位移法的基本结构及位移法方程

(e)
依题意可知并根据叠加原理上述条件可写为：
R1=R11+R12+R1P=r11 Z1+r12 Z2+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=r21 Z1+r22 Z2+R2P=0
上述方程称为位移法基本方程，也称为位移法的典型方程。
为了求出典型方程的系数和自由项，可借助于表10-1，绘出基本
结构图，如下图10-7a,b, 和c所示。然后求出各系数和自由项。
r11 1 3i 4i
r12 6i1 0
R1P PL1 0
l
8
Z1=1
4i 1
2
6i 1l
2
Z2=1 1
2
3i M
3 2i 4
(a)
6i 3 l
3i 4 l
(b)
p
MP
PL 3
4
8
(C)
T10-7
1
2
r21 1
2
r22 1
6i l
0
12i
L2
3i
P
L2
2
2
R2P
0
系数和自由项可分为两类，分别由力矩平衡方程 M1=O求得为：

0
6 2 6 9 12 2 11 l Z1 l 2 Z2 16 P 0
Z1 0.02218 Pl Z2 0.02859 Pl 2
M M1Z1 M 2Z2 M P
转到下一节
者的原理有所不同。
§10-7 有侧移的斜柱刚架
B
B’
C’ C
C”
C
A
D
O A,D
B 结点位移图
O为极点,各结点位移前的位置

C D F1P C
b) M 1 图
D Z 1=1 k 11
c)
C
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
D
F FQ DB=0
F1P
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体， F 0 如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得 x
Z
三、位移法方程
l/2 A Z1 FP l/2
l/2
FP l/2
C
F1=0
A
Z1 Z 1
C
Z1
EI =常数
l
FP F1=0 FP Z1 Z1 C A A Z 1Z Z1 Z1 1
F1P
P F1P
F
FP
C
C
A
A
C
EI =常数
B
l
B
B
B
B
B
c)
A
基本体系
F11 Z1
d)
F11 Z1 A Z1
C
锁住结点
M图
4i
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A
4i
C C EA =∞ D 例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点 C、D D的水 平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 EI EI （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形 和受力情况与原结构完全相同。 A B A B
k Z F 0 11 1 1P
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。 为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。

r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH

A D
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:

3I0
4m
5m
q=20kN/m
4m Δ2
C 3I0 F 4I0 4m
2m
Δ3
D
A
i AB
4I0 B Δ 5I0 1 3I0 E
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
3 1 , iCF 4 2
8
iBC 1 , iCD 1 , iBE
4m
2019/2/28
5m
4m
2m
3
i=1 3B i=3/4
k22=4+3+2=9
k13=k31=?
2 D
i=1
k23=k32=?
A 4 Δ 2=1
i=1 B i=3/4
A
Δ 1=1
i=1
D
C
i=1/2
4m
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
3
i=1
1
9
4m
2019/2/28
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
F1P=40–41.7= –1.7 F2P=41.7
4m
F3P=0
E
F
4m
2019/2/28
5m
4m
10
2m
（6）建立位移法基本方程：
9 101 2 2 3 1.7 0 8 1 21 9 2 3 41.7 0 2 9 1 35 1 2 3 0 8 2 48
13.62
A
5.69 M(kN· m)

§6.2.1 位移法的基本未知量
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定角位移6个
确定线位移2个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§6.2.1 位移法的基本未知量
1
2
1
1
2

3
§6.2.1 位移法的基本未知量
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
2kN/m 16kN
A
i
6m
B
3m
i
3m 16kN
Z1
C
2kN/m
A
B
C
解 （1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
r11Z1 R1 0
（3）求系数和自由项。
4i
Z1=1
r11
A
2i
B
3i 18 6
M 1图
C
4i
3i
6
R1P
A
B
MP图（kN.m）
C
6
18
r11 4i 3i 7i
典型方程

位移法方程
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
k11 Z 1 F1P 0
A B
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a)
MP图(kN· m)
C D F1P C
b)M1图 (1/m)
D Z 1=1 k 11 C
c)
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
1 F1P FP l 8
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k11 Z 1 F1P 0
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1 F1P FP l k11 64i
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩 可由叠加公式计算，即
M M 1 Z1 M P
8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚 臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综 合体。 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ” 表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移 的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止 其线位移的附加约束。
c) 基本体系 C
A Z1
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三、位移法方程
P l/2 l/2 l/2 FP lF /2
A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1

M AB
2i AB Z1
3 Pl 56
M BA
4i AB Z1
3Pl 28
M BC
3iBC
Z1
3Pl 16
3Pl 28
MCB 0
（五）作M图：
3Pl
28
P
A
C
3Pl
B
56
M 图 (kN m) 11Pl 56
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
位移法通过引入附加约束，把原 超静定结构转化为若干单跨梁的组合 体，从而把复杂结构的计算问题转化 为简单杆件的分析和综合问题。
B
M BC
M BA
为了区别弯矩转向和力的方向， 在Z1方向上带两道竖杠，以表示 它是转角位移。
平衡条件
MB 0
RB 0
即，RB M BC M BA 0
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
一、基本思路
（三）列方程求Z1：
平衡条件
M BA M BC 0
Z1 P
列等截面直杆转角位移方程：
（一）n1：表示刚结点数目：
注意： 1.包含组合结点；
2.不包含与EI=∞杆刚结的结点。
EI
Z1
Z2
EA
n1=2
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
2、位移法基本未知量数目 （二）n2：独立的结点线位移数目：
认为变形前后杆件两端距离保持不变
n2：由不动点原理来确定； 不动点：无线位移的点。
7.3 位移法解题的基本思路及基本概念
二、位移法基本概念： （一）基本结构：
在原结构上增加一些附加约束（刚臂、支座
链杆），以使原结构变成若干单跨超静定梁的组 合体。该组合体称为位移法基本结构。

M CA 4i
i
18.94kN m
i
2
i
3.158
M CD 6i
18.95kN m
i
3 21.05
M BD i
20 35.79kN m
4
i
作M图，如图示
位移法
位移法计算步骤归纳如下
（1）确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到
衡条件求出杆端剪力。
M
B
FQAB
M
A
0
2.5 4 2 20

kN 0
4
0
FQBA
2.5 4 2 20

kN 10kN
4
位移法
同理，取杆件BC，由平衡条件得
FQCB FQBC 10kN
取杆件BD，由平衡条件得
FQDB FQBD 7.5kN
1.5i1 0.9375i 2 15 0
1
3.16
i
2
21.05
i
位移法
（6）作M图
利用叠加公式 M M1Z1 M 2 Z 2 M 计算杆端弯矩
3.158 3 21.05
M AC 2i
i
25.26kN m
i
2
i
3.158 3 21.05

k211 k22 2 F2 0
位移法
（3）求系数和自由项
k11＝4i +6 i＝10 i
k12= -1.5 i ＝k21
k12= -1.5 i
k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i
位移法
F1 0

和受力情况与原结构完全A 相同。B
A
B
Z1
Z1
C
EA=∞ D
EI
EI
C
D
C
D
Z1 F1=0
6m 20kN/m
20kN/m
A
B
位移法方程
All Rights Reserved
20kN/m
A
B
基本结构
A
B
基本体系
C
D
Z1 F1=0
k11 Z1F1P0
9
A
B
a) MP图(kN·m)
C
D
F1P
b)
M
图
1
C
l/2 FP l/2
F1=0
FP
F1P
图a所示刚架的基本Z1A未知Z1 量为结C 点A的转Z1角A ZZ1Z11。在结C 点 A
A加一附加刚臂，就得到位移EI法=常的数 基本结构（图b）。同力
法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为
B
基本体系（图c）。
B
B
l l
l
l/2 FP l/2
A
C
Z1
FP
8
C
FP l 8
k11 Z1=1 A
4i
4i
FP l
FP l
2i
16
16
FP l
C
16 A
C
9FP l 64
B
B 2i
B FPl 32
F1P
A
FP l 8
k11 A 4i
4i
在图 M 1 中取结点A为隔离体，由 MA0 ，得
在MP图中取结点A为隔离体，由 MA0 ，得