判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P7

第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。

它是否是完备集? 解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。

又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m和n 。

由完备正交函数定义所以此函数集不完备。

3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。

3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。

如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。

解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。

和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得 2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。

如何分析判断系统是否为稳定系统、因果系统、线性
系统？
如何判断一个系统是否为线性系统，时不变系统以及稳定系统？
先线性运算再经过系统=先经过系统再线性运算是线性系统；
先时移再经过系统=先经过系统再时移为时不变系统；
时间趋于无穷大时系统值有界则为稳定的系统，或者对连续系统S 域变换，离散系统Z域变换，H（s）极点均在左半平面则稳定，H（z）极点均在单位圆内部则稳定；
一般的常微分差分方程都是LTI，输入输出有关于t的尺度变换则时变，微分差分方程的系数为关于时间t的函数也时变。

怎幺判断出系统是因果系统还是非因果系统的？。

信号与线性系统分析知到章节测试答案智慧树2023年最新山东理工大学第一章测试1.信号f(t)的尺度变换以下将信号（）参考答案:f(at)2.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（）。

参考答案:3.试确定信号的周期 ( ).参考答案:164.某连续时间系统的输入f(t)和输出y(t)满足，则该系统为( )参考答案:因果、时不变、非线性5.若f(t)是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是 ( ) 。

参考答案:f(2t)表示原磁带放音速度降低一半播放6.离散时间LTI系统的单位序列响应有界，则该系统是稳定系统。

（）参考答案:错7.信号f (t) = cos(πt)ε(t)为周期信号。

（）参考答案:错8.所有非周期信号都是能量信号。

（）参考答案:错9.一离散时间系统系统的输入、输出关系为，该系统为：因果系统（）参考答案:对10.，该信号周期为12（）。

参考答案:错11.已知f（t）的波形如下图，则的波形为如下A图，是否正确？（）参考答案:对12.已知信号f1(t) 如下图所示，其表达式是（）参考答案:B13.的计算结果为（）参考答案:314.判断系统的线性、时不变性、因果性、稳定性（）参考答案:非线性、时不变、因果、稳定15.线性系统具有（）参考答案:全部为正确第二章测试1.对连续信号延迟t0的延时器的单位阶冲激应为（）参考答案:2.下列总系统的单位冲激响应 h（t）=( )参考答案:3.已知：，求， s（t）的波形哪个正确（）。

参考答案:4.已知，，则的非零值区间为［0，3］。

（）参考答案:对5.若，则。

（）参考答案:对6.一个系统的自由响应就等于它的零输入响应。

（）参考答案:错7.两个线性时不变系统的级联构成的系统是线性时不变的。

（）参考答案:对8.设某线性系统的单位冲激响应为，为系统的输入，则是系统的 ( )。

参考答案:零状态响应9.为 ( )参考答案:10.信号波形如图所示，设，则f(0)为（）。

第一章1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。

其中()0X -为系统的初始状态。

（2）()()2f t y t e= （5）()()cos 2y t f t t = （8）()()2y t f t =解：（2）()()2f t y t e =① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,f t f t y t ey t e==那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t eee +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以系统是非线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,f t t f ty t e y t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以系统是时不变的。

③ 因果性因为对任意时刻 1t ，()()121f ty t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

（5）()()cos 2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos 2,cos 2y t f t t y t f t t ==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos 2,cos 2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos 2y t f t t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。

第三周作业参考答案 第一章作业(P30-34) 第三次 1.16 ;1.17;第二章作业(P77-82) 第一次 2.1 (1)、(3); 2.2 (1)、(2);2.3 (1)、(3);2.4;2.5 (a)、( b);2.6 图(b)、(c)(注意：N = 4); 2.8 (1)、(2)、(3)。

2.7 6试判断以下系统的性质：记忆、因果、线性、时不变、稳定性。

,xt... dx (1)y(t) e ;(2) y[n] x[n]x[n 1]；(3) y(t)；dt(4)y[n] x[n 2] x[n 1]; (5) y(t) sin(4t)x(t) ;(6) y[n] x[4n]。

解答：以表格形式比较清楚：(从其单位冲激响应h(t)来看，h(t) (t) ( )d因果性：理解了记忆性，就明白了因果性。

(因为微分器的单位冲激响应 h(t)是冲激偶函数，当t<0, h(t)无定义)(5)容易验证该系统的线性特性。

时不变性： x^(t)y 1(t) sin(4t)x 1(t) x 2(t) x 1(t t 0)y 2(t) sin(4t)x 1(t t 0)如果是时不变系统，则应该：y 3(t) sin[4(t 10Hx i (t t 0) y 2(t)故系统是时变系统。

I记忆性： y(t) sin(4t)x(t)只与当前时间t 有关，故不是记忆系统。

(6)因果性：与未来输入相关，非因果。

时变性：系统是抽取系统，将缩短原序列，故是时变系统。

记忆：不仅仅与当前时间 M 关，故是记忆系统。

记忆性：因为微分器可简写成:dx x(t ) x(t) dt2.8 7有一离散时间系统，输入为 x[n]时，系统的输出y[n]为y[n] x[n]x[n 2]问：(1)系统是记忆系统吗？(2)当输入为A [n], A 为任意实数或复数，求系统输出。

解答：(1)是；因为系统在时刻 n 的输出y[n]不但取决于n 时刻的输入，还与时刻n-2的输入有关;(2)y[n] A [n]A [n 2] A 2[n] [n 2] 02.1 求下列各函数x(t)与h(t)的卷积x ⑴* h(t)。

信号与系统 习题1一、填空题1。

离散信号()2()k f k k ε=,则该信号的单边Z 变换为 ① 。

2。

信号()f t 的傅里叶变换为()F j ω，则(23)f t -的傅里叶变换为 ① 。

3。

已知周期信号()cos(230)sin(4+60)f t t t =++，则其周期为 ① s ，基波频率为 ② rad/s 。

4、已知)(1t f 和)(2t f 的波形如下图所示，设)()()(21t f t f t f *=，则=-)1(f ① ，=)0(f ② 。

5、单边拉氏变换())4(22+=s s s F ，其反变换()=t f ① 。

6、一离散系统的传输算子为23)(22+++=E E EE E H ，则系统对应的差分方程为 ① ,单位脉冲响应为 ② 。

二、单项选择题1。

下列说法不正确的是______.A 。

每个物理系统的数学模型都不相同。

B. 同一物理系统在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。

C. 不同的物理系统经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型.D. 对于较复杂的系统,同一系统模型可有多种不同的数学表现形式。

2. 周期信号f （t ）的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。

A. 余弦项的奇次谐波，无直流 B 。

正弦项的奇次谐波，无直流 C 。

余弦项的偶次谐波,直流 D 。

正弦项的偶次谐波，直流 3. 当周期矩形信号的脉冲宽度缩小一半时，以下说法正确的是_____。

A. 谱线间隔增加一倍B. 第一个过零点增加一倍 C 。

幅值不变 D 。

谱线变成连续的 4. 图3所示的变化过程，依据的是傅立叶变换的_____.图3A 。

时移性 B. 频移性 C 。

尺度变换 D. 对称性 5. 对抽样信号进行恢复，需将信号通过_____。

A 。

理想带通滤波器B 。

理想电源滤波器C. 理想高通滤波器 D 。

理想低通滤波器 6。

连续周期信号的频谱有_____。

1 判断下列序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=53sin )(x ππn n 解 z k 63220∈===k k k w T ππ 当k=1时，x(n)的最小正周期为6. (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=541)(πn j e n x 解 z 841220∉===k k k w T πππ x(n)为非周期序列. 2.简述离散时间系统线性，时不变性，因果性，稳定性。

答：线性：满足齐次性和可加性设y 1(n )=T [x 1(n )]， y 2(n )=T [x 2(n )]对任意常数a,b ，若T [ax 1(n )+bx 2(n )]=aT [x 1(n )]+bT [x 2(n )]=a y 1(n )+b y 2(n )则称T[ ]为线性离散时间系统。

非时变：设y (n ) = T [x (n )]对任意整数k ,有y (n-k )=T [x (n-k )]稳定性稳定系统是有界输入产生有界输出的系统，充要条件是因果性若系统 n 时刻的输出，只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统线性时不变离散系统是因果系统的充要条件：3傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z 变换的区别与联系。

答：信号与系统的分析方法除时域分析方法以外，还有频域的分析方法。

在连续时间信号与系统中，其变换域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。

在离散时间信号与系统中变换域分析方法是Z 变换法和离散时间傅里叶变换法。

Z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉∑∑∑=====N k N k N k k k k k k k n y a n x T a n x a T 111)()]([)]([()00h n n =<n h n P ∞=-∞=<∞∑斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多正弦/复指数信号的加权，也就是说，傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式。

判断系统线性,时变,因果方法
系统是指具有输入和输出的物理、化学或数学系统。

线性、时变和因果是描述系统特性的重要方法。

1.线性系统
线性系统具有以下特征：
（1）叠加性：改变系统输入信号时，系统输出信号的响应与每个输入信号的响应之和相同。

在数学表达中，线性系统遵循以下公式：
y(t) = k1 x1(t) + k2 x2(t)
其中，y(t)表示输出信号，x1(t)和x2(t)表示输入信号，k1和k2是常数。

2.时变系统
（1）系统的性质随时间而变化。

（2）系统的输入信号引起的输出信号是随时间变化的。

时变系统可以分为两类：瞬时时变系统和持久时变系统。

瞬时时变系统是指输出信号在一个短时期内变化。

它们通常是非线性系统，如开关机构、半导体器件等。

持久时变系统是指系统的输出随时间发生缓慢变化。

它们通常是线性系统，如电路、电子滤波器等。

3.因果系统
（1）因果关系：系统的输出信号仅依赖于系统输入信号的过去和现在状态。

（2）系统的输出信号在前后时刻滞后不超过系统输入信号。

也就是说，当某个输入信号改变时，该信号一定会导致一个相应的输出信号改变。

总之，对于分析系统的特性，线性、时变、因果方法是非常重要的。

它们有助于我们理解系统的性能和行为，并在设计和控制系统时做出正确的决策。

第一章 习 题1-1 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。

答案（1）)(1t f 的波形如图1.1（a ）所示.(2) 因t π10cos 的周期s T 2.0102==ππ,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示.1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。

答案)1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f)]1()()[1()(2----=t u t u t t f)]3()2()[2()(3----=t u t u t t f1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

答案2002121)2(21121)2(21)(1≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=+=t t t t t t t f)2()1()()(2--+=t u t u t u t f)]2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f1-4 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1);(3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。

答案(1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示.(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=t u t t u t t u t u t t f 其波形如图题1.4(b)所示.(3))3()2()(3-++-=t u t u t f ,其波形如图1.4(c)所示.(4) )(sin )(4t u t f π=的波形如图题1.4(d)所示.1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T 。

系统时变性与因果性判断
⼀、时不变（time-invarant）系统与时变（time-varying）系统
时不变性质：输⼊延迟多长时间，其零状态响应也延迟多少时间。

即对于⼀个系统（不失⼀般性，假设为连续信号），若其输⼊为x(t)，输出为y(t)。

如果输⼊信号延迟t0变为x(t-t0)，则输出信号相应地变为y(t-t0)。

简单⽰例：
再举⼀个经常容易犯错的例⼦：y(t) = x(2*t)。

当输⼊延迟4个单位后，变为x(2*t - 4) = x(2 * (t - 2)) = y(t - 2)，即输出延迟了2个单位。

此信号为时变系统。

因果系统的定义可以换⼀个简单的⽅式理解：如果没有输⼊系统的信号，系统就没有输出。

上式例⼦中的积分因果系统：如果f(x)为0（即没有输⼊信号），则输出y zs(t)为零。

因此为因果系统。

三、总结（Summary）
线性系统和时不变系统是信号处理的重要研究课题。

说到底，处理线性时不变系统之所以⽅便是因为即使其转换到频域上也能保证线性叠加与频域整体平移。

没必要过分纠结时不变系统的概念，说⽩了还是⼀个线性系统罢了。

判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P7 1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。

（解析P7）①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。

（解析P7）①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =?-3.某系统，当输⼊为()tδτ-时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=---，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。

4.下列信号属于功率信号的是（解析P6）①cos ()tu t ②()teu t - ③()t te u t - ④te-5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =-（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =--+--画出()f t 波形。

（指导P13）7.根据1.10图中(32)f t -+的波形，画出()f t 波形。

（指导P18）8.已知()f t 波形波形如例1.11图所⽰，试画出1(2)2f t --的波形。

（指导P19）9.已知(52)f t -的波形如图例1.12图所⽰，求()f t 波形。

（指导P20）10.求下列函数值①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++-?②3'()te d τδττ--∞③'2(9)t dt δ+∞-∞-? （指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ-=+的周期。

（指导P36） 12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其⾓频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。

如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进⾏均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。