２ｎｘｎ＝０， ａｍ１ｘ１＋ａｍ２ｘ２＋ ＋ａｍｎｘｎ＝０，ìîíïïïï（２．５）㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７若记Ａ＝ａ１１ａ１２ ａ１ｎａ２１ａ２２ ａ２ｎ︙︙︙ａｍ１ａｍ２ ａｍｎæèçççöø÷÷÷，ｘ＝ｘ１ｘ２︙ｘｎæèçççöø÷÷÷，则齐次线性方程组（２．５）可以表示成矩阵形式Ａｘ＝０．（２．６）其中，Ａ是系数矩阵，ｘ是齐次线性方程组（２．６）的一个解向量或者解．注意到，当齐次线性方程组Ａｘ＝０有无穷多解时，它的所有解向量就可以组成一个集合，记为解集Ｕ．那么，根据向量组的极大无关组的定义，如果我们能够找到解集Ｕ的极大无关组，那么，解集Ｕ中的任何一个解向量都可以由该极大无关组线性表示，即齐次线性方程组Ａｘ＝０的无穷多解可以由该极大无关组线性表示．将解集Ｕ的极大无关组记为α１，α２， ，αｔ，显然，它需要满足如下三个条件：（１）α１，α２， ，αｔ是解集Ｕ的一个部分组；（２）α１，α２， ，αｔ线性无关；（３）解集Ｕ中的任一向量都可由α１，α２， ，αｔ线性表示．对于这个极大无关组，我们将它称为齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系．下面，我们具体给出基础解系的概念．定义２．１［１］㊀齐次线性方程组Ａｘ＝０的一组解α１，α２， ，αｔ称为它的一个基础解系，如果（１）α１，α２， ，αｔ线性无关；（２）方程组Ａｘ＝０的任一解都可由α１，α２， ，αｔ线性表示．显然，如果α１，α２， ，αｔ是方程组Ａｘ＝０的一个基础解系，那么方程组Ａｘ＝０的任意一个解α都可以表示成如下形式：α＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｔαｔ，（２．７）其中ｋ１，ｋ２， ，ｋｔ是一组常数．反之，对于任意一组数ｋ１，ｋ２， ，ｋｔ，α也都是方程组Ａｘ＝０的一个解，因为Ａα＝Ａ（ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｔαｔ）＝ｋ１Ａα１＋ｋ２Ａα２＋ ＋ｋｔＡαｔ＝０．我们将式（２．７）称为齐次线性方程组Ａｘ＝０的结构式通解．对于一般的齐次线性方程组Ａｘ＝０，当它有无穷多解时，我们就可以用结构式通解将它的无穷多解简洁地表示出来．那么，对于给定的齐次线性方程组Ａｘ＝０，如何求出它的结构式通解呢？要求齐次线性方程组Ａｘ＝０的结构式通解，首先就要求出它的基础解系．根据基础解系的定义，我们思考：（１）什么样的齐次线性方程组Ａｘ＝０存在基础解系？（２）若存在，如何求出齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系？下面，我们将围绕这两个问题进行讨论．首先，我们来看第一个问题．由前面的学习，我们知道只含零向量的向量组不存在极大无关组，也就是说，只有当齐次线性方程组Ａｘ＝０有非零解（无穷解）时，即Ｒ（Ａ）＜ｎ时，它才存在基础解系．接下来，我们从秩的角度出发，对第二个问题进行研究．设Ｒ（Ａ）＝ｒ，Ａ的行最简形矩阵为Ｆ．当ｒ＝０时，Ｆ为零矩阵，即Ｆ＝０．此时，任一ｎ维列向量都是方程组Ｆｘ＝０的解．由于Ａｘ＝０与Ｆｘ＝０同解，所以，任一ｎ维列向量都是方程组Ａｘ＝０的解．也就是说，Ａｘ＝０的解集Ｕ是由所有的ｎ维列向量构成的．通过前面的学习知道，ｎ维单位向量组ε１，ε２， ，εｎ是解集Ｕ的一个极大无关组，所以，任意ｎ个线性无关的ｎ维列向量都是方程组Ａｘ＝０的一个基础解系．当０＜ｒ＜ｎ时，不妨设Ａ的前ｒ个列向量线性无关，由于Ｆ的列向量组与Ａ的列向量组具有完全相同的线性关系，所以，矩阵Ｆ可设为Ｆ＝１０ ０ｃ１，ｒ＋１ｃ１，ｒ＋２ ｃ１ｎ０１ ０ｃ２，ｒ＋１ｃ２，ｒ＋２ ｃ２ｎ００ １ｃｒ，ｒ＋１ｃｒ，ｒ＋２ｃｒｎ００ ０００ ０ ００ ００００æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，得方程组Ａｘ＝０的通解为ｘ１＝－ｃ１，ｒ＋１ｘｒ＋１－ｃ１，ｒ＋２ｘｒ＋２－ －ｃ１ｎｘｎ，ｘ２＝－ｃ２，ｒ＋１ｘｒ＋１－ｃ２，ｒ＋２ｘｒ＋２－ －ｃ２ｎｘｎ，㊀㊀㊀㊀ｘｒ＝－ｃｒ，ｒ＋１ｘｒ＋１－ｃｒ，ｒ＋２ｘｒ＋２－ －ｃｒｎｘｎ，ìîíïïïï（２．８）其中ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ为自由未知量．若把ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ依次取为任意常数ｋ１，ｋ２． ，ｋｎ－ｒ，则方程组Ａｘ＝０的通解可表示为ｘ１＝－ｃ１，ｒ＋１ｋ１－ｃ１，ｒ＋２ｋ２－ －ｃ１ｎｋｎ－ｒ，ｘ２＝－ｃ２，ｒ＋１ｋ１－ｃ２，ｒ＋２ｋ２－ －ｃ２ｎｋｎ－ｒ，ｘｒ＝－ｃｒ，ｒ＋１ｋ１－ｃｒ，ｒ＋２ｋ２－ －ｃｒｎｋｎ－ｒ，ìîíïïïï即ｘ１︙ｘｒｘｒ＋１ｘｒ＋２︙ｘｎæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＝－ｃ１，ｒ＋１ｋ１－ｃ１，ｒ＋２ｋ２－ －ｃ１ｎｋｎ－ｒ︙－ｃｒ，ｒ＋１ｋ１－ｃｒ，ｒ＋２ｋ２－ －ｃｒｎｋｎ－ｒｋ１ｋ２︙ｋｎ－ｒæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，也就是ｘ１︙ｘｒｘｒ＋１ｘｒ＋２︙ｘｎæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＝ｋ１－ｃ１，ｒ＋１︙－ｃｒ，ｒ＋１１０︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ｋ２－ｃ１，ｒ＋２︙－ｃｒ，ｒ＋２０１︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ ＋ｋｎ－ｒ－ｃ１ｎ︙－ｃｒｎ００︙１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷．记α１＝－ｃ１，ｒ＋１︙－ｃｒ，ｒ＋１１０︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，α２＝－ｃ１，ｒ＋２︙－ｃｒ，ｒ＋２０１︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷， ，αｎ－ｒ＝－ｃ１ｎ︙－ｃｒｎ００︙１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７则方程组Ａｘ＝０的通解可表示为ｘ＝ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｎ－ｒαｎ－ｒ，即Ａｘ＝０的任一解都可由α１，α２， ，αｎ－ｒ线性表示．如果α１，α２， ，αｎ－ｒ又是方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个线性无关的解，那么，α１，α２， ，αｎ－ｒ就是方程组Ａｘ＝０的基础解系．接下来，我们只需证α１，α２， ，αｎ－ｒ是方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个线性无关的解即可．通过观察我们发现：在方程组Ａｘ＝０的通解（２．８）中把自由未知量ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ依次取ｎ－ｒ组值：ｘｒ＋１＝１，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝１， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝１，就得到了α１，α２， ，αｎ－ｒ，也就是说α１，α２， ，αｎ－ｒ是方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个解．接下来，我们只需证明α１，α２， ，αｎ－ｒ线性无关即可．为此，建立向量方程ｔ１α１＋ｔ２α２＋ ＋ｔｎ－ｒαｎ－ｒ＝０，即ｔ１－ｃ１，ｒ＋１︙－ｃｒ，ｒ＋１１０︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ｔ２－ｃ１，ｒ＋２︙－ｃｒ，ｒ＋２０１︙０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＋ ＋ｔｎ－ｒ－ｃ１ｎ︙－ｃｒｎ００︙１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷＝０，解得ｔ１＝ｔ２＝ ＝ｔｎ－ｒ＝０，也就是α１，α２， ，αｎ－ｒ线性无关．结合上述分析可得，α１，α２， ，αｎ－ｒ是方程组Ａｘ＝０的基础解系．进而，可以得到下面的定理：定理２．１［１］㊀设Ａ是ｍˑｎ矩阵，若齐次线性方程组Ａｘ＝０有非零解，即Ｒ（Ａ）＜ｎ，则它的基础解系存在，且基础解系所含的向量个数等于ｎ－Ｒ（Ａ）．上述分析还给出了求基础解系的方法：第１步㊀用初等行变换把系数矩阵Ａ化成行最简形矩阵．第２步㊀写出方程组Ａｘ＝０的通解，然后在通解中把自由未知量ｘｒ＋１，ｘｒ＋２， ，ｘｎ依次取ｎ－ｒ组值：ｘｒ＋１＝１，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝１， ，ｘｎ＝０；ｘｒ＋１＝０，ｘｒ＋２＝０， ，ｘｎ＝１，就可得到方程组Ａｘ＝０的ｎ－ｒ个线性无关的解α１，α２， ，αｎ－ｒ，也就是Ａｘ＝０的一个基础解系．第３步㊀写出齐次线性方程组Ａｘ＝０的结构式通解：ｋ１α１＋ｋ２α２＋ ＋ｋｎ－ｒαｎ－ｒ，其中ｋ１，ｋ２， ，ｋｎ－ｒ为任意常数．下面，我们通过例题来看一下具体如何求出齐次线性方程组的结构式通解．例２．２㊀求齐次线性方程组２ｘ１＋４ｘ２＋ｘ３＋ｘ５＝０，３ｘ１＋６ｘ２＋２ｘ３＋ｘ４＝０，４ｘ１＋８ｘ２＋３ｘ３＋２ｘ４－ｘ５＝０，{的结构式通解．分析㊀要想得到齐次线性方程组的结构式通解，首先就要求出它的基础解系．解㊀由２．１节可知，齐次线性方程组的通解为ｘ１＝－２ｘ２＋ｘ４－２ｘ５，ｘ３＝－２ｘ４＋３ｘ５，{其中ｘ２，ｘ４，ｘ５是自由未知量．令ｘ２＝１，ｘ４＝０，ｘ５＝０，求得方程组的一个解为α１＝（－２，１，０，０，０）ᶄ；令ｘ２＝０，ｘ４＝１，ｘ５＝０，求得方程组的一个解为α２＝（１，０，－２，１，０）ᶄ；令ｘ２＝０，ｘ４＝０，ｘ５＝１，求得方程组的一个解为α３＝（－２，０，３，０，１）ᶄ，则α１，α２，α３是原方程组的一个基础解系，所以原方程组的结构式通解为ｋ１α１＋ｋ２α２＋ｋ３α３，其中ｋ１，ｋ２，ｋ３为任意常数．课后思考：齐次线性方程组Ａｘ＝０可以看成是一种比较简单的线性方程组．那么，对于一般的线性方程组Ａｘ＝β，当它有无穷多解时，如何求出它的结构式通解呢？容易看出，当一般的线性方程组Ａｘ＝β有无穷多个解时，与其对应的齐次线性方程组Ａｘ＝０也有无穷多个解．那么，可否借用齐次线性方程组Ａｘ＝０的基础解系给出Ａｘ＝β的结构式通解呢？这个问题，我们将在下节课与大家一起探讨．２．３㊀内容小结本次课程通过具体的例子引入了基础解系的概念．并在此基础上，引导学生得到了结构式通解的概念．然后，从秩的角度出发，得到了基础解系的求解方法，进而得到了齐次线性方程组的结构式通解．最后，结合具体的例题，给出了求解齐次线性方程组的结构式通解的方法．本次课程从简单问题入手，通过一步步引导学生，结合学生之前所学知识一步步达到教学目的．这种教学设计思路，不仅能够吸引学生的注意力，提高他们的学习兴趣，而且还能引发他们的思考，培养他们发现问题㊁分析问题和解决问题的能力［３］．３㊀课堂思政本次课程我们主要学习了齐次线性方程组的基础解系，借助基础解系，我们研究了齐次线性方程组的结构式通解．通过本节课的学习，我们能够发现，结构式通解能够使齐次线性方程组的解的表示变得更加简洁优美．数学中有解的结构，我们在人生的道路上能否取得成功也有解的结构，伟大的科学家爱迪生说过： 成功等于１％的灵感加９９％的汗水． ９９％的汗水能够使我们的人生变得更加完美．所以，不管是在求学过程中，还是在以后的工作中，想要成功就要付出努力．只要坚定信心，勇往直前，就终将会实现人生理想和目标．ʌ参考文献ɔ［１］蒋永泉，贾志刚，黄建红．线性代数：［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１８：１１２－１１９．［２］北京大学数学系前代数小组．高等代数：第五版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：１３６－１４０．［３］刘烁，马丽娜，吴克坚，等．浅谈高等数学微课教学设计：以 函数最值的求法 为例［Ｊ］．高等数学研究，２０１９（５）：５５－５７．。

齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案一、教学目标：1. 让学生理解齐次线性方程组的定义及其性质。

2. 让学生掌握齐次线性方程组的基础解系的概念及其求法。

3. 培养学生运用齐次线性方程组解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 齐次线性方程组的定义与性质。

2. 齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 齐次线性方程组基础解系的求法。

4. 齐次线性方程组的解的结构。

5. 齐次线性方程组在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：齐次线性方程组的定义与性质，基础解系的概念及其求法。

2. 教学难点：齐次线性方程组基础解系的求法，解的结构的理解与应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解齐次线性方程组的定义、性质、基础解系的概念及求法。

2. 利用案例分析法，结合具体例子讲解齐次线性方程组的解的结构及在实际问题中的应用。

3. 引导学生运用小组讨论法，探讨齐次线性方程组基础解系的求解策略。

五、教学过程：1. 引入新课：通过讲解线性方程组的背景及意义，引导学生进入齐次线性方程组的学习。

2. 讲解齐次线性方程组的定义与性质，让学生理解并掌握其基本概念。

3. 讲解齐次线性方程组的基础解系的概念，并通过案例让学生了解其求法。

4. 讲解齐次线性方程组解的结构，引导学生理解并掌握其特点。

5. 讲解齐次线性方程组在实际问题中的应用，培养学生运用知识解决实际问题的能力。

6. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学知识。

7. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点与难点。

8. 布置作业：布置适量作业，巩固所学知识，为下一节课做好准备。

教学评价：通过课堂讲解、案例分析、小组讨论等形式，评价学生对齐次线性方程组的理解程度及其运用能力。

关注学生在学习过程中的参与程度、思维品质和合作精神。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习齐次线性方程组的基础解系。

使用多媒体教学手段，如PPT演示，以直观地展示齐次线性方程组的图形解和基础解系的概念。

齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案一、教学目标1. 让学生理解齐次线性方程组的定义及其特点。

2. 让学生掌握齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 齐次线性方程组的定义与特点2. 基础解系的定义与性质3. 齐次线性方程组的求解方法4. 实际应用举例三、教学重点与难点1. 教学重点：齐次线性方程组的定义、特点，基础解系的概念及求解方法。

2. 教学难点：齐次线性方程组的求解方法及实际应用。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解齐次线性方程组的定义、特点，基础解系的概念及求解方法。

2. 通过例题演示法引导学生掌握齐次线性方程组的求解过程。

3. 利用小组讨论法让学生探讨实际应用问题，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾线性方程组的基本概念，引导学生思考齐次线性方程组的特殊性。

2. 讲解齐次线性方程组的定义与特点，引导学生理解基础解系的概念。

3. 讲解齐次线性方程组的求解方法，并通过例题演示求解过程。

4. 设计练习题，让学生巩固所学知识。

5. 组织学生进行小组讨论，探讨齐次线性方程组在实际问题中的应用。

6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。

教案示例：课题：齐次线性方程组基础解系讲课课型：新授课课时：1课时教学目标：1. 理解齐次线性方程组的定义及其特点。

2. 掌握齐次线性方程组的基础解系的概念。

3. 学会运用数学知识解决实际问题。

教学重点：1. 齐次线性方程组的定义、特点。

2. 基础解系的概念及求解方法。

教学难点：1. 齐次线性方程组的求解方法。

2. 实际应用举例。

教学过程：一、导入新课回忆线性方程组的基本概念，引导学生思考齐次线性方程组的特殊性。

二、新课讲解1. 讲解齐次线性方程组的定义与特点。

2. 讲解齐次线性方程组的求解方法，并通过例题演示求解过程。

3. 讲解基础解系的概念及性质。

三、课堂练习设计练习题，让学生巩固所学知识。

四、小组讨论组织学生进行小组讨论，探讨齐次线性方程组在实际问题中的应用。