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1集合、区间、邻域

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考研数学一全部知识点总结(8K打印)

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U ( x0 , )
o
,
4. 海 涅 (Heine) 归 结 原 则 ： lim f ( x ) A 的 充 要 条 件 是 ： 对 于 任 何 满 足
x x0
2 tan 1 tan 2 1 2 2 sin cos [sin( ) sin( )] cos 2 2cos 1 1 2sin 2 2 1 tan 1 cos 2 sin 2 cos sin [sin( ) sin( )] 1 tan 2 2 2tg ctg 2 1 1 ctg 2 cos cos [cos( ) cos( )] tg 2 2 1 tg 2ctg 2 sin 2 2sin cos
1 sin 3 3sin 4sin sin sin [cos( ) cos( )] 2 cos 3 4cos3 3cos
3
limxn x0 的数列{xn}，都有 lim f ( xn ) A 。
n n
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的， 例如可以挑选一个 收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或 者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大 若 lim ( x) l ， 当 时 ， 则 称 x→x0 时 称 α(x) 是 β(x) 的 l 0 x x0 ( x )
(3)对于
f ( x) f ( x0 ) lim g ( x), x x0 (1) f ( x)很复杂，按定义求,f ( x0 ) x x0 x x0 f ( x) , A,x x0 (2)否则，先求出f ( x)，再求 lim f ( x)

1(1)集合与实数集

1(1)集合与实数集

具有性质 M = { x x具有性质P }
花括号中竖线前的x 花括号中竖线前的 是 M 中元素的通用符号 中元素的通用符号, 而竖线后 则是 x 所具有的性质 所具有的性质.
4
集合与实数集
注
对几个常用的数集规定记号如下 对几个常用的数集规定记号如下 常用的数集 数集的字母的 右上角 标上 标上: 数集内排除0的集 数集内排除 的集. 的集 数集内排除0与负数的集 数集内排除 与负数的集. 与负数的集 N = {0, 1, 2,, n,};
13
集合与实数集
5. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
,. Any(每一个 的 All(所有的 的字头 的倒写 每一个)或 所有的)的字头 每一个 字头E的倒写 所有的 的字头A的倒写 Exist(存在 或 字头 的倒写 存在)的 存在
" " 表示 "任取 ", 或"任意给定 " " ". "存在 ","至少存在一个或"能够找到 表示 至少存在一个 ",实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样 ". 如 叙述的: 叙述的 任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个 都存在一个 自然数n, 自然数 使得 na > b. 用逻辑符号 和, 将阿基米德公理改写 阿基米德公理改写 公理改写:
8
规定
集合与实数集
2. 集合 集合(set)的关系及集合的运算 的关系及集合的运算 (2) 集合的运算 集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集. 集合的基本运算有三种 并集 交集 差集 是两个集合, 由所有属于A 设 A, B 是两个集合, 由所有属于A 或者属 元素组成的集合 于B元素组成的集合 称为 与B的 并集 元素组成的集合, 称为A与 的 并集, 记作 A∪B , 即 ∪ A∪B = { x x ∈ A 或 x ∈ B }; ∪

微积分复习

微积分复习

第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。

全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。

1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。

1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。

1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。

如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。

如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。

1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。

如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。

数集,确界原理

数集,确界原理
o
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0

a

a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .

x0

S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S

微积分(第一章)

微积分(第一章)

f ( x) g ( x) h( x)
函数的积 f g ： ( f g )(x) f ( x) g ( x), x D f f f ( x) , x D, g ( x) 0 函数的商 ： ( )(x) g g ( x) g 例 设函数 f ( x) 的定义域为 (l , l )，证明必存在 (l , l ) 上的偶函数 g ( x) 和奇函数 h( x) ，使得
构成了 R f 到 X 上的一个映射，称为 f 的逆映射，记为 f 1 1 其定义域为 D ，值域为 R Rf X 。 f f
1
第一章 函数
§2 映射与函数
设有如下两个映射
g : X U1 , x u g ( x) f : U 2 Y , u y f (u)


g f f g ( ，称 f g )(x) f [ g ( x)] 对复合函数 为中间变量，其中
为自变量。 f g
u g ( x)
x Df g
第一章 函数
§3 复合函数与反函数
初等函数
把函数 F ( x) 3arcsin 分成几个简单函数的复合。 例2
例1
1 x 2
则称 f 为单射 ，如果映射 f 满足 R f Y ，则称 f 为满 射；如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射(又 称一一对应)。
第一章 函数
§2 映射与函数
二 、 逆映射与复合映射
设 f : A B 是单射，对应关系 g : R f X y x( f ( x) y )
和 F ( x) lg sin tan x
设有函数 y f (u) u 和 u ( x) a x ， 考察 a 1 ， a 1 时 y f [ ( x)] 是否为复合函数。

《高等数学(上册)》 第一章

《高等数学(上册)》 第一章
o
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．

高 等 数 学

高 等 数 学个人简介高等数学——研究变量间的关系及其变化趋势的数学学科。

怎样学高等数学1、学习内容——第一章至第七章(具体见书)2、教学安排——每两周12学时(即6次)讲课，2学时(即1次)习题课。

3、学习要求——专心听讲、做好笔记、预习复习、完成作业、遵守纪律。

4、参考资料——大连理工大学.陈小柱《高等数学》习题全解第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合 1、 集合(1)集合——具有某种特定性质的事物组成的集体.用大写字母 C B A ,,表示.例如 ① 自然数集:},4,3,2,1,0{ =N ,而},4,3,2,1{ =+N ；② 整数集},3,2,1,0{ ±±±=Z ；有理数集:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p q p q p,,N Z Q ； ④ 实数集:R , 而},0|{R R ∈>=+x x x .2、元素——组成集合的各个事物, 用小写字母 c b a ,,表示.3、集合与元素的关系(1)a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作A a ∈； (2)a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作A a ∉.4、空集——不含有任何元素的集合. 记作φ.5、全集——所研究的所有事物组成的集合. 记作S .6、集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即}|{所具有的特征a a A =.例如 }1|),{(22=+=y x y x A .7、集合的关系与运算(1)A 是B 的子集——B x A x ∈⇒∈∀. 记作B A ⊂.A 是B 的真子集——B A ⊂,且B A ≠,记作 .例如： , , .规定：空集为任何集合的子集.B A ≠⊂Z Q≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A B(2)A 与B 相等——若B A ⊂且A B ⊂.例如：设},2,1{=A },1,2{=B },023{2=+-=x x x C 则.C B A ==(3)交集——}|{B x A x x B A ∈∈=且 ,简记为AB ；(4)并集——}|{B x A x x B A ∈∈=或 ；(5)差集——}|{B x A x x B A ∉∈=-且,B A -有时写成B A \；(6)余集(补集)——A S A c-=，其中S 为全集。

数集确界原理


x 不是 E
的最大数，所以它不是 E 的上界，即 中任一元素都属于下类
xA 。这说明 E
A
；
2

3 x E ，使得
A、B不漏性由A、B定义即可看出； A、B不乱.设 a A ，b B 因a不是E的上界，
a x b . 4 由 3
a x ，而E内每一元素属于A，所以
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点 a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.
.
( 1 ) n , 例2 ⑴ S 1 n

则
sup S ______,
⑵ 则
E y y sinx,
inf S _______ .
x (0, ).
inf E _________ . 例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则 有 sup S sup A, inf S inf A.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b )
例6 设A,B为非空有限数集, S A B . 证明: 证 由于S A B显然是非空有界数集 因此S的上， 下确界都存在

高数讲义系列之一

高数讲义系列之一第一章函数及其图形1．1预备知识一、集合1、定义：具有某种共同属性的元素的全体构成集合。

通常用大写字母A、B、C。

表示集合，用abc表示集合中的元素，a属于A，表示为a∈A,元素与集合的关系是属于不属于的关系。

2、集合的表示方法：①列举法②描述法③区间法3、集合的类型：①有限集合②无限集合③空集4、集合之间的关系：子集与相等5、集合的运算：①交集②并集③补集二、区间是数集的表示方法，一般用I表示，区间类型：1、开区间：（a,b）=｛x︱a<x<b｝2、闭区间：[a,b]=｛x︱a≤x≤b｝3、半开半闭区间：[a,b)与(a,b]4、无限区间：（-∞，a）、（-∞，a）、（a,+∞）、[a, +∞]、（-∞，+∞）三、邻域是一个很小的区间，邻域指相邻的区域，有数还要有半径（范围）。

a为中心，δ为半径的邻域是指开区间（a-δ, a+δ）,记为N（a,δ）,即N（a,δ）=（a-δ, a+δ）=｛x︱a-δ<x< a+δ｝作业：习题1.1 (P8) ：全做1．2 函数一、一元函数的定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个值，按照某个对应法则，y有唯一确定的值与之对应，则x是自变量，y是x的函数。

记为y=f(x),也可记为y=g(x) y=Ф(x) y=F(x)等。

二、函数的主要表示方法：1、解析法（也叫代数法、公式法）：用x的代数式表示一个函数的方法。

有三种标准式：例如：①y=3x+1 ②f(x)=3x+1 ③3x+1 其中③是函数的简写式，一般在说函数时使用。

分段函数也是用解析法表示的一个函数2、图像法（图形法）：用函数图形表示函数的方法。

画图的方法是找几个点，连起来。

三、求定义域方法：定义域指自变量的取值范围，用D f表示；函数值的取值范围为值域，用R f表示。

求定义域通常考虑以下因素：①分母不能为0；②偶次根式的被开方数≥0；③对数的真数>0；④若函数有几项组成，其定义域是每项定义域交集；⑤分段函数的定义域是每段定义域的并集，每段定义域是该段的分段区间。

§2.数集.确界原理.

例4(P8) 设A, B为非空数集 , 满足 : x A和y B有x y.证明 : 数集 A有上确界 , 数集 B有下确界 , 且 sup A inf B.
例5(P8) 设A, B为非空有界数集 , S A B.证明 : (i) sup S maxsup A, sup B; (ii) inf S mininf A, inf B.


U a; : x R x a a , a ;


(2)a的空心 邻域 : 点a的邻域去掉中心 " a" 后所得到的集合 , 记为 U 0 a; , 即
U 0 a; : x R 0 x a a , a a, a .
[思考题 ](P21/1 )设a, b R.证明 : 1 (1) maxa, b a b a b ; 2 1 (2) mina, b a b a b . 2
17
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
例3(P7) 设数集 S有上确界 .证明 :
14
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义 ( )不是数集 S的上(下)确界 ?
15
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界; (2)(P7)由上(下)确界的定义可知 , 若数集 S存在上 (下)确界, 则必唯一 ; (3)(P7)若数集 S存在上 , 下确界 , 则有 inf S sup S ; (4)(P7)数集S的上(下)确界可能属于 S , 也可能不属于 S;
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高
等
数
学
微积分是高等数学的基本内容，是研究自然和社
会规律的重要工具，它不仅在经济领域中有着直接的
应用，而且也是学习其他经济数学知识的基础. 微积分的主要研究对象是函数，第一章我们将在中 学已有知识的基础上，复习和介绍函数及其相关知识， 并做适当延伸.
学习内容
• 第1章 函数
• 第2章 极限与连续
• 第3章 导数与微分
用字母 a, b, c 或
x0 , y0 , z 0等表示常量．
二、 集合
具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 通常用大写的拉丁字母A , B , C , …表示；组成集合的事 物称为元素，通常用小写拉丁字母a ,b ,c ,…表示。 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
三、基本初等函数与初等函数
四、参数方程与极坐标 五、函数关系的建立
第一节 集合、区间、邻域
一、常量与变量 二、集合 三、绝对值 四、区间与邻域
一、常量与变量 在观察自然现象或研究科技问题的过程中，始终 可以取不同数值的量称 保持一定数值的量称为常量； 为变量。 常量可以作为变量的特例． 通常用字母 x, y, t 等表示变量；
设是任一正数, 则开区间(a – , a – )称为点a 的 邻域，记为
U(a, ) ={x | |x–a|＜ }.
点集 {x | 0＜|x–a|＜ }
称为点a 的去心δ邻域, 如图 , 记作 {x | 0＜|x–a|＜ }

a

a
a
x
集合表示法：
(1) 列举法：就是在花括号内把集合中所有元素一一列 举出来，元素之间用逗号隔开. 例: 自然数集 (2) 描述法： 例: 整数集合 实数集合
x 所具有的特征
或 x 为有理数或无理数
集合之间的关系及运算
设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B . 例如 , 若 , , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
即
x (,1] 或 x [7,)
12
四、区间与邻域 设有实数a 和 b，取a＜b, 数集 {x | a＜x＜b},
称为开区间，记作（a，b），即 （a，b）= {x | a＜x＜b}.
（a,b）
o a
b
x
数集 {x | a≤x≤b}
称为闭区间，记[a，b]，即
[a,b]
[a，b]={x | a≤x≤b}.
且
显然有下列关系 :

给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
A B
并集 A B x
交集 A B x
或

B A
A B
且
例1 设 A {x 1 x 3}, B {x 2 x 6}, 则
A B {x 1 x 6}, A B {x 2 x 3},
（上学期）
• 第4章 导数的应用
• 第5章 不定积分
• 第6章 定积分
学习内容
• 第7章 向量与空间解析几何
• 第8章 多元函数微分学 • 第9章 二重积分 • 第10章 微分方程与差分方程 • 第11章 无穷级数 • 第12章 经济管理中常用数学模型及软件 下 学 期
第一章
二Байду номын сангаас函数
函 数
一、集合、区间、邻域
三、绝对值 符号 表示a 的绝对值，定义
•注：
例1：解下列不等式
1.
x 3 4
解： 4 x 3 4
3 4 x 3 4
即
1 x 7
2. x 3 4
x 1, 7
解：
x 3 4 或 x－ 3 4
x 7 或 x 1
o a
b
x
类似地 [a，b)={x | a≤x＜b}， (a，b]={x | a＜x≤b}， 称为半开半闭区间. 以上区间都称为有限区间，区间长度为b – a. 从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段. 此外还有无限区间, 引进记号+ (读作正无穷大) 和-(读作负无穷大), 例如 [a，+) = {x | a≤x},(-，b) = {x | x＜b}. 全体实数的集合R也可记作(, +), 它也是无穷区间.