当前位置：文档之家 › 1.1 集合、区间、邻域

1.1 集合、区间、邻域

  • 格式：ppt
  • 大小：620.50 KB
  • 文档页数：15

下载文档原格式

  / 15

合集下载

【VIP专享】1-02-数集与确界原理

【VIP专享】1-02-数集与确界原理

M2
同样，有下界数集S最大的一个下界称为数
集S的下确界(infimum)，记作 infS .
下界
m2 m1 m
下确界
确界的精确定义
定义 1 设 S 为 R 中的一个数集.若数 满足： (1)对一切 x S ,有 x ,即 是 S 的上界； (2)对任何 ，存在 x0 S ，使得x0 ，
命题 2 =infS 的充要条件为 1） 是 S 的下界， 2）＞0, yS,使得 y< .
例2
1
S1
1
(1 n
)n
,
2 S2 y : y sin x, x (0, ) ,
3 S3 x : x (0,1) I Q .
问：sup S ?, inf S ?
max S ?,min S ?
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
5. 确界原理 定理1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S 有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S 必有下确界。
定理1刻划了实数集是完备的。
例3 证明实数具有阿基米德性: ba0,要证存在自然数n,使na>b.
证明 假设结论不成立,即nZ+, 总有na≤b, 那么nZ+, 就有n≤b/a ,而b/a是一个有限的 定值,但nZ+, n的取值可以永无止境,所以 假设不成立. ba0,所以总存在自然数n,使na>b.

考研数学一全部知识点总结(8K打印)

考研数学一全部知识点总结(8K打印)

U ( x0 , )
o
,
4. 海 涅 (Heine) 归 结 原 则 ： lim f ( x ) A 的 充 要 条 件 是 ： 对 于 任 何 满 足
x x0
2 tan 1 tan 2 1 2 2 sin cos [sin( ) sin( )] cos 2 2cos 1 1 2sin 2 2 1 tan 1 cos 2 sin 2 cos sin [sin( ) sin( )] 1 tan 2 2 2tg ctg 2 1 1 ctg 2 cos cos [cos( ) cos( )] tg 2 2 1 tg 2ctg 2 sin 2 2sin cos
1 sin 3 3sin 4sin sin sin [cos( ) cos( )] 2 cos 3 4cos3 3cos
3
limxn x0 的数列{xn}，都有 lim f ( xn ) A 。
n n
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的， 例如可以挑选一个 收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或 者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大 若 lim ( x) l ， 当 时 ， 则 称 x→x0 时 称 α(x) 是 β(x) 的 l 0 x x0 ( x )
(3)对于
f ( x) f ( x0 ) lim g ( x), x x0 (1) f ( x)很复杂，按定义求,f ( x0 ) x x0 x x0 f ( x) , A,x x0 (2)否则，先求出f ( x)，再求 lim f ( x)

高等数学 第一章

高等数学 第一章
y
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
三、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义 设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
一、 函数的有界性
f ( x) 2 x 1,
三、 函数的周期性 四、 函数凹凸性
x0
.
1．函数的有界性 y
M y=f(x)
y
M
o
有界 -M
x X
o
-M
x0
X
无界
x
设函数 f ( x ) 在区域 有界: X D, M 0, 则称
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;
第一章
函数
第一节 函数的定义
一、 基本概念 二、 函数概念
一、函数概念
1 函数定义 定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定 的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按 照一定法则,总有确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 数集D叫 做这个函数的定义域. x叫做自变量, y 叫做因变量. f 叫做函数关系. 单值函数: 自变量在定义域内任取一个 数值时, 对应的函数值总是只有一个的 函数. 否则叫多值函数．
中心
a 的 去心邻域:
a
a
a
半径
x
o
0 U (a ) { x 0 x a },

微积分复习

微积分复习

第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。

全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。

1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。

1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。

1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。

如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。

如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。

1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。

如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。

高等数学函数的概念及性质

高等数学函数的概念及性质

注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex

ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.1.5. 初等函数

海南大学高等数学 第一章

海南大学高等数学 第一章
（二）、两个重要极限
1、（主要用于求含有三角函数或反三角函数的型极限）
（两边夹Th.证明） 一般形式
例子：1） 2） 3） 4） 5） （注意理解：等）
2、（主要用于求幂指函数的型极限），（举例子） （或）（单调有界Th。证略） 一般形式： （讲述：利用公式的要领）
例子： 6） 7） 8） 9） 10） 例子11）
xn+1 xn-1 A- A A+ 对给出的允许误差>0，总可以找出一项xN，使得从xN项后所有项与A的误差小于，即：|xn+1-A| <,|xn+2-A|< 使得当n>N时，
恒成立 则称A为时的极限，也称收敛于A，
记为 否则，称的极限不存在或发散。
注意理解几点： 1) （任意性）是任意给定的正数，只有这样才能刻画的 极限本质。 2) （不唯一性）只要对于给定的，能找到一个N便可。 3) （相关性）N与有关，不同的有不同的N，但不存在 函数关系。一般地，若减少，则N增大。 4) 求N的方法与原则： 直接法——出发。解一个关于n的不等式。一般 可以得出的形式。则为所求。 放大法——把放大后变为
（四）、等阶无穷小量的几个重要性质：
若，且存在，则 常见的等阶无穷小：时，sinx~x, ln(1+x)~x, tgx~x 例子：
§1-5 极 限 运 算 法 则
（The open rule of limit）
（1） 、极限的四则运算法则：
若limf(x)=A,limg(x)=B（存在），则 1、
2、 3、 4、 5、（k为常数） 例子：1） 2） 3） 4） 5）几个的例子
例子：① ② ③，则， 3 ④，则 -1
2．函数的表示法 ① 公式法（显函数：，隐函数：，参数函数）

邻域概念


o
o
x0 x0 x0
例1 点1的2邻域 { x | | x - 1| < 2} = (-1, 3). 点−( ½ )的 ½ 邻域记为 { x | | x + ½ | < ½ } = (-1, 0).
点 x0 的去心邻域. 即
0
U( x0 , δ) {x 0 x x0 δ} ( x0 δ, x0 ) U ( x0 , x0 δ)
§1.1 集合
一. 集合的概念 二. 集合的运算 三. 区间与邻域
一.集合的概念
所谓集合是指具有某种确定性质的对象的全体. 组成集合
的每一个对象称为该集合的元素.
设M是具有某种确定性质的元素 x 的全体所组成的集合,
记作
M={ x | x具有的某种性质}
集合分有限集和无限集. 如方程x2 - 1=0的解集就是有限集. 如全体自然数的集合为无限集.
a°
(, ) {x x }.
在微积分中常用到特殊的开区间——邻域.
设 x0, δ R, 其中δ > 0, 以 x0为中心, 以δ 为半径, 长为 2δ的 开区间. 即
( x0 , x0 ) {x x x0 , 0}
称为点 x0 的δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
6 4 72 4 8
6 4 72 4 8
o
x0
°o
x0
x0
点 x0 的左邻域, 即 {x 0 x0 x } (x0 , x0 ) 点 x0 的右邻域, 即 {x 0 x x0 } (x0 , x0 )
可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域.
平面上以点M0( x0, y0)为心, 以δ > 0 为半径的圆内的点 的全体. 即集合

大学微积分1.1 区间与邻域

点 a 称为这邻域的中心， 称为这邻域的半径，如下图
2
a
a
a
例1
点5的3邻域 { x | | x -5 | < 3} = (2, 8).
7
点 a 的去心邻域. 即
U (a， ) { x 0 x a } (a , a) (a, a )
5abxaxb???abxaxb????ab?baxxa???????aaxxa????????aabxaxb???ab??6axax????????aaxax???????a
第一章
函数
§1.1 区间与领域
§1.2 函数
§1.3 反函数与复合函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的函数
2 ° a a
点 a的左邻域, 即

a
{ x 0 a x } (a , a )
{ x 0 x a } (a , a )
点 a 的右邻域, 即
8
1
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个
基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了
解, 在这一章中, 将介绍函数、函数特性、基本初等函数、初
等函数等概念.
2
§1.1 区间与邻域
一. 区间
二. 邻域
3
一. 区间
设a, b都是实数, 且a < b, 数集{ x | a < x < b }称为开区间. 记作(a, b), 即
( a , b ) { x a x b}
其中 a 和 b 称为开区间的端点, 如下图
° a
° b
类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数b−a 称为有限区间的长度.

高等数学11集合常量与变量


(x1, y0)
y=f(x)
y=y0 (x2, y)
作 x=j(y)。
O
x1
x2
x
D
什么样的函数存在单值的反函数？
y
y=f(x) y
y y=f(x)
y
-x
O
x
x
O
单调函数的反函数是单值函数
xx
反函数的单值分支： y=x2 的反函数是多值函数： x= y 。
把 x限制在区间 [0,)， 则y=x2 的反函数是单值的， 即x= y 。它称为函数 y=x2 的反函数的一个单值 分支。
1 y=2 x
O1 2 3 x
三、函数的几种特性
1. 函数的有界性
设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使 对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界， 而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。
图形特点：y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。
y y=K1
y=f(x)
O
x
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不 同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u， v，w，s，t 等。
常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学 的习惯。
变量 x 所取数值的全体组成的数集 M称为变量 x 的 变域，此时 x 表示数集M中任何一个元素。
二、函数概念
1. 举例
圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)
Q(b,a)
y=f(x)
O
P(a,b)
x
任意两点x1及x2，当x1 < x2时，恒有 f(x1) < f(x2)，
则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。

1.1函数概念 函数的几种特性

函数概念 函数的几种特性
1.1 函数 一、集合
1、集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集 合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c， d表示集合中的元素 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限 集；不是有限集的集合称为无限集。
返回
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x 偶函数
f ( x)
-x x f ( x )
o 奇函数
x
x
f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为奇函数 ;
返回
（4）函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的
（1）在分式中，分母不能为0。 （2）在实数范围内，负数不能开偶次方。 （3）在对数式中，真数要大于0。 （4）在反三角函数中，要使反三角函数有意义，即存在。 （5）如果函数表达式中同时含有分式、根式、对数式或反三 角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
返回
例1 求下列函数的定义域：
1 (1) y ＋ x＋2 2 4－x x (2) y lg x－1 x 1 (3) y arcsin 3
返回
f : X Y
其中 y称为元素x的像，并记作:f(x)，即 y=f(x)
3、 区间和邻域 （1）有限区间 开区间 (a,b)=｛x|a<x<b｝ 闭区间 [a,b]=｛x| 半开半闭区间 [a,b）=｛x|
a x b｝
a x b｝ （a,b］=｛x| a x b｝
返回
x
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
δ
a −δ
o
δ
a
o
a +δ
o
x
（a,b） ）
o a
b
x
数集 {x | a≤x≤b}
称为闭区间， 称为闭区间，记[a，b]，即 闭区间 ， ，
[a,b]
[a，b]={x | a≤x≤b}.
o a
b
x
类似地 [a，b)={x | a≤x＜b}， (a，b]={x | a＜x≤b}， ， ＜ ， ， ＜ ， 半开半闭区间. 称为半开半闭区间 称为半开半闭区间 以上区间都称为有限区间，区间长度为 以上区间都称为有限区间，区间长度为b – a. 有限区间 从数轴上看 这些有限区间是长度为有限的线段. 上看， 从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段. 此外还有无限区间, 引进记号+∞ (读作正无穷大) 此外还有无限区间 引进记号+ 读作正无穷大 读作正无穷大 读作负无穷大 和-∞(读作负无穷大 例如 读作负无穷大), [a，+∞) = {x | a≤x},(-∞，b) = {x | x＜b}. ， ∞ ＜ 全体实数的集合R也可记作 −∞ ∞ 它也是无穷区间. 全体实数的集合 也可记作(−∞ +∞), 它也是无穷区间. 也可记作 −∞,
集合表示法： 集合表示法： (1) 列举法：就是在花括号内把集合中所有元素一一列 列举法： 举出来，元素之间用逗号隔开 举出来，元素之间用逗号隔开. 例: 自然数集 (2) 描述法： 描述法： 例: 整数集合 实数集合 x 所具有的特征 或 x 为有理数或无理数
集合之间的关系及运算 设有集合 A, B , 若 x ∈ A 必有 x ∈ B , 则称 A是 B 的子集 , 是 或称 B 包含 A , 记作 A ⊂ B . 例如 , 若 且 , , 则称 A 与 B 相等 记作 A = B . 相等,
显然有下列关系 : ∅
给定两个集合 A, B, 定义下列运算 定义下列运算: 并集 A U B = { x 交集 A I B = { x 或 且
AU B
}
}
B A
AI B
例1 设 A = {x − 1 < x ≤ 3}, B = {x 2 < x ≤ 6}, 则
A U B = {x − 1 < x ≤ 6},
学习内容
• 第1章 函数 章 • 第2章 极限与连续 章 • 第3章 导数与微分 章
（上学期） 上学期）
• 第4章 导数的应用 章 • 第5章 不定积分 章 • 第6章 定积分 章
学习内容
• 第7章 向量与空间解析几何 章 • 第8章 多元函数微分学 章 下 • 第9章 二重积分 章 学 • 第10章 微分方程与差分方程 章 期 • 第11章 无穷级数 章 • 第12章 经济管理中常用数学模型及软件 章
高
等
数
学
微积分是高等数学的基本内容， 微积分是高等数学的基本内容，是研究自然和社 会规律的重要工具， 会规律的重要工具，它不仅在经济领域中有着直接的 应用，而且也是学习其他经济数学知识的基础. 应用，而且也是学习其他经济数学知识的基础. 微积分的主要研究对象是函数， 微积分的主要研究对象是函数，第一章我们将在中 学已有知识的基础上，复习和介绍函数及其相关知识， 学已有知识的基础上，复习和介绍函数及其相关知识， 并做适当延伸. 并做适当延伸
第一章
函 数
一、集合、区间、邻域 集合、区间、 二、函数 三、基本初等函数与初等函数 四、参数方程与极坐标 五、函数关系的建立
第一节 集合、区间、邻域 集合、区间、
一、常量与变量 二、集合 三、绝对值 四、区间与邻域
一、常量与变量 在观察自然现象或研究科技问题的过程中， 在观察自然现象或研究科技问题的过程中，始终 保持一定数值的量称为常量； 保持一定数值的量称为常量； 常量 可以取不同数值的量称 变量。 为变量。 常量可以作为变量的特例． 常量可以作为变量的特例． 等表示变量； 通常用字母 x, y, t 等表示变量； 用字母 a, b, c 或
x0 , y0 , z0等表示常量． 等表示常量．
二、 集合 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 集合 通常用大写的拉丁字母A 表示； 通常用大写的拉丁字母 , B , C , …表示；组成集合的事 表示 物称为元素，通常用小写拉丁字母 表示。 物称为元素，通常用小写拉丁字母a ,b ,c ,…表示。 表示 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈ M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a ∈ M ( 或 a∉ M ) . 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ∅ .
是任一正数, 则开区间(a 称为点 设δ是任一正数 则开区间 – δ, a – δ)称为点a 的δ 称为 邻域， 邻域，记为 U(a, δ) ={x | |x–a|＜δ }. 点集 {x | 0＜|x–a|＜δ } ＜ ＜
称为点a 的去心 邻域 如图 , 记作 邻域, 称为点 的去心δ邻域 {x | 0＜|x–a|＜δ } ＜ ＜
A I B = {x 2 < x ≤ 3},
三、绝对值 符号 表示a 绝对值， 表示 的绝对值，定义
•注： 注
例1：解下列不等式 ：
1.
x −3 < 4
解：Q − 4 < x − 3 < 4
3− 4 < x < 3+ 4
即
∴ −1 < x < 7
2. x −3 ≥ 4
x ∈ ( −1, 7 )
Hale Waihona Puke 解：x − 3 ≥ 4 或 x－ ≤ −4 3
∴ x ≥ 7 或 x ≤ −1
即
x ∈ (−∞,−1] 或 x ∈[7,+∞)
12
四、区间与邻域 ＜ ＜ 设有实数a 设有实数 和 b，取a＜b, 数集 {x | a＜x＜b}, ， ＜ 称为开区间，记作（ ， ）， ），即 称为开区间，记作（a，b），即 开区间 （a，b）= {x | a＜x＜b}. ， ） ＜ ＜