结构力学位移法整理.

结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。

它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。

位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。

位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。

位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。

2.应用边界条件。

根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。

支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。

3.构建位移方程组。

将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。

位移方程组是未知反力系数的线性方程组。

4.解位移方程组。

通过解位移方程组，求解未知反力系数。

可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。

5.求解反力和应力分布。

通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。

这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。

位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。

它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。

同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。

然而，位移法也存在一些限制。

首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。

其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。

此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。

综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。

它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。

然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。

第8章 位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。

杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。

结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。

两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。

图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。

由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。

由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。

表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。

2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。

常见荷载作用下的载常数可查表所得。

3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。

三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。

独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。

结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。

铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。

然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。

第十章位移法§10－1 概述位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。

基本概念：以刚架为例（图10-1）基本思路：以角位移Z1为基本未知量平衡条件——结点1的力矩平衡位移法要点：一分一合①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力）③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程§10－2 等截面直杆的转角位移方程单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程矩阵形式一、端（B端）有不同支座时的刚度方程（1）B端固定支座（2）B端饺支座（3）B端滑动支座二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20）（1）两端固定（2）一端固定，一端简支（3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出）三、一般公式叠加原理杆端位移与荷载共同作用杆端弯矩：（10-1）位移法意义（对于静定、超静定解法相同）基本未知量－被动（由荷载等因素引起）→按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力→结点满足平衡正负号规则——结点转角（杆端转角）弦转角——顺时针为正杆端弯矩位移法三要素：1.基本未知量－独立的结点位移2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。

3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致（平衡条件）§10－3基本未知量的确定角位移数＝刚结点数（不计固定端）线位移数＝独立的结点线位移观察几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点铰结体系的自由度数＝线位移数――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。

§10－4典型方程及计算步骤典型方程（10－5、6）无侧移刚架的计算无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0） 有侧移刚架计算有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移求解步骤：（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）作荷载、Z i = 1 —— ()()01i P i i M M ∆∆==、图（3）求结点约束力矩：荷载 —— 自由项R Ip ，及ΔJ = 1 —— 刚度系数 k IJ（4）建立基本方程：[k IJ ]{ Z i } + { R Ip } = {0} —— 附加约束的平衡条件 求解Z i （Δi ）(5) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=§10－5 直接建立位移法方程求解步骤：（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）写杆端弯矩（转角位移方程）（3）建立位移法方程—— 附加约束的平衡，求解Z i(4) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=§10－6 对称性利用对称结构对称荷载作用 —— 变形对称，内力对称（M 、N 图对称，Q 图反对称——Q 对称）反对称荷载作用 —— 变形反对称，内力反对称（M 、N 图反对称，Q 图对称——Q 反对称）—— 取半跨对称结构上的任意荷载 ——对称荷载＋反对称荷载§10－7支座位移和温度改变时的计算一、支座位移的计算超静定结构：支座有已知位移 —— 引起内力位移法计算：基本未知量、（基本体系）、基本方程及解题步骤与荷载作用时一样 区别在于固端力——自由项： R 1P ——荷载引起R 1C —— 支座位移引起二、温度改变时的计算与支座位移相同，超静定结构：温度改变 —— 内力固端力（相当荷载作用）（表11—1，5、11、15）Δt = t 1 — t 2 ——M 图，受拉面在温度铰低一侧。