陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学试卷及其答案

2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=． 故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（ ）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】 利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】 结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。

理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数. 【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】1014.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】1415.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1) 由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2) 由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万件） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t 的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品的产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC ，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE 和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC 的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。

2020届陕西省西安市高三下学期第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()UA B ⋂=（ ）A ．{|20}x x -≤<B ．1{|2}2x x -≤< C ．1{|0}2x x ≤< D ．{|03}x x ≤<【答案】B【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B ⋂= 1{|2}2x x -≤<．【考点】集合的交集、补集运算．2．若复数z 满足()34112i z i -=+其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．﹣2 B ．2C ．﹣2iD ．2i【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，利用共轭复数概念求出z 从而可得结果. 【详解】由于复数()34112i z i -=+， 得()()11234112255012342525i i i iz i i ++++====+-， 12z i =-，则z 的虚部为2-. 故选：A. 【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题.3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34-i f 的值为（ ）A ．17B ．5CD ．25【答案】C【解析】先由题意，得到()341,4f i -=--，再由向量模的坐标公式，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,0i =，向量()1,1f =， 所以()341,4f i -=--，因此(341f i -=-=故选：C. 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差【答案】D【解析】【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错． 中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2， B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22【答案】C【解析】根据已知的递推关系求5a ，从而得到正确答案. 【详解】11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16. 故选：C 【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型. 6．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.【详解】()cos sin x x e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π．故选：B ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.8．函数()24412f x x x-+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题先借用函数的奇偶性排除两个选项，再利用某点处的函数值得到答案即可. 【详解】解：函数()24412f x x x-+=是偶函数，排除选项B 、C ； 当2x =时，()150223f =-<，对应点在第四象限，排除A ． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的图像与性质，是简单题.9．在圆锥PO 中，已知高PO ＝2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点．MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．455B ．855C 25D 5【答案】B【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，代入H 的坐标即可求得结果. 【详解】因为2PO =，4OH OB ==，所以41625PB =+=M 为PB 的中点，所以152OM PB == 设抛物线方程为22(0)y px p =>，则5,4)H -，所以2(4)25p -=85p =所以抛物线的焦点到准线的距离为855. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，考查了抛物线的标准方程和p 的几何意义，属于基础题. 10．已知函数()cos sin f x a x x =+图象的一条对称轴是6x π=，则a 的值为（ ）A ．5B 5C ．3D 3【答案】D【解析】先将函数整理，得到()()21sin f x a x ϕ++，确定其最值，再由题意，得到2cos sin 1666f a a πππ⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭.【详解】函数()()2cos sin 1sin f x a x x a x ϕ=+++，其中tan a ϕ=，所以()f x ≤ 因为6x π=是其图像的一条对称轴，正弦型三角函数在对称轴位置取最值，所以cos sin 666f a πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭12+=()223141a a ++=+，整理得：230a -+=，解得：a =故选：D . 【点睛】本题主要考查由三角函数的对称轴求参数，属于常考题型.11．已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ． 【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．12．定义域和值域均为[],a a -(常数0a >)的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，则方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由图象可得方程()0f x =在[],a a -上有三个实数解，结合函数()g x 的值域与单调性即可得解. 【详解】由图(a )可知，方程()0f x =在[],a a -上有三个实数解，由图(b )可知，函数()g x 在[],a a -上单调递减，且值域为[],a a -， 所以方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个实数解. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.二、填空题13．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______． 【答案】0.5【解析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由互斥事件的概率可得． 【详解】解：设甲、乙两人下成和棋P ，甲获胜的概率为()P A ，则乙不输的概率为()1P A -， 甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，()0.8P A P ∴+=，()10.7P A -=，1 1.5P ∴+=，解得0.5P =．∴两人下成和棋的概率为0.5．故答案为：0.5 【点睛】本题考查互斥事件的概率，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51310a a -=，则13S =_____． 【答案】65【解析】由51310a a -=求出7a ，再求13S 即可. 【详解】解：设{}n a 的公差为d ，()51111310,3+410,65a a a d a a d -=-=+=，即75a =；()1131371313135652a a S a +===⨯=.故答案为：65. 【点睛】考查等差数列的性质和求前项n 和，基础题. 15．已知函数2tan ()1tan xf x x=-，()f x 的最小正周期是___________. 【答案】2π 【解析】先化简函数f (x )，再利用三角函数的周期公式求解. 【详解】 由题得212tan 1()=tan 221tan 2x f x x x =⋅-， 所以函数的最小正周期为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于_____．37【解析】根据水的体积不变列出方程解出h . 【详解】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为14S ，∴水的体积()111722133412V S S S =⨯-⨯⨯-=，设倒置后液面面积为S ',则22S h S ⎛'⎫= ⎪⎝⎭，24Sh S ∴'=， ∴水的体积为321332Sh V S h '==⨯， 3273212Sh S ∴=⨯， 解得37h =37 【点睛】本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.三、解答题17．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩．【答案】（1）众数：65；中位数：65；（2）67.【解析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65， 又因为第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积是0.4，0.30.40.5+> ，所以中位数在第二组， 设中位数为x ，则()0.3600.040.5x +-⨯=，解得：65x =， 所以中位数为65.（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：()550.03650.04750.015850.010950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯67=，所以参赛学生的平均成绩为67分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题． 18．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22cos 1cos cos 22cos 2CA B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．【答案】（1）13；（2）,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．（2）由（1）可求1cos 3B =，又由正弦定理得2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围． 【详解】（1）因为22cos 1cos cos cos 2C A B A B =-+，所以cos cos cos cos C A B A B +=，即cos()cos cos cos A B A B A B -++=，所以sin sin cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B +=，解得：1cos 3B =. （2）因为()sin +sin 1R AC =，由正弦定理得2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+，∵02a <<2b ≤<，所以b 的取值范围为23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题． 19．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为CD 中点，将ADE 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足2DH HE =.（1）求证：//OH 平面BCD ；（2）求二面角A BC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（221. 【解析】（1）根据题意可得:1:2OE OB =，结合2DH HE =可得//OH BD ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质定理可得DE CE ⊥，以E 为坐标原点，EC ，EA ，ED 为x 轴，y 轴，z 轴，求出平面BCD 的一个法向量以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）证明：由题意知//CE AB ，2AB CE =，所以:1:2OE OB =.又2DH HE =，所以//OH BD ，又BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ，所以//OH 平面BCD . （2）因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，DE AE ⊥， 又ED ⊂平面AED ，所以DE ⊥平面ABCE ，所以DE CE ⊥，以E 为坐标原点，EC ，EA ，ED 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨设菱形的边长为4，则点()0,0,2D ，()2,0,0C ，()4,23,0B .则()2,0,2DC =-，()4,23,2DB =-.设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =， 0n DC ⋅=，0n DB ⋅=，即22042320x zx y z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z=，得31,,1n⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭；易知平面ABC的一个法向量为()0,0,1m=，设二面角A BC D--的大小为θ，则2177c s3oθ==.故二面角A BC D--的余弦值为217.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、空间向量法求二面角，属于中档题.20．已知函数()()()ln1ln1f x x x=+--．（1）证明()2f x'≥；（2）若()0f x ax-≥对01x≤<恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2a≤.【解析】(1)先求函数的定义域，用分析法易证.(2)令()(),01g x f x ax x=-≤<，只需证明()min0g x≥即可，分0a≤，02a<≤，2a>讨论即可.【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110xxx+>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f xx x x x'=-⋅-=++-+-，只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立所以()2f x '≥.（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①当0a ≤时，()11011g x a x x '=+->+-，()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，②当02a <≤时，()221120111ax a g x a x x x-+'=+-=>+--，()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，③当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有， 令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()min ln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝，()min 2ln ln 2g x g ==， 令()()min 2ln ln 2h a g x g ===-， ()()20a h a -'==<，()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 综合①②③有，2a ≤.【点睛】考查证明不等式和不等式恒成立求参数的取值范围，后一个问题转化为研究函数的值域确定参数的范围，难题.21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 左焦点为F ，已知4FA FB +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==，可得a 的值，在根据离心率和椭圆的性质即可求出b 的值，进而求出椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立得()222418440k x kmx m +++-=，由于直线与椭圆有两个交点，可得2241k m >-；由于MQ NQ =，设MN 中点为D ，可得DQ MN ⊥，根据垂直斜率的关系，由此可推导出m 的取值范围．【详解】（1）∵设椭圆右焦点为D ，由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==， ∴2a =．又2c a =，∴c = ∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，∴()()222264441440k m k m ∆=-+->，整理得2241k m >-．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122841km x x k -+-+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ， ∴1144241D x x km x k +-==+，22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-，∴2614m k -=，∴2610611m m m ->⎧⎨->-⎩，解得166m <<， ∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 22．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()()tan 20y x ααπ=-≤<，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos 2πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M （2，0），若|MP |+|MQ |＝，求直线l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程：2240x y y +-=；直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）1-. 【解析】（1）根据题意得出直线l 过定点()2,0，得出线l 的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案.（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+=,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.【详解】（1）由4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即24sin ρρθ=，得2240x y y +-=. 由直线l 的方程为()tan 2y x α=-，()0απ≤<则tan k α=,又0απ≤<，所以直线l 的的倾斜角为α，又直线l 过定点()2,0，则直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数） （2）设P ，Q 两点在直线l 的参数方程中的对应参数分别为12,t t .将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+= 所以()12124sin cos ,40t t t t αα+=-=>则124sin cos 4t MP Q t M πααα⎛⎫+==-=-= ⎪⎝⎭+即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由0απ≤<，则3444πππα-≤-< 所以42ππα-=，即34απ=，所以直线l 的斜率为3tan 14k π==- 【点睛】本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()||g x x b x a =++-，a R ∈，b R ∈且0b a +>．（1）若函数()g x 的最小值为2，试证明点(),a b 在定直线上；（2）若3b =，[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）点(),a b 在定直线20x y +-=上，证明过程见详解；（2）[]1,2-.【解析】（1）先根据绝对值三角不等式，得到()g x b a ≥+，根据题意，得到2b a b a +=+=，即可得出结果；（2）先由题意，化不等式为||2x a -≤，求解，得到22a x a -≤≤+，推出[][]012,2a a ⊆-+，，进而可求出结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，()||||a g x x b x a x b x b a x b x a =++-++-=≥++-=+，当且仅当()()0x b a x +-≥时，取等号；又函数()g x 的最小值为2，0b a +>，所以2b a b a +=+=，即点(),a b 在定直线20x y +-=；（2）因为3b =，所以()3||g x x x a =++-，当[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+可化为3||5x x x a -++≤+，整理得：||2x a -≤，解得：22a x a -≤≤+，由题意，可得：[][]012,2a a ⊆-+，，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：12a -≤≤， 即实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。

2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。

2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷（理科）（三模）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．（5分）已知全集RU =，集合{}32|<≤-=x x A ，{}0,2|1≥==-x y y B x ，则A∩∁U B=( )A ．{}02|<≤-x xB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-212|x xC ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤210|x xD ．{}30|<≤x x2．（5分）若复数z 满足i z i 211)43(+=-．其中i 为虚数单位，z 为z 共轭复数，则z 的虚部为( )A ．2-B ．2C ．i 2-D ．i 2 3．（5分）已知向量)0,1(=i ，向量)1,1(=f ，则|43|f i-的值为( )A ．17B ．5C ．17D ．254．（5分）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是()A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用na 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的移动最少次数，若11a =．且⎩⎨⎧+-=--为奇数，为偶数，n a n a a n n n 221211，则解下5个环所需的最少移动次数为( )A ．7B ．13C ．16D ．226．（5分）已知3ln =a ，eb 3log =，ec πlog =（注e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是( )A ．c a b <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．（5分）函数x e x f xcos )(=的图象在点))0(,0(f 处的切线的倾斜角为( )A ．4πB ．0C ．43π D ．18．（5分）函数42214)(x x x f +-=的大致图象是()A ．B ．C ．D ．9．（5分）在圆锥PO 中，已知高PO =2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点．MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．554B ．558C ．552D ．510．（5分）已知函数)(cos sin )(R a x a x x f ∈+=图象的一条对称轴是6π=x ，则a 的值为()A ．5B ．5C ．3D ．311．（5分）已知F 是双曲线154:22=-y x C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OF OP =，则OPF ∆的面积为( )A ．23B ．25C ．27D ．2912．（5分）定义域和值域均为[-a ，a ]（常数a >0的函数)(x f y =和)(x g y =的图象如图所示，方程0)]([=x f g 解得个数不可能的是()A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ． 14．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10315=-a a ，则=13S．15．（5分）已知函数x xx f 2tan 1tan )(-=，)(x f 的最小正周期是．16．（5分）如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩．18．（12分）在ABC∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足B A B A Ccos sin 22cos cos 12cos 22+⋅-=． （1）求B cos 的值；（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，且1)sin (sin =+C A R ，求b 的取值范围．19．（12分）如图，菱形ABCD 中，60=∠ABC ，E 为CD 中点，将ADE ∆沿AE 折起使得平面ABCE ADE 平面⊥，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足DH =2HE ．（1）求证：OH //平面BCD ；（2）求二面角A —BC —D 的余弦值． 20．（12分）已知函数)1ln()1ln()(x x x f --+=．（1）证明2)('≥x f ；（2）若0)(≥-ax x f 对10<≤x 恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，直线x y =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4||=+PB PA ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线)0,0(≠≠+=m k m kx y 与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点)21,0(-Q 满足||||NQ MQ =，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参數方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l 的方程为)2(tan -=x y α，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：)2cos(4θπρ-=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M (2,0)，若24||||=+MQ MP ，求直线l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数R b R a a x b x x g ∈∈-++=，，||||)(且0>+a b ．（1）若函数)(x g 的最小值为2，试证明点(a ，b )在定直线上；（2）若3=b ，]10[，∈x 时，不等式|5|)(+≤x x g 恒成立，求实数a 的取值范围．2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷（三模）评析一、试题总体分析1、题型分布试卷共21道必做题，2道选做题。

陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1.全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B =I ð（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ，再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥，{}2U B y y =<ð，(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>， ()()1,2U A B ⋂=ð． 故选：A ．【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题. 2.已知复数51iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求得复数23z i =+，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+， 则在复平面内z 所对应的点为()2,3，在第一象限. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.3.已知向量()2,1a =-r ，()6,b x =r ，且//a b r r，则a b -=r r （ ）A. 5B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值，求得a b -r r的坐标后，求得a b -r r .【详解】由题得260x +=.3x ∴=-，()4,2a b ∴-=-r r，a b ∴-==r r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.4.已知二项式()20121nnn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式以及1a ，求得n 的值，利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意，二项式()1nx +展开式的通项为1r n rr n T C x -+=，令1=-r n ，可得1n n n T C x -=，即16n nC -=.解得6n =.令1x =，则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==. 故选:C【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式以及展开式系数和的求法，属于基础题.5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400【答案】D 【解析】 【分析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数. 【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2200090009÷=， 高二年级交稿数占总交稿数的14423605=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545--=，所以高三年级交稿数为179000340045⨯=． 故选D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b+的最小值为（ ） A. 6 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式，求得12a b+的最小值. 【详解】由题意知24a b +=，所以()(121121412224242444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当4b aa b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选:D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.7.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C. 若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.8.抛物线24y x =的焦点为F ，点()3,2A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为（ ）A. 4B. 5C.4+ D. 5+【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为求PA PF +的最小值，根据抛物线的定义可知PF PD =，即求PA PD+的最小值，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD +最小，由()()min1314A PA PDx +=--=+=即可求解.【详解】由抛物线为24y x =可得焦点坐标()1,0F ，准线方程为1x =-． 由题可知求PAF △周长的最小值．即求PA PF +的最小值． 设点p 在准线上射影为点D ． 则根据抛物线的定义．可知PF PD =．因此求PA PF +的最小值即求PA PD+的最小值．根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小．所以()()min1314A PA PDx +=--=+=．又因为AF ==所以PAF △周长的最小值为4+ 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化与化归的思想，属于基础题. 9.若关于x 的不等式21cos 2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 13- B. 13C. 23D. 1【答案】B 【解析】令cos [1,1]x t =∈-，则问题转化为不等式24350t at --≤在[1,1]-上恒成立，即435011435033a a a +-≤⎧⇒-≤≤⎨--≤⎩，应选答案B ． 10.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则求出此函数的导函数232y x x m '=++，由单调性只需2320x x m +≥+恒成立，根据二次函数的图像与性质只需0∆≤即可求解.【详解】232y x x m '=++， 由题意2320x x m +≥+恒成立．4120m ∴=-≤△，13m ≥．故选：C ．【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.11.设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，2c =，213PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. y =C. 3y x =±D. y =【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，配方可得()2124PF PF -=，从而利用双曲线的定义可求出1a =，进而利用222b c a =-求出b ，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程.【详解】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，()2124PF PF -=，可得1222PF PF a -==，可得1a =，b ==，可得渐近线方程为y =． 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.12.已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数，若a=f （20.3），12log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c=f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD. c ＞b ＞a【答案】D 【解析】【详解】由偶函数的性质可得：()()()122log 4log 422f f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 结合偶函数的性质可得函数f(x)在区间()0,∞+是单调递增，且：0.32122log 5<<<，故()()()0.3222log 5f f f <<，即()()()0.322log 5log 52,f f f c b a >>>>.本题选择D 选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．二、填空题13.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.【答案】600 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出,,a b c 的值，然后利用等差数列的性质求出b ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可． 【详解】,,,2+a b c b a c ∴∴=， 又由频率分布直方图可得1[1(0.0020.006)50]0.01250a b c ++=-+⨯=， =0.004b ∴，故消费金额超过150元的频率为(0.002)500.3b +⨯=，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为20000.3600⨯=，故答案为600.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．14.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________．【答案】6 【解析】 【分析】令()()8g x f x =-，可证得()g x 为奇函数；利用()()22g g =--求得()2g ，进而求得()2f . 【详解】令()()538g x f x ax bx cx =-=++ ()()53g x ax bx cx g x ∴-=---=-()g x ∴为奇函数 ()()()22282g g f ∴=--=---=-⎡⎤⎣⎦又()()228g f =- ()26f ∴= 本题正确结果：6【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.15.甲船在岛B 的正南A 处，6AB km = ，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km . 【答案】939【解析】 【分析】根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值. 【详解】假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ， 如图所示，可知64BC x =-，3BD x =，120CBD ∠=︒，()()22222212cos 64926431330362CD BC BD BC BD CBD x x x x x x =+-⨯⨯∠=-++-⨯=-+． 当1513x =小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为939km 13．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2M ，为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为_________． 【答案】3225+ 【解析】 【分析】根据线面垂直的条件先确定平面α，再根据截面形状求周长即可得解. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC ⊥，BD CM ⊥，∴BD ⊥面ACM ，∴BD AM ⊥，取1BB 的中点N ，11A B 的中点E ，连接MN ，AN ，BE ， 易知BE AN ⊥，由MN ⊥面11ABB A 可得MN BE ⊥，∴BE ⊥面AMN ，∴BE AM ⊥，∴AM ⊥面BDE ，取11A D 的中点F ，由//EF BD 可知点F 在面BDE 上， ∴平面α截正方体所得截面为BDFE ，由正方体棱长为2易得截面周长为225253225+++=+. 故答案为：3225+.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.三、解答题 （一）必考题17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前9项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）27.【解析】 【分析】(1)本题首先可根据点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上得出22n S n n =+，然后根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)首先可根据数列{}n a 的通项公式得出112123n b n n =-++，然后根据裂项相消法求和即可得出结果．【详解】(1)由题意知22n S n n =+. 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+； 当1n =时，113a S ==，适合上式. 所以21n a n =+. (2)()()1221121232123n n n b a a n n n n +===-++++. 则129111111116235571921321217b b b ++鬃?=-+-+鬃?-=-==． 【点睛】本题考查根据数列{}n a 的前n 项和为n S 求数列{}n a 的通项公式，考查裂项相消法求和，n a 与n S 满足1n n n a S S -=-以及11a S =，考查计算能力，是中档题．18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题： ①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5Si x y==∑，21190Si x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大. 【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19.如图所示，平面BCD ⊥平面ABD ，BCD V 为直角三角形，BD 的中点为E ，AB 中点为F ，5AB AD ==，2BD =，BC CD =.（1）求证：AC BD ⊥；（2）求直线AC 与平面CDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2485【解析】 【分析】（1）通过等腰三角形的性质证得BD AE ⊥、BD CE ⊥，由此证得BD ⊥平面ACE ，从而证得AC BD ⊥. （2）建立空间直角坐标系，根据直线AC 的方向向量和平面CDF 的法向量，计算线面角的正弦值. 【详解】（1）BD Q 的中点为E ，AB AD =，BC CD =，BD AE ∴⊥，BD CE ⊥，又AE CE E =I ，BD ∴⊥平面ACE ，而AC ⊂平面ACE ，AC BD ∴⊥.（2）Q 平面BCD ⊥平面ABD ，BD CE ⊥，平面BCD I 平面ABD BD =，CE ∴⊥平面ABD ，又AE ⊂平面ABD ，CE AE ∴⊥，分别以EA ，EB ，EC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，CE BD ⊥Q .BE DE =，BCD V 是直角三角形，CB CD =.112CE BD ∴==，2AE =， ()0,0,0E ∴，()2,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1C .F 是AB 中点， 11,,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()2,0,1AC =-u u ur ，31,,02DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,1DC =u u u r ，设平面DCF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n DF x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，令2y =，则3x =-，2z =-，()3,2,2n =--r，cos n <r，n AC AC n AC ⋅>=⋅r u u u ru u u r r u u u r ()()()22222322021322201-⨯-+⨯+-⨯=-++-⋅-++485=∴直线AC 与平面CDF 485.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知函数()1ln f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）求()f x 的极值；（2）若方程()2ln 20f x x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a >时，极小值a ；当0a =时，无极值；当0a <时，极大值a ；（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况进行分类讨论 ()f x 的极值. （2）构造函数()()2ln 2h x f x x x =-++，通过()h x 的导函数()'h x 研究()h x 的零点，对a 分成1110,,0,222a a a a ≥=--<<<-进行分类讨论，结合()h x 有三个零点，求得a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()22111a x f x a x x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭， 当0a >时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得极小值a ， 当0a =时，()0f x =，所以无极值，当0a <时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极大值a . （2）设()()2ln 2h x f x x x =-++，即()()l 2212n ax x xh x a +=-++， ()22121a ah x x x-'=-+ ()22212x a x ax +--=()()()2120x x a x x-+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()0h x '≥（仅()10h '=）.()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立.由()10h <，得32a <-，这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->.当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立，由()10h >，得32a >-，由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-，得2ea <-， 322ea ∴-<<-.并且，当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-，()()()2222242242h e e a e e e e ---=++-<+--4150e <+-<，()()()2222222222326370h e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.综上，使()h x 有三个零点的a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =(是椭圆C 上一点． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．【答案】（1）22182x y +=（2）是定值，0【解析】 【分析】（1）根据题意可知2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可求出a 、b ，即可求解.（2）设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，可得点()11,E x y --，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.【详解】（1）由题意知b =又离心率e =a =，于是有2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C的方程为22182x y +=；（2）由于直线l 的斜率为12．可设直线l 的方程为12y x t =+， 代入椭圆22:48C x y +=，可得222240x tx t ++-=． 由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点， 所以()2244240t t =-->△， 整理解得22t -<<．设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-．设直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则12121122AE AQ y y k k x x ---+=+-++()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-，又1112y x t =+Q ，2212y x t =+．于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++-- ()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()()()21212424240x x t x x t t t =--+-=-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=．【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.（二）选考题22.已知直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6πθρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.【答案】（1）C :22x y x +=;l:cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）2. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6πθ=分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）y -=．∴直线l cos sin θρθ-=（2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得ρ=∴A 点的极坐标为π6⎫⎪⎭．将π6θ=代入直线l 的极坐标方程得3122ρρ-=ρ=∴B 点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|2||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x a >-+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[1,3]-；（2）(7),-∞. 【解析】 【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得25a x x <-+，对于[1,2]x ∈恒成立，设2()5g x x x =-+，只需max ()a g x <即可得解.【详解】（1）()6f x ≤可化为2|2||1|6x x -++≤，∴2336x x >⎧⎨-≤⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1336x x <-⎧⎨-+≤⎩，分别解得23x <≤或12x -≤≤或无解. 所以不等式的解集为[1,3]-.（2）由题意：22()5f x x a a x x >-+⇔<-+，[1,2]x ∈.设2()5g x x x =-+，要想[1,2]x ∃∈，2()f x x a >-+成立，只需max ()a g x <，∵2119()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴max ()(2)7g x g ==， ∴7a <，∴a 的取值范围为(7),-∞.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。