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第一章函数一、实数集合关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。
记作U（x0，a）。
称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。
A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）\｛x0｝或U（x0，a）B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0）C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a）二、函数关系A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作fB、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2…..[x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3取整函数的图像E、函数的自然定义域：即定义域一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。
三、函数的基本特性A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关系。
由此函数单调性得证。
B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则则称无界。
（判断函数是否有界一般为求解函数的值域）①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥MC、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x）偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x）非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
区间区间就是一类数集。
分类：设a，b两个实数，且a＜b①数集{x|a＜x＜b}称为开区间，记作（a，b），即（a，b）={x|a＜x＜b}；②数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]，即[a，b]= {x︳a≤x≤b}；③数集{x︳a＜x≤b}或{x︳a≤x＜b｝称为半开半闭区间，分别记作（a，b]，[a，b），即（a，b]= {x︳a＜x≤b｝，[a，b）={x|a≤x＜b｝；这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
以上这些区间称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度此外还有无限区间，引进记号+∞（读作正无穷大）和-∞（读作负无穷大），则可以类似地表示无限区间，例如;(-∞，b],[a，+∞)，（-∞，b），（a，+∞）等。
全体实数集R也可以表示为（-∞，+∞）,它也是无限区间。
两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域，例如：[a，b ]×[c，d ]= {（x，y）|x∈[a，b ]，y∈[c，d ] }，即为xOy平面上的一个矩形区域，这个区域在x轴和y轴上的投影分别为[a，b ]和[c，d ]。
（注：直积：设A,B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意选一个元素y，组成一个有序数对（x，y），把这样的有序数对作为新的元素，他们全体组成的集合称为集合A与B的直积记作A×B）邻域以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）。
设δ是任意一正数，则开区间（a-δ，a+δ）就是点a的一个邻域，称为点a的δ邻域，记作U(a,δ)，即U(a,δ)= {x|a-δ＜x＜a+δ}。
点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。
图1同时，∵a-δ＜x＜a+δ∴|x-a|＜δ又∵|x-a|表示点x与点a的距离∴U(a,δ)也表示：与点a的距离小于δ的一切点x的全体有时用到的邻域需要把邻域的中心去掉，点a的δ邻域去掉中心a后称为点a的去心邻域，记作0U，即={x|0＜|x-a|＜δ}有时也称开区间（a-δ）为点a的左δ邻域，开区间（a+δ）为点a的右δ邻域。
邻域的概念解析
邻域是数学分析中用来描述一个点周围的集合的概念。
在实数集中，邻域是指以某个点为中心的具有一定长度的区间。
具体而言，设x0是实数集中的一个点，那么以x0为中心、半径为r的邻域表示为N(x0,r)，其中r是一个正实数。
常见的邻域符号包括：
- 开区间邻域：N(x0,r) = (x0-r, x0+r)，表示由x0向两边扩展r的距离构成的区间，不包括x0点。
- 闭区间邻域：[x0-r, x0+r]，表示由x0向两边扩展r的距离构成的区间，包括x0点。
- 半开半闭邻域：[x0-r, x0+r)，表示左闭右开的半开半闭区间邻域。
邻域的概念主要用于描述极限、收敛等数学概念，以及相关的数学证明。
通过定义一个点的邻域，可以描述该点周围的点的性质和行为。
邻域还可以用来定义集合的内点、边界点和外点等概念。
