数集和确界原理

数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。

在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。

首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。

对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。

类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。

上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。

数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。

在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。

在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。

除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。

它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。

这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。

总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。

希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。

§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容一 区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间．b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),(有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U)(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与}0|{);(δδ<-<=a x x a Ua此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞连接管口处理高中资料试卷弯扁度固保护进行整核对定值，审核与校对图卷破坏范围，或者对某些异常高中资§1.2 数集.确界定理二 有界集.确界原理定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界．+∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS Ssup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ（i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS（ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S Sinf =ξ上确界与下确界统称为确界．例2设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0(.0inf ,1sup ==S S解 先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证0inf =S注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S例 设数集有上确界．证明:3S SS S max sup =⇔∈=ηη 证 设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，．S max =η，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η（i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS（ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义．ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得对于任何有;)1S x ∈1+<n x存在,使.)2S a ∈0n a ≥0对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理对于任何有)1S x ∈kk n n n n x 101.21+< 存在，使)2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明：（i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k101从而得，kk n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1(现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且BB A inf sup ≤()2 证 由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得．B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备或者对某些异常高中资料试卷工况进行自§1.2 数集.确界定理（ii ）.}inf min{inf,inf B S =证 由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup = (ii)可类似地证明．若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。