线性方程组的解的结构

线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。

线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。

线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。

线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。

线性空间是指一个能进行线性运算的集合。

线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。

线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。

首先，线性方程组的解是一个向量空间。

向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。

在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。

其次，线性方程组的解是一个子空间。

子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。

线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。

1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。

2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。

3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。

总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。

线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。

线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。

线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。

§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.一、齐次线性方程组的解的结构设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；2）t ηηη,,,21 线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2. 秩A =1，秩A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为⎩⎨⎧+=+=.,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程3222111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3222111t x t c d x t c d x (13)这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是⎩⎨⎧=++=++.0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是⎪⎩⎪⎨⎧===.,,32211t x t c x t c x (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0793,083,032,054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x的一个基础解系.例2 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.2193164,432,14523,42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。

第六节 线性方程组解的结构内容分布图示★ 解向量的概念 ★ 齐次线性方程组解的性质★ 基础解系的定义★ 基础解系的求法 ★ 例1★ 解空间及其维数★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 例7★ 非齐次线性方程组解的性质 ★ 非齐次线性方程组的通解 ★ 方程组有解的几个等价命题★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-6 ★ 返回内容要点：一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221*********n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)若记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 1则方程组(1)可写为向量方程0=AX (2)称方程(2)的解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21为方程组(1)的解向量.1．齐次线性方程组解的性质:性质1 若21,ξξ为方程组(2)的解, 则21ξξ+也是该方程组的解.性质2 若1ξ为方程组(2)的解, k 为实数, 则1ξk 也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解.由上节知：线性方程组0=AX 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组0=AX 的解空间.定义1 齐次线性方程组0=AX 的有限个解t ηηη,,,21 满足:(1) t ηηη,,,21 线性无关;(2) 0=AX 的任意一个解均可由t ηηη,,,21 线性表示.则称t ηηη,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系.注：方程组0=AX 的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组0=AX 基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若t ηηη,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 则0=AX 的通解可表示为t t k k k X ηηη+++= 2211 其中t k k k ,,,21 为任意常数.当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理1回答了这两个问题.定理1 对齐次线性方程组0=AX ，若n r A r <=)(,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于r n -, 其中n 是方程组所含未知量的个数.注：定理1的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法. 且若已知r n -ηηη,,,21 是线 性方程组0=AX 的一个基础解系，则0=AX 的全部解可表为,2211r n r n c c c x --+++=ηηη(4)其中r n c c c -,,,21 为任意实数. 称表达式（4）线性方程组0=AX 的通解.二、解空间及其维数设A 为n m ⨯矩阵, 则n 元齐次线性方程组0=AX 的全体解构成的集合V 是一个向量空间, 称其为该方程组的解空间, 当系数矩阵的秩r A r =)(时, 解空间V 的维数为r n -. 当n A r =)(时, 方程组0=AX 只有零解, 此时解空间V 只含有一个零向量, 解空间V 的维数为0;当n r A r <=)(时, 方程组0=AX 必含有r n -个向量的基础解系r n -ηηη,,,21 , 此时方程组的任一解可表示为,2211r n r n k k k x --+++=ηηη其中r n k k k -,,,21 为任意实数.而解空间V 可表示为}.,,,,|{212211R k k k k k k x x V r n r n r n ∈+++==--- ηηη二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111 (5)它也可写作向量方程b AX = (6)性质3 设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的解, 则21ηη-是对应的齐次线性方程组0=AX 的解.性质 4 设η是非齐次线性方程组b AX =的解, ξ为对应的齐次线性方程组0=AX 的解，则ηξ+非齐次线性方程组b AX =的解.定理2 设*η是非齐次线性方程组b AX =的一个解, ξ是对应齐次线性方程组0=AX 的通解, 则*ηξ+=x 是非齐次线性方程组b AX = 的通解.注：设有非齐次线性方程组b AX =，而n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，则下列四个命题等价：(1) 非齐次线性方程组b AX =有解；(2) 向量b 能由向量组n ααα,,,21 线性表示；(3) 向量组n ααα,,,21 与向量组n ααα,,,21 ，b 等价； (4) )()(b A r A r =.例题选讲：例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+.0,0223,0322432143214321x x x x x x x x x x x x例2 (讲义例1) 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377,02352,0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.注：在第一节中，线性方程组的解法是从例1中的)(*式直接写出方程组的全部解（通解）. 实际上可从例1中的)(*式先取基础解系,再写出通解, 两种解法其实没有多少区别.例3 (讲义例2) 用基础解系表示如下线性方程组的通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=--+-=-+++076530553202303454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 例4 求解下列齐次线性方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-+.022,03,0234334334321x x x x x x x x x x x 例5 求解齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++--=++++=-++.0263,0832,052242,022542154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x 例6(讲义例3) 证明).()(A r A A r T =例7 (讲义例4) 求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成:.1234,432121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ 例8 (讲义例5) 求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++-=-+++=++++.123438,23622,2323.735432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例9 求解下列非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--+=---=--+.0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x例10 求解下列线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+.432,636242,232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 例11 (讲义例6) 设四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩为3, 已经它的三个解向量为,,,321ηηη 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0864,2143321ηηη,求该方程组的通解.课堂练习1. 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2/132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.2. 设矩阵n m ij a A ⨯=)(,s n ij b B ⨯=)(满足O AB =并且.)(r A r = 试证: .)(r n B r -≤。

如果为齐次线性方程组=若，为（）的解，则也是（只要验证满足方程（.即也是方程组若为（）的解，为实数，则也是（.即若为（对于的任意一组常数组合也是（证 ==即线性组合也是方程组对于元齐次线性方程组,若,有个自由未知量这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方对于,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组系数矩阵的秩,而未知量的个数,个数为,个任意常数,=, ,,如果在解向量的一般表达式中令和可得解向量,则是线性无关的解向量组已知齐次线性方程组有无穷多解并且含有个自由未知量(为任意常数则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,全部解可以表示为个基础解系和个任意常数的线性组合那么齐次线性方程组的求解问题转化为求方程组的基础解系问题解向量为所给方程组的一个基础解系解向量与为所给方程组的一个基础解系对增广矩阵作初等行变换(为自由未知量则上式可表示为(其中为任意常数若令,则为原方程组的一个基础解系原方程组的通解可表示为.通常把上式右端换成零向量所得到的齐次线性方程组设及都是方程组（）的解，则为对应齐次方程即是方程组（设是方程组（）的解，是方程组（则仍是方程组（是方程组（设是非齐次线性方程组的一个解, 是相应齐次线性方程组的基础解系则方程组一般解为其中为任意常数易知，是方程组为证它是的一般解只要证方程的任意一解都可以表示成的形式即可设是的任意一解已知也是的一个解4, 是的又是齐次线性方程组的基础解系故存在一组常数, =对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为(为自由未知量令则方程组的解表示为向量形式(其中为任意常数令,则为与原方程组相应的齐次线性方程组的一个基础解系,则为原方程组的一个特解为把解表示得更清楚些，可把它写成.对增广矩阵作初等行变换可见，故方程组无解对增广矩阵作初等行变换由于,亦即（为任意实数）或令，上式简化为，（）令则为对应的齐次方程组的一个基础解系为非齐次方程组的一个特解。