快速判断复变函数零点和极点的几种方法

复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。

就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。

arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。

利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。

z=re iθ。

1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=??z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。

（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则∑1= （）(z k-z k-1)有可设?k=z k，则∑2= （）(z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。

所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i+ udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t=′=(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算（）解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)=（）=(1+i)+ 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ（）=例题1：例题2：解：=0 解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

函数零点问题——找点的基本技法与技巧
曾经写过两篇关于函数零点问题的小文章，一篇涉及到初级的找点概念和基本导向，另一篇涉及到一个重要的找点技巧——待定找点。

找点这种事，千万不要去看题目的答案，因为一千个人会找一千个点，松也好紧也好，只要能够通过找到的点说明零点的存在性即可。

但是说句心里话，我极其不喜欢使用max或者min函数（例如2016国I 导数题第一问的标答）来找点，因为在事实上，只要能理顺零点随参数变化的趋向（这应该是基本功！）那么依赖于参数的点就基本能够顺利地找到，用max或者min函数，有些多此一举的感觉。

以下公开这两篇小文章，未经允许谢绝转载。

注意最后一个题目方程左侧的函数，是一个极小值点不可解但是极小值却可求的函数，该函数型可进行推广，生成一簇极小值点不可解但极小值可求的含参函数。

该函数是我在今年4月份发现的。

第二篇文章没有标题，内容涉及上一篇文章的第三个题目。

找点已经可以算是一个研究课题，“根”是阶的估计，只要能够正确的估计阶，加上待定的手段，可以说没有找不到的点。

但是，这类题目，一定要自己动笔做，才会有感悟，自己尝试解一个题目的收获绝对超过看别人解十个题目，而且不要总考虑别人的点是怎么找的，要找出自己的风格和特色。

祝君好运。

极点和零点在信号处理系统中，当输⼊幅度不为零且输⼊频率使系统输出为零时，此输⼊频率值即为零点。

当系统输⼊幅度不为零且输⼊频率使系统输出为⽆穷⼤（系统稳定破坏，发⽣振荡）时，此频率值即为极点。

对于⼀个信号处理系统，其输⼊输出之间存在⼀定的关系，这种关系⽆论在时域还是频域都可以⽤数学表达式来表⽰。

⽽这数学表达式⼜是分⼦分母都是多项式的表达式（称为传递函数），这样满⾜使传递函数的分⼦为零的是零点，满⾜使传递函数分母为零的就是其极点。

（什么是相位裕度？相位裕度就是系统进⼊不稳定状态之前可以增加的相位变化，相位裕度越⼤，系统越稳定，但同时时间响应速度减慢了，因此必须要有⼀个⽐较合适的相位裕度）零点与极点怎么产⽣的：将电阻电容电感器件简单串并联就产⽣了。

其实我很简单的了。

电容接地单极点、电阻接地单零点。

电感电容双极点。

先记住这三⼝诀吧。

然后你再看看低通滤波器，⾼通滤波器吧。

你就了解我了。

在这⾥我先想说⼀下我的另⼀个兄弟转折频率：从转折频率理解零点与极点作⽤吧。

转折频率：例如单极和单零点电路中，此电路都有电容和电阻构成，当输⼊信号频率发⽣变化时，电容阻抗会随着的频率发⽣变化。

当电容阻抗等于电阻阻抗时候。

此是的频率点就是转折频率。

在单极点（低通滤波器中）从0HZ(直流)～转折频率的范围内，增益是⼀条⽔平直，经过转折频率后，增益以-20dB/dec下降。

输出的信号的幅度降为输⼊的⼀半，并输出信号相位相对与输⼊信号是落后了45度，输⼊信号被延迟了。

当电容阻抗远⼤与电阻时，输出信号相位最⼤会被延迟90度，从经验上说这个相位在转折频率正负10倍受到了影响。

在单零点（⾼通滤波器中）它与极点作⽤正好相反，它从0HZ（直流）～转折频率范围内增益响应是⼀条⽔平的直线，过转折频率后+20dB/dec上升，相位在转折频率点超前了45度，当信号频率继续上升⼤于10倍转折频率时候，相位超前了90度。

总结，何为转折，⽆论在单极电，还是单零点，或双极双零点中。

【高中数学】高中数学知识点：函数零点的判定定理函数零点存在性定理：
一般来说，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的像是一条连续曲线，并且有f（a）。

F（b）<o，那么函数y=F（x）在区间（a，b）中有零点，也就是说，有C∈ （a，b），
所以f（c）=O，这是f（x）=0的根。

特别提醒：（1）根据这个定理，可以确定f（x）
在（a，b）中有零点，但零点不一定是唯一的
(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不
能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x)=x
二
-3x+2有f(0)f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
（3）如果[a，b]上的F（x）是连续单调的，则F（a）。

F（b）<0，那么FX）在（a，b）上有唯一的零点
函数零点个数的判断方法:
（1）几何方法：对于不能使用根公式的方程，可以将其与函数y=f（x）的图像连接起来，并利用函数的性质找到零点
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如
方程x
二
-2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x
二
-2x+1在[0，2]上只有一个零点
② 函数的零点是实数，而不是数轴上的点
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．。

探求函数零点取点方法函数的零点，也被称为函数的根，是指函数在横坐标轴上与横坐标轴相交的点。

在数学中，求函数的零点是一项基础而重要的工作，因为它可以帮助我们解方程、优化函数以及研究函数的性质等。

本文将详细介绍几种常见的函数零点取点方法。

1.图像法图像法是一种通过观察函数的图像来确定零点的方法。

对于给定的函数，我们可以通过绘制函数的图像并观察图像与横坐标轴的交点来找到零点。

图像法的优点是直观，容易理解，适用于任何函数。

然而，它存在一定的局限性，特别是当函数图像过于复杂或不光滑时，可能很难准确找到零点。

2.试位法试位法是一种通过尝试不同的函数值来逼近零点的方法。

基本思路是在其中一区间内选择两个函数值，判断这两个函数值的符号，如果它们的符号不同，则零点必然存在于这个区间内，然后将这个区间分为更小的区间，重复以上步骤直至确定零点的位置。

试位法的优点是简单易行，适用于任何函数，特别适用于没有解析式的函数。

然而，它可能会产生一定的误差，特别是当函数在一些区间内变化很快时。

3.等间距法等间距法是一种在给定区间内等间距取点的方法。

基本思路是将给定区间等分为若干小区间，然后在每个小区间内选择一个点进行计算，判断该点的函数值是否接近于零。

如果是，则该点可能是零点附近的近似解。

等间距法的优点是简单易行，适用于任何函数。

然而，它可能会错过一些零点，特别是当函数变化较快或存在多个零点时。

4.牛顿法牛顿法是一种通过迭代逼近零点的方法。

基本思路是选择一个初始点，然后通过计算函数在该点处的斜率来确定下一个点的位置，直到找到函数的零点。

牛顿法的优点是收敛速度快，精度高，特别适用于连续可导的函数。

然而，它需要函数的导数信息，且对初值的选择比较敏感，可能导致收敛到局部极值点而不是全局零点。

5.二分法二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近零点的方法。

基本思路是选择一个初始区间，判断区间的中点与横坐标轴的交点与中点的符号，然后根据符号的不同缩小区间的范围，重复以上步骤直到找到函数的零点。

2。

判断极点
就是看使分母为零的数，
比如sinz/z这道题0就是他的极点
再比如，sinz/z的4次幂0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶，所以0是分式的3阶极点~~~
当0是分母的三级零点，不是分子的零点时，0是函数的三级极点。

这是极点的定义。

当0是分母的三级零点，而且是分子的一级零点，那么0是函数的二级极点。

这是结合极点与可去齐点的定义而得到的。

判断零点
f(z)=（z-zo)^mΦ(z)/[(z-zo)^nψ(z)](条件m，n>=1,Φ(z),ψ(z)在zo处解析，那么：
①m>n，zo是f(z)的m-n阶零点
②m=n，zo是f(z)的可去奇点
③m<n，zo是f(z)的阶极点
至于证明，可用零点和极点的定义。

字比较多，符号也不好打，希望你翻书查，我这里就不列举了啊。

上面是自的符号说明：zo表示z零，^n表示n次方，上面的结论是正确的，你可以通过做题去验证，这也是除了定义法和极限法外判定极点的一种有效的方法。

零点z的阶数就是使得前k-1阶导数为0，k阶导数不为0的那个k 比如f(z)=z^2+1, f(i)=0, f'(i)=2i，所以1阶导数非0，k=1。

通性通法｜函数“零点问题”最常三招要说导数中最常见的题型，当然应该就是零点问题了。

有娃说，极值点也是常考的。

但极值点不就是导函数的零点么！也刻意翻了翻近几年的全国卷考题：年份全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷2020单调性函数不等式单调性函数不等式切线零点范围2019极值点零点个数零点个数切线单调性最值2018单调性极值点对数平均不等式函数不等式零点个数函数不等式极值点2017单调性零点个数极值点函数最值函数最值数列不等式2016零点个数极值点偏移单调性函数最值函数最值函数不等式2015切线零点个数单调性函数最值是不是发现，函数的零点，绝对算是个高频考点了？零点考什么？高考中对于零点的考查，主要还是通过函数零点的这个问题背景，考查考生的逻辑推理和数学运算能力的。

逻辑推理和数学运算，不正是很多同学的弱项的么？所以说，零点问题，对于很多同学来说，还是有一定的难度的。

当然，今天我们主要介绍零点的一般性处理思路，看看能不能达到类似于通性通法的效果。

那么，还是先熟悉一下零点的相关概念吧。

Part 1相关知识点一、函数的零点①函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点。

函数的零点不是坐标，也不是一个具体的点，而是一个数。

②函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。

③零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点。

存在性定理，只能判定函数在某个区间内有没有零点，但不能判定零点个数。

零点个数的确定往往需要结合函数的图像去进行判定。

④二分点估算零点第一步：确定区间[a,b],并验证f(a)·f(b)<0,并给出精度ε；第二步：求区间(a,b)的中点x1；第三步：计算f(x1).①若f(x1)＝0，则x1就是零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1，此时零点x0∈(a,x1);③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1，此时零点x0∈(x1,b);④判断x0是否达到精度ε，即|a-b|<ε，则得到零点a或b;若达不到，则重复第②到④步。

零点和极点详解一、引言零点和极点是复变函数中非常重要的概念，它们在数学中的应用非常广泛，包括电路分析、信号处理、控制系统等领域。

本文将详细介绍零点和极点的定义、性质以及在实际应用中的意义。

二、零点的定义与性质1. 零点的定义设f(z)是一个复变函数，z0是复平面上的一个复数，如果f(z0)=0，则称z0为f(z)的一个零点。

2. 零点的性质（1）零点是函数图像与x轴交点处。

（2）如果f(z)在z0处有一个k阶零点，则f(z)在z0处可以表示为：f(z)=(z-z0)^k g(z)其中g(z)是在z=z0处不为0且解析的函数。

（3）如果f(z)有无穷多个不同的零点，那么f(z)必须恒等于0。

三、极点的定义与性质1. 极点的定义设f(z)是一个复变函数，z0是复平面上的一个复数，如果满足以下条件：（1）存在某个正整数k使得g(z)=(z-z0)^kf(z)在z=z0处解析；（2）当z趋近于z0时，|f(z)|趋近于无穷大；则称z0为f(z)的一个k阶极点。

2. 极点的性质（1）极点是函数图像在z0处的奇异点，也就是说，函数在z0处没有定义。

（2）如果f(z)在z0处有一个k阶极点，则可以表示为：f(z)=h(z)/(z-z0)^k其中h(z)是在z=z0处不为0且解析的函数。

（3）如果f(z)有无穷多个不同的极点，那么f(z)必须恒等于无穷大或者恒等于零。

四、零点与极点之间的关系1. 零点与极点之间的关系如果f(z)在z0处既有零点又有极点，那么它们之间存在以下关系：（1）当k>0时，称z0为可去奇异点。

此时，当我们把这个可去奇异点消去后，就得到了一个新的解析函数g(z)，它在原来的可去奇异点处具有一个正常的值g(z0)=lim_(z→z_0)f(z)，并且g(z)和f(z)在其他地方完全相同。

（2）当k<0时，称z0为本性奇异点。

此时，它是一个真正意义上的奇异点。

如果f(z)在z0的某个邻域内解析，那么称z0为孤立奇异点。

复变函数判定及应用复变函数是指定义在复数域上的函数。

复变函数中存在实变量和虚变量两个部分，即z=x+iy，其中x和y分别代表实变量和虚变量，i为虚数单位。

在复变函数中，存在一系列基本概念和判定方法。

以下将对复变函数的判定及应用进行详细说明。

一、复变函数的判定及性质1. 可微性：若一个函数在给定点处可微分，则该函数在该点处解析。

可微性是复变函数的重要特征之一，若函数可微，则其必须满足柯西-黎曼方程，即实部函数和虚部函数的偏导数必须满足一定的关系。

2. 解析性：一个复变函数在某个区域内处处可微，则该函数在该区域内解析。

解析函数是复变函数中最重要的概念之一，具有许多重要的性质，如解析函数的幂级数展开式在整个收敛域内都成立。

3. 全纯性：一个函数在某个区域内处处可微，并且其导函数也在该区域内解析，则称该函数在该区域内全纯。

4. 各种公式：复变函数具有许多特殊的公式，如欧拉公式、柯西公式、留数定理等，这些公式是复变函数分析的重要工具。

二、复变函数的应用1. 物理学中的应用：复变函数在物理学中有广泛的应用，如电路分析、热传导方程、波动方程等。

复变函数可以用来描述电流、电压和磁场的分布，以及电磁波的传播过程。

2. 工程学中的应用：复变函数在工程学中也有重要的应用，如信号处理、通信系统、控制系统等。

复变函数可以用来分析和设计各种信号的传输和处理方式，以及控制系统的性能。

3. 统计学中的应用：复变函数在统计学中也有应用，如概率分布函数、随机变量的特征函数等。

复变函数可以用来描述随机变量的分布和性质。

4. 经济学中的应用：复变函数在经济学中也有应用，如供求关系、效用函数等。

复变函数可以用来描述经济系统的行为和变化规律。

5. 计算机图形学中的应用：复变函数在计算机图形学中也有应用，如二维图像的变换和处理。

复变函数可以用来描述图像的形状、颜色和纹理等特征。

以上是对复变函数的判定及应用进行的详细说明。

复变函数作为一门重要的数学分支，具有许多特殊的性质和应用。

复变函数极点判定方法
近年来，随着微分微积分理论在各个学科发展中的深入应用，复变函数极点判
定受到越来越多地重视。

它是指利用复变函数在某一点处极值的性质，以及复变函数连续性性质，来确定其存在极点的方法。

针对极点判定问题，一般可以利用复变函数的导数来判断，当函数的一阶导数
为0时，就有可能存在极值点，因此可以利用导数确定复变函数的极值点及其个数。

然后，可以通过计算函数的二阶导数的值和符号，来判断该点为极大值点还是极小值点。

若有极值点，则还需要求出其具体坐标。

另外，可以利用情况判断方法进行极点判定，首先对解析形式已知的复变函数
图象做近似认知，然后运用数值测取法，求出函数的极值点及其坐标；该方法不需要具体求出函数式，而只需要简单的判断和测量，具有使用方便、节省时间的优点。

此外，还有一种洛必达法，即给出复变函数的半径和角，可以用向量的可加性
通过改变参数的多次测量得到该函数的极值点。

从以上可知，极点判定方法涉及到微积分理论中复变函数的性质，使用该方法
可以迅速准确地确定复变函数的极值点，是进行微积分和其他学科问题研究的重要基础。

复变函数极点的判定方法
复变函数极点是数学中一类常见的重要概念，具有重要的参考价值。

根据分析
复变函数极点定义：一个复变函数在极点处，即其切线在该点重合，从下衍钻可得，当且仅当复变函数的一阶偏导数项和二阶偏导数项均为零时，才有可能发生极值，而且只要一阶偏导数为零，在判断是极值点，就需要看二阶偏导数是正还是负。

可以看出，复变函数的极点的判定方法主要是利用偏微分的概念。

首先，应计
算复变函数的一阶二阶偏导数项，只有当一阶偏导数项与二阶偏导数项均为0时，就可能发生极值，此时才需进一步判断：具体判断是极值点需要看二阶偏导数是正还是负。

如果二阶偏导数大于零，则为极小值点，反之则为极大值点；如果二阶偏导数等于零时，则需要计算复变函数的三阶偏微分，如果大于0则为极小值点，小于0则为极大值点。

因此，判定复变函数极点的方法就是运用微分方面的知识，计算复变函数的一
阶二阶偏导数，通过比较其值是否均为0，来检验该点是否可能为极点，如果一阶
偏导数项和二阶偏导数项均为0，再进行相应的判断，来判断其是极值点的极小值
还是极大值，是否是该复变函数的极点。

复变函数极点的定义
复变函数极点是指函数在某点附近的性质，表示函数在该点附近的行为。

极点可以是实数，也可以是复数，这取决于函数的表达式和定义域。

极点通常与函数在其附近的阶数有关，阶数越高，极点的影响越显著。

在复平面上，极点可以是任意的复数，但实数极点通常只有有限个。

极点的阶数是指函数在该点附近的幂级数展开式中各项的指数的最大值。

极点通常与函数在其附近的奇偶性有关。

例如，奇函数在原点有极点，偶函数在原点无极点。

这是因为奇函数在原点的性质与偶函数相反，而原点是函数的奇偶性变化的临界点。

此外，如果函数在某点附近具有周期性变化，则该点通常不是极点。

总之，复变函数极点是函数在某点附近的性质，表示函数在该点附近的行为。

极点可以是实数或复数，通常与函数在其附近的阶数和奇偶性有关。

了解极点的定义和性质对于研究复变函数的性质和行为非常重要。

电路中的零极点如何能直接看出来呢？不知不觉，环路内容已经写了7节了，以理论分析为主，下面来说说兄弟们都很关心的内容——零点和极点。

前面几节内容，我们已经将传递函数的来源，推导过程说明白了。

有了传递函数，我们就能够画出波特图，就能够分析系统到底稳不稳定。

但是问题来了，假如我们得到的波特图表明这个系统是不稳定的，那么该如何调整呢？该修改什么器件呢？或者说一个原本稳定的系统，但是我们想修改其中某个元件，会不会造成系统不稳定？总不至于每次修改一个器件，然后画出传递函数看看长什么样子，不行就接着改？这种鸟枪法总归不好。

鸟枪法不行，自然有更好的法子，那就是找到一些特殊点进行分析。

这些特殊点，就是零点和极点，零点和极点可以帮助我们调整电路。

关于零点和极点，结合我自己的经验，我觉得以下几个问题是值得思考一下的。

1、传递函数中，让分母为0的频率点叫极点，既然分母为0，那算出来的值不是无穷大吗？增益无穷大？这也能出现？2、老是看到说增加一个（电容），就增加了一个极点，增加一个电阻，就增加了一个零点，这到底是怎么回事？其中的道理又是为什么？3、拿到具体的电路，那个零极点如何能直接看出来呢？这一节就来看看上面这几个问题吧。

零点和极点的定义先来复习一下概念，什么是零点和极点，一般教材上面给出的定义大致是这样的：极点上面这个很好理解，清晰明了，但是一个大坑也就随之而来了。

如果从数学公式的角度看，这定义没啥好说的，该咋样咋样。

但是一放到电路里面去，就尴尬了，H(s)的物理意义不是输出除以输入吗？那极点的意思不就是使输出为无穷大的点，既然输出无穷大了，那么系统肯定是不稳定的，那么我们常说的极点又到底是什么？比如下面是从网上找的别人写的零点和极点的物理意义，难道自己写的时候不懵吗？那怎么理解我上面这个问题呢？结合实际的情况，系统的传递函数算出来的根多是负数，而现实世界中是没有负频率的，貌似都是直接把负号去掉之后称为极点。

比如下面的低通（滤波器）的传递函数的极点：假如R=1Khz，C=1uF，那么极点是s=-1000，但是我们通常说极点是1000，理由貌似是自然界中没有负频率，所以对s求了个模，频率w=|s|=1000，我们把这个求模后的值也还是叫极点，并没有重新取名字。

复变函数极点的判断方法
复变函数是一种数学表示法，它由多变量共同构成，可以用来研究更加复杂的
函数。

复变函数极点是一种重要的函数图形，它可以用来描述函数的最大值或最小值，而极点的判断方法是复变函数的重要组成部分。

首先，要确定极点，我们必须理解系数近似理论，也称为李雅普诺夫理论。

该
理论是基于梯度下降法获得结果的，解释了复变函数如何自变量变化时可以最大限度地减少函数值。

根据该理论，可以得出复变函数可能具有极点的条件：极点可以在二阶偏导数都为零的点出现。

通过使用该条件，可以建立导数方程，判断其解即为复变函数极点的位置。

此外，微分比值测试也是判断复变函数极点的有效方法。

它依赖于观察每一表
象分量内的关系，允许明确高阶偏导数以及偏导数之间的关系。

当偏导数之比为常数时，可以利用微分比值测试来求出极点。

此外，还有一个叫做初等上升测试的方法能够有效检测出复变函数极点。

它通
过比较第二阶偏导数与第一阶偏导数的数值大小，从而判断函数在该点的变化趋势。

当第二阶偏导数比第一阶偏导数的绝对值大时，函数在此处就具有极点。

总而言之，判断复变函数极点的方法有多种，其中最常用的有系数近似理论、
微分比值测试和初等上升测试。

通过掌握上述判断技巧，可以更好地理解复变函数，进而协助完成更多有关函数极点判断的学术研究。

极点级数的判定方法马凤丽;杨素娟【摘要】在复变函数中,极点和级数的判断既是重点也是难点,对形如f(z)=(P(z))/(Q(z))的函数,给出了其极点及级数的判定,并加以举例说明.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】3页(P23-25)【关键词】极点;孤立奇点;留数【作者】马凤丽;杨素娟【作者单位】解放军理工大学理学院,江苏南京211101;解放军理工大学理学院,江苏南京211101【正文语种】中文【中图分类】O174.5复变函数中，孤立奇点及其相关性质是非常重要的知识点，特别是在利用留数定理计算复变函数积分时，有赖于如何能有效地求出复变函数f(z)在孤立奇点处的留数.而求孤立奇点留数的前提是找出孤立奇点，并判别出孤立奇点的类型[1]155.在z0是极点的情形下，利用留数的计算规则，需要判定极点的级数[2-5]，这一问题既是重点也是难点，很多学生在判定级数时感到困难.判定极点的级数有3种方法[2]7：方法1 根据极点的定义，把复变函数f(z)在孤立奇点（设为z=z0）的某去心邻域内展开成Laurant级数，然后依据展开式的主要部分判断孤立奇点是否为f(z)的极点,并确定极点的级数.方法2 利用零点与极点的关系，即定理1[1]149 如果z0是f(z)的m级极点，那么z0就是的m级零点，反之也成立. 方法3 求，如果，则z=z0为f(z)的极点.方法3只能确定出z=z0是极点，不能确定出级数.本文重点讨论以第3种方法确定出极点后，如何确定形如的函数的极点级数，并加以举例说明.>2.1 的极点及其级数的判定当，根据方法3可知z=z0是极点，判断级数可根据定理1.例1 求函数奇点，如果是极点，指出它的级数.解函数的奇点显然是使sinz=0的点，这些奇点是z=kπ0, 1(k=±，±2, …).很明显它们是孤立奇点，由于，所以z=kπ都是sinz的一级零点，由定理1可知，z=kπ也就是的1级极点.例2 判断函数的极点的级数.解因为，所以z=0是极点，又因为z=0是z(z-1)2的1级零点，由定理1可知，z=0是f(z)的1级极点.同理，可得z=1是f(z)的2级极点.2.2的极点及其级数的判定当时，如果（c为常数），则z=z0是可去奇点，如果则z=z0是极点.这时判断极点的级数类似于实变函数中的洛必达法则[3]50，即定理2.定理2 如果P(z)和Q(z)是以z0为零点的2个不恒等于零的解析函数，z0是P(z)的n级零点，Q(z)的m级零点，那么（或两端均为∞），且当m＞n时在极点z=z0处有相同的级数.证明因为z=z是P(z)的n级零点，故有P(z)=（z-z）nλ(z )，其中：λ(z)在点z邻域解析，且000 λ(z0)≠0；又因为z=z0是Q(z)的m级零点，则有Q(z)=（z-z0）mφ(z )，其中：φ(z)在点z0邻域解析，且φ(z)≠0，于是P′(z)=（z-z ）n-1[nλ(z)+（z-z）λ′(z )]，Q′(z)=（z-z ）m-1[mφ(z)+（z-z）φ′(z )].0当m=n时此时，的可去奇点.当m＞n时，，所以由此可知，z=z0是的m-n级极点，同时也是的m-n级极点.当m＜n时，，所以.此时，z=z0不是奇点.证毕.利用定理2时，将分子P(z)和分母Q(z)分别求导数，如果还有，则对P′(z)和Q′(z)继续求导，直到（此时z0为可去奇点）或者即，这时的极点和级数就是的极点和级数.例3 判断函数的极点的级数.解因，所以由定理2可知.由定理1可知，z=0是的1级极点，因此z=0是f(z)的1级极点.例4 函数，确定极点z=0的级数.解因为，所以由定理2可知.由定理1可知，z=0是的3级极点，因此z=0是f(z)的3级极点.2.3 f(z)±g(z),f(z)g(z )的极点及其级数的判定对于形如f(z)±g(z),f(z)g(z )的复变函数求孤立奇点，可化成的形式后求解.例5 判断函数的孤立奇点及其类型.解因为，又因为，由定理2可知，z=0为可去奇点.求解ez -1=0得z=2kπi( k=0,±1,±2,…)，由定理1可知，z =2kπi( k=±1,±2, …)是1级极点.【相关文献】[1] 西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2008：149，155[2] 李茂材，李汝烯，拓行.浅析以复变函数零点性质确定极点阶数的方法[J].贵州教育学院学报：自然科学版，2009，20（6）：7-8[3] 夏志.一类复变函数极点阶数的确定[J].渤海大学学报：自然科学版，2005，26（1）：49-51[4] 马立新.《复变函数论》教学的探索与实践[J].职业时空，2008（1）：76-77[5] 林金楠.基于留数定理的一种级数求和方法[J].高等数学研究，2009，12（4）：110-113。

2000年9月 思茅师范高等专科学校学报 Sep .2000　第16卷　第3期 Journal of Simao Teachers 'College Vol .16　No .3 复函数支点的判断方法①陈龙伟(思茅师范高等专科学校　数理系,云南　思茅　665000)摘要:根据支点的定义给出了求复函数支点的简单方法.关键词:复函数;支点;闭曲线 在复变函数中,支点及分支是一重要概念,然而在众多教材中均没有给出判断复平面上一点是否是复函数的支点的具体方法,现归纳如下.定义　Zo 称为复函数w =f (Z )的支点;若变点Z 绕Zo 一周时,f (Z )从一支变到另一支,即当变点回到原来的位置时,函数值与原来的值相异,则称Zo 为f (Z )的支点.[1]命题1　设Zo (≠∞)为w =f (Z )的孤立奇点,C 为包含Zo 的闭曲线,f (Z )在C 所围区域D -{Zo }解析.当Z 从C 上某点开始沿C 转一周时(如图1),则(1)f (Z )的值发生改变时,Zo为f (Z )的支点;(2)f (Z )的值不改变时,Zo 不是f (Z )的支点.命题2　设Z =∞为f (Z )的孤立奇点,Zo ,Z 1,…Z n (有限个)为w =f (Z )的有限支点,C 为包含Z 1,Z 2,…Z n 的闭曲线,(如图2),则当变点Z 绕C 一周时,(1)f (Z )的值改变,Z =∞为f (Z )的支点;(2)f (Z )的值不改变,∞不是f (Z )的支点. 命题1及命题2都可以根据定义证,在此从略.根据命题1及命题2可得如下推论.推论1　设f (Z )=nP (Z ),其中P (Z )为任意N 次多项式P (Z )=A (Z -a 1)α1(Z -a 2)α2…(Z -a m )αm a 1,a 2,…a m 为P (Z )的一切相异零点,α1,α2,…αm 分别为它们的重数,合于α1+α2+…αn =N 则(a )f (Z )=P (Z )可能的支点是a 1,a 2,…,a n ,∞;(b )当且仅当n 不能整除αi 时,a i 为nP (Z )的支点;(c )当且仅当n 不能整除N 时,∞为f (Z )的支点.此结论可以根据f (Z )=nP (Z )的幅角变化情况由命题1,2推出.例　考察函数f (Z )=3z (1-z )的支点.解27①收稿日期:2000-03-03如图3～6.(a )当z 沿包含0点,不包含1的闭曲线C O转一周时(如图3)■C 0arg f (Z )=13[■C 0arg Z +■C 0arg (1-Z )]=13[2π+0]=23π(b )当z 沿包含1但不包含0的闭曲线C O 转一周时(如图4)■C 1arg f (Z )=13[■C 1arg Z +■C 1arg (1-Z )]=13[0+2π]=23π(c )当z 沿着含z O (≠0,1)点,不包含0,1的闭曲线C 2一周时(如图5)■C 2arg f (Z )=13[■C 2argz +■C 2arg (1-z )]=13[0,+0]=0(d )当Z 沿着包含0及1的闭曲线C 一周时(如图6) ■c arg f (Z )=13[■c ar g Z +■c ar g (1-Z )]=13[2π+2π]=43π函数值的改变是■f =ρi ■c arg f (Z ),(f (Z )=f (Z )·■f )(a ),(b ),(d )发生改变,(c )没有改变;故0,1,∞为支点,Z 0不是支点.推论2　设f (Z )=L n P (Z ),其中P (Z )=A (Z -a 1)α1(Z -a 2)α2…(Z -a m )αm a 1,a 2,…,a n 为P (Z )的相异零点,则a 1,a 2,…,a m ,∞均为f (Z )的支点.证明:(a )当Z 沿包含αK 但不包含a j (j ≠k )的闭曲线C 0一周(如图7)■c arg (Z -Z K )=2π■c arg f (Z )=2παk 从而f (Z )的值改变了2παki ,故a k (k =1,2,…,m )均为支点.(b )当Z 沿包含a 1,a 2,…,a m 的闭曲线C 1一周时(如图8)■C 1　arg (Z -a k )=2π(k =1,2,…,m )■C 1　arg =2π∑mk =1αk故∞为f (Z )的支点.[参考文献][1]　钟玉泉.复变函数论.北京:高等教育出版社,1988.5[2]　夏宗伟.应用数学基础,西安:西安交通大学出版社,1989.11The Method of Complex Valued FunctionBranch PointCHE N Long -wei(Department of Mathmatics and Physics ,Simao Teachers 'College ,665000　Simao ,China )A bstract :The method of complex valued function branch point is given according to the definition of branch pointKey words :complex valued function ;branch point ;closed curve 28思茅师范高等专科学校学报。

第五章 留 数一、 基本要求及重点、难点1. 基本要求(1) 理解孤立奇点概念，理解孤立奇点的三种类型——可去奇点、极点、本性奇点概念，理解零点概念及其与极点之间的关系，会计算零点及极点的级数。

(2) 理解留数概念，熟练掌握极点留数的计算方法。

理解留数定理。

(3) 了解无穷远点的留数的概念及计算方法；了解留数在定积分计算上的应用。

2. 重点及难点(1) 重点：极点（包括它的级数）及其留数的计算方法；留数定理。

(2) 难点：零点与极点的关系，极点留数的计算。

二、 内容概述1.孤立奇点及其分类若复函数()f z 在0z 点不解析，但在0z 点的某个去心邻域中解析，则称0z 为复函数()f z 的一个孤立奇点。

根据()f z 在它的孤立奇点0z 的去心邻域中的洛朗展开式()()0nn n f z C z z +∞=-∞=-∑的情形，可把()f z 的孤立奇点分为以下三类：(1) 若在洛朗展开式中负幂项系数全为零，则称0z 为()f z 的可去奇点。

(2) 若在洛朗展开式中只有有限个负幂项，则称0z 为()f z 的极点，并把负幂项的最高次数，称为该极点的级数。

根据极点的概念，不难得知0z 为()f z 的m 级极点的充分必要条件是：有在0z 处解析的函数()1f z ，满足()100f z ≠，使得 ()()()01mf z z z f z -=-。

(3) 若在洛朗展开式中有无限多个负幂项，则称0z 为()f z 的本性奇点。

2. 零点的概念及其与极点的关系：(1) 零点及其级数的概念：若0z 是()f z 的解析点，且是方程()0f z =的m重根，则称0z 为()f z 的m级零点。

零点及其级数的判定方法：1） 若()f z 可分解为()()()0mf z z z z ϕ=-，其中()z ϕ在0z 处解析，且()00z ϕ≠，则0z 为()f z 的m级零点。

2） 若()f z 在0z 解析，且满足：()()()()()100000,0,0,,0,m f z f z f z fz -''==== ，()()00mf z ≠，则0z 为()f z 的m级零点。

解析函数的极点 -回复
在复变函数中，函数在某一点的极点是指该点的函数值无限增加或无限逼近某一常数的情况。

如果在这个点上不能定义函数值，那么这个点也叫极点。

常见的函数极点有三种类型:可移动极点、极点和本质极点。

1.可去极点
如果一个函数在某一点存在极限，但是该点并不是函数的奇点，则该点被称为可去极点。

也就是说，在该点处，函数可以被重定义为一个连续函数，使得该点成为函数的一个普通点。

例如，函数 f(z) = (z-1)/(z-1) 在 z=1 处有一个可去极
点，因为在这个点处分母和分子都等于0，但是通过化简，可
以把函数重定义为 f(z) = 1，使得它在 z=1 处有一个连续值。

2.极点
如果一个函数在某一点处的极限不存在但该点是奇点，则该点称为极点。

在该点附近，函数值会无限地增大或无限地逼近某个常数。

例如，函数 f(z) = 1/z 在 z=0 处有一个极点，因
为当 z 趋近于 0 时，函数值会无限增大或无限接近于无穷大。

3.本性极点
如果一个函数在某一点处的极限不存在且该点不是奇点，则该点称为本性极点。

这意味着在该点附近，函数值会以非常复杂的方式振荡，并且无法被简单地描述或分类。

例如，函数 f(z) = exp(1/z) 在 z=0 处有一个本性极点，因为当 z 趋近于 0 时，函数值会无限振荡。

简而言之，在复变函数中，极点是指函数在某一点的值无限增大或无限逼近某一常数的情况。

在实际计算中，了解和计算函数的极点是非常重要的，因为它们可以帮助我们更好地理解函数的行为，为我们的计算提供有用的信息。