微积分 上海电机学院1-1 集合

导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。

二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。

a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。

2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。

A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。

A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。

记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。

例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。

上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和计算与数学模型相关的问题。

在上海市考研数学复习中，微积分占据了重要的位置。

本文将介绍微积分中的一些重要定理的证明。

一、极限定理1.1 极限的定义对于一个函数f(x)，当x无限接近于某个实数a时，如果f(x)的值无限接近于L，那么我们称L为函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x->a)f(x)=L。

1.2 极限的唯一性定理假设函数f(x)在x=a处的极限存在且为L，如果还有另一个数M也是函数f(x)在x=a处的极限，那么L=M。

证明：假设lim(x->a)f(x)=L，同时lim(x->a)f(x)=M。

根据极限的定义，我们可以得出以下结论：对于任意给定的正数ε1，存在对应的正数δ1，使得当0＜|x-a|＜δ1时，有|f(x)-L|＜ε1。

对于任意给定的正数ε2，存在对应的正数δ2，使得当0＜|x-a|＜δ2时，有|f(x)-M|＜ε2。

选择ε=min(ε1,ε2)，对于这个选定的ε，存在对应的正数δ=min(δ1,δ2)，使得当0＜|x-a|＜δ时，有同时满足|f(x)-L|＜ε和|f(x)-M|＜ε。

根据三角不等式，我们可以得出：|L-M|≤|f(x)-L|+|f(x)-M|＜2ε。

由于2ε>0，而L和M的差是一个常数，根据数学的基本性质，我们可以确定L和M是相等的，即L=M。

二、导数定理2.1 导数的定义对于一个函数f(x)，如果它在某个点a的邻域内有定义，并且当x 无限接近于a时，函数的增量f(x)-f(a)与x-a之比的极限存在，那么这个极限称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或df(x)/dx(a)。

2.2 导数的和差积规则假设函数u(x)和v(x)在点x处都可导，那么(u(x)+v(x))' = u'(x) +v'(x)。

证明：根据导数的定义，可以得到下面的等式：(u(x)+v(x))' = lim(Δx->0)[(u(x+Δx)+v(x+Δx)) - (u(x)+v(x))]/Δx。

微积分大一上学期知识点微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、连续性、可导性以及积分等概念和性质。

在大一上学期的微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点。

本文将对这些知识点进行简要介绍，以帮助回顾和巩固我们所学的内容。

1. 极限与连续在微积分中，极限是一个基础且重要的概念。

我们研究函数在某一点上的极限，可以帮助我们理解函数在该点的趋势和性质。

极限的定义通常用到ε-δ语言，即对于任意给定的ε（大于0），存在与之对应的δ（大于0），使得当自变量x与该点的距离小于δ时，函数值f(x)与极限L的差的绝对值小于ε。

另外，我们还学习了一些常用的极限公式和性质，如极限的四则运算法则、一些基本函数的极限等。

连续性是函数的一个重要特性，它描述了函数在某一点上的无间断性。

我们学习了连续函数的定义与性质，以及常见的连续函数的例子。

如果一个函数在某一点上连续，并且在该点的左右两侧的极限存在且相等，那么该函数在该点处可导。

2. 导数与微分导数是微积分中的另一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

我们学习了导数的定义和计算方法，包括导数的极限定义、基本导数公式以及求导法则（如常数因子法则、和差法则、链式法则等）。

通过导数，我们可以求解函数的极值、最优化问题等。

微分是导数的另一种表达方式，它是函数在某一点处的线性近似。

微分的计算方法包括利用导数公式、微分中值定理等。

微分在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，如速度、加速度的计算等。

3. 积分与定积分积分是微积分的核心内容之一，它是函数的反过程。

我们学习了不定积分和定积分两种积分的概念和计算方法。

不定积分是积分的基本形式，它是一个函数族。

我们了解了如何计算一些基本函数的不定积分，并学习了一些基本的积分表达式和求积分的方法，如换元积分法、分部积分法等。

定积分是对函数在一个区间上的积分运算，它代表了函数在该区间上的累积效应。

我们学习了定积分的定义和性质，掌握了定积分的计算方法，如定积分的几何意义与计算、定积分的线性性质、定积分的基本公式等。

大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。

在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。

本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。

第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。

函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。

极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。

第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。

我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。

微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。

第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。

微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。

第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。

我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。

通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。

第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。

我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。

定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。

第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。

我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。

微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。

通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。

上海市考研数学复习微积分基础知识点总结微积分是数学的一个重要分支，也是高等数学的基础内容之一。

作为考研数学的一部分，微积分的基础知识点在考试中占据了很大的比重。

为了帮助考生更好地复习微积分，下面将对上海市考研数学复习微积分的基础知识点进行总结。

一、极限与连续1. 极限的基本概念和性质- 数列的极限：数列的极限定义、极限定理、夹逼定理等- 函数的极限：函数极限的定义、性质、无穷大与无穷小等2. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定方法二、导数与微分1. 导数的概念和求导法则- 导数的定义、求导法则、高阶导数等- 高阶导数的应用：泰勒展开式、极值与拐点判断等2. 微分的概念及其应用- 微分的定义、微分近似、微分中值定理等- 最值问题的应用：最大值、最小值的判定与求解等三、积分与定积分1. 不定积分与定积分的定义- 不定积分的定义、基本积分表、换元法等- 定积分的定义、性质、积分中值定理等2. 积分的应用- 曲线长度与曲线面积的计算- 牛顿-莱布尼兹公式的应用四、微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次与一阶线性微分方程- 变量可分离的 Bernoulli 微分方程2. 二阶线性微分方程- 齐次和非齐次线性微分方程- 常系数线性微分方程的求解方法五、多元函数微积分1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限定义、连续性判定等2. 偏导数及其应用- 偏导数的定义、求导法则、高阶偏导数等- 隐函数与参数方程的偏导数求导3. 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断与求解- 多元函数的条件极值的求解方法以上是上海市考研数学复习微积分基础知识点的总结。

希望考生们能够认真复习，掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题中。

祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。

大一微积分的知识点微积分是数学的一门基础学科，主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

在大一的学习阶段，微积分作为数学的重要组成部分之一，是理科类专业学生必修的一门课程。

本文将为大一学生介绍微积分的一些基本知识点，包括极限、导数、积分和微分方程等。

一、极限在微积分中，极限是最基本的概念之一。

它用于描述一个变量逐渐接近某个特定值的趋势。

通常用符号“lim”表示极限。

极限主要分为左极限和右极限两种情况。

左极限是指当自变量趋近于某个特定点时，函数的取值逐渐接近该点的情况，用符号“lim(x→a-)”表示；右极限则相反，用符号“lim(x→a+)”表示。

当左极限和右极限相等时，称为函数在该点处有极限，用符号“lim(x→a)”表示。

二、导数导数是描述函数变化率的概念，用于计算函数在某一点的切线斜率。

设函数y=f(x)，x的变化量为Δx，对应的y的变化量为Δy。

当Δx趋近于0时，Δy与Δx之比趋近于一个确定的常数k，即Δy/Δx=k。

而导数就是该极限值，用符号“dy/dx”表示。

导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率随着自变量变化的速度。

三、积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线下的面积和函数的累积量。

通过积分可以得到曲线下的面积、弧长、体积等物理意义上的量。

积分的符号表示为∫(f(x)dx)，表示对函数f(x)关于自变量x进行积分。

定积分是积分的一种特殊形式，表示在一定区间上的积分运算。

四、微分方程微分方程是包含导数的方程，研究函数与其导数之间的关系。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。

常微分方程是只包含自变量的一阶或高阶导数的方程，而偏微分方程则包含多个自变量的偏导数。

微分方程在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用，特别是在物理学、生物学、经济学等领域中起着重要的作用。

总结：微积分作为数学的重要分支，为我们研究和描述自然界的变化提供了强大的工具。

通过学习微积分的基本知识点，我们可以更好地理解函数的性质以及其在实际问题中的应用。

微积分大一下知识点微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

在大一下学期，微积分的内容进一步扩展，学生将深入学习函数的导数和积分的计算方法和应用。

本文将围绕大一下学期的微积分知识点展开论述。

1. 极限在大一上学期已经学习了极限的概念及其性质，大一下学期将进一步学习一些特殊函数的极限计算方法。

比如，可以学习到如何计算幂函数、指数函数和对数函数的极限。

此外，还可以学习到极限的运算法则，如极限的四则运算法则、极限的复合函数法则等。

2. 导数导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。

大一下学期的内容将进一步深入导数的计算和应用。

例如，可以学习到求多项式函数、三角函数和指数函数的导数公式。

同时，还可以学习到求导法则，如加法法则、乘法法则、链式法则等。

3. 高阶导数高阶导数是指一个函数的导数的导数。

在大一下学期，学生将开始学习高阶导数的计算。

通过多次求导可以得到函数的二阶导数、三阶导数，甚至更高阶的导数。

高阶导数在函数的曲线研究和极值点的判断等方面有着重要应用。

4. 积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数区间上的累积效应。

大一下学期的内容将进一步学习积分的计算方法和应用。

例如，可以学习到定积分和不定积分的概念，并学习到一些基本的积分公式和运算法则，如换元积分法、分部积分法等。

5. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，研究函数与其导数之间的关系。

在大一下学期，学生将初步接触到一阶常微分方程的求解方法。

可以学习到可分离变量法、线性微分方程的求解方法等。

微分方程在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。

6. 应用问题微积分是一门应用广泛的学科，大一下学期的微积分课程也将涉及到一些与实际问题相关的应用。

例如，可以学习到函数的最大值和最小值的求解方法，学习到曲线的切线和法线的计算等。

这些知识点对于理解和解决实际问题具有重要意义。

总结：微积分作为数学的重要分支，是大一下学期的重点内容之一。